2013-2014学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷(理科)试题及答案详解

2013-2014学年北京市海淀区高三（上）

期中数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

．C D．

4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点O （0，0），A（0，1），B（1，﹣2），C（m，0），若，则实

C D

2

6．（5分）已知数列{a n}的通项公式，则数列的前n项和S n的最小值是（）

7．（5分）已知a ＞0，函数，若，则实数t的取值范围．

8．（5分）已知函数，在下列给出结论中：

①π是f（x）的一个周期；

②f（x）的图象关于直线x=对称；

③f（x）在上单调递减．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）a=（2x+1）dx=_________．

10．（5分）已知数列{a n}为等比数列，若a1+a3=5，a2+a4=10，则公比q=_________．

11．（5分）已知，则a，b，c的大小关系为_________．

12．（5分）函数的图象如图所示，则ω=_________，φ= _________．

13．（5分）已知△ABC是正三角形，若与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是_________．

14．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=1﹣|x﹣2|；②f（3x）=3f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，…，x n，…．若a=1，则x1+x2+x3=_________；若a∈（1，3），则x1+x2+…+x2n=_________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，3b=2c，．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求sinB的值．

16．（14分）已知函数．

（I）求f（x）的最小正周期；

（II）求f（x）在区间上的取值范围．

17．（13分）如图，已知点A（11，0），直线x=t（﹣1＜t＜11）与函数的图象交于点P，与x轴交于点H，记△APH的面积为f（t）．

（I）求函数f（t）的解析式；

（II）求函数f（t）的最大值．

18．（13分）已知数列{a n}满足：①a2＞0；②对于任意正整数p，q都有成立．

（I）求a1的值；

（II）求数列{a n}的通项公式；

（III）若，求数列{b n}的前n项和．

19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+1）x+2alnx（a＞0）．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若f（x）≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a的取值范围．

20．（13分）已知数列{a n}的首项a1=a，其中a∈N*，令集合

．

（I）若a4是数列{a n}中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；

（II）求证：{1，2，3}?A；

（III）当a≤2014时，求集合A中元素个数Card（A）的最大值．

2013-2014学年北京市海淀区高三（上）期中数学

试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

=．

，可得

，∴

，∵

．C D．

tanA=

A=

﹣

4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），A（0，1），B（1，﹣2），C（m，0），若，则实

C D

∴

∵，解得

2

6．（5分）已知数列{a n}的通项公式，则数列的前n项和S n的最小值是（）

，解得=

7．（5分）已知a＞0，函数，若，则实数t的取值范围．

时，利用正弦函数的单调性即可得出；当

时，，

∴，

又∵，∴，解得

当时，，及

∴

8．（5分）已知函数，在下列给出结论中：

①π是f（x）的一个周期；

②f（x）的图象关于直线x=对称；

③f（x）在上单调递减．

（

sinxcosx=，由

=≠

（=对称，

）sinxcosx=

﹣

﹣＜，即﹣

﹣

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）a=（2x+1）dx=2．

10．（5分）已知数列{a n}为等比数列，若a1+a3=5，a2+a4=10，则公比q=2．

11．（5分）已知，则a，b，c的大小关系为a＞b＞c．

12．（5分）函数的图象如图所示，则ω=，φ=．

，，

（

，或，

∵．

故答案为：；

13．（5分）已知△ABC是正三角形，若与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是（2，+∞）．与向量的夹角大于，可得

是正三角形，∴=．

∵与向量的夹角大于

∴＜

14．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=1﹣|x﹣2|；②f（3x）=3f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，…，x n，…．若a=1，则x1+x2+x3=14；若a∈（1，3），则x1+x2+…+x2n=6（3n﹣1）．

时，由（

当=]

，

时，由（

）时，由（

×

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，3b=2c，．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求sinB的值．

∴bc=

，

=，即=，

sinB=

16．（14分）已知函数．

（I）求f（x）的最小正周期；

（II）求f（x）在区间上的取值范围．

）∵

）最小正周期为

）∵

∴

∴

∴

17．（13分）如图，已知点A（11，0），直线x=t（﹣1＜t＜11）与函数的图象交于点P，与x轴交于点H，记△APH的面积为f（t）．

（I）求函数f（t）的解析式；

（II）求函数f（t）的最大值．

=

=（）

，其中﹣

PH=

=PH=）

）

××=

（

18．（13分）已知数列{a n}满足：①a2＞0；②对于任意正整数p，q都有成立．

（I）求a1的值；

（II）求数列{a n}的通项公式；

（III）若，求数列{b n}的前n项和．

可得，由①

可得

，可知

可得，

可得

∴

，

．

19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+1）x+2alnx（a＞0）．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若f（x）≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a的取值范围．

4+（其中

+=（其中

﹣

，所以≥

20．（13分）已知数列{a n}的首项a1=a，其中a∈N*，令集合

．

（I）若a4是数列{a n}中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；

（II）求证：{1，2，3}?A；

（III）当a≤2014时，求集合A中元素个数Card（A）的最大值．

，

的项，又

（

（（

a≤

a

a=