2015-2016等腰三角形解题策略及练习提升

2015-2016中考压轴等腰三角形的存在性问题解题策略

专题攻略

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

例题解析

例?如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．

图1-1

【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．

①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）．

②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．

③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）．

在Rt△OPE中，

3

cos

5

OE

DOP

OP

∠==，

5

2

OE=，所以

25

6

OP=．

此时点P的坐标为

25

(,0) 6

．

图1-2 图1-3 图1-4

上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．

代数法先设点P的坐标为(x, 0)，其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）．

DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42．

①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0．

当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP．

②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）．

③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x

轴和OD 的垂直平分线）有且只有一个交点．

代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．

图1-5

例? 如图2-1，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 以2个单位/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P 、Q 两点移动的过程中，当△PQC 为等腰三角形时，求t 的值．

图2-1

【解析】在P 、Q 两点移动的过程中，△PQC 的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是∠PCQ 的大小，夹∠PCQ 的两条边CQ ＝t ，CP ＝10－2t .因此△PQC 符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠C 就可以了，在∠C 的边上取点P 或Q 画圆．

图2-2 图2-3 图2-4

①如图2-2，当CP ＝CQ 时，t ＝10－2t ，解得10

3

t =

(秒). ②如图2-2，当QP ＝QC 时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，则CM 1

52

PC t ==-. 在Rt △QMC 中，45cos 5CM t QCM CQ t -∠=

==

，解得25

9

t =(秒). ③如图2-4，当PQ ＝PC 时，过点P 作PN ⊥BC 于N ，则CN .

在Rt △PNC 中，1

42cos 5102t CN PCN CP t

∠===

-，解得8021t =(秒). 这道题中，我们从“有限”的矩形中，选择我们需要的“无限”的∠PCQ ，使得画图简洁，计算简练． 例? 如图3-1，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，直线PQ 与直线AB 垂直，交y 轴于点Q ，如果△APQ 是等腰三角形，求点P 的坐标．

图3-1

【解析】我们先用代数法解这道题．

由y ＝2x ＋2得，A (－1，0)，B (0，2)．所以OA ＝1，OB ＝2． 如图3-2，由于∠QP A ＝∠ABO ，所以OP ∶OQ ＝OB ∶OA ＝2∶1． 设点Q 的坐标为(0，m )，那么点P 的坐标为(2m ，0)． 因此AP 2＝(2m ＋1)2，AQ 2＝m 2＋1，PQ 2＝m 2＋(2m )2＝5m 2． ①当AP ＝AQ 时，解方程(2m ＋1)2＝m 2＋1，得0m =或4

3

m =-

．所以符合条件的点P 不存在．

②当P A ＝PQ 时，解方程(2m ＋1)2＝5m 2，得2m =±．所以(4P +． ③当QA ＝QP 时，解方程m 2＋1＝5m 2，得1

2

m =±

．所以(1,0)P ．

图3-2 图3-3 图3-4

我们再用几何法验证代数法，并进行比较．如图3-3，在直线PQ 平移的过程中，根据“两直线平行，同位角相等”，可知∠QPO 的大小是不变的，因此△PQA 也符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠P ，点P 在点A 的右侧，暂时不画y 轴（如图3-4）．

①如果AP ＝AQ ，以A 为圆心、AP 为半径画圆，得到点Q （如图3-5）．因为点Q 在y 轴上，于是“奇迹”出现了，点A (－1, 0)怎么可以在y 轴的右侧呢？

图3-5 图3-6

②当P A ＝PQ 时，以P 为圆心、P A 为半径画圆，得到点Q ，再过点Q 画y 轴．此时由21m +=，

解得2m =，所以(4P +（如图3-6）．请问代数法解得的点(4P -在哪里？看看图3-7就明白了．

③当QA ＝QP 时，点Q 在AP 的垂直平分线上，由于A (－1, 0)，所以P (1, 0) （如图3-8）． 我们可以体验到，几何法可以快速找到目标，而且计算比较简便．

图3-7 图3-8

例? 如图4-1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0, m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．当△APD 是等腰三角形时，求m 的值．

图4-1

【解析】点P (0, m )在运动的过程中，△APD 的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解．

因为PC //DB ，M 是BC 的中点，所以BD ＝CP ＝2－m ．所以D (2, 4－m )． 于是我们可以罗列出△APD 的三边长（的平方）： 22(4)AD m =-，224AP m =+，2222(42)PD m =+-．

①当AP ＝AD 时，22(4)4m m -=+．解得32

m =（如图4-2）．

②当P A ＝PD 时，22242(42)m m +=+-． 解得43

m =（如图4-3）或4m =（不合题意，舍去）．

③当DA ＝DP 时，222(4)2(42)m m -=+-． 解得23

m =（如图4-4）或2m =（不合题意，舍去）．

综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23

．

图4-2 图4-3 图4-4

其实①、②两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：

①如图4-2，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ． 所以12

PC MB CM

BA

==．因此12PC =，32

m =．

②如图4-3，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上． 所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43

m =．

例? 如图5-1，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，点D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，∠ADE ＝∠B ．设BD 的长为x ，如果△ADE 为等腰三角形，求x 的值．

图5-1

【解析】在△ADE 中，∠ADE ＝∠B 大小确定，但是夹∠ADE 的两条边DA 、DE 用含有x 的式子表示太麻烦了．

本题的已知条件∠ADE ＝∠B ＝∠C 非常典型，由于∠ADC ＝∠ADE ＋∠1，∠ADC ＝ ∠B ＋∠2，∠ADE ＝∠B ，所以∠1＝∠2．于是得到典型结论△DCE ∽△ABD ．

①如图5-2，当DA ＝DE 时，△DCE ≌△ABD ．因此DC ＝AB ，8－x ＝6．解得x ＝2．

②如图5-3，如果AD ＝AE ，那么∠AED ＝∠ADE ＝∠C ．由于∠AED 是△DCE 的一个外角，所以∠AED ＞∠C ．如果∠ADE ＝∠C ，那么E 与C 重合，此时D 与B 重合，x ＝0．

③如图5-4，当EA ＝ED 时，∠DAE ＝∠ADE ＝∠B ＝∠C ，所以△DAC ∽△ABC ．因此866

8

x -=．解

得72

x =．

图5-2 图5-3 图5-4

练习提升

题型一：坐标几何问题

【例题分析】已知：如图：A （1，2），坐标轴上是否存在一点P ，使得△OAP 是等腰三角形？若存在，满足条件的点P 有几个，试写出所有满足条件的点P 坐标。

【例2】.四边形OABC 是等腰梯形，OA ∥BC 。在建立如图的平面直角坐标系中，A （4，0），B （3，2），点M 从O 点以每秒3个单位的速度向终点A 运动；同时点N 从B 点出发以每秒1个单位的速度向终点C 运动，过点N 作NP 垂直于x 轴于P 点连结

AC 交NP 于Q ，连结MQ 。 （1）写出C 点的坐标；

（2）若动点N 运动t 秒，求Q 点的坐标（用含t 的式子表示） （3）当t 为何值时，△AMQ 为等腰三角形。

练习：

1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 在坐标为(3，4)，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点

P 的坐标．（09上海24）

2.（ 2012年扬州市中考第27题）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；

（3）在直线l

上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

3.（2012年临沂市中考第26题）如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角

形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

题型二：几何图形中的动点问题 【例1】如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠= ，．BOC △≌ADC △，连接OD ． （1）求证：COD △是等边三角形；

（2）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？

【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，5

4sin =B ，AC =4；D 是BC 的延长线上的一个动点，∠EDA =∠B ，AE ∥BC ．

（1）找出图中的相似三角形，并加以证明；

（2）设CD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长．

练习：

1.如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 为边BC 的中点，DE ⊥BC 交边AC 于点E ，点P 为射线AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠PDQ ＝90°．

E A

B

C

D

O

110

α

（1）求ED 、EC 的长；

（2）若BP ＝2，求CQ 的长；

（3）记线段PQ 与线段DE 的交点为F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长．

图1 备用图

2.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，点D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，∠ADE ＝∠B ．设BD 的长为x ，CE 的长为y ． （1）当D 为BC 的中点时，求CE 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）如果△ADE 为等腰三角形，求x 的值．

备用图 备用图

3.如图，在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，点E 是边CD 上任意一点（点E 与点C 、D 不重合），过点A 作AF ⊥AE ，交边CB 的延长线于点F ，联结EF ，交边AB 于点G ．设DE = x ，BF = y ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果AD = BF ，求证：△AEF ∽△DEA ；

（3）当点E 在边CD 上移动时，△AEG 能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE 的长；如果不能，请说明理由．

A

B

C

D

E F

G