2018年中考数学复习第2单元方程组与不等式组第8课时分式方程及其应用检测湘教版

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课时训练(八)分式方程及其应用

|夯 实 基 础|

一、选择题

1.[2017·河南]解分式方程1x -1-2=31-x

,去分母得( ) A .1-2()x -1=-3

B .1-2()x -1=3

C .1-2x -2=-3

D .1-2x +2=3

2.若关于x 的分式方程7x -1 +3=m x -1

有增根,则增根为( ) A .x =1 B .x =-1

C .x =3

D .x =-3

3.[2016·梅州]对于实数a ,b ,定义一种新运算”:b =1a -b 2,这里等式右边是实数运算.例如,13=11-32=-18,则方程-2)=2x -4-1的解是( ) A .x =4 B .x =5

C .x =6

D .x =7

4.[2017·乌鲁木齐]2017年,在创建文明城市的进程中,乌鲁木齐市为美化城市环境,计划种植树木30万棵,由于志愿者的加入,实际每天植树比原计划多20%,结果提前5天完成任务,设原计划每天植树x 万棵,可列方程是

( )

A.30x -301+20%x

=5 B.30x -3020%x

=5 C.

3020%x +5=30x D.30()1+20%x -30x

=5 5.[2016·潍坊]关于x 的方程x +m x -3+3m 3-x

=3的解为正数,则m 的取值范围是( ) A .m <92

B .m <92且m≠32

C .m >-94

D .m >-94且m≠-34

二、填空题

6.[2017·常德]分式方程2x +1=4x

的解为________. 7.[2017·威海]方程3-x x -4+14-x

=1的解是________. 8.若代数式6x +2与4x

的值相等,则x =________. 9.[2017·攀枝花]若关于x 的分式方程7x -1+3=mx x -1

无解,则实数m =________.

三、解答题

10.解方程:

(1)[2017·眉山]1x -2+2=1-x 2-x

. (2)[2017·无锡]52x -1=3x +2

. 11.[2016·岳阳]我市某学校开展“远足君山,磨砺意志,保护江豚,爱鸟护鸟”为主题的远足活动.已知学校与君山岛相距24 km ,远足服务人员骑自行车,学生步行,服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的 2.5倍,服务人员与学生同时从学校出发,到达君山岛时,服务人员所花时间比学生少用了 3.6 h ,求学生步行的平均速度是多少千米/时?

12.[2017·广州]甲、乙两个工程队均参与某筑路工程,先由甲队筑路60公里,再由乙队完成剩下的筑路工程,

已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的43

倍,甲队比乙队多筑路20天. (1)求乙队筑路的总公里数;

(2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5∶8,求乙队平均每天筑路多少公里.

|拓 展 提 升|

13.对于两个不相等的实数a ,b ,我们规定符号min{a ,b}表示a ,b 中较小的数,如:min{3,5}=3.按照这个规定,方程min{-2,-3}=3x -2-x 2-x

的解为( ) A .-2 B .-3 C.13 D.34

14.[2016·杭州]已知关于x 的方程2x =m 的解满足?

????x -y =3-n ,x +2y =5n (0<n <3),若y >1,则m 的取值范围是________.

15.用正方形硬纸板做三棱柱盒子,每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成,硬纸板以如图K8-1所示的两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用):

A 方法:剪6个侧面;

B 方法:剪4个侧面和5个底面.

图K8-1

现有19张硬纸板,裁剪时,x 张用A 方法,其余用B 方法.

(1)用含x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数.

(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,问能做多少个盒子?

参考答案

1.A [解析] ∵1-x =-()x -1,

∴原方程可变形为1x -1-2=-3x -1

, 方程两边同时乘以最简公分母()x -1,

得:1-2()x -1=-3,

故选A.

2.A [解析] 方程两边都乘x -1,

得7+3(x -1)=m.

∵原方程有增根,

∴最简公分母x -1=0,

解得x =1.

当x =1时,m =7,符合题意.

3.B [解析] 依题意,得-2)=

1x -4,所以原方程化为1x -4=2x -4-1,即1x -4

=1,解得x =5. 4.A [解析] 设原计划每天植树x 万棵,则实际每天植树(1+20%)x 万棵,根据等量关系“原计划植树天数-实

际植树天数=5”可列方程30x -30()1+20%x

=5,故选A. 5.B [解析] 方程化简得2x =-2m +9,

∴x =-2m +92

. ∵方程x +m x -3+3m 3-x

=3的解是正数, ∴-2m +9>0,解得m <92

. 当x =3时,x =-2m +92=3,则有m =32

, ∴m 的取值范围为m <92且m≠32

. 6.x =2 [解析] ①方程两边同时乘以x ,得2+x =4;②解方程得:x =2;③检验,原方程成立,故方程的解为x =2.

7.x =3 [解析] 3-x x -4+14-x =1,3-x x -4-1x -4

=1,3-x -1=x -4,x =3.经检验x =3是原方程的根. 8.4 [解析] 由题意得6x +2=4x

,两边同时乘以x(x +2),得6x =4(x +2),解得x =4,经检验x =4是原分式方程的根.

9.7或3 [解析] 将分式方程化为整式方程得7+3(x -1)=mx ,整理得()m -3x =4,∵分式方程无解分为整式方程无解和整式方程的解为分式方程的增根两种情况,∴①当整式方程无解时,m -3=0,即m =3;当整式方程的解为增根时,x =1,∴m -3=4,即m =7.

10.解:(1)方程两边同乘x -2,得1+2(x -2)=x -1,解得x =2,经检验,x =2是增根,∴原方程无解.

(2)方程两边都乘以(2x -1)(x +2),化为整式方程5(x +2)=3(2x -1).解这个整式方程,得x =13.经检验,x =13是原分式方程的解,∴原分式方程的解是x =13.

11.解:设学生步行的平均速度是x km/h ,

则服务人员骑自行车的平均速度是2.5x km/h ,

根据题意24x -3.6=242.5x

,解得x =4, 经检验x =4为原方程的解,且满足实际意义.

答:学生步行的平均速度是4 km/h.

12.解:(1)60×43

=80(公里),即乙队筑路的总公里数为80公里. (2)设甲队平均每天筑路5x 公里,乙队平均每天筑路8x 公里,

根据题意,得605x -20=808x

, 解得x =110

. 经检验,x =110

是原方程的解且符合题意, 110×8=45

. 答:乙队平均每天筑路45

公里. 13.D

14.25<m <23 [解析] 方程组?????x -y =3-n ,x +2y =5n 的解为?

????x =n +2,y =2n -1.根据y >1,得2n -1>1,解得n >1. 又由0<n <3得1<n <3,∵n =x -2,∴1<x -2<3,即3<x <5,取倒数得15<1x <13,两边同乘2,得25<2x <23.

又∵2x =m ,∴25<m <23

. 15.解:(1)∵裁剪时,x 张用A 方法,

∴裁剪时,(19-x)张用B 方法,

∴侧面的个数为6x +4(19-x)=2x +76,底面的个数为5(19-x)=95-5x.

(2)由题意,得2x +7695-5x =32

,解得x =7, ∴盒子的个数为2×7+763

=30. 答:若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,能做30个盒子.

2020年中考数学总复习:方程与不等式 一、单选题 1.(2019·辽宁省中考真题)不等式5131x x +≥-的解集在数轴上表示正确的是( ) A . B . C . D . 2.(2019·辽宁省中考真题)若关于x 的一元二次方程2304kx x -- =有实数根,则实数k 的取值范围是( ) A .0k = B .1 3k ≥- C .13k ≥-且0k ≠ D .13 k >- 3.(2019·辽宁省中考真题)为推进垃圾分类,推动绿色发展.某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同,两型号机器人的单价和为140万元.若设甲型机器人每台x 万元,根据题意,所列方程正确的是( ) A .360480140x x =- B . 360480140x x =- C .360480140x x += D .360480140x x -= 4.(2018·辽宁省中考真题)一元二次方程2x 2-x+1=0的根的情况是 ( ( A .两个不相等的实数根 B .两个相等的实数根 C .没有实数根 D .无法判断 5.(2019·辽宁省中考真题)某施工队承接了60公里的修路任务,为了提前完成任务,实际每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前60天完成了这项任务.设原计划每天修路x 公里,根据题意列出的方程正确的是( ) A .60(125%)6060x x ?+-= B .6060(125%)60x x ?+-= C .606060(125%)x x -=+ D .606060(125%)x x -=+ 6.(2016·辽宁省中考真题)下列一元二次方程中有两个相等实数根的是( ) A .2x 2(6x(1(0 B .3x 2(x(5(0 C .x 2(x(0 D .x 2(4x(4(0 7.(2015·辽宁省中考真题)已知k 、b 是一元二次方程(21)(31)0x x +-=的两个根,且k >b ,则函数y kx b =+的图象不经过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 8.(2019·辽宁省中考真题)不等式组2x 12x 40->??+≥? 的解集,在数轴上表示正确的是( ) A . B . C . D .

第2课时 分式方程 一级训练 1.(2012年浙江丽水)把分式方程2x +4=1x 转化为一元一次方程时,方程两边需同时乘以( ) A .x B .2x C .x +4 D .x (x +4) 2.(2012年四川成都)分式方程32x =1x -1 的解为( ) A .x =1 B .x =2 C .x =3 D .x =4 3.解分式方程:1-x x -2+2=12-x ,可知方程的( ) A .解为x =2 B .解为x =4 C .解为x =3 D .无解 4.解关于x 的方程x -3x -1=m x -1 会产生增根,则常数m 的值等于( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 5.(2012年江苏无锡)方程4x -3x -2 =0的解为________. 6.在课外活动跳绳时,相同时间内小林跳了90下,小群跳了120下.已知小群每分钟比小林多跳20下,设小林每分钟跳x 下,则可列关于x 的方程为______________. 7.解方程:3-x x -4+14-x =1. 8.解方程:1x 2-x =2x 2-2x +1 . X k B 1 . c o m 9.如图2-1-1,海峡两岸实现“三通”后,某水果销售公司从台湾采购苹果的成本大幅下降.请你根据两位经理的对话,计算出该公司在实现“三通”前从台湾采购苹果的成本价格. 图2-1-1 二级训练 10.(2011年湖北荆州)对于非零的两个实数a ,b ,规定a ?b =1b -1a ,若1?(x +1)=1,则x

的值为( ) A.32 B.13 C.12 D .-12 新课 标第 一 网 11.在四川省发生地震后,成都运往汶川灾区的物资须从西线或南线运输,西线的路程约800千米,南线的路程约80千米,走南线的车队在西线车队出发18小时后立刻启程,结果两车队同时到达.已知两车队的行驶速度相同,求车队走南线所用的时间. 12.已知||a -1+b +2=0,求方程a x +bx =1的解. 13.(2011年广东茂名)解分式方程:3x 2-12x +2 =2x . 三级训练 14.关于x 的分式方程m x -5 =1,下列说法正确的是( ) A .方程的解是x =m +5 B .m >-5时,方程的解是正数 C .m <-5时,方程的解为负数 D .无法确定 15.(2012年贵州安顺)张家界市为了治理城市污水,需要铺设一段全长为300米的污水排放管道,铺设120米后,为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响,后来每天的工作量比原计划增加20%,结果共用了27天完成了这一任务,求原计划每天铺设管道多少米?

方程与不等式组知识点总结 方程与方程组 一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。(2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式。 4、一元一次方程只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程,其中方程)为未知数,( ) 叫做一元一次方程的标准形式,a是未知数x的系数,b 是常数项。 二、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式( ) 它的特征是:等式左边十一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中( )叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项。 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如( )的一元二次方程。根据平方根的定义可知,( )是b的平方根,当( )时,( ) ,( ),当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式( ),把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有( )。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程( )( )的求根公式:( ) 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。 四、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程( )中,( ) 叫做一元二次方程( )的根的判别式,通常用“( )来表示,即( ) 五、一元二次方程根与系数的关系 如果方程( )的两个实数根是( )( ),,那么( ),( )。也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 六、分式方程 1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是:

1.(20XX年安徽芜湖)方程组2x+3y=7,x-3y=8的解为________________.2.(20XX年湖南长沙)若实数a,b满足|3a-1|+b2=0,则ab的值为______. 3.已知x,y满足方程组2x+y=5,x+2y=4,则x-y的值为_____________.4.(20XX年山东潍坊)方程组5x-2y-4=0,x+y-5=0的解是__________. 5.(20XX年贵州安顺)以方程组y=x+1,y=-x+2的解为坐标的点(x,y)在第____象限.6.(20XX年江苏南通)甲种电影票每张20元,乙种电影票每张15元,若购买甲、乙两种电影票共40张,恰好用去700元,则甲种电影票买了____张. 7.已知x=2,y=1是关于x,y的二元一次方程组ax+by=7,ax-by=1的解,则a-b 的值为() A.1 B.-1 C.2 D.3 8.(20XX年山东临沂)关于x,y的方程组3x-y=m,x+my=n的解是x=1,y=1,则m -n的值是() A.5 B.3 C.2 D.1 9.(20XX年四川凉山州)雅西高速公路于20XX年4月29日正式通车,西昌到成都全长420千米,一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出,经过2.5小时相遇.相遇时,小汽车比客车多行驶70千米,设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/小时和y千米/小时,则下列方程组正确的是() A.x+y=70,2.5x+2.5y=420 B.x-y=70,2.5x+2.5y=420 C.x+y=70,2.5x-2.5y=420 D.2.5x+2.5y=420,2.5x-2.5y=70 10.(20XX年山东日照)解方程组:x-2y=3,3x-8y=13. 11.已知x=1,y=-2是关于x,y的二元一次方程组ax+by=1,x-by=3的解,求a,b的值. 12.(20XX年江苏苏州)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家,有关数据显示,中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的15,中、美两国人均淡水资源占有量之和为13 800 m3,问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位:m3)? 13.(20XX年湖南衡阳)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18 000元,其中甲种蔬菜每亩获利2 000元,乙种蔬菜每亩获利1 500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩(注:亩为面积单位)?

热点2 方程(组)和不等式(组)的解法 (时间:100分钟分数:100分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题分,共30分,在每小题给出的四个选项中,?只有一个是符合题目要求的) 1 .不等式 12 5 x + ≤1的解集在数轴上(图3-1)表示正确的是() 2.在 5 , 1,1,3,2 5,1,7,11 , 2 x x x x y y y y ? = ? =-== ???? ???? =-==- ????= ?? 四对数值中,满足方程 3x-y=2的有() A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 3.与3x-6<0同解的不等式为() A.6>3x B.x>2 C.3x≤6 D.3x>6 4.若a>b,且c为有理数,则() A.ac>bc B.acbc2 D.ac2≥bc2 5.不等式组 23, 182. x x x >- ? ? -≤- ? 的最小整数解是() A.-1 B.0 C.2 D.3 6.如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数,那么m的取值范围是() A.m≥7或m≤5 B.m=5,6,7 C.无解 D.5≤m≤7 7.二元一次方程3x+2y=12在正整数范围内的解有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.关于x的不等式组 , x m x m < ? ? >- ? 的解集,下列结论正确的是() A.解集为全体实数 B.无解 C.当m>0时,不等式组有解 D.当m≠0时,不等式组有解 9.对于任意实数x,下列说法中正确的是() A.x2>0 B.若x<0,则x2>0 C.若x<1,则x2<1 D.若x>0,则x2≥x 10.已知满足不等式 1 2 x+ ≤a+1的正整数只有3个,则() A.1≤a< 3 2 B.1

初中数学方程与不等式之分式方程知识点 一、选择题 1.风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费,设前去观看开幕式的同学共x人,则所列方程为() A.180180 3 2 x x -= + B. 180180 3 2 x x -= + C.180180 3 2 x x -= - D. 180180 3 2 x x -= - 【答案】D 【解析】 【分析】 先用x表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱,再根据增加后每人比原来少摊了3元钱车费列出方程即可. 【详解】 解:设前去观看开幕式的同学共x人,根据题意,得:180180 3 2 x x -= - . 故选:D. 【点睛】 本题考查了分式方程的应用,解题的关键是弄清题意、找准等量关系,易错点是容易弄错增加前后的人数. 2.某一景点改造工程要限期完成,甲工程队独做可提前一天完成,乙工程队独做要误期6天,现由两工程队合做4天后,余下的由乙工程队独做,正好如期完成,若设工程期限为x天,则下面所列方程正确的是() A. 4 1 16 x x x += +- B. 4 16 x x x = -+ C. 4 1 16 x x x += -- D. 4 1 16 x x x += -+ 【答案】D 【解析】【分析】 首先根据工程期限为x天,结合题意得出甲每天完成总工程的 1 1 x- ,而乙每天完成总工程 的 1 6 x+ ,据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可. 【详解】 ∵工程期限为x天,

∴甲每天完成总工程的 11x -,乙每天完成总工程的16 x +, ∵由两工程队合做4天后,余下的由乙工程队独做,正好如期完成, ∴可列方程为:4116 x x x +=-+, 故选:D. 【点睛】 本题主要考查了分式方程的实际应用,根据题意正确找出等量关系是解题关键. 3.关于x 的方程 m 3+=1x 11x --解为正数,则m 的范围为( ) A .m 2m 3≥≠且 B . 2 B 3m m >≠ C .m<2m 3≠且 D .m>2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先解分式方程,然后令其大于0即可,注意还有1x ≠. 【详解】 方程两边同乘以()1x -,得2x m =- ∴210x m x =-??-≠? 解得2m >且3m ≠ 故选:B. 【点睛】 此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围,熟练掌握,即可解题. 4.解分式方程11 222x x x -+=--的结果是( ) A .x="2" B .x="3" C .x="4" D .无解 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解:去分母得:1﹣x+2x ﹣4=﹣1, 解得:x=2, 经检验x=2是增根,分式方程无解. 故选D . 考点:解分式方程.

第4课时 一元二次方程 一级训练 1.(2011年江苏泰州)一元二次方程x 2=2x 的根是( ) A .x =2 B .x =0 C .x 1=0, x 2=2 D .x 1=0, x 2=-2 2.(2012年贵州安顺)已知1是关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+x +1=0的一个根,则m 的值是( ) A .1 B .-1 C .0 D .无法确定 3.(2012年湖北荆门)用配方法解关于x 的一元二次方程x 2-2x -3=0,配方后的方程可以是( ) A .(x -1)2=4 B .(x +1)2=4 C .(x -1)2=16 D .(x +1)2=16 4.(2012年湖北武汉)若x 1,x 2是一元二次方程x 2-3x +2=0的两根,则x 1+x 2的值是 ( ) A .-2 B .2 C .3 D .1 5.(2011年福建福州)一元二次方程x (x -2)=0根的情况是( ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .只有一个实数根 D .没有实数根 6.(2012年湖南常德)若一元二次方程x 2+2x +m =0有实数解,则m 的取值范围是( ) A .m ≤-1 B .m ≤1 C .m ≤4 D .m ≤12 X| k |B| 1 . c|O |m 7.当m 满足__________时,关于x 的方程x 2-4x +m -12 =0有两个不相等的实数根. 8.(2012年贵州铜仁)一元二次方程x 2-2x -3=0的解是______________. 9.(2011年江苏镇江)已知关于x 的方程x 2+mx -6=0的一个根为2,则m =________,另一根是_____________________________________________________________________. 10.(2011年四川宜宾)某城市居民最低生活保障在2009年是240元,经过连续两年的增加,到2011年提高到345.6元,则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是________. 11.(2011年山东滨州)某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x, 可列方程为____________________. 12.解方程: (x -3)2+4x (x -3)=0. 13.(2010年广东茂名)已知关于x 的一元二次方程x 2-6x -k 2=0(k 为常数). (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设x 1,x 2为方程的两个实数根,且x 1+2x 2=14,试求出方程的两个实数根和k 的值. w W w .x K b 1.c o M

第二章 方程(组)与不等式(组) 方程与方程组解法总结 一元一次方程等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式,所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤:去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为1。 解二元一次方程组的方法:代入消元法/加减消元法。 一元二次方程的解法 (1)配方法 (2)分解因式法 (3)公式法 解一元二次方程的步骤: (1)配方法的步骤: 先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 (2)分解因式法的步骤: 把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式 (3)公式法 就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a ,一次项的系数为b ,常数项的系数为c 4)韦达定理 利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和=- a b ,二根之积= a c 也可以表示为1x +2x =-a b ,21x x =a c 。利用韦达定理,可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用 5)一元一次方程根的情况 利用根的判别式I 当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根; II 当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根; III 当△<0时,一元二次方程没有实数根(在这里,学到高中就会知道,这里有2个虚数根) 难点提示: 1.一元二次方程的根的判别式:

△=b 2+4ac ,当△>0 方程有两个不相等的实数根;当△=0 时 方程有两个相等的实数根;当△<0 方程没有实数根。 2.根与系数的关系: 若一元二次方程2ax +bx+c=0(a≠0)的两根为12,x x ,则1x +2x =- a b ,1x 2x ·= a c 。 反过来,以12,x x 为根的一元二次方程是(x-1x )(x-2x )=0,展开代入两根和与两根积,仍得到方程 2 ax +bx+c=0(a≠0)。 特殊的:对二次项系数为1的方程2x +px+q=0的两根为12,x x 时,那么1x +2x =-p ,1x . 2x =q 。反之,以1x ,2x 为根的一元二次方程是:(x-1x )(x-2x )=0,展开代入两根和与两根积,仍得到方程:2x +px+q=0。 3.解分式方程的数学思想是转化为整式方程,方法为去分母法和换元法。 注意事项: 1.不等式的基本性质中 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。用式子表示:如果a>b ,且c<0,那么ac

(易错题精选)初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编含答案 一、选择题 1.已知关于x 的分式方程 213x m x -=-的解是非正数,则m 的取值范围是( ) A .3m ≤ B .3m < C .3m >- D .3m ≥- 【答案】A 【解析】 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程解为正数确定出m 的范围即可 【详解】 213 x m x -=-, 方程两边同乘以3x -,得 23x m x -=-, 移项及合并同类项,得 3x m =-, Q 分式方程213 x m x -=-的解是非正数,30x -≠, 30(3)30m m -≤?∴?--≠? , 解得,3m ≤, 故选:A . 【点睛】 此题考查分式方程的解,解题关键在于掌握运算法则求出m 的值 2.某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件,现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同.设原计划平均每天生产x 个零件,根据题意可列方程为( ) A .60045025x x =- B .60045025x x =- C .60045025x x =+ D .60045025 x x =+ 【答案】C 【解析】 【分析】 原计划平均每天生产x 个零件,现在每天生产(x+25)个,根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程. 【详解】 由题意得:现在每天生产(x+25)个,

∴60045025x x =+, 故选:C. 【点睛】 此题考查分式方程的实际应用,正确理解题意是列方程的关键. 3.方程 24222x x x x =-+-- 的解为( ) A .2 B .2或4 C .4 D .无解 【答案】C 【解析】 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x 的值,经检验即可得到分式方程的解. 【详解】 去分母得:2x=(x ﹣2)2+4, 分解因式得:(x ﹣2)[2﹣(x ﹣2)]=0, 解得:x=2或x=4, 经检验x=2是增根,分式方程的解为x=4, 故选C . 【点睛】 此题考查了解分式方程,以及分式方程的解,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 4.若 x=3 是分式方程 2102a x x --=- 的根,则 a 的值是 A .5 B .-5 C .3 D .-3 【答案】A 【解析】 把x=3代入原分式方程得, 210332 a --=-,解得,a=5,经检验a=5适合原方程. 故选A. 5.体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是x 米/秒,则所列方程正确的是( ) A .4 1.2540800x x ?-= B . 800800402.25x x -= C . 800800401.25x x -= D .800800401.25x x -= 【答案】C

方程与不等式 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.已知关于的方程的解满足方程,则的值是( ) A. B. C. 2 D. 3 2.已知两数之和是10,比y的3倍大2,则下面所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 3.下列关于的方程中,有实数根的是( ) A. B. C. D. 4.分式方程的解为( ) A. B. C. D. 5.关于的不等式的解集如图,那么的值是() A.-4 B.-2 C.0 D. 2 6.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市先降价20%,后又降价10%;乙超市连续两次降价15%;丙超市一次降价30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算() A.甲 B.乙 C.丙 D.一样 7. 在=-4,-1,0,3中,满足不等式组的值是() A.-4和0 B.-4和-1 C.0和3 D.-1和0 8. ,是关于的一元二次方程的两个实数根,是否存在实数使成立则正确的是结论是( ) A.时成立 B.时成立 C.或2时成立 D.不存在 二、填空题(每小题3分,共24分) 9. 已知关于的一元一次方程的解是=2,则的值为. 10.小明星期天到体育用品商店购买一个篮球花了120元,已知篮球按标价打八折,那么篮球的标价是元. 11. 已知是二元一次方程组的解,则的值为 . 12.已知关于的方程有一个根是,则的值为 . 13.若,是方程的两实数根,那么的值为 . 14.若关于的分式方程有增根,则的值是 . 15.已知直线经过点(1,﹣1),那么关于的不等式的解集是 .

16.小红在解方程组的过程中,错把看成了6,其余的解题过程没有出错,解得此方程组的解为,又已知直线过点(3,1),则的正确值应该是. 三、解答题(本大题共8个小题,满分52分,需要有必要的推理与解题过程). 17.(本题4分)解方程 18.(本题4分)解方程组: 19.(本题6分,每小题3分)解方程: ⑴. ⑵. 20.(本题6分)解不等式组,并将其解集在数轴上表示出来.

2013届中考数学方程(组)与不等式(组)复习知识点总结 及经典考题选编 一、方程 【知识梳理】 1、知识结构 方程????????? ???????????????????????????????????????分式方程的应用分式方程的解法分式方程的概念分式方程的关系根的判别式,根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程 2、知识扫描 (1)只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程,叫做一元一次方程。 (2)含有 2 个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 次,这样的方程叫二元一次方程. (3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组. (4)二元一次方程组的解法有 法和 法. (5)只含有 1 个未知数,并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程,叫做一元二次方程,其一般形式为 )0(02 ≠=++a c bx ax 。 (6)解一元二次方程的方法有: ① 直接开平方法;②配方法;③ 公式法;④ 因式分解法 例:(1)042=-x (2)0342=--x x (3)4722=+x x (4)0232=+-x x (7)一元二次方程的根的判别式: ac b 42-=?叫做一元二次方程的根的判别式。 对于一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 当△>0时,有两个不相等的实数根; 当△=0时,有两个相等的实数根; 当△<0时,没有实数根; 反之也成立。 (8)一元二次方程的根与系数的关系: 如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 那么

不等式组与方程组的完 美结合 Revised at 2 pm on December 25, 2020.

不等式组与方程组的完美结合 对于不等式组的考查,往往不再是某一知识点的简单重复,而是灵活地把不等式与其他知识结合起来,下面一起赏析不等式组与方程组相结合考题. 一、根据方程组解的关系列不等式组 例1(2010年贵州黔东南州)关于x ,y 的方程组? ??=++=-m y x m y x 523 的解满足x>y>0,则m 的取值范围是( ). (A) m>2 (B)m>-3 (C)-32 分析: 解决本题可先解方程组,然后根据x>y>0列出关于m 的不等式组,即可求到m 的范围. 解: 解方程组,得? ????x=2m+1y=m-2 由x>y>0,得?????2m+1>m-2 m-2>0 解这个不等式组,得m>2. 故选(A). 二、根据不等式组解的范围列方程组 例2 (2009年山东烟台)如果不等式组?????x 2+a ≥22x-b<3 的解集是0≤x<1,那么a+b 的值为________. 分析: 解决本题可先解不等式组,求出不等式组的解集,然后与已知的解集进行比较,列出关于a ,b 的方程组,即可求到a ,b 的值. 解: 解不等式组,得? ????x≥4-2a x

三、方程组与不等式组携手 例3 (2010年福州市)郑老师想为希望小学四年(3)班的同学购买学习用品,了解到某商店每个书包的价格比每本词典多8元,用124元恰好可以买到3个书包和2本词典. (1)每个书包和每本词典的价格各是多少元? (2)郑老师计划用1000元为全班40位同学没认购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后,余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品,共有哪几种购买书包和词典的方案? 分析:(1)每个书包和每本词典的价格,可根据问题中的相等关系,列出方程组进行求出;(2)求共有几种方案,则需要根据“余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品”中所包含的不等关系列不等式组. 设每个书包的价格为x 元,每本词典的价格为y 元,根据题意,得 ???x+y=8 3x+2y=124 解这个方程组,得? ??x=28y=20 答:每个书包的的价格为28元,每本词典的价格为20元. (2)设购买书包y 个,则购买词典(40-y)本,根据题意,得 解得10≤y≤, 因为y 为整数,所以y 的值为10或11或12. 所以有三种购买方案,分别是: ①书包10个,词典30本;②书包11个,词典29本;③书包12个,词典28本. 点击不等式(组)决策题 学习了一元一次不等式(组)以后,可以利用一元一次不等式(组)解决许多与生活密切相关的实际问题,特别是经营决策问题,下面分类举例说明,供同学们参考.

方程与不等式之分式方程解析 一、选择题 1.方程1235 x x =+的解为( ). A .1x =- B .0x = C .3x =- D .1x = 【答案】D 【解析】 【分析】 方程两边同乘以3x (x+5),化分式方程为整式方程,解整式方程求得x 的值,检验即可求得分式方程的解. 【详解】 方程两边同乘以3x (x+5)得, x+5=6x , 解得x=1, 经检验,x=1是原分式方程的解. 故选D. 【点睛】 本题考查了分式方程的解法,方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意,解分式方程一定要验根. 2.方程 10020x +=60 20x -的解为( ) A .x =10 B .x =﹣10 C .x =5 D .x =﹣5 【答案】C 【解析】 【分析】 方程两边同时乘以(20+x )(20﹣x ),解得,x =5,经检验,x =5是方程的根. 【详解】 解:方程两边同时乘以(20+x )(20﹣x ), 得100(20﹣x )=60(20+x ), 整理,得8x =40, 解得,x =5, 经检验,x =5是方程的根, ∴原方程的根是x =5; 故选:C . 【点睛】 本题考查分式方程的解法;熟练掌握分式方程的解法,切勿遗漏验根是解题的关键. 3.“母亲节”当天,某花店主打“康乃馨花束”,上午销售额为3000元,下午因市场需求量

增大,店家将该花束单价提高30元,且下午比上午多售出40束,销售额为7200元,设该花束上午单价为每束x 元,则可列方程为( ) A .30007200 4030 x x -=+ B .72003000 4030x x -=+ C . 72003000 4030x x -=+ D . 30007200 4030x x -=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 设该花束上午单价为每束x 元,则下午单价为每束(x+30)元,根据数量=总价÷单价,结合下午比上午多售出40束,即可得出关于x 的分式方程,此题得解. 【详解】 设该花束上午单价为每束x 元,则下午单价为每束(x+30)元,依题意,得: 72003000 4030x x -=+ 故选:C 【点睛】 本题考查了列分式方程解决实际问题,审题是基础,难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系,关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量. 4.方程221 11 x x x x -=-+的解是( ) A .x = 12 B .x = 15 C .x = 14 D .x = 14 【答案】B 【解析】 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x 的值,经检验即可得到分式方程的解. 【详解】 解:去分母得:2x 2+2x =2x 2﹣3x+1, 解得:x = 15 , 经检验x =1 5 是分式方程的解, 故选B . 【点睛】 此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.

第三节 方程组 知识网络 一、????→????→代入消元代入消元 加减消元加减消元三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 二、???→???→?aaa? 消元降次一元二次方程二元二次方程组二元一次方程组 典型例题 一、选择题 1.方程组712x y xy +=??=? 的一个解是( ) A.25x y =?? =? B.62x y =??=? C.43x y =??=? D.34 x y =-??=-? 2.某校初三(2)班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表: 捐款(元) 1 2 3 4 人 数 6 7 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款2元的有x 名同学,捐款3元的有y 名同学,根据题意,可得方程组 A 、272366x y x y +=??+=? B 、27 23100x y x y +=??+=? C 、27 3266x y x y +=??+=? D 、 27 32100x y x y +=?? +=? 3.为了贫困家庭子女能完成初中学业,国家给他们免费提供

教科书, 下表是某中学免费提供教科书补助的部分情况: 若设获得免费提供教科书补助的七年级为x 人,八年级为y 人,根据题意列出方程组为( ) A . 4012010994190010095 x y x y ++=?? ++=? B . 1201099410095 x y x y +=?? +=? C . 40109941900 x y x y +=?? +=? D .1099440120190010095 x y x y ++=?? ++=? 二、解答题 1.已知等式 (2A -7B ) x +(3A -8B )=8x +10对一切实数x 都成立,求A 、B 的值. 【解】 由题意有? ? ?=-=-. 1083, 872B A B A 解得:??? ??? ?-==.54,56B A 即A 、B 的值分别为65 、45 - .

方程与不等式之不等式与不等式组难题汇编含答案 一、选择题 1.若关于x 的不等式组21x x a -?无解,则a 的取值范围是( ) A .3a ≤- B .3a <- C .3a > D .3a ≥ 【答案】D 【解析】 【分析】 利用不等式组取解集的方法:大大小小找不到即可得到a 的范围. 【详解】 ∵关于x 的不等式组21x x a -? 无解, ∴a-1≥2, ∴a ≥3. 故选:D. 【点睛】 考查了一元一次不等式组:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到. 2.若a b <,则下列变形错误的是( ) A .22a b < B .22a b +<+ C .1122a b < D .22a b -<- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质解答. 【详解】 ∵a b <,∴22a b <,故A 正确; ∵a b <,∴22a b +<+,故B 正确; ∵a b <,∴1122 a b <,故C 正确; ∵a b <,∴2-a>2-b ,故D 错误, 故选:D. 【点睛】 此题考查不等式的性质,熟记性质定理并运用解题是关键. 3.小明要从甲地到乙地,两地相距1.8千米.已知他步行的平均速度为90米/分,跑步的

平均速度为210米/分,若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地,至少需要跑步多少分钟?设他需要跑步x 分钟,则列出的不等式为( ) A .210x +90(15﹣x )≥1.8 B .90x +210(15﹣x )≤1800 C .210x +90(15﹣x )≥1800 D .90x +210(15﹣x )≤1.8 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,利用要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地建立不等式即可解题. 【详解】 解:由题可知只需要小明在15分钟之内走过的路程大于1800即可, 即210x+90(15﹣x )≥1800 故选C. 【点睛】 本题考查了一次不等式的实际应用,属于简单题,建立不等关系是解题关键. 4.若不等式24x <的解都能使关于x 的一次不等式2(1)x x a ++<成立,则a 的取值范围是( ) A .8a ≥ B .8a ≤ C .8a > D .8a < 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出不等式24x <的解集,再求出不等式2(1)x x a ++<的解集,即可得出关于a 的不等式并求解即可. 【详解】 解:由24x <可得:x <2; 由2(1)x x a ++<可得:x < 23a -; 由题意得:23 a -≥2,解得:a≥8; 故答案为A . 【点睛】 本题主要对解一元一次不等式组、不等式的解集等知识,根据题意得到关于a 的不等式是解答本题的关键. 5.若关于x 的不等式mx ﹣n >0的解集是x < 13,则关于x 的不等式(m+n )x >n ﹣m 的解集是( ) A .x <﹣12 B .x >﹣12 C .x <12 D .x > 12

《不等式组与分式方程代数》综合训练 一.选择题(共17小题) 1.若关于x的不等式组有且仅有5个整数解,且关于y的分式方程=1有非负整数解,则满足条件的所有整数a的和为() A.12 B.14 C.21 D.33 2.若关于x的不等式组有三个整数解,且关于y的分式方程=﹣1有整数解,则满足条件的所有整数a的和是() A.2 B.3 C.5 D.6 3.若数a使关于x的不等式组,有且仅有三个整数解,且使关于y的分式方程+=1有整数解,则满足条件的所有a的值之和是() A.﹣10 B.﹣12 C.﹣16 D.﹣18 4.若数a使关于x的不等式组,有且仅有三个整数解,且使关于y的分式方程+=1有整数解,则满足条件的所有a的值之和是() A.﹣10 B.﹣12 C.﹣16 D.﹣18 5.若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解,且使关于y的分式方程+=2有非负数解,则所有满足条件的整数a的值之和是() A.3 B.1 C.0 D.﹣3 6.若数a使得关于x的不等式组,有且仅有四个整数解,且使关于y的分式方程﹣=1有整数解,则所有满足条件的整数a的值之和是()A.3 B.2 C.﹣2 D.﹣3 7.若数a使关于x的不等式组,有且仅有四个整数解,且使关于y的分

式方程﹣=2有整数解,则所有满足条件的整数a的值之和是() A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3 8.要使关于x的不等式组至少有3个整数解,且使关于y的分式方程﹣=2的解为非正数的所有整数a的和是() A.10 B.9 C.8 D.5 9.若数k使关于x的不等式组只有4个整数解,且使关于y的分式方程+1=的解为正数,则符合条件的所有整数k的积为() A.2 B.0 C.﹣3 D.﹣6 10.如果关于x的不等式组有且仅有三个整数解,且关于x的分式方程﹣=1有非负数解,则符合条件的所有整数m的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4 11.若关于x的不等式组,有且只有三个整数解,且关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解,则所有满足条件的整数a的值之积是() A.﹣5 B.﹣1 C.5 D.15 12.已知关于x的不等式组有且只有四个整数解,又关于x的分式方程﹣2=有正数解,则满足条件的整数k的和为() A.5 B.6 C.7 D.8 13.若关于x的不等式组,有且仅有五个整数解,且关于x的分式方程=3有整数解,则所有满足条件的整数a的值之和是()A.﹣4 B.﹣3 C.﹣1 D.0

一次方程及方程组专题训练 一、填空题:(每题 3 分,共 36 分) 1、方程 2x -3=1 的解是____。 2、已知 2x -y =1,用含 x 的代数式表示 y =____。 3、“某数与 6 的和的一半等于 12”,设某数为 x ,则可列方程______。 4、方程 2x +y =5 的所有正整数解为______。 5、若 x =1 y =2 是方程 3ax -2y =2 的解,则 a =____。 6、当 x =____时,代数式 3x +2 与 6-5x 的值相等。 7、试写出一个解为 x =-1 8、方程组 x +y =3 2x -3y =-4 的解是______。 9、3 名同学参加乒乓球赛,每两名同学之间赛一场,一共需要____场比赛,则 5 名同学一共需要____比赛。 10、如图,是一个正方形算法图,□里缺的数是____,并总结出规律:________________。 11长为 12cm ,那么小矩形的周长为____cm 。 12、一轮船从重庆到上海要 5 昼夜,而从上海到重庆要 7 昼夜,那么一个竹排从重庆顺流漂到上海要___昼夜。 二、选择题:(每题 4 分,共 24 分) 1、下列方程中,属于一元一次方程的是( ) A 、x =y +1 B 、1x =1 C 、x 2 =x -1 D 、x =1 2、已知 3-x +2y =0,则 2x -4y -3 的值为( ) A 、-3 B 、3 C 、1 D 、0 3、用“加减法”将方程组 2x -3y =9 2x +4y =-1 中的 x 消去后得到的方程是( ) A 、y =8 B 、7y =10 C 、-7y =8 D 、-7y =10 4、某商品因换季准备打折出售,若按定价的七五折出售将赔 25 元,若按定价的九折出售将赚20 元,则这种商品的定价为( ) A 、280 元 B 、300 元 C 、320 元 D 、200 元 5、小辉只带了 2 元和 5 元两种面额的人民币,他买了一件物品只需付 27 元,如果不麻烦售货员找零钱,他有几种不同的付款方法( ) A 、一种 B 、两种 C 、三种 D 、四种 6、为了防沙治沙,政府决定投入资金,鼓励农民植树种草,经测算,植树 1 亩需资金 200 元,种草 1 亩需资金 100 元,某组农民计划在一年内完成 2400 亩绿化任务,在实施中由于实际情况所限,植树完成 了计划的 90%,但种草超额完成了计划的 20%,恰好完成了计划的绿化任务,那么计划植树、种草各多少亩?若设该组农民计划植树 x 亩,种草 y 亩,

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