向量题型全有解析
平面向量及其应用检测
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．若a 与b c - 都是非零向量，则“a b a c ?=? ”是“()a b c ⊥-
”的
A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2．（06福建）已知︱OA ︱=1，︱OB ︱=3,OB OA ?=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设=m +n (m 、n ∈R )，则
n
m
等于 A.
31 B.3 C.3
3 D.3 3．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ） A.→--AB ＝→
--DC ； B.→--AD ＋→--AB ＝→
--AC ； C.→
--AB －→
--AD ＝→--BD ； D.→--AD ＋→--CB ＝→
0．
4．已知||2||0a b =≠ ,且关于x 的方程2
||0x a x a b ++?= 有实根,则a 与b 的夹角的取值
范围是 ( )
A.[0,
6
π] B.[,]3ππ C.2[,
]33ππ D.[,]6π
π 5．△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =--
,
若//p q
,则角C 的大小为
A.
6π B.3π C.2
π D.23π
6．设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=
,若OP AB PA PB ?≥?
,则实数λ的取值范围是
A.
112λ≤≤
B .11λ-≤≤
C .112λ≤≤
D.11λ≤≤+7．设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o
后与i b 同向，其中1,2,3i =，则
A ．1230b b b -++=
B ．1230b b b -+=
C ．1230b b b +-=
D ．1230b b b ++=
8．已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ,则x ＝
A
B
D
A.9
B.6
C.5
D.3 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =
3
π
,a =3,b =1，则c = A.1 B.2 C.3—1 D.3
10． 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →
=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11.若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则
11
a b
+的值等于__________.
12.在?ABC 中，已知433=
a ，
b ＝4，A ＝30°，则sinB . 13.在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝
14.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD
的长为 ．
15.设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a = ，，2(11)b a -=-
，，则cos θ= ．
16.设向量a,b,c 满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a ⊥b,若｜a ｜=1,则｜a ｜22||b ++｜c ｜2
的值是
三、解答题（共4小题，10+12+12+12=46，共46分）
17.设函数()()f x a b c =+ ，其中向量(sin ,cos )a x x =- ，(sin ,3cos )b x x =-
，
(cos ,sin )c x x =-
，x R ∈。
（Ⅰ）、求函数()f x 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）、将函数()f x 的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，
求长度最小的d 。
18.已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π
2
．
（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；
（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．
19已知,,A B C 是三角形ABC ?三内角，
向量((),cos ,sin m n A A =-=
，且1m n ?=
（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若
221sin 23cos sin B
B B
+=--，求tanC.
20.如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（
23
3
π
πα≤≤
） （1） 试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数
（2） 求y ＝2212
11
S S ＋的最大值与最小值
答案与点拨：
1 C 解：a b a c ?=? ?a b a c 0?? －＝?a b c 0? （－）＝?a b c ⊥
（－），故选C.
2 B
解：1,.0,OA OB OAOB
===
点C 在AB 上，且AOC ∠30o =. 设A 点坐标为(1，0)，B 点的坐标为(0，
3)，C 点的坐标为(x ，y)=(
34
，4
)，(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则∴ m=43，n=41，m
n
=3，选B.
3 C 解：由向量定义易得， （C ）选项错误；AB AD DB -=
.
4 B 解：,0||2||≠= 且关于x 的方程0||2
=?++x x 有实根，
则2||4a a b -?
≥0，设向量,a b 的夹角为θ，cosθ=||||a b a b ??
≤221||1412
||2
a a = ，∴θ∈],3[ππ，选B. 5 B 解：222//()()()p q a c c a
b b a b a
c ab ?+-=-?+-=
，利用余弦定理可得
2c o s 1C =，即1cos 23
C C π
=
?=，故选择答案B.
C
点评：本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力.
6 B 解：(1)(1,),
(1)(1,1),(,)
AP AB OP OA OB PB AB AP AB AP AB λλλλλλλλλλλ=?=-+=-=-=-=--==-
2(1,)(1,1)(,)(1,1)2410OP AB PA PB λλλλλλλλ?≥??--≥---?-+≤
解得:
11λ≤≤因点P 是线段AB 上的一个动点,所以01λ≤≤,即满足条件的实数λ
的取值范围是112
λ-
≤≤,故选择答案B. 点评：本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.
7 D 解：向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。向量1a 、2a 、3a 顺时针旋转30?后与1b 、
2b 、3b 同向，且2i i b a =，∴ 1230b b b ++=，选D.
8 B 解：a //b
?4×3－2x ＝0，解得x ＝6，选B. 9 B 解：由正弦定理得sinB ＝1
2
，又a >b ，所以A >B ，故B ＝30?，所以C ＝90?，故c ＝2，选B.
10 D 解：非零向量与满足(||||AB AC AB AC + )·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，又cos A =||||
AB AC AB AC ?
=1
2 ，∠A =3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ． 11 1
2
解：)2,2(--=a ，C 2b 2A ＝（－，－） ，依题意，有（a －2）?（b －2）－4
＝0，即ab －2a －2b ＝0所以b a 11+＝1
2
12
2 解：由正弦定理易得结论sinB
＝2
. 13 46 点拨：本题主要考查解三角形的基本知识 解：由正弦定理得，
sin 45sin 60AC BC
=
解得AC =反思：解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理. 14
3 解: 由ABC ?的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得A+C=2B 而A+B+C=π可得
3
B π
∠=
AD 为边BC 上的中线可知BD=2,
由余弦定理定理可得AD = 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等.
15 10 解：设向量a 与b 的夹角为,θ且(3,3),2(1,1),a b a =-=- ∴ (1,2)b = ，则
cos θ
=||||a b a b ?==
?
10. 16 4 解：()
()
()(
)
?
???===??=?????????=+-=?=?-?=-?⊥⊥-1000
0,b a c
b c a b a b a b a c b c a c b a b a c b a
()22
=--=?b a
，所以4=++
点拔：向量的模转化为向量的平方，这是一个重要的向量解决思想.
17 点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图
像的基本知识，考查推理和运算能力.
解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx) ＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+4
3π
). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是
2
2π
＝π. （Ⅱ）由sin(2x+
43π)＝0得2x+4
3π
＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，
于是d ＝（
832ππ-k ，－2），,4)8
32(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―
8
π
，―2）即为所求. 18 解(1). ,a b ⊥ ?0a b =
?sin cos 0θθ+=4
πθ?=-
(2).(sin 1,cos 1)a b θθ+=++=
==
=当sin()4π
θ+
=1时a b + 有最大值,此时4πθ=，
1=. 本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值3.三角函数
的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模难度中等,计算量不大
19解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力.
（Ⅰ）∵1m n ?=
∴(()cos ,sin 1A A -?=
cos 1A A -=
12sin cos 12A A ???= ? ???
, 1sin 62A π??-= ??? ∵50,666A A π
π
ππ<<-
<-
<
∴66A ππ-= ∴3
A π= （Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin
B B B B
+=--，整理得
22
sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=∴tan 2B =或tan 1B =- 而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =
∴
()tan tan C A B π=-+????()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=-
-=
= . 20 解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心， 所以 AG
＝
2323?＝
，∠MAG ＝6π， 由正弦定理
GM GA
sin
sin 6
6
π
π
πα＝
（－－）
得GM 6sin 6
α（＋）
则S 1＝
1
2
GM ?GA ?sin α＝sin 12sin 6
απ
α（＋）
，同理可求得S 2＝
sin 12sin 6
α
π
α（－）
（3） y ＝
22
12
11S S ＋＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋cot 2
α）， 因为
23
3π
πα≤≤
，所以当α＝3π或α＝23
π时，y 取得最大值y max ＝240
π
当α＝
时，y取得最小值y min＝216.
2
平面向量经典例题讲解
平面向量经典例题讲解 讲课时间:___________姓名：___________课时：___________讲课教师：___________ 一、选择题（题型注释） 1． 空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r , OC c =u u u r r ,点M 在OA 上，且MA OM 2=，N 为BC 的 中点，则MN u u u u r =（ ） A C 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 N 为 BC 的中点，则 ， ，选 B 考点：向量加法、减法、数乘的几何意义； 2．已知平面向量a ，b 满足||1= a ，||2= b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ ） （A （B （C （D 【答案】D 【解析】 试题分析：2()()00a b a a b a a a b +⊥∴+?=∴+?=r r r r r r r r r Q ，||1=a ，||2=b ，设夹角为θ，则 考点：本题考查向量数量积的运算 点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos θ的值，求出角 3．若OA u u r 、 OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为60u u r 【答案】D 【解析】 试题分析 ：ΘOA u u r 、OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为 60° 6= r 考点:向量的数量积. 4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F , 若AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则AF =u u u r ( ) A.1142a b +r r B.1233a b +r r C.1124a b +r r D.2133 a b +r r 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意可知，AEB ?与FED ?相似，且相似比为3:1，所以由向量加减法 的平行四边形法则可知，,AB AD a AD AB b +=-=u u u r u u u r r u u u r u u u r r ，解得，故D 正确。 考点：平面向量的加减法 5．在边长为1的等边ABC ?中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =u u u r u u u r ，2 AE EC =u u u r u u u r 则AD BE ?=u u u r u u u r （ ） A ．【答案】A 【解析】 试题分析：由已知,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =u u u r u u u r ， 2AE EC =u u u r u u u r 则D 是BC 的中轴点，E 为AC 的三等分点，以D 为坐标原点，DA 所在直线为y 轴，BC 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系， ，设),(y x E ，由EC AE =2可得：
平面向量经典习题_提高篇
平面向量： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－ 2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线， ∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与 c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116
C.6 11D. 11 6 [答案] C [解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a＋b与a－λb垂直， ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ ＝6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、 b间的夹角为( ) A．150° B．120° C．60° D．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形， ∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.
(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3 2，a 与b 的夹角为60°， 则|b |＝( ) A.12 B.1 3 C.1 4 D.15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2 －2a ·b ＝34， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°， 设|b |＝x ，则1＋x 2 －x ＝34，∵x >0，∴x ＝1 2 . 4. 若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B [解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形． 5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示 c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
高考数学专题复习第二轮第18讲 平面向量与解析几何
第１８讲 平面向量与解析几何 在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。 一、知识整合 平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。 二、例题解析 例1、（2000年全国高考题）椭圆 14 9 2 2 =+ y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。 解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ） 21PF F ∠ 为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?=- -?- （ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：5 5cos 5 5< <- θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5 5 3,553- ） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为 向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2 =4上的一动点，求22 PA PB +的最 大值和最小值。 分析：因为O 为AB 的中点，所以2,P A P B P O += 故可利用向量把问题转化为求向量O P 的最值。 解：设已知圆的圆心为C ，由已知可得：{1,0},{1,0}O A O B =-=
平面向量典型例题67629
平面向量经典例题： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ， 3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝( 3，1)＋(0,2)＝( 3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝ 3k ＋3 3＝0，∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－ 611 B ．－116 C.611 D.11 6 [答案] C [解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直， ∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611 . 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD 中， ∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，
平面向量典型题型大全
平面向量 题型1.基本概念判断正误： 例2 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r ____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r _____ （2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r ＝_____ （3）若O 是ABC V 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 的形状为_ 9．与向量a =（12，5）平行的单位向量为 （ ） A ．125,1313??- ??? B ．12 5,1313??-- ??? C ．125125,,13131313????-- ? ?????或 D ．125125,,13131313???? -- ? ????? 或 10．如图，D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则下列等式中成立的有_________： ①+-=u u u r u u u r u u u r FD DA AF 0 ②+-=u u u r u u u r u u u r FD DE EF 0 ③+-=u u u r u u u r u u u r DE DA BE 0 ④+-=u u u r u u u r u u u r AD BE AF 0 11.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A.0PA PB +=u u u r u u u r r B.0PC PA +=u u u r u u u r r C.0PB PC +=u u u r u u u r r D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 12.已知点(3,1)A ，(0,0)B ，(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=u u u r u u u r ，其中λ等于 （ ） A.2 B. 1 2 C.-3 D.－13 13.设向量a=(1, －3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形， 则向量d 为 ( ) A.(2,6) B.(－2,6) C.(2,－6) D.(－2,－6) 14.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ，则 x = ，y = . 图2 15、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 题型3平面向量基本定理 F E C B A
高中数学典型例题解析平面向量与空间向量
高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一
(完整版)平面向量线性运算经典习题.doc
平面向量线性运算经典习题 1. uuuur uuur uuur uuur uuur 设点 M是线段 BC的中点 , 点 A 在直线 BC外 , BC2 =4,| AB AC| |AB AC |,则 | uuuur ) A.8 B.4C.2 D.1 AM |=( uuur uuur uuur uuur uuur 2. 已知△ABC中, 点 D在 BC边上, 且CD 2DB ,CD r AB sAC , 则r+s 的值是( ) A. 2 B. 4 C.-3 D.0 3 3 3.平面向量 a,b 共线的充要条件是 ( ) A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为0 C. 存在λ∈ R,使 b=λa D. 存在不全为零的实数λ 1,λ 2,使λ1a+λ 2b=0 4. 已知 O?A?B 是平面上的三个点 uuur uuur uuur , 直线 AB上有一点 C, 满足2 AC CB 0, 则OC 等于( ) uuur uuur uuur uuur A.2OA OB B. OA 2OB 2 uuur 1 uuur D. 1 uuur 2 uuur C. OA OB OA OB 3 3 3 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 5. 设 D?E?F 分别是△ ABC 的三边 BC、CA、AB上的点 , DC 2BD , CE 2EA, AF 2FB, 则uuur uuur uuur uuur AD BE CF 与 BC() A. 反向平行 B. 同向平行 C. 不平行 D.无法判断 uuur uuur 6. 已知 a,b 是不共线的向量, AB=λa+b,AC =a+μb,( λ, μ∈ R), 那么A、B、C 三点共线的充要条件为 ( ) A. λ+μ=2 B. λ - μ=1 C.λμ=-1 D.λμ =1 uuur uuur uuur uuur a // b ；② 7.设( AB CD ) (BC DA ) a，而b是一非零向量，则下列各结论：① a b a ；③ a b b ；④ a b a b ，其中正确的是（） A ．①②B．③④C．②④ D ．①③ 8.若a b c 化简3(a2b) 2(3b c) 2(a b)（） A ．a B．b C．c D．以上都不对 9.在△ ABC 中， D、 E、 F 分别 BC 、 CA 、 AB 的中点，点 M 是△ ABC 的重心，则 MA MB MC等于（） A．O B．4MD C．4MF D．4ME
平面向量经典习题-提高篇61861
平面向量： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－1 3 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线， ∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116 C.611 D.116 [答案] C [解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)，
∵a＋b与a－λb垂直， ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为( ) A．150° B．120° C．60° D．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形， ∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B. (理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝ 3 2 ，a与b的夹角为60°，则|b|＝( ) A.1 2 B. 1 3 C.1 4 D. 1 5 [答案] A [解析] ∵|a－b|＝ 3 2 ，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝ 3 4 ，
平面向量基本定理及经典例题
平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为
平面向量易错题解析
平面向量易错题解析 1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？ 2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用2 2 ||→→ =a a ；22||y x a +=） 3.你知道解决向量问题有哪两种途径？ （①向量运算；②向量的坐标运算） 4.你弄清“02121=+?⊥→ → y y x x b a ”与“0//1221=-?→ → y x y x b a ”了吗？ [问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？ （1） 在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→ →b a ，不能推 出→ →=0b . （2） 已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→ →→→→→=??=?c a c b b a . （3） 在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中)()(→ → → → → → ??≠??c b a c b a ，这是因为 左边是与→ c 共线的向量，而右边是与→ a 共线的向量. 5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1.向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直 线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，j 为基底，则平面内的任一向量可表示为 (),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在 原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
平面向量经典练习题(含答案)
高中平面向量经典练习题 【编著】黄勇权 一、填空题 1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。 2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。 3、已知点A（1，2），B（2，1），若→ AP=（3，4），则 → BP= 。 4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。 5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。 6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。 7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。 8、在△ABC中，D为AB边上一点，→ AD = 1 2 → DB， → CD = 2 3 → CA + m → CB，则 m= 。 9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。 10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD 上，且→ AP= 2 → PD，则点C的坐标是（）。 二、选择题 1、设向量→ OA=（6，2），→ OB=（-2，4），向量→ OC垂直于向量→ OB，向量 → BC平行于 →OA，若→ OD + → OA= → OC，则 → OD坐标=（）。 A、（11，6） B、（22，12） C、（28，14） D、（14，7） 2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（） A、（4 , 2） B、（3，1） C、（2，1） D、（1，0） 3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。 A、90° B、60° C、30° D、0° 4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）
高中数学典型例题解析汇报平面向量与空间向量
实用文档 文案大全高中数学典型例题第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、、疑难知识导析 1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量” 向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量； 2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点； 3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆； 4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的； 5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。 二知识导学 1.模（长度）：向量AB的大小，记作|AB|。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a?长度相等，方向相反的向量叫做a?的相反向量。记作-a?。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点，作AB=a?，BC=b，则向量AC 叫做a与b?的和。记作a?+b?。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点O，作OA=a?，OB=b?，则向量BA 叫做a?与b?的差。记作a?-b?。 7.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a?的积是一个向量，记作λa?，并规定： ①λa?的长度|λa?|=|λ|·|a?|； ②当λ＞0时，λa?的方向与a?的方向相同； 当λ＜0时，λa?的方向与a?的方向相反； 当λ＝0时，λa?=0? （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa?)=(λμ) a?
平面向量典型例题
平面向量典型例题
平面向量经典例题： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0，∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116 C.611 D.116 [答案] C [解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直， ∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11. 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD 中， ∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B. (理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3 2 ，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12 B.13 C.14 D.15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝ 32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34 ，∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°， 设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝1 2 .
平面向量典型例题
平面向量经典例题: 1.已知向量a＝(1,2),b＝(2,0),若向量λa＋b与向量c＝(1,－2)共线,则实数λ等于( ) A.－2 B.－1 3 C.－1 D.－2 3 [答案] C [解析] λa＋b＝(λ,2λ)＋(2,0)＝(2＋λ,2λ),∵λa＋b与c共线,∴－2(2＋λ)－2λ＝0,∴λ＝－1、 2.(文)已知向量a＝(3,1),b＝(0,1),c＝(k,3),若a＋2b与c垂直,则k＝( ) A.－1 B.－ 3 C.－3 D.1 [答案] C [解析] a＋2b＝(3,1)＋(0,2)＝(3,3), ∵a＋2b与c垂直,∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0,∴k＝－3、 (理)已知a＝(1,2),b＝(3,－1),且a＋b与a－λb互相垂直,则实数λ的值为( ) A.－6 11 B.－ 11 6 C、6 11 D、 11 6 [答案] C [解析] a＋b＝(4,1),a－λb＝(1－3λ,2＋λ), ∵a＋b与a－λb垂直, ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0,∴λ＝6 11、 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|,a＋b＝c,则向量a、b间的夹角为( ) A.150° B.120° C.60° D.30° [答案] B [解析] 如图,在?ABCD中, ∵|a|＝|b|＝|c|,c＝a＋b,∴△ABD为正三角形,∴∠BAD＝60°,∴
〈a ,b 〉＝120°,故选B 、 (理)向量a ,b 满足|a |＝1,|a －b |＝32 ,a 与b 的夹角为60°,则|b |＝( ) A 、1 2 B 、1 3 C 、14 D 、15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝ 32 ,∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝ 34 ,∵|a |＝1,〈a ,b 〉＝60°, 设|b |＝x ,则1＋x 2－x ＝34,∵x >0,∴x ＝1 2、 4. 若AB →·BC →＋AB →2 ＝0,则△ABC 必定就是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 [答案] B [解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0,∴AB →⊥AC →, ∴AB ⊥AC ,∴△ABC 为直角三角形. 5. 若向量a ＝(1,1),b ＝(1,－1),c ＝(－2,4),则用a ,b 表示c 为( ) A.－a ＋3b B.a －3b C.3a －b D.－3a ＋b [答案] B [解析] 设c ＝λa ＋μb ,则(－2,4)＝(λ＋μ,λ－μ), ∴?? ? λ＋μ＝－2λ－μ＝4 ,∴?? ? λ＝1μ＝－3 ,∴c ＝a －3b ,故选B 、 在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于O ,E 就是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC → ＝ a ,BD →＝ b ,则AF → 等于( ) A 、1 4a ＋1 2b B 、2 3a ＋1 3b C 、12a ＋14 b D 、13a ＋23 b
平面向量典型例题
平面向量经典例题： 1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于() A．－2B．－1 3 C．－1 D．－2 3 [答案] C [解析]λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b与c共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2.(文)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝() A．－1 B．－ 3 C．－3 D．1 [答案] C [解析]a＋2b＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0，∴k＝－3. (理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为() A．－6 11B．－ 11 6 C.6 11 D. 11 6 [答案] C [解析]a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a＋b与a－λb垂直， ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11. 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为() A．150°B．120° C．60°D．30° [答案] B [解析]如图，在?ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，∴ 〈a，b〉＝120°，故选B. (理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝ 3 2，a与b的夹角为60°，则|b|＝() A.1 2 B. 1 3 C.1 4 D. 1 5 [答案] A
高中数学必修平面向量测试试卷典型例题含详细答案
高中数学必修平面向量测试试卷典型例题含详 细答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
高中数学平面向量组卷一．选择题（共18小题） 1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度 |×|=||||sinθ，若 =（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（） A．4B．C．6D．2 2．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣） =（） A．﹣1 B．0C．1D．2 3．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（） A．2B．C．0D．﹣ 4．向量，，且∥，则=（）A．B．C．D． 5．如图，在△ABC中，BD=2DC．若，，则=（） A．B．C．D． 6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（） A．B．C．D． 7．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若 ，则的夹角为（） A．B．C．D． 8．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形9．已知点G是△ABC的重心，若A=，=3，则||的最小值为（） A．B．C．D．2 10．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量=（） A．﹣B．C．﹣D．
11．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的 直线与该图象交于D，E两点，则（） 的值为（） A．B．C．1D．2 12．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）（+﹣2）=0，则 △ABC的形状一定为（） A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形13．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比 等于（） A．B．C．D． 14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（） A．垂心B．外心C．重心D．内心15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A．B．C．D． 16．已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为（） A．B．C．D． 17．已知点P为△ABC内一点，且++3=，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于 （） A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：3 18．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= （） A．2B．4C．5D．10 二．解答题（共6小题） 19．如图示，在△ABC中，若A，B两点坐标分别为（2，0），（﹣3，4）点C在AB上，且OC平分∠BOA． （1）求∠AOB的余弦值； （2）求点C的坐标．
(完整版)平面向量典型例题.docx
平面向量经典例题： 1. 已知向量 a ＝(1,2)， b ＝ (2,0)，若向量 λa ＋b 与向量 c ＝ (1，－ 2)共线，则实数 λ等于 () 1 A ．－ 2 B ．－ 3 2 C ．－ 1 D ．－ 3 [ 答案 ] C [ 解析 ] λa ＋b ＝( λ，2λ)＋ (2,0)＝(2＋ λ，2λ)，∵ λa ＋ b 与 c 共线，∴－ 2(2＋ λ)－ 2λ＝ 0，∴ λ＝－ 1. 2. (文)已知向量 a ＝ ( 3，1) ，b ＝ (0,1)， c ＝(k ， 3) ，若 a ＋2b 与 c 垂直，则 k ＝( ) A ．－ 1 B ．－ 3 C ．－ 3 D ．1 [ 答案 ] C [ 解析 ] a ＋2b ＝( 3，1)＋ (0,2)＝ ( 3， 3)， ∵a ＋2b 与 c 垂直，∴ (a ＋2b) ·c ＝ 3k ＋ 3 3＝ 0，∴ k ＝－ 3. (理 )已知 a ＝ (1,2)，b ＝(3 ，－ 1)，且 a ＋b 与 a － λb 互相垂直，则实数 λ的值为 ( ) 6 11 A ．－ 11 B ．－ 6 6 11 C.11 D. 6 [ 答案 ] C [ 解析 ] a ＋b ＝ (4,1)， a －λb ＝(1 －3λ，2＋ λ)， ∵a ＋b 与 a － λb 垂直， ∴ ( a ＋ b) ·(a －λb)＝ 4(1－ 3λ)＋ 1×(2＋ λ)＝ 6－11λ＝ 0，∴ λ＝ 6 . 11 3.设非零向量 a 、 b 、 c 满足 |a|＝ |b|＝ |c|，a ＋ b ＝ c ，则向量 a 、 b 间的夹角为 () A ． 150° B ． 120° C ． 60° D ．30° [ 答案 ] B [ 解析 ] 如图，在 ?ABCD 中， ∵ |a|＝ |b|＝ |c|，c ＝ a ＋b ，∴△ ABD 为正三角形，∴∠ BAD ＝60°，∴〈 a ， b 〉＝ 120°，故选 B. (理 )向量 a ， b 满足 |a|＝1， |a － b|＝ 3 ，a 与 b 的夹角为 60°，则 |b|＝() 2 1 1 A. 2 B. 3 1 1 C.4 D.5 [ 答案 ] A [ 解析 ] ∵ |a － b|＝ 3 ，∴ |a|2 ＋ |b|2－ 2a ·b ＝ 3 ，∵ |a|＝1，〈 a ， b 〉＝ 60°， 2 4 设|b|＝ x ，则 1＋x 2－x ＝ 3 1 4 ，∵ x>0，∴ x ＝ . 2