第十一章 机械波作业答案

一.选择题

[ C]1. 一沿x轴负方向传播的平面简谐波在t=

2 s时的波形曲线如图所示，则原点O的振动方程为

(A) )

2

1

(

cos

50

.0π

π+

=t

y，(SI)．

(B) )

2

1

2

1

(

cos

50

.0π

π-

=t

y，(SI)．

(C) )

2

1

2

1

(

cos

50

.0π

π+

=t

y，(SI)．

(D) )

2

1

4

1

(

cos

50

.0π

π+

=t

y，(SI)．

提示：设O点的振动方程为

O0

()cos()

y t A t

ω?

=+。由图知，当t=2s时，O点的振动状

[ B ]2. 图中画出一向右传播的简谐波在t时刻的波形

图，BC为波密介质的反射面，波由P点反射，则反射波在t时

刻的波形图为

提示：

由题中所给波形图可知，入射波在P点的振

动方向向下；而BC为波密介质反射面，故

在P点反射波存在“半波损失”，即反射波

与入射波反相，所以，反射波在P点的振动

方向向上，又P点为波节，因而得答案B。

[

A ]3. 一平面简谐波沿x 轴正方向传播，t = 0 时刻的波形图如图所示，则P 处质

点的振动在t = 0时刻的旋转矢量图是

[ B ]4. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是

(A) 动能为零，势能最大． (B) 动能为零，势能为零． (C) 动能最大，势能最大． (D) 动能最大，势能为零．

提示：动能=势能，在负的最大位移处时，速度=0，所以动能为零，势能也为零。

[ B ]5. 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动 (A) 振幅相同，相位相同． (B) 振幅不同，相位相同．

(C) 振幅相同，相位不同． (D) 振幅不同，相位不同．

提示：根据驻波的特点判断

。

[

C ]6. 在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是I 1 / I 2 = 4，则两列波的

振幅之比是

(A) A 1 / A 2 = 16． (B) A 1 / A 2 = 4． (C) A 1 / A 2 = 2．

(D) A 1 / A 2 = 1 /4．

二. 填空题

1. 一平面简谐机械波在媒质中传播时，若一媒质质元在t 时刻的总机械能是10 J ，则在

(t +2. 一列强度为I 的平面简谐波通过一面积为S 的平面，波速u

与该平面的法线0n

的夹角为θ，则通过该平面的能流是cos IS θ。

ω

S

A

O ′

ω

S

A

ω

O ′

ωS

A

O ′

(A )

(B )(C )(D )

S

提示：θIScos IS ==⊥流过该平面的能流

3. 如图所示，波源S 1和S 2发出的波在P 点相遇，P 点距波源S 1

和S 2的距离分别为 3λ 和10 λ / 3 ，λ 为两列波在介质中的波长，若P 点的合振幅总是极大值，则两波在P 点的振动频率 相同 ，波源S 1 的相位比S 2 的相位领先

43

π．

4.设沿弦线传播的一入射波的表达式为

]2c o s [1λ

ω

x t A y π-=，

波在x = L 处（B 点）发生反射，反射点为自由端（如图）．设波在传播和反射过程中振幅不变，则反射波的表达式是y 2 =

24cos x L A t ππωλλ?

?=+- ??

?．

5. 一静止的报警器，其频率为1000 Hz ，有一汽车以79.2 km 的时速驶向和背离报警器时，坐在汽车里的人听到报警声的频率分别是1065Hz 和935Hz （设空气中声速为340

P

S S 2

6. 一球面波在各向同性均匀介质中传播，已知波源的功率为100 W ，若介质不吸收能量，则距波源10 m 处的波的平均能流密度为

7.96×10

-2

W/m 2．

7. 一弦上的驻波表达式为 t x y 1500cos 15cos 100.22-?= (SI)．形成该驻波的两个反向传播的行波的波速为100 m/s ．

8. 在真空中沿着z 轴负方向传播的平面电磁波，O 点处电场强度为

)3

12cos(300π+π=t E x ν(SI)，则O 点处磁场强度为

0.796cos(2ππ/3) (A /m )y

H

t ν=-+．在图上表示出电场强度，磁场

强度和传播速度之间的相互关系．

提示：根据电磁波的性质，E H S ?=

，三者的关系如图所示。

三. 计算题

1. 图示一平面余弦波在t = 0 时刻与t = 2 s 时刻的波形

图．已知波速为u ，求

(1) 坐标原点处介质质点的振动方程；

(2) 该波的波动表达式．

解：(1) 比较t = 0 时刻波形图与t = 2 s 时刻波形图，可知

此波向左传播（向x 轴负向传播）。

z

y

x

c

x

E y

H

O

设坐标原点O 处质点的振动方程为()00,cos()y t A t ω?=+.

在t = 0时刻，O 处质点的振动状态为：0(0,0)cos 0y A ?==， 00v sin 0A ω?=->， 故 02

?=-

π

又t = 2 s ，O

处质点位移为/

cos(2)2

A A ω=-π，且振动速度>0,

所以 224

ω-=-

ππ，

得 8ω=

π

∴振动方程为 ()0,c o s ()8

2

y t A t =-

ππ (SI)

(2) 由图中可见，波速为u = 20 /2 m/s = 10 m/s ，向x 轴负向传播；

又有()0,cos()8

2

y t A t =-ππ

∴波动表达式为

(),cos 8

102x y x t A t ????=+- ??

?????

π

π （SI ）

2. 一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为λ ，P 处质点的振动规律如图所示．

(1) 求P 处质点的振动方程；

(2) 求此波的波动表达式；

(3) 若图中 λ2

1=d ，求坐标原点O 处质点的振动方程．

解：(1) 设P 处质点振动方程为0()cos()P y t A t ω?=+，

由振动曲线可知，在t = 0时刻，0cos A A ?-=，∴0?π=； t=1s 时，0cos()A ωπ=+，且振动速度>0，∴32

πωπ+=

，2

π

ω=

；

∴cos(

)2

P y A t π=+π (SI)

(2) 设波速为u ，则24

u T λ

ωλ

λ

π

=

=

=

，且波沿Ox 轴的负方向传播，

∴波动表达式为

2(,)cos cos ()2

2x d y x t A t A t x d u λ?π

-?ππ????=++π=+-+π ??

?????????

(SI)

(3) λ2

1=d 时，将x=0代入波动表达式，即得O 处质点的振动方程

cos 2

O y A t π=

3. 如图所示，两相干波源在x 轴上的位置为S 1和S 2，其间距离为d = 30 m ，S 1位于坐标原点O ．设波只沿x 轴正负方向传播，单独传播时强度保持不变．x 1 = 9 m 和x 2 = 12 m 处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点．求两波的波长和两波源间最小相位差．

解：设S 1和S 2的振动初相位分别为10?和20?，在x 1点两波因干涉而静止，所以在x 1点两

波引起的振动相位差为π的奇数倍，即

()()12010112π

d x x ???λ?=--

--???

?

π+=)12(K ①

同理，在x 2点两波引起的振动相位差 ()()22010222π

d x x ???λ

?=--

--????π+=)32(K ②

②－①得：

214()2x x λ

-=π

π， ∴6)(212=-=x x λm ；

由①得： 1

20102(21)2(25)d x K K ??λ

--=++=+ππ

π；

当K = -2、-3时相位差最小： 2010??-=±π

4. 一平面简谐波在介质中以速度u = 20 m/s 自左向右传播．已知在传播路径上的某点A 的振动方程为)4cos(3.0π-π=t y (SI)。另一点D 在A 点右方9米处．

(1) 若取x 轴方向向左，并以A 为坐标原点，试写出波的表达式，并求出D 点的振动方程．

(2) 若取x 轴方向向右，以A 点左方5米处的O 点为x 轴原点，再写出波的表达式及D 点的振动方程．

解：该波波速u = 20 m/s ，

(1) 若取x 轴方向向左，并以A 为坐标原点，

则由已知条件知：

)/(20s m i u

-=

)4cos(3.0),0(ππ-=t t y （m ）

所以，波的表达式为 ??

?

???

-+=-+

=πππ)20(4cos 3.0))(4cos(3.0),(x t u x

t t x y π（m ） D 点的坐标为x D = -9 m 代入上式有

)544cos(3.0)5144cos(3.0)209(4cos 3.0),(ππππππ-=-=??

?

???--+=t t t t x y D （m ）

(2) 若取x 轴方向向右，以A 点左方5米处的O 点为x 轴原点，

则由已知条件知：

)/(20s m i u

=

)4cos(3.0),5(ππ-=t t y （m ）

x

y

x

y

u

u

A

A

O

D

D

所以，波的表达式为)54cos(3.0)5(4cos 3.0),(x t u

x t t x y πππ-=??

?

??

?---

=π （m ）

D 点的坐标为x D = 14 m 代入上式, 有

)5

44c o s (3.0)5/144cos(3.0ππ-

=-=t t y D ππ (m)

此式与(1) 结果相同.

5． 由振动频率为 400 Hz 的音叉在两端固定拉紧的弦线上建立驻波．这个驻波共有三个波腹，其振幅为0.30 cm ．波在弦上的速度为 320 m/s ．

(1) 求此弦线的长度． (2) 若以弦线中点为坐标原点，试写出弦线上驻波的表达式．

解：(1) 2

3λ

?

=L

λν = u

∴ 20.1400

3202

323=?

=

=

ν

u L m

（2）设驻波的表达式为)cos()cos(103),('3?ω?++?=-t kx t x y πππν

λπ

2

5

320400

222=

?=

=

=

u k （m -1

）

πππνω80040022=?== （rad/s ）

弦的中点x=0是波腹，

故 π??

?or kx x 0

,1cos )

cos('

'

'

=∴==+=

所以)800cos(2

5cos

100.3),(3

?π+?±=-t x t x y π (m)

式中的? 由初始条件决定。

[选做题]

1．如图，一角频率为ω ，振幅为A 的平面简谐波沿x 轴正方

向传播，设在t = 0时该波在原点O 处引起的振动使媒质元由平衡位

置向y 轴的负方向运动．M 是垂直于x 轴的波密媒质反射面．已知OO ＇= 7 λ /4，PO ＇= λ /4（λ为该波波长）；设反射波不衰减，求：

(1) 入射波与反射波的表达式;； (2) P 点的振动方程．

解：(1) 设O 处振动方程为 00cos()y A t ω?=+

当t = 0时，y 0 = 0，v 0 < 0，∴ 012

?π=

∴ )2

1c o s (0π+=t A y ω

入射波朝x 轴正向传播，

故入射波表达式为 )2

2cos(2)(cos ),π

λωπω+-=???

???

+

-

=x t A u x t A t x y π（入 在O ′处入射波引起的振动方程为

=+

?-

===

)2

4

72c o s ()

,(),4

7(

4

7π

λλ

ωλλπ

t A t x y t y x 入入)c o s (π-t A ω

由于M 是波密媒质反射面，所以O ′处反射波振动有一个相位的突变π．

∴ )c o s (t 4

7π+π-=t A y ωλ

），（反t A ωc o s

= 所以反射波表达式为

)]

47(cos[,u

x t A t x y λω-

+

=）（反

)22cos(]2

72cos[π

λ

π

ωπλ

ω+

+

=-

π

+

=x t A x t A

(2) 合成波为

),(),(),(t x y t x y t x y 反入+=]2

2c o s [π+

π

-=x t A λ

ω

]2

2c o s [π+

π

+

+x t A λ

ω

)2

c o s (2c o s

2π+

π

=t x A ωλ

将P 点坐标 λλλ2

34

14

7=-

=x 代入上述方程，得P 点的振动方程为

)2cos(2π+

-=t A y P ω