初三数学旋转相似讲义

专题：旋转相似

模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。

条件：CD∥AB（本质即为△OCD∽△OAB），将△OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。

结论：⑴、△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD。即连接对应点所得的一对新三角形相似。

⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、E、B四点共圆）

模型特例：共直角顶点的直角三角形相似

当∠AOB=∠COD=90°时，除

⑴、△OCD ∽△OAB ? △OAC ∽△OBD

⑵、延长AC 交BD 于点E ，则∠AEB=∠BOA=90°（用蝴蝶形图证明） 外，还有结论 ⑶、

OAB OCD OA

OB

OC OD AC BD ∠=∠===tan tan ⑷、因为AC ⊥BD 于点E ，那么，若连AD 、BC ，则四边形ABCD 对角线互相垂直，则 ①BD AC S ABCD ?=

2

1

四边形 ②2

2

2

2

CD AB BC AD +=+

D

B

B C

例题讲解

例1.已知△ABC 与△DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为O ，且顶角∠ACB=∠EDF. （1）如图1，若∠ACB=900

,探究BF 与CD 间的数量关系； （2）如图2，若tan ∠ACB=

4

3，求BF

CD 的值；

（3）如图3，若△ABC 中AC=BC=a ，将△DEF 绕点O 旋转，设直线CD 与直线BF 交于点H ，则BC H S ?最大值为__________（用含a 的式子表示）。 分析：

（1）连OC ，OD ，△OBF ≌ △OCD ，BF=CD

（2）构造手拉手旋转相似。可证△OBC ∽ △OFD, △ODC ∽ △OFB

BF CD =OB

OC =tan ACB ∠2

1 问题转化为已知tan ∠ACB=

43，求tan ACB ∠2

1

的问题，必须熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。

由右图提示可得tan ACB ∠2

1

=

3

1

； （3）由（2）△OBC ∽ △OFD, △ODC ∽ △OFB ，蝴蝶形图易得∠CHB=∠COB=90°；又BC=a ，定边定角，点H 在以BC 为直径的圆上，易求()2max 4

12121a a a S BCH =??=?

例2.如图１，已知在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，①求证：AG ＝CE ；②求

AG

DF

的值

分析：①如图2，证CBE ABG △△?，∴AG=CE ②如图2，连接BD ，BF ，DF ， 易证

2==BE

BF

BC BD ，?=∠=∠45FBE DBC ， C B E ∠=

D B F ∠∴ ∴CB

E DB

F △△~ ∴

2==BC

BD CE DF CE =AG ∵ ∴

2==CE

DF

AG DF 变式：如图3，正方形ABCD 和EFGH 中，O 为BC ，EF 中点(1)求证：AH=DG;(2)求

CF

AH

的值。

A

E

D

B

C 分析：(1)连接OG,OD,OH,OA, 易证：DOG AOH △△~ DG AH =∴

5,COF BOE 5,~,

,

,,~,21

)2(=∴=∴?==∴∴=∠=∠∴∠=∠∴∴==CF

AH CF BE BO

AO BE AH OAH OBE OA

OH OB OE BOE AOH HOE AOB HEO ABO AB OB EH OE ，△易证△△△又△△

例3.如图，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ABC ＝∠CED ＝∠CAE ＝30°，AC ＝3，AE ＝8，求AD 的长。 分析：

连接BE ，由基本图形易得 可证△ACD ∽△BCE ，AD ＝

3

3

BE ，∠BAE ＝90°

在Rt △ABE 作，由勾股定理求得BE ＝10 则AD ＝ 103

3

A

E

D

B

C

练习1.如图，点A 是△DBC 内一点，,12060,8,3200AC AD DAC ABC BC AB ==∠=∠==，，求BD 得长。

分析：构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10.

练习2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，F、G分别为AC、BC的中点，将△CFG绕点C顺时针旋转，直线AF与直线BG交于点I.

(1) 求证：AF⊥BG；

(2) 当旋转角小于90°时，求

CI BI

AI

2

的值；

(3) 若AC＝4，直接写出△ACI面积的最大值___________.

分析：

（3）需分析出I点轨迹，由A、C、I、B四点共圆可得∠AIC=∠ABC，又AC=4，定边定角得I轨迹为圆弧。

A

D

B

C

E

P

练习3．将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A ＝90°，AD 边与AB 边重合，AB ＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针旋转（旋转角不超过180°），BD 的延长线交直线CE 于点P ． （1）如图2，BD 与CE 的数量关系是___________，位置关系是___________； （2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求CP 的长；

（3）当点D 落在BA 的延长线上时，求点P 所经过的路径的长．

分析：

（1）BD ＝CE BD ⊥CE

（2）∵BD ⊥CE ，AD ⊥BD ，∴∠ADP ＝∠DPE ＝90° 又∠DAE ＝90°，AD ＝AE ，∴四边形ADPE 为正方形 ∵AB ＝2AD ＝4，∴PE ＝AD ＝2 ∴CE ＝BD ＝AB 2

－AD 2

＝2 3 ∴CP ＝23－2

（3）取BC 中点O ，连接OA 、OP ∵在旋转过程中，BD ⊥CE ，∴∠BPC ＝90° ∴OP ＝

1

2

BC ＝2 2 ∴点P 的运动路径是以O 为圆心、半径为22的一段圆弧 即△ABC 外接圆的一部分 则∠AOP ＝2∠ABP

易知点D 在以A 为圆心、半径为2的半圆上运动

当BP 与半圆A 相切于点D 时，∠ABP 最大，从而∠AOP 最大 ∵AD ＝

1

2

AB ，∴∠ABP ＝30°，∴∠AOP ＝60° 即当△ADE 从初始位置旋转60°时，点P 沿圆弧从A 点运动到∠AOP ＝60°

A E

D

B C A

E

B

C

图1

图2

D

A

E

B

C

D

O

P

当△ADE继续旋转，直至点D落在BA的延长线上时，∠ABP＝0°，∠AOP＝0°∴点P从∠AOP＝60°处又回到A点

∴点P所经过的路径的长为：2×＝