2018年高考数学二轮复习专题(江苏版)6个解答题专项强化练一三角函数与解三角形(含答案)

2018年高考数学二轮复习专题(江苏版)6个解答题专项强化练一三角函数与解三角形(含答案)
2018年高考数学二轮复习专题(江苏版)6个解答题专项强化练一三角函数与解三角形(含答案)

6个解答题专项强化练(一) 三角函数与解三角形

1.已知向量m =(cos α,-1),n =(2,sin α),其中α∈?

????0,π2,且m ⊥n . (1)求cos 2α的值;

(2)若sin(α-β)=1010,且β∈?

????0,π2,求角β的值. 解:法一:(1)由m ⊥n 得,2cos α-sin α=0,即sin α=2cos α,代入sin 2α+

cos 2α=1,得cos 2α=15

, 又α∈?

????0,π2, 所以cos α=55,sin α=255

, 所以cos 2α=cos 2α-sin 2α=? ????552-? ??

??2552=-35. (2)由α∈? ????0,π2,β∈? ????0,π2,得α-β∈? ??

??-π2,π2. 因为sin(α-β)=1010,所以cos(α-β)=31010

. 所以sin β=sin[α-(α-β)]

=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)

=255×31010-55×1010=22

. 因为β∈?

????0,π2,所以β=π4. 法二:(1)由m ⊥n 得,2cos α-sin α=0,tan α=2,

故cos 2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α=1-tan 2

α1+tan 2α=1-41+4=-35. (2)由(1)知,2cos α-sin α=0,

且sin 2α+cos 2α=1,α∈?

????0,π2, 所以sin α=255,cos α=55

, 由α∈? ????0,π2,β∈? ????0,π2,得α-β∈? ??

??-π2,π2. 因为sin(α-β)=1010,所以cos(α-β)=31010

.

所以cos β=cos[α-(α-β)]

=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =55×31010+255×1010=22

. 因为β∈?

????0,π2,所以β=π4. 2.在△ABC 中,∠A =60°,c =37

a . (1)求sin C 的值;

(2)若a =7,求△ABC 的面积.

解:(1)在△ABC 中,因为∠A =60°,c =37

a , 所以由正弦定理得sin C =c sin A a =37×32=3314

. (2)因为a =7,所以c =37

×7=3. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,

得72=b 2+32-2b ×3×12

, 解得b =8或b =-5(舍去).

所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×8×3×32

=6 3. 3.已知函数f (x )=sin 2x -cos 2x -23sin x cos x (x ∈R).

(1)求f ? ??

??2π3的值; (2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间.

解:(1)由题意,f (x )=-cos 2x -3sin 2x

=-2?

????32sin 2x +12cos 2x =-2sin ? ????2x +π6, 故f ? ????2π3=-2sin ?

????4π3+π6=-2sin 3π2=2. (2)由(1)知f (x )=-2sin ? ????2x +π6. 则f (x )的最小正周期是π.

由正弦函数的性质:

令π2+2k π≤2x +π6≤3π2

+2k π,k ∈Z ,

解得π6+k π≤x ≤2π3

+k π,k ∈Z , 所以f (x )的单调递增区间是????

??π6+k π,2π3+k π(k ∈Z). 4.如图,在△ABC 中,D 为边BC 上一点,AD =6,BD =3,DC =

2.

(1)若AD ⊥BC ,求∠BAC 的大小;

(2)若∠ABC =π4

,求△ADC 的面积. 解:(1)设∠BAD =α,∠DAC =β.

因为AD ⊥BC ,AD =6,BD =3,DC =2,

所以tan α=12,tan β=13

, 所以tan ∠BAC =tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β

=12+131-12×13

=1. 又∠BAC ∈(0,π),

所以∠BAC =π4

. (2)设∠BAD =α.在△ABD 中,∠ABC =π4

,AD =6,BD =3. 由正弦定理得AD sin π4

=BD sin α,解得sin α=24. 因为AD >BD ,

所以α为锐角,从而cos α=1-sin 2α=144

. 因此sin ∠ADC =sin ? ????α+π4=sin αcos π4+cos αsin π4=22×? ????24+144=1+74

. 所以△ADC 的面积S =12×AD ×DC ×sin∠ADC =12×6×2×1+74=3 1+7 2

.

5.设函数f (x )=sin ? ????ωx -π6+sin ? ????ωx -π2,其中0<ω<3.已知f ? ??

??π6=0. (1)求ω;

(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到

的图象向左平移π4个单位,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在??????-π4

,3π4上的最小值. 解:(1)因为f (x )=sin ? ????ωx -π6+sin ?

????ωx -π2, 所以f (x )=

32sin ωx -12cos ωx -cos ωx =32sin ωx -32

cos ωx =3? ??

??12sin ωx -32cos ωx =3sin ?

????ωx -π3. 因为f ? ??

??π6=0, 所以ωπ6-π3

=k π,k ∈Z. 故ω=6k +2,k ∈Z.

又0<ω<3,所以ω=2.

(2)由(1)得f (x )=3sin ?

????2x -π3, 所以g (x )=3sin ? ????x +π4-π3=3sin ? ??

??x -π12. 因为x ∈??????-π4

,3π4, 所以x -π12∈??????-π3

,2π3, 当x -π12=-π3,即x =-π4时,g (x )取得最小值-32

. 6.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边.若向量m =(a ,cos A ),向量n =(cos C ,c ),且m ·n =3b cos B .

(1)求cos B 的值;

(2)若a ,b ,c 成等比数列,求1tan A +1tan C

的值. 解:(1)因为m ·n =3b cos B ,

函数的零点 班级 ___________ 姓名 __________ 知识必备 1、函数零点定义. 对于函数()D x x f y ∈=,,把使()0=x f 成立的实数x 叫作函数()D x x f y ∈=,的零点。 2、函数的零点与相应方程的根,函数的图像与x 轴交点之间的关系. 方程()0=x f 有实根?函数()x f y =的图像与x 轴交点?函数()x f y =有零点. 3、函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图像是一条连续曲线,并且有()()0+-≤-+=0 ,ln 20 ,322x x x x x x f 的零点个数为____________. 5、函数()()2,1≥∈-+=+n N n x x x f n n 在区间?? ? ??121,内的零点个数为______. 6、已知0x 是函数()x x f x -+ =11 2的一个零点,若()()+∞∈∈,,10201x x x x ,则( ) ()()0,0.21<x f x f C ()()0,0. 21>>x f x f D 7、已知a 是()x x f x 2 1log 2-=的零点,若a x <<00,则()0x f 的值满足( ) ()0. 0=x f A ()0.0x f C ()符号不确定 0.x f D 8、若函数()a x x x f -+=2 log 3 在区间()21, 内有零点,则实数a 的取值范围是( ) ()2log 1. 3--,A ()2l o g 0.3,B ()12l o g .3, C ()4l o g 1.3,D 9、若432<<<

传统不等式的解法 一、基础知识 1、一元二次不等式:()200ax bx c a ++>≠ 可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++,作出图像,再找出x 轴上方的部分即可——关键点:图像与x 轴的交点 2、高次不等式 (1)可考虑采用“数轴穿根法”,分为以下步骤:(令关于x 的表达式为()f x ,不等式为 ()0f x >) ①求出()0f x =的根12,,x x L ② 在数轴上依次标出根 ③ 从数轴的右上方开始,从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图像,()0f x >? 寻找x 轴上方的部分 ()0f x 的不等式,可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可,所以将分式不等式转化为()()()0 f x g x g x ?>???≠?? (化商为积),进而转化为整式不等式求解 4、含有绝对值的不等式 (1)绝对值的属性:非负性 (2)式子中含有绝对值,通常的处理方法有两种:一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论(常用);二是通过平方

(3)若不等式满足以下特点,可直接利用公式进行变形求解: ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同 (4)对于其它含绝对值的问题,则要具体问题具体分析,通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值,将其转化为整式不等式,再做处理 5、指对数不等式的解法: (1)先讲一个不等式性质与函数的故事 在不等式的基本性质中,有一些性质可从函数的角度分析,例如:a b a c b c >?+>+,可发现不等式的两边做了相同的变换(均加上c ) ,将相同的变换视为一个函数,即设()f x x c =+,则()(),a c f a b c f b +=+=,因为()f x x c =+为增函数,所以可得:()()a b f a f b >?>,即a b a c b c >?+>+成立,再例如: 0,0,c ac bc a b c ac bc >>?>?? <时,()f x 为增函数,0c <时,()f x 为减函数,即()()()() 0,0,c f a f b a b c f a f b >>??>?? <,则11 ,a b 的关系如何?设()1f x x = ,可知()f x 的单调减区间为()(),0,0,-∞+∞,由此可判断出:当,a b 同号时,11 a b a b >?< (2)指对数不等式:解指对数不等式,我们也考虑将其转化为整式不等式求解,那么在指对数变换的过程中,不等号的方向是否变号呢?先来回顾指对数函数的性质:无论是x y a =还是()log 0,1a y x a a =>≠,其单调性只与底数a 有关:当1a >时,函数均为增函数,当01a <<时,函数均为减函数,由此便可知,不等号是否发生改变取决于底数与1的大小,规律如下:

高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、(本题满分14分) 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 (1)设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 (2)若函数()f x 有唯一的零点,求a 取值范围。 21.解:(1)1()ln h x a x x x =-+,定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤,即22a -≤≤时()0g x ≥,()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时,由()0g x =得1x =,2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>;当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ,2(,)x +∞上单调递增,在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上,当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ,2(,)x +∞单调递增,在12(,)x x 单调递减……………8分 (2)方法1:问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=,则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?,得e x 1=

函数专题练习 1.函数1 ()x y e x R +=∈的反函数是( ) A .1ln (0)y x x =+> B .1ln (0)y x x =-> C .1ln (0)y x x =--> D .1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1 (0,)3 (C )11[,)73 (D )1[,1)7 3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠, 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2 ()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设 63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3 -∞- 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ D 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则 A .()22()x f x e x R =∈ B .()2ln 2ln (0)f x x x => )

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第六篇函数与导数 专题04 函数的零点 【典例1】【辽宁省丹东市2020届模拟】已知设函数()ln(2)(1)ax f x x x e =+-+. (1)若0a =,求()f x 极值; (2)证明:当1a >-,0a ≠时,函数()f x 在(1,)-+∞上存在零点. 【思路引导】 (1)通过求导得到()f x ',求出()0f x '=的根,列表求出()f x 的单调区间和极值. (2)对a 进行分类,当1a >时,通过对()f x '求导,得到()f x '在()1,-+∞单调递减,找到其零点,进而得到()f x 的单调性,找到()0>0f x ,()00f <,可证()f x 在()1,-+∞上存在零点. 当01a <<时,根据(1)得到的结论,对()f x 进行放缩,得到1e 0a f -??> ??? ,再由()00f <,可证() f x 在()1,-+∞上存在零点. 【详解】 (1)当0a =时,()()()ln 21f x x x =+-+,定义域为()2,-+∞,由()1 02 x f x x +'=- =+得1x =-. 当x 变化时,() f x ',()f x 的变化情况如下表:

故当1x =-时,()f x 取得极大值()()()1ln 21110f -=---+=,无极小值. (2)()()1 e 112 ax f x a x x ??= -++?+'?,2x >-. 当0a >时,因为1x >-,所以()() ()2 1 e 1202ax f x a a x x ??=- -++?+'',()1 002 f b -'=-<, 所以有且仅有一个()11,0x ∈-,使()10g x '=, 当11x x -<<时,()0f x '>,当1x x >时,()0f x '<, 所以()f x 在()11,x -单调递增,在()1,x +∞单调递减. 所以()()010f x f >-=,而()0ln210f =-<, 所以()f x 在()1,-+∞存在零点. 当10a -<<时,由(1)得()()ln 21x x +≤+, 于是e 1x x ≥+,所以()e 11ax ax a x -≥-+>-+. 所以()()()()()) e e ln 21e 1ln 21]ax ax ax f x x x x a x -???=+-+>-+++??? . 于是11111 11e e e 1ln e 21]e e 1ln e 1]0a a a a a f a a -------??????????????>+-+->+--=???? ? ? ? ? ???????????????? ???. 因为()0ln210f =-<,所以所以()f x 在1e ,a -?? +∞ ??? 存在零点. 综上,当1a >-,0a ≠时,函数()f x 在()1,-+∞上存在零点. 【典例2】【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】已知函数()2 23x f x e x x =+-. (1)求函数()f x '在区间[]0,1上零点个数;(其中()f x '为()f x 的导数) (2)若关于x 的不等式()()2 5312 f x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立,试求实数a 的取值范围. 【思路引导】

2015高考数学专题复习:函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标. ()x g x f y -=)(的零点(个数)?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标(个数) ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根(个数) ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标(个数) 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 ( ) .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A .[0,1] B .[1,2] C .[2,3] D .[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 ( ) A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 ( ) A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 ( ) A .()21, B .()32, C .()43, D .()54, 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3,则a =______

函数专题练习 1.函数1()x y e x R +=∈的反函数是( ) A .1ln (0)y x x =+> B .1ln (0)y x x =-> C .1ln (0)y x x =--> D .1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11 [,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠ , 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数,当01x <<时,()l g f x x = 设 63(),(),52a f b f ==5 (),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1 (,)3 -+∞ B . 1 (,1)3 - C . 11 (,)33 - D . 1 (,)3 -∞- 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ 7、函数()y f x =的反函数1 ()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则 A .()22()x f x e x R =∈ B .()2ln 2ln (0)f x x x => )

微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图,在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上.若BE →=λBC →,D F →=19λDC →,则 AE →·A F → 的最小值为 ________. (例1) 变式1 在△ABC 中,已知AB =10,AC =15,∠BAC =π 3,点M 是边AB 的中点, 点N 在直线AC 上,且AC →=3AN → ,直线CM 与BN 相交于点P ,则线段AP 的长为________. 变式2若a ,b ,c 均为单位向量,且a ·b =0,(a -c )·(b -c )≤0,则|a +b -c |的最大值为________. 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行: 切入点一:“恰当选择基底”.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再用该基底表示向量,其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算. 切入点二:“坐标运算”.坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来,快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题,都可以考虑建立适当的坐标系,应用坐标法来统一表示向量,达到转化问题,简单求解的目的.

1. 设E ,F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点,已知AB =3,AC =6,则AE →·A F → =________. 2. 如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB →·A F →=2,则AE →·B F → =________. 3. 如图,在平行四边形ABCD 中,AD =1,∠BAD =60°,E 为CD 的中点.若AC →·BE → =33 32 ,则AB 的长为________. (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图,在2×4的方格纸中,若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量,则向量2a +b 与a -b 夹角的余弦值是________. 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°,且|OA →|=3,|OB →|=2,若OC →=mOA →+nOB →,且OC → ⊥AB → ,则实数m n =________. 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形,点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点,点Q 满足AQ →=23AP →+13 AC →,则|BQ → |的最小值是________. 7. 如图,在Rt △ABC 中,P 是斜边BC 上一点,且满足BP →=12 PC → ,点M ,N 在过点P 的直线上,若AM →=λAB →,AN →=μAC → ,λ,μ>0,则λ+2μ的最小值为________. (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE → =λBA →+μBD → (λ,μ∈R ),则λ+μ=________. 9. 如图,在直角梯形ABCD 中,若AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1, 动点P 在边BC 上,且满足AP →=mAB →+nAD → (m ,n 均为正实数),则1m +1n 的最小值为________. 10. 已知三点A(1,-1),B(3,0),C(2,1),P 为平面ABC 上的一点,AP →=λAB →+μAC → 且AP →·AB →=0,AP →·AC → =3. (1) 求AB →·AC → 的值; (2) 求λ+μ的值.

专题三“用好零点”,证明函数不等式 函数方程思想是一种重要的数学思想方法,函数问题可以利用方程求解,方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体,主要考查以下三个方面:(1)零点所在区间——零点存在性定理;(2)二次方程根的分布问题;(3)判断零点的个数问题;(4)根据零点的情况确定参数的值或范围;(5)根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点(零点个数),证明函数不等式问题,例题说法,高效训练. 【典型例题】 类型一设而不求,应用函数零点存在定理 例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点,求的取值范围; (2)求证:时,. 类型二设而不求,应用不等式性质 例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数(,e是自然对数的底,) (1)讨论的单调性; (2)若,是函数的零点,是的导函数,求证:. 类型三代入零点,利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题(七)】已知函数,其中为常数. (1)讨论函数的单调性; (2)若有两个相异零点,求证:. 类型四利用零点性质,构造函数证明参数范围 例4.【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数. (1)判断的单调性; (2)若在(1,+∞)上恒成立,且=0有唯一解,试证明a<1. 【规律与方法】 应用函数的零点证明不等式问题,从已知条件来看,有两类,一类是题目中并未提及函数零点,二一

类是题目中明确函数零点或零点个数;从要求证明的不等式看,也有两种类型,一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围,二一类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系. 1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系,所以,通过设出函数的零点,利用函数零点存在定理,可建立不等关系,向目标不等式靠近,如上述类型一;也可以利用不等式的性质,向目标不等式靠近,如上述类型二,这两类问题突出的一点是“设而不求”. 2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时,则注意将零点代入函数式,构建方程(组),进一步确定零点之间的关系,然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段. 【提升训练】 1.【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数, (1)讨论的单调性; (2)若函数有两个零点、,求证:. 2.【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点. 求实数a的取值范围; 若函数的两个零点分别为,,求证:. 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. (1)当时,求函数的单调区间; (2)当时,证明:(其中为自然对数的底数). 4.已知函数f(x)=lnx+a(x﹣1)2(a>0). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在区间(0,1)内有唯一的零点x0,证明:. 5. 已知函数f(x)=3e x+x2,g(x)=9x﹣1. (1)求函数φ(x)=xe x+4x﹣f(x)的单调区间; (2)比较f(x)与g(x)的大小,并加以证明. 6. 已知函数f(x)=lnx﹣x+1,函数g(x)=ax?e x﹣4x,其中a为大于零的常数. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)求证:g(x)﹣2f(x)≥2(lna﹣ln2). 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数,其导函数的最大值

函数的最值(值域) ●高考要求 掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);掌握二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法 最值问题,几乎涉及到高中数学的各个分支,是历年高考重点考查的知识点之一,有一些基础题,也有一些小综合的中档题,更有一些以难题形式出现.它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系.所以其解法灵活,综合性强,能力要求高.解决这类问题,要掌握各数学分支知识,能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.考生的运算能力,分析问题和解决问题能力在这里充分展现.因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧,以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了,值域也就知道了反之,若求出的函数的值域为非开区间,函数的最大或最小值也等于求出来了 ●重难点归纳 (1)求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、导数法 数形结合法(图像法)导数法 数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域 (2)函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强 (3)运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题,从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 ●知识点归纳 一、相关概念 1、值域:函数A x x f y ∈=,)(,我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。 2、最值:求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值。因此,求函数的最值和值域,其实质是相同的,只是提问不同而已。 最大值:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足:①对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M ;②存在x 0∈I ,使得f (x 0) = M 。那么,称M 是函数y =f (x )的最大值。记作()max 0y f x = 最小值:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足:①对于任意的x ∈I ,都有f (x )≥M ;②存在x 0∈I ,使得f (x 0) = M 。那么,称M 是函数y =f (x )的最小值。记作()min 0y f x = 注意: ①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x 0∈I ,使得f (x 0) = M ; ② 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M (f (x )

专题2.函数的零点 高考解读 求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在,利用函数模型解决实际问题是高考的热点;备考时应理解函数的零点,方程的根和函数的图象与x 轴的交点的横坐标的等价性;掌握零点存在性定理.增强根据实际问题建立数学模型的意识,提高综合分析、解决问题的能力. 知识梳理 1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f (x ),我们把使f (x )=0的实数x 叫做函数f (x )的零点. (2)函数的零点与方程根的关系 函数F (x )=f (x )-g (x )的零点就是方程f (x )=g (x )的根,即函数y =f (x )的图象与函数y =g (x )的图象交点的横坐标. (3)零点存在性定理 如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f (a )·f (b )<0,那么,函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b )使得f (c )=0, 这个c 也就是方程f (x )=0的根.注意以下两点:①满足条件的零点可能不唯一;②不满足条件时,也可能有零点. (4)二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近似解. 2.在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时,数形结合是基本的解题方法,即把方程分拆为一个等式,使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式,然后构造两个函数f (x ),g (x ),即把方程写成f (x )=g (x )的形式,这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数,可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系. 高频考点突破 考点一 函数的零点判断 例1、【2017课标3,理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a = A .1 2 - B .13 C .12 D .1 【变式探究】(1)函数f (x )=e x +1 2 x -2的零点所在的区间是( ) A. )2 1 ,0( B.)1,2 1( C .(1,2) D .(2,3) (2)已知偶函数y =f (x ),x ∈R 满足:f (x )=x 2-3x (x ≥0),若函数g (x )=????? log 2x ,x >0,-1x ,x <0,则y =f (x )-g (x )的零点个数为( ) A .1 B .3 C .2 D .4 【方法技巧】函数零点的求法 (1)直接求零点:令f (x )=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且

函数的图像 一、基础知识 1、做草图需要注意的信息点: 做草图的原则是:速度快且能提供所需要的信息,通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性,对于一个陌生的可导函数,可通过对导函数的符号分析得到单调区间,图像形状依赖于函数的凹凸性,可由二阶导数的符号决定(详见“知识点讲解与分析”的第3点),这两部分确定下来,则函数大致轮廓可定,但为了方便数形结合,让图像更好体现函数的性质,有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来,下面以常见函数为例,来说明作图时常体现的几个信息点 (1)一次函数:y kx b =+,若直线不与坐标轴平行,通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线 特点:两点确定一条直线 信息点:与坐标轴的交点 (2)二次函数:()2 y a x h k =-+,其特点在于存在对称轴,故作图时只需做出对称轴一侧的图像,另一侧由对称性可得。函数先减再增,存在极值点——顶点,若与坐标轴相交,则标出交点坐标可使图像更为精确 特点:对称性 信息点:对称轴,极值点,坐标轴交点 (3)反比例函数:1 y x = ,其定义域为()(),00,-∞+∞U ,是奇函数,只需做出正版轴图像即可(负半轴依靠对称做出),坐标轴为函数的渐近线 特点:奇函数(图像关于原点中心对称),渐近线 信息点:渐近线 注: (1)所谓渐近线:是指若曲线无限接近一条直线但不相交,则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制,例如在反比例函数中,x 轴是渐近线,那么当x →+∞,曲线无限向x 轴接近,但不相交,则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。 (2)水平渐近线的判定:需要对函数值进行估计:若x →+∞(或-∞)时,()f x →常

(江苏专用)高考数学二轮复习微专题十七数列的通项与求和练 习(无答案)苏教版 微专题十七 数列的通项与求和 一、填空题 1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若2a 6=6+a 7,则S 9的值是________. 2. 已知数列{a n }满足a 1为正整数,a n +1=????? a n 2 , a n 为偶数,3a n +1,a n 为奇数. 若a 1=5,则a 1+a 2+a 3=________. 3. 已知数列{a n }满足a n = 1n +n +1,则其前99项和S 99=________.

4. 若数列{a n }满足12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n =2n +1,则数列{a n }的通项公式a n =________. 5. 已知数列{a n }中,a 1=1,a n +1= 2a n a n +2 (n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n =________. 6. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=12,S n =kn 2-1(n ∈N *),则数列??????1S n 的前n 项和为________.

7. 已知数列{a n }的通项公式为a n =(-1)n ·(2n -1)cos n π 2+1(n ∈N * ),其前n 项和为S n ,则S 60=________. 8. 如图,在平面直角坐标系中,分别在x 轴与直线y =33 (x +1)上从左向右依次取点A k ,B k ,k =1,2,…其中A 1是坐标原点,使△A k B k A k +1都是等边三角形,则△A 10B 10A 11的边长是________. 9. 定义:在数列{a n }中,若满足a n +2a n +1-a n +1a n =d (n ∈N *,d 为常数),称{a n }为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{a n }中,a 1=a 2=1,a 3=3,则 a 2 019a 2 017=________.

导数与函数的零点专题 研究方程根或函数的零点的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 例题精讲 例1、已知函数f (x )=x 3-3x 2+ax +2,曲线y =f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为-2. (1)求a ;(2)证明:当k <1时,曲线y =f (x )与直线y =kx -2只有一个交点. 解析:f ′(x )=3x 2-6x +a ,f ′(0)=a . 曲线y =f (x )在点(0,2)处的切线方程为y =ax +2,由题设得-2 a =-2,所以a =1. (2)证明 由(1)知,f (x )=x 3-3x 2+x +2,设g (x )=f (x )-kx +2=x 3-3x 2+(1-k )x +4. 由题设知1-k >0. 当x ≤0时,g ′(x )=3x 2-6x +1-k >0,g (x )单调递增,g (-1)=k -1<0,g (0)=4,所以g (x )=0在(-∞,0]有唯一实根. 当x >0时,令h (x )=x 3-3x 2+4,则g (x )=h (x )+(1-k )x >h (x ). h ′(x )=3x 2-6x =3x (x -2),h (x )在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,所以g (x )>h (x )≥h (2)=0. 所以g (x )=0在(0,+∞)没有实根. 综上,g (x )=0在R 有唯一实根,即曲线y =f (x )与直线y =kx -2只有一个交点. 例2、已知函数 . (I)讨论的单调性;(II)若 有两个零点,求a 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a '=-+-=-+. ( i )当0a ≥时,则当1x >时,()0f x '>;当1x <时,()0f x '< 故函数()f x 在(,1)-∞单调递减,在(1,)+∞单调递增. ( ii )当0a <时,由()0f x '=,解得:1x =或ln(2)x a =- ①若ln(2)1a -=,即2 e a =-,则x R ?∈,()(1)()0x f x x e e '=-+≥ 故()f x 在(,)-∞+∞单调递增.

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 (1)定义:对于函数()y f x =(x D ∈),把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =(x D ∈)的零点.函数的零点不是一个点的坐标,而是一个数,类似的有截距和极值点等. (2)函数零点的意义:函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根,亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标,即:方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. (3)零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线,并且有 0)()(

欢迎下载学习好资料 2. 函数的零点专题高考解读函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在,利求方程的根、用函数模型解决实际问题是高考的热点;备考时应理解函数的零点,方程的根和函数的x掌握零点存在性定理.增强根据实际问题建立数轴的交点的横坐标的等价性;图象与学模型的意识,提高综合分析、解决问题的能力.知识梳理 1.函数的零点与方程的根xffxfxx 的零(),我们把使叫做函数())=0 (1)函数的零点对于函数的实数( 点.函数的零点与方程根的关系(2)xfxgxyfFxxgxf的图象与)=函数((()=(=)-)(的根,)的零点就是方程即函数()xgy )(函数的图象交点的横坐标.= (3)零点存在性定理bbfafyfxa,上的图象是连续不断的一条曲线,且有)<0如果函数(=(([)在区间),·]cbfcyfxabca这个)使得)在区间(=,()内有零点,即存在∈(0, 那么,函数,=)(xf的根.注意以下两点:①满足条件的零点可能不唯一;②不满足条=也就是方程(0) 件时,也可能有零点. (4)二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近似解..在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时,数2即把方程分拆为一个等式,使两端都转化为我们所熟悉的函形结合是基本的解题方法,xxgfxgxf的形式,这时()),=((),即把方程写成)数的解析式,然后构造两个函数(可以根据图象的变化趋势找到方程中字母方程根的个数就是两个函数图象交点的个数,. 参数所满足的各种关系高频考点突破函数的零点判断考点一 11?x?2x?)ea(?xf(x)?e?2x?有唯一零点,已知函数11课标20173,理】1例、【a= 则111?DBCA.1 ...223 1x fxx-2的零点所在的区间是+( 【变式探究】(1)函数) (=)e211)(,1,(0)(2,3) (1,2) D.A. B.. C222xfxfyxxgxxx=)(,若函数0)≥(3- =)(满足:R∈,)(=已知偶函数(2). 学习好资料欢迎下载 xx,,>0log?2??yfxgx)的零点个数为( )-则=(() 1x,,<0-?x?A.1 B.3 C.2 D.4 【方法技巧】函数零点的求法 fx)=0(1)直接求零点:令,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.( ab]上是连续不断的曲线,且,(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[fafb)<0,还 必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性()(才能确定函数有多少)·个零点. (3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其有几个交点,就有几个不同的零点. fxxxfx)的零点所在的区间为( (=ln +) -2【变式探究】设(,则函数)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 考点二、二次函数的零点 2axxafx∈R. )=+2+2例、已知函数,(2xfxfx的解集;1-[1,2],求不等式 ((1)若不等式)(≥)≤0的解 集为2axxfxg的取值上有两个不同的零点,求实数1)+(2)若函数在区间((1,2))=(+范围.【方法技巧】 解决二次函数的零点问题:(1)可利用一元二次方程的求根公式;(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系;(3)利用二次函数的图象列不等式组. 【变式探究】 22xaafxxa小,求实数大,一个零点比1的一个零点比+(-2)-1)已知1()=+(的取值范围.

相关文档
最新文档