小题专题练(四)

小题专题练(四) 立体几何

1．如图所示的组合体可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是()

2．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线()

A．只有一条，不在平面α内

B．只有一条，且在平面α内

C．有无数条，一定在平面α内

D．有无数条，不一定在平面α内

3．设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，给出下列命题：

①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

②若m∥α，m∥β，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；

④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.

上述命题中，所有真命题的序号是()

A．①④B．②③

C．①③D．②④

4．给出下列命题：

①在空间中，垂直于同一个平面的两个平面平行；

②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；

③过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；

④a，b是两条异面直线，P为空间中一点，过点P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．

其中正确命题的个数是()

A．0 B．1

C．2 D．3

5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中不正确的是() A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件

B．当m?α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

C．当m?α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件

D．当m?α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件

6．如图，

在三棱锥P -ABC 中，不能证明AP ⊥BC 的条件是( ) A ．AP ⊥PB ，AP ⊥PC B ．AP ⊥PB ，BC ⊥PB

C ．平面BPC ⊥平面APC ，BC ⊥PC

D ．AP ⊥平面PBC 7．(2016·广州模拟)

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为( )

A.3

12π B.36π C.3

4

π D.33

π 8．如图所示，在边长为2的正方形ABCD 中，圆心为B ，半径为1的圆与AB 、BC 分别交于E 、F ，则阴影部分绕直线BC 旋转一周形成几何体的体积等于( )

A ．π

B ．6π C.4π3

D ．4π

9．若某正八面体的各个顶点都在半径为1的球面上，则此正八面体的体积为( ) A ．4 B.32

5

C.823

D.43

10．一个三棱柱的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图如图所示，若M 、N 分别为A 1B 、B 1C 1的中点，则下列选项中错误的是( )

A ．MN 与A 1C 异面

B ．MN ⊥BC

C ．MN ∥平面ACC 1A 1

D ．三棱锥N -A 1BC 的体积为1

3

a 3

11．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A.76

B.73

C.53

D.56

12．(2016·长春模拟)在正三棱锥P -ABC 中，M 是PC 的中点，且AM ⊥PB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为( )

A ．8π

B ．10π

C ．12π

D ．14π

13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

14．已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在半径为1的球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，PC 为球O 的直径，则该三棱锥的底面ABC 上的高为________．

15．一四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中最大的面积是________．

16．已知边长为3的等边三角形ABC 的三个顶点都在以O 为球心的球面上，若三棱锥O -ABC 的体积为33

4

，则球的表面积为________．

参考答案与解析

1． A

题中图是由两个不同的柱体与一个台体构成的组合体，两个柱体之间是

一个台体，因此该几何体是由两个矩形与一个直角梯形绕两个矩形的一边和直角梯形的直角腰旋转而成的，故选A.

2． B

过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P 在平面α内，

所以这条直线也应该在平面α内．

3．[导学号：96982212] A

由线面垂直的性质定理知①④正确；平行于同一条

直线的两个平面可能相交，也可能平行，故②错；平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错．选A.

4． C

对于①，借助正方体模型可知错误；对于②，若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α，

显然②正确；对于③，显然过一点必存在一条直线与已知平面垂直，如果过一点能够作两条直线与已知平面垂直，则根据直线与平面垂直的性质定理可知，这两条直线平行，但根据已知这两条直线相交，所以③正确；对于④，当异面直线a ，b 垂直时才可以作出满足要求的平面，所以④错误．

5． C

与同一条直线垂直的两个平面平行，反之，当两个平行平面中有一个与

一条直线垂直时，另一个也与这条直线垂直，选项A 正确；根据平面与平面垂直的判定定理，选项B 正确；当直线m ?α时，m ∥n ?/ n ∥α，故选项C 不正确；根据线面垂直的性质，选项D 正确．

6． B

A 中，因为AP ⊥P

B ，AP ⊥P

C ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC ，又

BC ?平面PBC ，所以AP ⊥BC ，故A 正确；C 中，因为平面BPC ⊥平面APC ，BC ⊥PC ，所以BC ⊥平面APC ，AP ?平面APC ，所以AP ⊥BC ，故C 正确；D 中，由A 知D 正确；B 中条件不能判断出AP ⊥BC ，故选B.

7．[导学号：96982213] A

由题意可知，该几何体是1

4

个圆锥，圆锥的底面半

径是1，高是3，故该几何体的体积V ＝13×14×π×12×3＝3

12

π.

8． B

由旋转体的定义可知，阴影部分绕直线BC 旋转一周形成的几何体为圆柱

中挖掉一个半球和一个圆锥．该圆柱的底面半径R ＝BA ＝2，母线长l ＝AD ＝2，故该圆柱的体积V 1＝π×22×2＝8π，半球的半径为1，其体积V 2＝12×4

3π×13＝2π3，圆锥的底面半

径为2，高为1，其体积V 3＝1

3π×22×1＝4π3，所以阴影部分绕直线BC 旋转一周形成几何

体的体积V ＝V 1－V 2－V 3＝6π.

9． D

设正八面体的棱长为a ，则VO ＝1

2AC ＝2

2

a ＝1?a ＝2，那么正八面体

的体积为V ＝2×13×(2)2×1＝4

3

.

10． D

取A

1B 1的中点D ，连接DM 、DN .由于M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1的中点，

所以可得DN ∥A 1C 1，又DN ?平面A 1ACC 1，A 1C 1?平面A 1ACC 1，所以DN ∥平面A 1ACC 1.同理可证DM ∥平面A 1ACC 1.又DM ∩DN ＝D ，所以平面DMN ∥平面A 1ACC 1，所以MN ∥平面ACC 1A 1，直线MN 与A 1C 异面，A ，C 正确．由三视图可得A 1C 1⊥平面BCC 1B 1，所以DN ⊥平面BCC 1B 1，所以DN ⊥BC ，又易知DM ⊥BC ，所以BC ⊥平面DMN ，所以BC ⊥MN ，B 正确．因为VN -A 1BC ＝VA 1-NBC ＝13????12a 2a ＝16

a 3

，所以D 错误．故选D. 11．[导学号：96982214] B

由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以

体积为1×1×1－13×12×1×1×1＋12×1×(1＋2)×1＝7

3

，故选B.

12． C

因为三棱锥P -ABC 为正三棱锥，易证PB ⊥AC ，又AM ⊥PB ，AM ∩AC ＝A ，所以PB ⊥平面P AC ，所以PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，易得P A ，PB ，PC 三线两两垂直，且AB ＝22，所以P A ＝PB ＝PC ＝2，设三棱锥P -ABC 外接球的半径为R ，则(2R )2＝3×22＝12，所以球的表面

积S ＝4πR 2＝12π.

13.

依题意，题中的几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三

棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1、2)、高为1；该三棱锥的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1、2)、高为1，因此该几何体的体积为12×2×1×1＋13×1

2×2×1×

1＝4

3

. 4

3 14.

依题意，设球心O 到平面ABC 的距离为d ，则d ＝

R 2

－???

?332＝23＝63

.由O 是PC 的中点得，P 到平面ABC 的距离等于2d ＝263，即该三棱锥的底面ABC 上的高为26

3

.

26

3 15.

该几何体的直观图为三棱锥B -ACD ，如图所示，结合图形可知面积最大的是一个边长为22的正三角形，其面积为1

2

×22×6＝2 3.

2 3

16．[导学号：96982215] 设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，圆心为O

1，由正弦

定理得2r ＝

3sin 60°

＝23，r ＝3，因为O 1O ⊥平面ABC ，所以V O -ABC ＝13×3

4×32|O 1O |

＝33

4

，所以|O 1O |＝1，所以球O 的半径R ＝r 2＋1＝3＋1＝2，所以S 球＝4πR 2＝16π.

16π