尝试数学建模发展学生数学应用能力_从西方国家小学数学建模教学的一则案例谈起

尝试数学建模发展学生数学应用能力_从西方国家小学数学建模教学的一则案例谈起
尝试数学建模发展学生数学应用能力_从西方国家小学数学建模教学的一则案例谈起

一个数学建模案例的教学设计

一个数学建模案例的教学设计 ——二次函数在给定区间的最值 一、教学目标 1.知识与技能目标:领会函数的最值及其几何意义,会用函数的单调性求一些函数的最值,逐步培养学生的数学建模能力。 2.过程与方法目标:引导学生进行数学建模,提高应用知识去发现问题、分析问题和解决问题的能力。 3.情感、态度与价值观目标:培养学生的数学应用意识,认识到数学在现实世界中有着广泛的应用,数学来源于生活,又服务于生活。 二、学情分析 首先从学生的知识结构来看,高中学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义,图像及性质等基本知识,学生的分析,理解能力较学习新课时有明显提高,学生学习数学的热情很高,思维敏捷,具有一定的自主探究和合作学习的能力,学生能力差异较大,两极分化明显. 其次是从知识系统来看,数形结合和分类讨论思想是数学最基本的思想方法,渗透于高中教学的全过程,但却是学生不易接受的内容。在几何画板的帮助下,可以让学生经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、运算求解、演绎证明、反思与构建等思维过程,这些过程是数学思维能力的具体体现,有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。 求函数的最大(小)值的常用方法很多,有配方法、判别式法、不等式法、换元法、数形结合法、单调性法等,建立函数模型的应用题,常常是求最值的问题。新课程引入了导数后,利用单调性求函数的最值成了非常常规的方法,是学习函数必须掌握的重要知识内容。二次函数是重要的基本初等函数,引入参数后,其内容千姿百态,丰富多彩,是倡导学生自主探索、动手实践、合作交流的良好题材,有助于发挥学生学习的主动性,使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”过程。

建立数学建模案例分析

§15.4锁具装箱问题 [学习目标] 1.能表述锁具装箱问题的分析过程; 2.能表述模型的建立方法; 3.会利用排列组合来计算古典概型; 4.会利用Mathematica求解锁具装箱问题。 一、问题 某厂生产一种弹子锁具,每个锁具的钥匙有5个槽,每个槽的高度从{1,2,3,4,5,6}6个数(单位从略)中任取一数。由于工艺及其它原因,制造锁具时对5个槽的高度有两个要求:一是至少有3个不同的数;二是相邻两槽的高度之差不能为5。满足上述两个条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。销售部门在一批锁具中随意地抽取,每60个装一箱出售。 从顾客的利益出发,自然希望在每批锁具中不能互开(“一把钥匙开一把锁”)。但是,在当前工艺条件下,对于同一批中两个锁具是否能够互开,有以下实验结果:若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同,另一个槽的高度差为1,则可能互开;在其它情况下,不可能互开。 团体顾客往往购买几箱到几十箱,他们会抱怨购得的锁具中出现互开的情形。现请回答以下问题: 1.每批锁具有多少个,能装多少箱? 2.按照原来的装箱方案,如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度(试对购买一、二箱者给出具体结果)。 二、问题分析与建立模型 因为弹子锁具的钥匙有5个槽,每个槽的高度从{1,2,3,4,5,6}这6个数中任取一数,且5个槽的高度必须满足两个条件:至少有3个不同的数;相邻两槽的高度之差不能为5。所以我们在求一批锁具的总数时,应把问题化为三种情况,即5个槽的高度由5个不同数字组成、由4个不同数字组成、由3个不同数字组成,分别算出各种情况的锁具个数,然后相加便得到一批锁具的总个数。在分别求这三种情况锁具个数的时候,先求出满足第1个条件的锁具个数再减去不满足第2个条件的锁具个数。在求这三种情况锁具个数的时候,主要依靠排列组合的不尽相异元素的全排列公式。 下面用一个5元数组来表示一个锁具: Key=(h1,h2,h3,h4,h5) 其中h i表示第i个槽的高度,i=1,2,3,4,5。此5元数组表示一把锁,应满足下述条件: 条件1:h i∈{1,2,3,4,5,6},i = 1,2,3,4,5。

数学建模教学设计说明

《函数模型的应用实例--数学建模》教学设计说明 郑州市第九中学郑敏 本节课是数学建模的入门课.数学建模是高中数学新课程中新增的研究性学习的内容,《课程标准》中没有对数学建模的内容做具体安排,只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中,要求通过数学建模,了解和经历解决实际问题的全过程,体验数学与日常生活的联系.而以函数为模型的应用题是中学数学中最重要的内容之一,从应用题中抽象出问题的数学特征,找出函数关系,解决实际问题也是中学数学教学的重要任务之一.所以本节课从“3.2 函数模型应用实例”中选取一道生活中的建模实例,借助图形计算器,综合分析对比一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数在实际生活中应用的优缺点,为以后的数学建模打基础,但未能使学生全面认识数学建模的全过程,于是又在本题的基础上有所改编,从实际问题出发,通过分析探究、交流合作、小组展示、总结归纳、深化反思等数学活动引导学生建立完整的数学模型解决实际问题,从而深化数学建模思想.因此本节课是从函数出发,综合运用数学知识、思想和方法,尝试数学建模,让学生从不同的角度理解数学的魅力. 高一下学期的学生学习过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数各自的函数特点,基于学校的支持,学生对于图形计算器已经有一定的基础,知道数形结合、转化化归、由特殊到一般的思想方法,但对于如何建立数学模型尚不明确.从数学活动经验上来说,学生具备了一定的数学活动经验,有主动参与数学活动的意识和小组合作学习的经验,好奇心强,学习比较积极主动. 本节课是数学建模的基础课,对学生来说是一个全新的认识,在认知方式和思维难度上对学生有较高的要求,而学生的抽象概括能力比较薄弱,学生在建立数学模型及优化数学模型的过程中会比较困难. 在领会以上精神后,我在设计本节课时注意了以下问题: 从主导思想上:本节课依据“教评学一致性”的理念进行课堂教学设计,实施目标导引教学.基于学习目标创设学习问题,激发学生的学习兴趣,基于目标设计与之匹配的评价设计和教学方案,引导学生主动参与学习过程,动手动脑动口,在学习过程中逐步锻炼分析问题、抽象概括的能力. 从内容上:本节课是数学建模的基础课,数学建模是高中数学新课程中研究性学习的内容,《课程标准》中要求通过数学建模,了解和经历解决实际问题的全过程,体验数学与日常生活的联系.所以本节课从“3.2 函数模型应用实例”中选取一道生活中的建模实例,借助图形计算器,对于选择数学模型这一难点,通过分析探究、交流合作、小组展示、师生释疑等环节,设计一系列环环相扣的问题,引导学生思考、讨论、对比各自函数的特点,得出符合题意的数学模型,从而突出本节课的重点.但在实际生活中,符合题意的数学模型不一定符合实际情况,于是在题目的基础上加以修改,用实际问题去检验数学模型,不断拟合出最优的数学模型,让学生体会数学

数学建模案例分析--对策与决策方法建模6决策树法

§6 决策树法 对较为复杂的决策问题,特别是需要做多个阶段决策的问题,最常用的方法是决策树法。决策树法是把某个决策问题未来发展情况的可能性和可能结果所做的预测用树状图画出来。其步骤如下: 1、用方框表示决策点。从决策点画出若干条直线或折线,每条线代表一个行动方案,这样的直线或折线称为方案枝。 2、在各方案枝的末端画一个园圈,称为状态点,从状态点引出若干直线或折线,每条线表示一个状态,在线的旁边标出每个状态的概率,称为概率枝。 3、把各方案在各个状态下的损益期望值算出标记在概率枝的末端。 4、把计算得到的每个方案的损益期望值标在状态点上,然后通过比较,选出损益期望值最小的方案为最优方案。 例1某厂准备生产一种新产品,产量可以在三种水平n1、n2、n3中作决策。该产品在市场上的销售情况可分为畅销、一般和滞销三种情况,分别为S1、S2、S3。通过调查,预测市场处于这三种情况的概率分别为0.5、0.3、0.2。三种决策在各种不同市场情况下的利润见下表: 表1 基于各种决策的各种市场情况的利润表(万元) 我们可以计算每种决策下利润的期望值: 实行在水平n1下生产的利润的期望值为:90×0.5+30×0.3-60×0.2=42 实行在水平n2下生产的利润的期望值为:60×0.5+50×0.3-10×0.2=43 实行在水平n3下生产的利润的期望值为:10×0.5+9×0.3-6×0.2=6.5 由于在水平n2下生产利润的期望值最大,因而应选择产量水平n2生产。 可以应用决策树帮助解决这样的决策问题,把各种决策和情况画在图1上: 图1

图中的方框(□)称为决策点,圆圈(○)称为状态点,从方框出发的线段称为对策分支,表示可供选择的不同对策。在圆圈下面的线段称为概率分支,表示在此种对策下可能出现的各种情况。在概率分支上注明了该情况出现的概率。在每一个概率分支的末端注明了对应对策和对应情况下的收益(利润)。在计算时,我们把相应的期望值写在相应的状态点旁边,再由比较大小后选择最优决策,在图上用∥表示舍弃非最优的对策,并在决策点上注明最优决策所对应的期望利润。 图2 利用决策树还可以解决多阶段的决策问题。 例2 某公司在开发一种新产品前通过调查推知,该产品未来的销售情况分前三年和后三年两种情况。因此生产该产品有两种可供选择的方案:建造大厂和建造小厂。如果建造大厂,投资费用5000万元,当产品畅销时,每年可获利2000万元,当产品滞销时,每年要亏损120万元。如果建造小厂,投资费用1000万元,当产品畅销时,每年可获利300万元,当产品滞销时,每年仍可获利150万元。若产品畅销可考虑在后三年再扩建,扩建投资需2000万元,随后三年每年可获利1000万元;也可不再扩建。预测这六年该产品畅销的概率为0.6,滞销的概率为0.4。试分析该公司开发新产品应如何决策? 根据问题的各种情况可以画出决策树如下:这是一个两阶段的决策问题。注意到图中有两个决策点,反映建小厂的方案中可以分成前三年和后三年两个阶段,并在后三年还要做出一次决策。 图3 把各种数据填到图适当的位置后,由后向前计算获利的期望值。由图可见应采用决策:建造大厂。 500 900 1000*3=3000 300*3=900 6.5

高中常见数学模型案例(最新整理)

高中常见数学模型案例 中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出:“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”,“数学建模是数学学习的一种新的方式,它为学生提供了自主学习的空间,有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,增强应用意识;有助于激发学生学习数学的兴趣,发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种: 一、函数模型 用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用,两个变量或几个变量,凡能找到它们之间的联系,并用数学形式表示出来,建立起一个函数关系(数学模型),然后运用函数的有关知识去解决实际问题,这些都属于函数模型的范畴。 1、正比例、反比例函数问题 例1:某商人购货,进价已按原价a 扣去25%,他希望对货物订一新价,以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利,则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________。 分析:欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式,关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。 若设新价为b ,则售价为b (1-20%),因为原价为a ,所以进价为a (1-25%) 解:依题意,有化简得,所以25.0)2.01()25.01()2.01(?-=---b a b a b 4 5=,即x a bx y ??==2.0452.0+ ∈=N x x a y ,4 2、一次函数问题 例2:某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地,在B 地停留1h 后,再以50km/h 的速度返回A 地,把汽车离开A 地的路x (km )表示为时间t (h )的函数,并画出函数的图像。 分析:根据路程=速度×时间,可得出路程x 和时间t 得函数关系式x (t );同样,可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量,从B 地返回时速度为负值,重点应注意如何画这两个函数的图像,要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。 解:汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是:,图略。 ?? ???∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x 速度vkm/h 与时间t h 的函数关系式是:,图略。 ?? ???∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v 3、二次函数问题 例3:有L 米长的钢材,要做成如图所示的窗架,上半部分为半圆,下半部分为六个全等小矩形组成的矩形,试问小矩形的长、宽比为多少时,窗所通过的光线最多,并具体标出窗框面积的最大值。

数学建模案例分析

案例分析1: 自行车外胎的使用寿命 问题: 目前,自行车在我国是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学,而且价格适中,给广大居民带来了不小的益处。但是,自行车也有令人头痛的地方,最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多,但相当一部分是由于外胎磨损,致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦,如何估计自行车外胎的寿命,及时更换? 分析: 分析角度:由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度,还是应从用户角度来考虑这个问题,因此需要我们自己做出合理判断。若从厂家角度,我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境;而从用户角度来说,面对的仅是个人的一辆车,不需要很高的精确度,这样的寿命估计更简单,易于随时了解,下面仅从用户角度进行分析。 产品的使用者需要了解产品的寿命,是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析,首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学,直观,有可比性,在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量,而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征,但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关;而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系,致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较),降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较,就好得多。产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点,在这个点上,外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值,更换费用(寿命越长,在一定意义上更换费用越低)也达到了最大限度的节省。 弄清了上面两个问题后,我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。 自行车使用过程中,一来影响因素多,二来这些因素之间彼此相关,十分复杂,要做到比较准确地估计使用寿命,不但要对外胎的性能有相当的了解,而且对使用环境更不能忽视。当然我们由于是站在用户角度上来考虑的,相对地就可忽略一些次要的影响因素。 这样的数学模型面对着两个主要问题。一、自行车使用寿命与外胎厚度的关系,二、外胎能够抵御小石子破坏作用的最小厚度。后者可处理得相对简略些(如只考虑一块具有一般特征的小石子对外胎的破坏作用),而重点(也是难点)是第一个问题。车重、人重、轮胎性质(力学的、热学的、甚至化学的)和自行车使用频率等都左右着它们的关系。这么多相关因素,不必一一都加以考虑(用户是不会在意这么多的),有些因素,可以先不考虑,在模型的改进部分再作修改,采取逐步深入的方法,如:摩擦损耗有滑动摩擦和滚动摩擦损耗两种,由于滚动摩擦占用的时间(或路程)显然占绝对优势,因此可重点考虑。但滑动摩擦造成的一次损坏又比滚动摩擦大,在刹车使用过频的情况下,就不能不考虑了。 最后,需对得出的结果用简单清晰的文字进行说明,以供用户参考。 案例分析2:城市商业中心最优位置分析 问题: 城市商业中心是城市的基本构成要素之一。它的形成是一个复杂的定位过程。商业中心的选址涉及到各种因素制约,但其中交通条件是很重要的因素之一。即商业中心应位于城市“中心”,如果太偏离这一位置,极有可能在城市“中心”地带又形成一个商业区,造成重复建设。 某市对老商业中心进行改建规划,使居民到商业中心最方便。如果你是规划的策划者,如何建立一个数学模型来解决这个问题。

初中数学建模案例

中学数学建模论文指导 中学阶段常见的数学模型有:方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型和统计模型等。我们也把运用数学模型解决实际问题的方法统称为应用建模。可以分五种模型来写。论文最好自己写,如果是参加竞赛的话从网上找的会被搜出来的。 一、建模论文的标准组成部分 建模论文作为一种研究性学习有意义的尝试,可以锻炼学生发现问题、解决问题的能力。一般来说,建模论文的标准组成部分由论文的标题、摘要、正文、结论、参考文献等部分组成。现就每个部分做个简要的说明。 1. 题目 题目是给评委的第一印象,所以论文的题目一定要避免指代不清,表达不明的现象。建议将论文所涉及的模型或所用的计算方式写入题目。如“用概率方法计算商场打折与返券的实惠效应”。 2. 摘要 摘要是论文中重要的组成部分。摘要应该使用简练的语言叙述论文的核心观点和主要思想。如果你有一些创新的地方,一定要在摘要中说明。进一步,必须把一些数值的结果放在摘要里面,例如:“我们的最终计算得出,对于消费者来说,打折比返券的实惠率提高了23%。”摘要应该最后书写。在论文的其他部分还没有完成之前,你不应该书写摘要。因为摘要是论文的主旨和核心内容的集中体现,只有将论文全部完成且把论文的体系罗列清楚后,才可写摘要。 摘要一般分三个部分。用三句话表述整篇论文的中心。 第一句,用什么模型,解决什么问题。 第二句,通过怎样的思路来解决问题。 第三句,最后结果怎么样。 当然,对于低年级的同学,也可以不写摘要。 3. 正文 正文是论文的核心,也是最重要的组成部分。在论文的写作中,正文应该是从“提出问题—分析问题—选择模型—建立模型—得出结论”的方式来逐渐进行的。其中,提出问题、分析问题应该是清晰简短。而选择模型和建立模型应该是目标明确、数据详实、公式合理、计算精确。在正文写作中,应尽量不要用单纯

数学建模案例分析-- 插值与拟合方法建模1数据插值方法及应用

第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中,常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据,插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数,或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多,这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法,以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容,这里不作详细介绍,请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中,常常有这样的问题:由实验或测量得到变量间的一批离散样点,要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高,要求确定一个初等函数)(x P y =(一般用多项式或分段 多项式函数)通过已知各数据点(节点),即n i x P y i i ,,1,0,)( ==,或要求得函数在另外一些点(插值点)处的数值,这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法,直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明,当分点足够细时,分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图,为了算出它的国土面积,对地图作了如下测量:以由西向东方向为x 轴,由南向北方向为y 轴,选择方便的原点,并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段,在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2,这样就得到下表的数据(单位:mm )。 根据地图的比例,18 mm 相当于40 km 。

数学核心素养之数学建模教学案例

数学核心素养之数学建模教学案例 1引言:新修订的高中数学课程提出,数学核心素养是数学课程目标的集中体现,是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。高中数学核心素养主要包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。 其中,对于数学建模,详细描述为数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题。数学模型构建了数学与外部世界的桥梁,是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段,也是推动数学发展的动力。 在数学建模核心素养的形成过程中,积累用数学解决实际问题的经验。学生能够在实际情境中发现和提出问题;能够针对问题建立数学模型;能够运用数学知识求解模型,并尝试基于现实背景验证模型和完善模型;能够提升应用能力,增强创新意识。 特级教师张思明提出“我们通过数学建模的教与学要为学生创设一个学数学、用数学的环境,为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会。近年来,数学建模应用题的数量和分值在高考中逐步增加,可见在命题中已经在转变传统的数学学科体系观念,旨在引导学生关心社会、关心未来,实现高考命题改革与中学教育、教学观念改革的结合。 2.中学数学模型的教学 2.1中学数学中常见的数学模型分类: (1)与函数的最值相关问题。工程中的用料最省、利润最大,列出所求量的函数解析式,利用代数工具解函数最大值。 (2)线性回归直线、非线性回归直线;如中学生身高和体重的关系,红铃虫产卵数与温度的关系。 (3)与周期有关的三角函数模型建立。电路信号,音频震动,潮水涨落周期。 (4)线性规划问题。关于求解含有多个约束条件的,目标函数的最有解问题。 (5)抽样统计调查类,独立性假设检验。 2.2数学建模的课堂陷入几个误区。 (1)数学建模课堂,教师陷入了对数学建模理论的讲解,而数学建模的基本步骤是什么,介绍集中常见的数学建模工具,里面有大量的数学公式推到,学生对数学建模的思想领会很少。

数学建模案例分析--灰色系统方法建模2灰色预测模型GM(1-1)及其应用

§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时,即使其载荷较低,并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形,但在此情况下仍会有微小的蠕变,极端的情况下,甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上,如果因蠕变引起破坏,可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠,在某一使用温度下,预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去,人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时,需要很长时间才能得到结果,即使通过试验得出的数据,也只是对某几个具体试样而言,存在很大的偶然性,不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理,可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。 一、灰色预测模型GM (1,1) 建模步骤如下: (1)GM (1,1)代表一个白化形式的微分方程: u aX dt dX =+)1() 1( (1) 式中,u a ,是需要通过建模来求得的参数;) 1(X 是原始数据) 0(X 的累加生成(AGO )值。 (2)将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素,这就是数据处理。表示为: ∑==k n n X k X 1 )0() 1()()( (2) 不直接采用原始数据) 0(X 建模,而是将原始的、无规律的数据进行加工处理,使之变得较有规 律,然后利用生成后的数据列来分析建模,这正是灰色系统理论的特点之一。 (3)对GM (1,1),其数据矩阵为 ???? ?? ? ? ?+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B (3) 向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( = (4)作最小二乘估计,求参数u a , N T T Y B B B u a 1)(?-=??? ? ??=α (4) (5)建立时间响应函数,求微分方程(1)的解为 a u e a u X t X at +-=+-))1(()1(?)0()1( (5)

数学建模教学设计

《函数模型的应用实例》教学设计 ——数学建模 郑州市第九中学郑敏 一、教学内容解析 数学建模是高中数学新课程中新增的研究性学习的内容,《课程标准》中没有对数学建模的 内容做具体安排,只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中,要求通过数学建模,了解和经历解决实际问题的全过程,体验数学与日常生活的联系.而以函数为模型的应用题是中学数学中最重要的内容之一,从应用题中抽象出问题的数学特征,找出函数关系,解决实际问题也是中学数学教学的重要任务之一.所以本节课从“3.2 函数模型应用实例”中选取一道生活中的建模实例,借助图形计算器,综合分析对比一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数在实际生活中应用的优缺点,为以后的数学建模打基础,但未能使学生全面认识数学建模的全过程,于是又在本题的基础上有所改编,从实际问题出发,通过分析探究、交流合作、小组展示、总结归纳、深化反思等数学活动引导学生建立完整的数学模型解决实际问题,从而深化数学建模思想.因此本节课是从函数出发,综合运用数学知识、思想和方法,尝试数学建模,让学生从不同的角度理解数学的魅力. 二、学习目标设置 《课程标准》中关于本节课的描述有: 1.通过数学建模,了解和经历解决实际问题的全过程,体验数学与日常生活及其他学科的联系. 2.每个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题,对同样的问题,可以发挥自己的特长和个性,从不同的角度、层次探索解决的方法,从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验,发展创新意识. 3.学生在发现和解决问题的过程中,应学会通过查询资料等手段获取信息;学生在数学建模 中应采取各种合作方式解决问题,养成与人交流的好习惯,并获得良好的情感体验. 在本节课中,根据布鲁姆教育目标分类标准,从知识分类、认知水平、学科内涵三个维度对课标的分解为: 知识分类:数学建模过程 认知水平:了解 行为动词有经历、归纳、探索、学会、发现、体验、提出、发挥学科内涵:通过生活实例,归纳数学建模的全过程,体验数学与生活的联系,体会归纳思想、建模思想.

小学数学建模案例

小学数学建模案例 相遇问题。①创设问题情境,激发学生的求知欲。先请两位同学在黑板的两边同时相向而行,可以让学生重复多走几次。接着可以问同学们看到了什么。学生的回答会有很多,如:他们在中间碰到了;两个人面对面在走;两个人背对背在走……此时就可以引入相遇问题中的一些条件:同时出发、相向而行、相背而行、途中相遇。当学生对此有一定的了解之后就可以举一个具体的例子来进入教学重点了。例如:甲乙两车同时从A、B两地相向而行,在距A地80千米处相遇,相遇后两车继续前进,甲车到达B地、乙车到达A地后均立即返回,第二次在距A地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。②抽象概括,建立模型,导入学习课题。此题可以将整个过程用线段图来形象地描述,这就是这个相遇问题建立的数学模型。③研究模型,形成数学知识。 总结出一般规律之后可以举个例子让学生做,看看学生是否已经掌握,是否会应用这个规律来解决实际问题。如:两艘渡轮在同一时刻垂直驶离H河的甲、乙两岸相向而行,它们在距离甲岸720米处相遇。到达预定地点后,每艘船都要停留10分钟,以便让乘客

上船下船,然后返航。这两艘在距离乙岸4OO米处又重新相遇。问:该河的宽度是多少?可以请两位同学到黑板上来做,其他同学做在作业本上,然后讲解,并充分肯定学生的表现,增强学生的学习积极性。案例二:小学高年级数学教学时会遇到“牛吃草问题”,牛吃草问题又称消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。 由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断变化。例:牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长,这片草地可供l0头牛吃20天,或者可以供l5头牛吃10天,问:可供25头牛吃几天?分析:这类题目难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化,我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的,新长出来的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以这片草地每天新长出的草的数量相同,即每天新长出的草是不变的。下面就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草这两个不变的量。

初中数学建模案例

初中数学建模案例 2011年3月10日,云南盈江县发生里氏5.8级 地震。萧山金利浦地震救援队接到上级命令后立即 赶赴震区进行救援。救援队利用生命探测仪在某建筑 物废墟下方探测到点 C 处有生命迹象,已知废墟一侧 地面上两探测点A 、B 相距3米,探测线与地面的夹角 分别是30°和 60°(如图),试确定生命所在点 C 的深度。(结果精确到0.1 米,参考数据:1.41 1.73≈≈) 解:如图,过点C 作CD ⊥AB 交AB 于点D. ∵探测线与地面的夹角为30°和 60° ∴∠CAD=30°,∠CBD=60° 在Rt △BDC 中,BD CD = ?60tan ∴3 60tan CD CD BD ==? 在Rt △ADC 中,AD CD = ?30tan ∴3 330tan CD CD AD ==? ∵3=-=BD AD AB ∴3333=-CD CD ∴)(6.22 73.13233米≈?==CD 答:生命所在点C 的深度大约为2.6米。

分析:这是综合解直角三角形的问题,画出示意图,先计算出360tan CD CD BD == ? ,再计算出3 330tan CD CD AD ==? ,进而由关系式3=-=BD AD AB 计算出CD 的长, 最后确定生命所在点 C 的深度。 设计说明与思路: 实际问题是复杂多变的,数学建模较多的是探索性和创造性,但是初中数学应用性问题常见的建模方法还是有规律可以归纳总结的,本题涉及解直角三角形问题,常需要建立相应的几何模型,转化为几何或三角函数问题求解。 初中数学题源于实际问题,探讨这类问题的解法具有重要的现实意义,数学建模就是将具有实际意义的应用问题,通过数学抽象转化为数学模型,以求得问题的解决,其基本思路是:实际问题----数学模型----数学问题的解决----抽象----解答----解释(检验)。 在应用性问题和数学建模的教学活动设计中,应把学生当作教学活动的主体,让学生自己通过观察,只考虑去提问题,解决问题,是数学建模教学的重要环节。不要只把问题解决的过程展示给学生看,教学活动的设计应有利于发挥学生的主体性、创造性、协作精神,让学生能把学习知识、应用知识、探索发现、使用计算机工具和建模求解更好地结合起来,使学生在应用性问题与数学建模教学过程中学数学、用数学、得到“微科研”的体验,从而达到学好数学,提高素质,增长才干的目的,达到“面向所有的学生,让所有的学生获得更多可以广泛应用、与现实世界及其他学科密切相关的数学!让所有的学生学到有价值的、富有挑战性的数学!让所有的学生学会数学地思考,并积极地参与数学活动,进行自主探索!”的目的。

初中数学建模案例

初中数学建模案例 2011年3月10日,云南盈江县发生里氏5.8级 地震。萧山金利浦地震救援队接到上级命令后立即 赶赴震区进行救援。救援队利用生命探测仪在某建筑 物废墟下方探测到点 C 处有生命迹象,已知废墟一侧 地面上两探测点A 、B 相距3米,探测线与地面的夹角 分别是30°和60°(如图),试确定生命所在点 C 的深度。(结果精确到0.1米,参考数据:2 1.41,3 1.73) 解:如图,过点C 作CD ⊥AB 交AB 于点D. ∵探测线与地面的夹角为30°和60° ∴∠CAD=30°,∠CBD=60° 在Rt △BDC 中,BD CD 60tan ∴3 60tan CD CD BD 在Rt △ADC 中,AD CD 30tan ∴3 330tan CD CD AD ∵3 BD AD AB ∴33 33CD CD ∴) (6.2273 .13233米CD 答:生命所在点C 的深度大约为 2.6米。

分析:这是综合解直角三角形的问题,画出示意图,先计算出 360tan CD CD BD ,再计算出3330tan CD CD AD ,进而由关系式3BD AD AB 计算出CD 的长,最 后确定生命所在点 C 的深度。 设计说明与思路: 实际问题是复杂多变的,数学建模较多的是探索性和创造性,但是初中数学应用性问题常见的建模方法还是有规律可以归纳总结的, 本题涉及解直角三角形问题,常需要建立相应的几何模型,转化为几何或三角函数问题求解。 初中数学题源于实际问题,探讨这类问题的解法具有重要的现实意义,数学建模就是 将具有实际意义的应用问题,通过数学抽象转化为数学模型,以求得问题的解决,其基本思路是:实际问题----数学模型----数学问题的解决----抽象----解答----解释(检验)。 在应用性问题和数学建模的教学活动设计中,应把学生当作教学活动的主体,让学生 自己通过观察,只考虑去提问题,解决问题,是数学建模教学的重要环节。不要只把问题解决的过程展示给学生看,教学活动的设计应有利于发挥学生的主体性、创造性、协作精神,让学生能把学习知识、应用知识、探索发现、使用计算机工具和建模求解更好地结合起来,使学生在应用性问题与数学建模教学过程中学数学、 用数学、得到“微科研”的体验,从而达到学好数学,提高素质,增长才干的目的,达到“面向所有的学生,让所有的学生获得更 多可以广泛应用、与现实世界及其他学科密切相关的数学! 让所有的学生学到有价值的、富有挑战性的数学!让所有的学生学会数学地思考, 并积极地参与数学活动,进行自主探索!”的目的。

高中数学优质课一等奖作品:数学建模教学设计

《函数模型的应用实例》教学设计 ——数学建模 一、教学内容解析 数学建模是高中数学新课程中新增的研究性学习的内容,《课程标准》中没有对数学建模的内容做具体安排,只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中,要求通过数学建模,了解和经历解决实际问题的全过程,体验数学与日常生活的联系.而以函数为模型的应用题是中学数学中最重要的内容之一,从应用题中抽象出问题的数学特征,找出函数关系,解决实际问题也是中学数学教学的重要任务之一.所以本节课从“3.2 函数模型应用实例”中选取一道生活中的建模实例,借助图形计算器,综合分析对比一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数在实际生活中应用的优缺点,为以后的数学建模打基础,但未能使学生全面认识数学建模的全过程,于是又在本题的基础上有所改编,从实际问题出发,通过分析探究、交流合作、小组展示、总结归纳、深化反思等数学活动引导学生建立完整的数学模型解决实际问题,从而深化数学建模思想.因此本节课是从函数出发,综合运用数学知识、思想和方法,尝试数学建模,让学生从不同的角度理解数学的魅力. 二、学习目标设置 《课程标准》中关于本节课的描述有: 1.通过数学建模,了解和经历解决实际问题的全过程,体验数学与日常生活及其他学科的联系. 2.每个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题,对同样的问题,可以发挥自己的特长和个性,从不同的角度、层次探索解决的方法,从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验,发展创新意识. 3.学生在发现和解决问题的过程中,应学会通过查询资料等手段获取信息;学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题,养成与人交流的好习惯,并获得良好的情感体验. 在本节课中,根据布鲁姆教育目标分类标准,从知识分类、认知水平、学科内涵三个维度对课标的分解为: 依据行为动词,我又从能力层次将课标进行了再分解,具体如下: 知识分类:数学建模过程 认知水平:了解 行为动词有经历、归纳、探索、 学会、发现、体验、提出、发挥 学科内涵:通过生活实例,归纳数学建模的全过程,体验数学与生活的联系,体会归纳思想、建模思想.

数学建模案例――最佳捕鱼方案.(优选)

最佳捕鱼方案 摘要: 本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题,目的是制定每天的捕鱼策略,使得总收益最大。根据题设条件,结合实际情况,我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线(见图三所示),并导出总收益的表达式: 212121 111i i i i i i i i W w p s q m =====?-?∑∑∑。 由于价格是关于供应量的分段函数(见图一所示),我们引入“0-1”变量法编写程序(程序见附录一),并用数学软件LINGO 求解,得到最大收益(W)为441291.4元,分21天捕捞完毕。其中第1~16天,日捕捞量在1030~1070公斤之间,第17~21天的日捕捞量为1610~1670公斤之间(具体数值见正文)。由结果分析,我们对模型提出了优化方向,例如人工放水来降低成本。 关键词:“0-1”整数规划,单目标线性规划,离散型分布。 一. 问题重述 一个水库,由个人承包,为了提高经济效益,保证优质鱼类有良好的生活环境,必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理,因此放水清库。水库现有水位平均为15米,自然放水每天水位降低0.5米,经与当地协商水库水位最低降至5米,这样预计需要二十天时间,水位可达到目标。据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤,鲜活草鱼在当地市场上,若日供应量在500公斤以下,其价格为30元/公斤;日供应量在500—1000公斤,其价格降至25元/公斤,日供应量超过1000公斤时,价格降至20元/公斤以下,日供应量到1500公斤处于饱和。捕捞草鱼的成本水位于15米时,每公斤6元;当水位降至5米时,为3元/公斤。同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加,至最低水位5米时损失率为10%。 承包人提出了这样一个问题:如何捕捞鲜活草鱼投放市场,效益最佳? 二. 模型假设 1.池塘中草鱼的生长处于稳定状态,不考虑种群繁殖以及其体重增减,即在捕 捞过程中草鱼总量保持在25,000公斤不变。 2.第一天捕捞时水位为15m ,每天都在当天的初始水位捕捞草鱼,水库水位每 天按自然放水0.5m 逐渐降低,20天后刚好达到最低要求水位5m 。 3.在水库自然放水的21内将草鱼捕完。 4.在草鱼日供应量未达饱和的之前,市场供应量等于销售量。 5.每天草鱼的捕捞成本随着每天水位的降低呈等差数列递增分布。 6.随着水库水位的下降,草鱼的种群密度逐渐变大,存在着对空间、食物、氧 气的竞争,种群死亡率逐渐升高。题设中给定草鱼死亡及捕捞损失率随着水位的降低而升高,在这里我们假设草鱼损失率是一个统计学概念,即已经综合了因自然死亡和捕捞等其他原因共同造成的损失。 7.草鱼损失率与水库水位成反比关系,每天捕捞量的损失率与当天池塘总鱼量 的损失率是一致的,以每次捕捞时池塘总鱼数为当次基数。 8.捕捞上的草鱼中的死鱼将另行处理,不会放回水库也不会与活鱼一起出售。 9.日供应量在1000---1500公斤时,我们假定草鱼价格为20元每公斤这一常数。

初中数学教学典型案例分析

初中数学教学典型案例分析 我仅从四个方面,借助教学案例分析的形式,向老师们汇报一下我个人数学教学的体会,这四个方面是: 1.在多样化学习活动中实现三维目标的整合; 2.课堂教学过程中的预设和生成的动态调整; 3.对数学习题课的思考; 4.对课堂提问的思考。 首先,结合《勾股定理》一课的教学为例,谈谈如何在多样化学习活动中实现三维目标的整合 案例1:《勾股定理》一课的课堂教学 第一个环节:探索勾股定理的教学 师(出示4幅图形和表格):观察、计算各图中正方形A、B、C的面积,完成表格,你有 生:从表中可以看出A、B两个正方形的面积之和等于正方形C的面积。并且,从图中可以看出正方形A、B的边就是直角三角形的两条直角边,正方形C的边就是直角三角形的斜边,根据上面的结果,可以得出结论:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。这里,教师设计问题情境,让学生探索发现“数”与“形”的密切关联,形成猜想,主动探索结论,训练了学生的归纳推理的能力,数形结合的思想自然得到运用和渗透,“面积法”也为后面定理的证明做好了铺垫,双基教学寓于学习情境之中。 第二个环节:证明勾股定理的教学 教师给各小组奋发制作好的直角三角形和正方形纸片,先分组拼图探究,在交流、展示,让学生在实践探究活动中形成新的能力(试图发现拼图和证明的规律:同一个图形面积用不同的方法表示)。 学生展示略 通过小组探究、展示证明方法,让学生把已有的面积计算知识与要证明的代数式联系起来,并试图通过几何意义的理解构造图形,让学生在探求证明方法的过程中深刻理解数学思想方法,提升创新思维能力。 第三个环节:运用勾股定理的教学 师(出示右图):右图是由两个正方形 组成的图形,能否剪拼为一个面积不变的新 的正方形,若能,看谁剪的次数最少。 生(出示右图):可以剪拼成一个面积 不变的新的正方形,设原来的两个正方形的 边长分别是a、b,那么它们的面积和就是 a2+ b2,由于面积不变,所以新正方形的面积 应该是a2+ b2,所以只要是能剪出两个以a、b 为直角边的直角三角形,把它们重新拼成一个 边长为a2+ b2 的正方形就行了。

数学建模案例分析--最优化方法建模6动态规划模型举例(新)

§6 动态规划模型举例 以上讨论的优化问题属于静态的,即不必考虑时间的变化,建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等,都属于静态规划。多阶段决策属于动态优化问题,即在每个阶段(通常以时间或空间为标志)根据过程的演变情况确定一个决策,使全过程的某个指标达到最优。例如: (1)化工生产过程中包含一系列的过程设备,如反应器、蒸馏塔、吸收器等,前一设备的输出为后一设备的输入。因此,应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出,使总产量最大。 (2)发射一枚导弹去击中运动的目标,由于目标的行动是不断改变的,因此应当如何根据目标运动的情况,不断地决定导弹飞行的方向和速度,使之最快地命中目标。 (3)汽车刚买来时故障少、耗油低,出车时间长,处理价值和经济效益高。随着使用时间的增加则变得故障多,油耗高,维修费用增加,经济效益差。使用时间俞长,处理价值也俞低。另外,每次更新都要付出更新费用。因此,应当如何决定它每年的使用时间,使总的效益最佳。 动态规划模型是解决这类问题的有力工具,下面介绍相关的基本概念及其数学描述。 (1)阶段 整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。通常按时间或空间划分阶段,描述阶段的变量称为阶段变量,记为k 。 (2)状态 状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件,它描述了研究过程的状况。各阶段的状态通常用状态变量描述。常用k x 表示第k 阶段的状态变量。n 个阶段的决策过程有1+n 个状态。用动态规划方法解决多阶段决策问题时,要求整个过程具有无后效性。即:如果某阶段的状态给定,则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响,未来状态只依赖于当前状态。 (3)决策 某一阶段的状态确定后,可以作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态,这种选择手段称为决策。描述决策的变量称为决策变量。决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。用)(k k x u 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量,它是k x 的函数,用)(k k x D 表示k x 的允许决策集合。 (4)策略 一个由每个阶段的决策按顺序排列组成的集合称为策略。由第k 阶段的状态k x 开始到终止状态的后部子过程的策略记为)}(,),(),({)(11n n k k k k k k x u x u x u x p ++=。在实际问题中,可供选择的策略有一定范围,称为允许策略集合。其中达到最优效果的策略称为最优策略。 (5)状态转移方程 如果第k 个阶段状态变量为k x ,作出的决策为k u ,那么第1+k 阶段的状态变量1+k x 也被完全确定。用状态转移方程表示这种演变规律,写作(1k k T x =+k x ,)k u (6)最优值函数 指标函数是系统执行某一策略所产生结果的数量表示,是用来衡量策略优劣的数量指标,它定义在全过程和所有后部子过程上。指标函数的最优值称为最优值函数。 下面的方程在动态规划逆序求解中起着本质的作用。

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