历届高考数学真题汇编专题12_概率最新模拟_理

【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题12 概率最新模拟 理

1、（2012德州二模）如图，在边长为π的正方形内的正弦曲线sin y x x =与轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往正方形内投一个点P ，则点P 落在区域

M 内的概率是

A ．21

π B ．

22π

C ．23π

D ．24π

2、（2012德州一模）连续抛掷两枚骰子得到的点数分别是m 、n ，则向量a =(m ，n)与向量b =(1，1)共线的概率是( )

A ．

512 B ．13 C ．16 D ．1

2

4、（2012临沂二模）已知{}

()0101x y x y Ω=≤≤≤≤，，，A 是由直线0y =，(01)

x a a =<≤和曲线3y x =围成的曲边三角形区域，若向区域Ω上随机投一点，点落在区域A 内的概率为

1

64

，则a 的值是 （A ）164

（B ）18 （C ）14 （D ）12

5、（2012泰安一模）已知(){}

1,1,≤≤=Ωy x y x ，A 是曲线2

x y =与2

1

x y =围成的区域，若

向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为

A.

3

1 B.

4

1 C.

8

1 D.

12

1

6、（2012烟台二模）点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离PA ＜1的概率为

A.

4

π

B.

12

C.

14

D.π

答案：A

解析：点P 在以A 为圆心半径为1的正方形ABCD 内的一段弧内运动，这是一个圆心角为90°的扇形，S 扇形＝

14

π，正方形的面积为1，所以所求的概率为P ＝4π

7、（2012滨州二模）某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖（转盘为十二等分的圆盘），满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的，

若转盘的指针落在A 区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金，若转盘落在B 区域或C 区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其它区域则不中奖（若指针停到两区间的实线处，则重新转动）。若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加。已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则能与了促销活动。

(Ⅰ) 求顾客甲中一等奖的概率；

(Ⅱ) 记ξ为顾客甲所得的奖金数，求ξ的分布列及其数学期望．

所以ξ的分布列为

数学期望

1111110

2015105144367243

E ξ=?

+?+?+?

=

8、（2012德州二模）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：

已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为

.3

（I ）请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）；

（II ）你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由。

（III ）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X ，求X 的分布列与期望。 下面的临界值表供参考：

解析：（1）列联表补充如下：

（2）由2

K ＝248(22060)28203216

?-???≈4.286

因为4.286＞3.841，有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. （3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2.

其概率分别为P （X ＝0）＝02

1010

2

20C C C ＝938， P （X ＝1）＝11

1010

2

20C C C ＝1019， P （X ＝2）＝20

1010

2

20

C C C ＝938，

故X的分布列为:

X 012

P 9

38

10

19

9

38

X的期望值为:EX＝0＋10

19

＋

9

19

＝1

9、（2012德州一模）已知暗箱中开始有3个红球，2个白球．现每次从暗箱中取出1个球后，再将此球和它同色的另外5个球一起放回箱中．

(I)求第2次取出白球的概率；

(Ⅱ)若取出白球得2分，取出红球得3分，设连续取球2次的得分值为X，求X的分布列和数学期望．

10、（2012济南3月模拟）一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生：（1）得60分的概率；

（2）所得分数ξ的分布列和数学期望.

【答案】解：（1）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对的为事件C，

∴P（A）= 1

2

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

4

，∴得60分的概率为

p=11111

223448

???=．………………………………………………4分

P（ξ=60）=1111111111

223448223448

???==???=

…………………………………………………………………………10分（3）Eξ=40×

6

48

+（45+50）×

17

48

+55×

7

48

+60×

1

48

=

575

12

………12分

11、（2012济南三模）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所

得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第

2小组的频数为12.

(1)求该校报考飞行员的总人数;

(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望.

∴随机变量x 的分布列为：

则815512125351222525121351512270=?+?+?+?

=Ex (或: 8

15

853=?=Ex ) 12、（2012青岛二模）甲居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如，A →C →D 算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为10

1

，路段CD 发生堵车事件的概率为

15

1

，且甲在每个路段只能按箭头指的方向前进）．

(Ⅰ）请你为其选择一条由A 到B 的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小； （Ⅱ）若记路线A →C →F →B 中遇到堵车次数为随机

变量ξ，求ξ的分布列及E ξ．

解：（Ⅰ）记路段AC 发生堵车事件为AC ，各路段发生堵车事件的记法与此类同.因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路

线

A →C →D →

B 中遇到堵车的概率为

()()()()

111P P AC CD DB P AC P CD P DB =-??=- ()()()1111P AC P CD P DB =----????????????

91453

11015610

=-

??= ……………………………………………………………………2分

（Ⅱ）路线A →C →F →B 中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3．

()0P ξ=()

561

800

P AC CF FB =??=

， ()()()()

1P P AC CF FB P AC CF FB P AC CF FB ξ==??+??+??

10

115

1

=

11711931191716371020121020121020122400

??+??+??=， ()()()()

2P P AC CF FB P AC CF FB P AC CF FB ξ==??+??+?? 13111171931771020121020121020122400

=

??+??+??=， ()()1311

3102012800

P P AC CF FB ξ==??=??=.

所以ξ的分布列为

…………………………………………………………9分

∴E ξ=5616377711

0123800240024008003

?+?+?+?= ………………12分

13、（2012青岛3月模拟）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：

31()f x x =,2()5x f x =,

3()2f x =，421

()21

x x

f x -=+，5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =. （Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；

（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

（注：每对两个得1分，该步评分采用去尾法）

所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片

ξ

1

2

3

P

800

561

2400

637

2400

77

1800

上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为112

333

C C C + 满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为

23C ,

故所求概率为231123331

4

C P C C C ==

+

.

故ξ的分布列为

.4

20420310221=?+?+?+?=ξE

∴ξ的数学期望为.4

7

14、（2012日照5月模拟）某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为

2

1

,32,32，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响。

（Ⅰ）求该项技术量化得分不低于8分的概率；

（Ⅱ）记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望。

解：（Ⅰ）记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A 、B 、C ，则事件“得分不低于8分”表示为C B A ABC +.因为C B A ABC 和为互斥事件，且A 、B 、C

彼此独立，

所以

)

()()()()()()

()()(C P B P A P C P B P A P C B A P ABC P C B A ABC P +=+=+

=

3

1

213132213232=??+??. …………………………5分

所以，随机变量的分布列为

…………………………11分 所以6

11

183318121816185==++=ξE . …………………………12分

15、（2012威海二模）某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是

34，23，1

4

且各轮次通过与否相互独立．

（I ）设该选手参赛的轮次为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

（Ⅱ）对于（I ）中的ξ，设“函数()3sin

()2

x f x x R ξ

π+=∈是偶函数”

为事件D ，求事件D 发生的概率．

ξ的分布列为：

ξ

的数学期望

1119

123.4424

E ξ=?+?+?=

-------------------------- 7分 （Ⅱ）当1ξ=时，1

()3sin =3sin(

)2

22

x f x x π

π

π+=+()f x 为偶函数； 当2ξ=时，2()3sin

3sin()22x f x x π

ππ+==+()f x 为奇函数； 当3ξ=时，33

()3sin 3sin()222

x f x x πππ+==+()f x 为偶函数； ∴事件D 发生的概率是3

4

. -----------------------------------12

分

16、（2012烟台二模）某品牌的汽车4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2,4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款共利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元.用η表示经销一辆汽车的利润.

（1）求上表中的a ，b 值；

（2）若以频率作为概率，求事件A ：“购买该器重汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P （A ）；

（3）求η的分布列及数学期望E η.

∴η的分布列为

∴η的数学期望1

0.4 1.50.420.2 1.4E η=?+?+?=(万

元)-12分.

【2012金华十校高三模拟联考理】分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片

中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ）

A ．14

B ．13

C ．12

D ．23

【2012

粤西北九校联考理】 已知{(,)|6,

0x y x y x y Ω=

+≤≥≥，

{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为

( )

A ．31

B ．32

C ．91

D ．92

【答案】D

【解析】属于几何概型，{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥的面积为18，

{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥的面积为4，

92184==

P

【2012深圳中学模拟理】袋中装有m 个红球和n 个白球,4≥>n m ,现从中任取两球,若取出的两球是同色的概率等于取出的两球是异色的概率,则满足关系40≤+n m 的数组

()n m ,的个数为

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 【答案】A

【解析】记“取出两个红球”为事件A ，“取出两个白球”为事件B ，“取出一红、一白两球”为

事件C ，则

()2

2n

m m C /C A P +=，

()2

2n

m n C /C B P +=，

()2

11n

m n m C /C C C P +=。依题意得：

()()()

C P B P A P =+,得1

122n m n m C C C C ?=+。所以()2n m n m -=+，由404≤+≥>n m ,n m ，得

409≤+≤n m 。解得()()()()()1521101561036,,,,,,,n ,m =，故符合题意的数组()n ,m 有3个。

【2012海淀区模拟理】连掷骰子两次 (骰子六个面上分别标以数字6,5,4,3,2,1）得到的

点数分别记为a 和b ，则使直线340x y -=与圆

22

()()4x a y b -+-=相切的概率为

.

【2012安徽省合肥市质检理】在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为

（ ）

A ．34

B ．23

C ．15

D ．1

3

【答案】C

【解析】总的取法有15种，由正四面体的性质可知，对棱垂直，故互相垂直的有3种，

所求概率为1

5，选C 。

【2012吉林市模拟质检理】某地区教育主管部门为了对该地区模拟考 试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350 分到650分之间的10000名学生成绩，并 根据这10000名学生的总成绩画了样本的 频率分布直方图（如右图），则总成绩在 ［400，500）内共有 A. 5000 人

B. 4500人

C. 3250人

D. 2500人

0.001

0.002 0.003 0.004 a

【答案】B

【解析】由频率分布直方图可求得0.005

a=，故［400，500）对应的频率为(0.0050.004)500.45

+?=，相应的人数为4500人。

【2012广东韶关市调研理】

已知

}0

2

,0

,4

|)

,

{(

},

,0

,6

|)

,

{(≥

-

≥

≤

=

≥

≥

≤

+

=

Ωy

x

y

x

y

x

A

y

x

y

x

y

x，若向区

域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）

A．1

9 B．

2

9 C．

1

3 D．

4

9

【2012年西安市高三年级第四次质检理】甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为

_______

【2012武昌区高三年级调研理】有一根长为1米的细绳子，随机从中问将细绳剪断，则使两

截的长度都大于1

8米的概率为。

【答案】4

3

【解析】本题主要考查几何概型的计算.

属于基础知识、基本

运算的考查.

如图，将细绳八等份，C,D分别是第一个和最后一个等份点，则在线段CD的任意位置剪

断得到的两截细绳长度都大于1

8米。由几何概型的计算公式，两截的长度都大于

1

8米的概率

为

6

3

8

14

P==

【2012唐山市高三模拟统一考试理】为了检测某批棉花的质量，质检人员随机抽取6根，

其平均纤维长度为25mm。用

(1,2,3,4,5,6)

n

X n=

表示第n根棉花的纤维长度，且前5根棉花

的纤维长度如下表：

（1）求X6及这6根棉花的标准差s；

（2）从这6根棉花中，随机选取2根，求至少有1根的长度在区间（20，25）内的概率。

（Ⅱ）从这6根棉花中，随机选取2根用无序数组(Xi，Xj)（i，j＝1，2，3，4，5，6，i≠j）表示，可能出现的结果为

(X1，X2)，(X1，X3)，(X1，X4)，(X1，X5)，(X1，X6)，

(X2，X3)，(X2，X4)，(X2，X5)，(X2，X6)，

(X3，X4)，(X3，X5)，(X3，X6)，

(X4，X5)，(X4，X6)，

(X5，X6)；

2根的长度都不在区间(20，25)内的结果为

(X1，X2)，(X1，X4)，(X1，X6)，

(X2，X4)，(X2，X6)，

(X4，X6)．…9分

2根的长度都不在区间(20，25)内概率P＝6

15＝

2

5

，

至少有1根的长度在区间(20，25)内的概率为1－P＝ 3

5

．…12分

【2012年西安市高三年级第四次质检理】某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.

(I )求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

(II)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min的概率.

【解析】

【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1理】某工科院校对A,B两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：

(I) 从B专业的女生中随机抽取2名女生参加某项活动，其中女生甲被选到的概率是多少？

(II)能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下，认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢?

注：

)

)(

)(

)(

(

)

(2

2

d

b

c

a

d

c

b

a

bc

ad

n

K

+

+

+

+

-

=

【2012江西师大附中高三模拟理】为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个区中抽取6个工厂进行调查.已知A、B、C区中分别有18,27，9个工厂.

（1）求从A、B、C区中应分别抽取的工厂个数；

（2）若从抽得的6个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，求这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。

【解析】本题主要考查分层抽样、古典概型的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

解：(1)工厂总数为18＋27＋9＝54，样本容量与总体中的个体数的比为6

54＝1

9

，所以从

A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,1.

(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1为在C区中抽得的1个工厂．在这7个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)， (B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，，(B2，B3)，(B2，C1)，，(B3，C1)共15种．

随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区(记为事件X)的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)共9种．所以

这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为P(X)＝

93155=. 答：（1）从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,1. （2）这2个工厂中至少

有1个来自A 区的概率为3

5.

【2012三明市普通高中高三模拟理】已知集合{}2,0,2-=A ，{}1,1-=B . （Ⅰ）若

{}

B y A x y x M ∈∈=,),(，用列举法表示集合M ；

（Ⅱ）在（Ⅰ）中的集合M 内，随机取出一个元素(,)x y ，求以(,)x y 为坐标的点位于

区域D ：

20201x y x y y -+??

+-??-?

≥≤≥ 内的概率

.

【2012武昌区高三年级 理】2011年武汉电视台问政直播节日首场内容是“让交通更顺畅”．A 、B 、C 、D 四个管理部门的负责人接受问政，分别负责问政A 、B 、C 、D 四个管理部门的现场市民代表（每一名代表只参加一个部门的问政）人数的条形图如下．为了了解市民对武汉市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价，对每位现场市民都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：