江苏版2018年高考数学一轮复习专题11.3概率分布与数学期望方差讲理 Word版 含解析

专题11.3 概率分布与数学期望、方差

【最新考纲解读】

【考点深度剖析】

1. 江苏高考中，一般考古典概型、相互独立、二项概型基础上的随机变量的分布，期望与方差。

2. 随机变量的概率分布及期望，内容多，处理方式灵活，可以考查其中一块，可以内部综合，可以作为问题的背景与其他内容结合考，复习时要注重基础，以不变应万变.

【课前检测训练】

【判一判】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )

(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( )

(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．( )

(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )

(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( )

(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (7)条件概率一定不等于它的非条件概率．( ) (8)相互独立事件就是互斥事件．( )

(9)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( )

(10)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n

二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( ) (11)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．( ) (12)小王通过英语听力测试的概率是1

3

，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝

C 1

3·? ????131·? ??

??1－133－1＝49.( )

(13)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )

(14)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( )

(15)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( )

(16)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )

(17)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( )

1. √

2. √

3. ×

4. √

5. ×

6. √

7. ×

8. ×

9. ×10. ×11. √12. ×13. √14. √15. √16. √17. × 【练一练】

1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数 D ．取到的球的个数 【答案】C

2．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有( )

A ．17个

B ．18个

C ．19个

D ．20个 【答案】A

【解析】X 可能取得的值有3,4,5，…，19共17个．

3．随机变量X 的分布列如下：

其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23 【答案】D

【解析】∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23

.

4．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 【答案】10

【解析】P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3

n

＝0.3，得n ＝10.

5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 【答案】27

220

6．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为( ) A.38 B.27 C.28 D.37 【答案】B

【解析】第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为27

.

7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45 【答案】A

【解析】已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气

质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.6

0.75

＝0.8.

8.如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为( )

A ．0.960

B ．0.864

C ．0.720

D ．0.576 【答案】B

9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16

25，则该队员每次

罚球的命中率为________． 【答案】3

5

【解析】设该队员每次罚球的命中率为p ，则依题意有1－p 2＝1625，即p 2

＝925.又0

.

10．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为1

4，假定二人的行动相互之间没有影响，

那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________． 【答案】1

2

11．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 【答案】A

【解析】由?

??

??

x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，

7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，

可得y ＝0.4.

12．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4 D ．1,4＋a

【答案】A 【解析】

x 1＋x 2＋…＋x 10

10

＝1，y i ＝x i ＋a ，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4.故选A.

13．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝1

5(k ＝2,4,6,8,10)则D (X )等于( )

A ．5

B ．8

C ．10

D ．16 【答案】B

【解析】∵E (X )＝1

5(2＋4＋6＋8＋10)＝6，

∴D (X )＝15

[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42

]＝8.

14．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1

5，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.

【答案】2

5

【解析】设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则?????

15

＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，

解得?????

a ＝3

5，b ＝1

5，

所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝2

5

.

15．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的

均值为________． 【答案】50

9

【题根精选精析】

考点1 离散型随机变量及其分布列

【1-1】随机变量X 的概率分布规律为P （X ＝n ）＝

(1)a

n n + （n ＝1,2,3,4），其中a 是常数，则P （12

＜X

＜

5

2

）的值为 . 【答案】5

6

【解析】因为随机变量X 的概率分布规律为()=

=n X p (1)

a

n n + （n ＝1,2,3,4），所以

()()()()=

=+=+=+=4321X p X p X p X p 4

5

154=?=a a ，所以 ()()==+==??? ??<<21252

1

X p X p X p 65.

【1-2】若随机变量X 的分布列如下表，且EX=6.3， 则表中a 的值为 .

【答案】7

【解析】由11.05.0=++b 得4.0=b ，()3.64.091.05.04=?+?+?=a X E ，解7=a

【1-3】口袋中有n(n ∈N *

)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X ＝2)＝7

30，则n 的值为 .

【答案】7

【1-4】在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：

规定：当产品中的此种元素含量15≥毫克时为优质品.

（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；

（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ.

【解析】 (I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为7

.10

乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为

84.105

= (II)ξ的取值为1，2，3. 12823

101

(1),15

C C P C ξ?=== 21

823107(2),15C C P C ξ?===157

)3(3

10

0238=?==C C C P ξ 所以ξ的分布列为

故的数学期望为123.1515155

E

ξ=?+?+?=（） 【1-5】甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.

（1）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的零件；

（2）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X ，求X 的分布列和期望.

X 的期望为()00.210.620.21E x =?+?+?=．

【基础知识】

1．离散型随机变量的分布列 (1)随机变量

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η等表示． (2)离散型随机变量

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中,a b 是常数，则η也是随机变量. 2.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：

若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为

其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布．其中()1p P X ==称为成功概率． (2)超几何分布：

在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X k =}发生的概率为

()k n k M N M

n

N

C C P X k C --==，0,1,2,,k m = ，其中{}min ,m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈，称分