中考数学复习讲义(01-019)

2014届中考数学复习讲义

第1课时 有理数

班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿

［课标要求］

1．理解有理数及其运算的意义，并能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小． 2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值

3．经历探索有理数运算法则和运算律的过程；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算． 4．能运用有理数及其运算解决简单的实际问题 5. 对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.

［基础训练］

1．－（－4）的相反数是_______，－（+8）是______的相反数． 2．若3a 的倒数与2a-93

互为相反数，则a=

3．如图是一个正方体盒子的展开图，请把-10，8，10，－2，－8，2分别填入六个 小正方形，使得按虚线折成的正方体相对面上的两数互为相反数．

4．已知有理数x 、y 满足1+2y-4+z-6=0x ，则xyz= .

5．在数轴上a 、b 、c 、d 对应的点如图所示，化简|a －b|+|c －b|+|c －c| +|d －b|.= 6．已知a 与b 互为倒数，c 和d 互为相反数，且|x|=6，则2

3ab-(c+d)+x =

7.天安门广场的面积约为44万平方米，请你估计一下，它的百万分之一大约相当于（ ） A 、教室地面的面积 B 、黑板面的面积 C 、课桌面的面积 D 、铅笔盒盒面的面积 ［要点梳理］

1. 与 统称为有理数

2．规定了 、 和 的直线叫做数轴．

3．如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．0的相反数是 ．

4．在数轴上，一个数所对应的点与原点的 叫做该数的绝对值．

正数的绝对值是 ；负数的绝对值是 ；0的绝对值是 5．数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．

6．乘积为 1的两个有理数互为 ． 7．有理数分类应注意：（1）0是整数但不是正整数；（2）整数分为三类：正整数、零、负整数，易把整数误认为分为二类：正整数、负整数．（3）整数还可以分为自然数和负整数两类或分为偶数和奇数两类. 8．两个数a 、b 在互为相反数，则a+b= ．

9．绝对值是易错点：如绝对值是5的数应为士5，易丢掉－5．

10．乘方的意义：求n 个相同因数a 的积的运算叫做 ，乘方的结果叫做 ．

11.科学计数法： ［问题研讨］

例1、|－22|的值是（ ） A ．－2 B.2 C ．4 D ．－4 例2、（2007湖南怀化）2008年8月第29届奥运会将在北京开幕，5个城市的国标标准时间（单位：时）

在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（）

Ａ．伦敦时间2008年8月8日11时Ｂ．巴黎时间2008年8月8日13时

Ｃ．纽约时间2008年8月8日5时Ｄ．汉城时间2008年8月8日19时

例3、(2007江苏盐城)地球上陆地面积约为149 000 000 km2，用科学记数法

可以表示为km2（保留三个有效数字）

例4、生物学指出，在生态系统中，每输人一个营养级的能量，大约只有10％的能量能够流动到下一个营养级，在H1→H2→ H3→H4→H5→H6这条生物链中，（H n表示第n个营养级，n=l，2，…，6），要使H6获得10千焦的能量，需要H1提供的能量约为（）千焦A．104B．105 C 106 D 107

点拨：因只有10％的能量从上一营养级流到下一营养级，所以要使H6获得10千焦的能量，则H1需100千焦，以此类推，H1需提供106千焦．

例5、(2007江苏盐城)根据如图所示的程序计算，

若输入x的值为1，则输出y的值为.

例6、（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、

B两点之间的距离表示为|AB|，当A上两点中有一点在原点时，不

妨设点A在原点，如图1所示，|AB|=|BO|=|b|=|a－b|；当A、B两点

都不在原点时，如图2所示，点A、B都在原点的右边，|AB|=|BO|

－|OA|=|b|－|a|=b－a=|a－b|；如图3所示，点A、B都在原点的左边，

|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=－b－(－a)=|a－b|；如图4所示，点A、B

在原点的两边多边，|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a－

b|

图1图2图3图4

综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a－b|

（1）回答下列问题：

数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______.

（2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么x为_________．（3）当代数式|x+1|+|x－2|=2 取最小值时，相应的x 的取值范围是_________

.点拨：解答（3）时，关键是去掉绝对值，方法是先找出分点再分类讨论.

例7、（2007湖南邵阳）观察下列等式

11

1

122

=-

?，

111

2323

=-

?，

111

3434

=-

?，将以上三个等式两边分别相加得：

1111111113

11

1223342233444

++=-+-+-=-=

???．

北京汉城

巴黎

伦敦

纽约

5-0189

（1）猜想并写出：

___________)

1(1

=+n n

（2）直接写出下列各式的计算结果：

①1111

122334

20062007++++

=

???? ＿＿＿＿＿＿＿＿ ；

②

1111

122334(1)n n ++++

=

???+ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（3）探究并计算：

1111

244668

20062008++++

????．

［规律总结］

1搞清有理数的三种常见形式：① 整数 ；②分数；③无限循环小数，如0.01010101…… . 2绝对值的性质——要注意正确区分数的三种情况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反数. 3有理数的混合运算应灵活运用运算律. 乘方计算时注意：（1）注意分清底数，如：－a n 的底数是 a ，而不是－a ；（2）注意运算顺序，运算时先算乘方，如 3 ×52=3 ×25=75； ［强化训练］

1、（2007湖南株州）某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（ ）A. 31 B. 33 C. 35 D. 37

2、－2，3，－4，－5，6这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大的是（ ） A10 B ．20． C ．－30 D ．18

3、一个数的倒数的相反数是11

5 ,则这个数是（ ）

A 、65

B 、56

C 、65

D 、－5

6

4、若|a|=7，|b|=5,a+ b ＞0，那么a －b 的值是（ ）

A ．2或 12

B ．2或－12

C ．－2或－12

D ．－2或 12

5、(2007山东济宁) 今年3月5日，温家宝总理在《政府工作报告》中，讲述了六大民生新亮点，其中之

一就是全部免除了细部地区和部分中部地区农村义务教育阶段约52000000名学生的学杂费.这个数据保留两个有效数字用科学记数法表示为（ ）.

A 、523107

B 、5.23107

C 、5.23108

D 、523108

6、有一张厚度是0.1毫米的纸.将它对折1次后,厚度为230.1毫米,对折20次后,它的厚度大约相当于( )

A 、30层楼房的高度

B 、10层楼房的高度

C 、100层楼房的高度

D 、1个人的身高 7、数轴上点A 到原点的距离是5，则A 表示的数是_____________ 8、比较大小：－56 ____－6

7

9，若－|a|=－1

2

，那么a=_______．

7、若a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a ＋b=___________．

10、观察下列等式71=7,72=49,73=343,74=2401, …,由此可判断7100的个位数字是 . 11、观察下列等式 9－1 ＝ 8, 16－4 ＝ 12, 25－ 9＝ 16, 36 － 16 ＝ 20,…,设n 为正整数(n≥1),用关于n 的等式表示上述等式的规律是 12、（－3）×13 ÷(－1

3

)×3

13、33332200311

2[()()](3)(1)22

---++---

14、已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2.，y 的.倒数.不存在，求 200220012000

12()2()a b c d y x

+-++的值．

2014届中考数学复习讲义

第3课时 用字母表示数

班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿

【课标要求】

1、理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.

2、整式的有关概念，如单项式、多项式、同类项等，简单的整式加、减、乘法运算.

3、整数指数幂的意义与基本性质.

4、会求代数式的值，能根据代数式的值推断代数式反映的规律.

5、会解释一些简单代数式的实际背景或几何意义. 【基础练习】

1、 “x 的

21

与y 的和”用代数式可以表示为（ ） A 、21（x ＋y ） B 、x ＋21＋y C 、x ＋21y D 、2

1

x ＋y

2、某超市进了一批商品，每件进价为a 元，若要获利25%，则每件商品的零售价应定为（ ） A 、25%a B 、（1－25%）a C 、（1＋25%）a D 、%

251+a

3、（2007广州）下列计算中，正确的是（ ）

A ．33x x x =?

B ．3x x x -=

C ．32x x x ÷=

D ．33

6

x x x += 4、（2007重庆）计算)3(623m m -÷的结果是（ ）

（A ）m 3- （B ）m 2- （C ）m 2 （D ）m 3

5、（2007山东淮坊）代数式2

346x x -+的值为9，则2

4

63

x x -

+的值为（ ） A ．7 B ．18 C ．12 D ．9

6、一个只含字母x 的二次三项式，它的二次系数，一次项系数均为－2，常数项为1，则这个多项式为＿＿＿＿＿＿

7、单项式4x a ＋2b y 8与－3x 2y 3a ＋

4b 和仍是单项式，则a ＋b ＝＿＿＿＿＿＿

8、（课本习题）52314222-+-+-a a a a 与的差是 . 9、（课本习题）图中的阴影部分的面积为 ，当a =10时阴影部分的面积为 .

10、（2007浙江温州）给出三个多项式：

222111

1,31,,222

x x x x x x +-++- 请你选择其中两个进行加法运算.

11、用语言叙述下列代数式的含义

（1）若长方形的长为acm ，宽为bcm ，那么2（a ＋b ）cm 可以表示什么？

（2）代数式2a ＋3b 的意义是什么？

【要点梳理】

1、用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和＿＿＿＿连接而成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式.

2、代数式的值：一般地，用＿＿＿＿＿＿代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果，叫做代数式的值.

3、＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿统称为整式.

⑴单项式是＿＿＿＿＿＿的积，其含义是：①不含加减运算，②字母不出现在分母里，③单独的一个数或字母也是单项式.

⑵多项式是＿＿＿＿＿＿＿的和，其含义有：①由单项式组成；②体现和的运算法则 4、⑴同类项应必须同时具备两个条件：① ；② . ⑵合并同类项的法则是 . 5、幂的运算法则

（1）a m 2a n ＝＿＿＿＿＿＿＿； （2）(a m )n ＝＿＿＿＿＿＿； （3）(ab)n ＝＿＿＿＿＿＿＿＿； （4）a m ÷a n ＝＿＿＿＿（a ≠0）；

（5）a 0＝1（ ）； （6）a －

p ＝＿＿＿＿＿（a ≠0）. 【问题研讨】

例1我们规定a b a ab b ?=-+2

2

.试计算[()()][()()]2323x y x y ?-?-. 分析：按新符号?计算()()2346922x y x xy y ?=-+，

()()2346922x y x xy y ?-=++

例2 （06年广东）按下列程序计算，把答案写在表格内：

（1）填写表格：

（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简.

分析 本题设计新颖，意在创新，明确计算程序是正确解答本题的前提.

例3（课本复习题）已知a 、b 是实数，比较)()(b a b a -+与的大小.

例4（2006，江西）小杰到学校食堂买饭，看到A 、B 两窗口前面排的人一样多（设为a 人，a ＞8），就让到A 窗口队伍的后面排队，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人.

（1）此时，若小杰继续在A 窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含a 的代数式表示）？

（2）此时，若小杰迅速从A 窗口队伍转移到B 窗口队伍后面重新排队，且到达B 窗口所花的时间比继续在A 窗口排队到达A 窗口所花的时间少，求a 的取值范围（不考虑其他因素）.

【规律总结】

1、整体代入法是求代数式值的方法之一

2、观察数列中各个数据的数量关系（如和差倍积关系）是解答观察数字型归纳题的一个方法

3、要准确理解和辨析单项式次数、系数、同类项等概念，特别要关注简单整式的运算.

4、运用公式或法则进行运算，首先要判断题目是否具备某一公式或法则的结构特征，在此基础上正确选择公式或法则进行运算.

【强化训练】 1、（2007四川成都）下列运算正确的是（ ）

Ａ．321x x -= Ｂ．2

2

1

22x

x --=-

Ｃ．236()a a a -=·

Ｄ．236()a a -=-

2、（2007浙江嘉兴）化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）4a （D ）2a 2＋2

3、如图，是一个试管架，已知在acm 长的木条上钻了4个小圆孔，每个孔的直径为2cm ，则x 等于（ ）

A

cm a

58+ B 、cm a 5

16

-

C 、

cm a

54- D 、cm a 5

8

- 4、（2006，、新疆）某公园计划砌一个形状如图（1）的喷

水池，后来有人建议改为图（2）的形状且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度，高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）

A 、图（1）需要的材料多

B 、图（2）需要材材料多

C 、图（1）、图（2）需要的材料一样多

D 、无法确定 5、（2006，成都市）先化简，再求值：

（3x ＋2）（3x －2）－5x （x －1）－（2x －1）2，其中x ＝－3

1

.

2014届中考数学复习讲义

第4课时 从面积到乘法公式

班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿

［课标要求］

1、 会进行简单的整式乘法运算

2、 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式）了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算

3、 理解因式分解的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形

4、 会用提公因式法和运用公式法分解因式

5、 会用因式分解法解决相关问题 ［基础练习］

1、

2

1ab 2

c 2（－0.5ab 2）2（－2bc 2）＝＿＿＿＿＿＿＿ 2、－3a 2（ab 2＋31

b －1）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿

3、当a ＝3

1

时，（a －4）（a －3）－（a －1）（a －3）的值是＿＿＿＿＿＿

4、分解因式：4m 3－m ＝＿＿＿＿＿＿＿

5、如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积验证了公式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

6、下列运算不是因式分解的是（ ） A 、x 2－2x ＋1＝（x －1）2 B 、（2x －y ）（2x ＋y ）＝4x 2－y 2

C 、x 3＋x ＝x （x 2＋1）

D 、4x 2＋4x ＋1＝（2x ＋1）2 7、如果x －3是多项式2x 2－5x ＋m 的一个因式，则m 等于（ ） A 、6 B 、－6 C 、3 D 、－3

1、单项 之为积的系数，相同字母的 作为积里这个字母的指数，只在一个单项式中含有的字母，则连同其指数作为积的一个 .

2、单项式与多项式相乘，就是根据乘法 律，用单项式乘多项式的 ，再把所得的 .

3、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另一个多项式的 再把所得的 .

4、 写出完全平方公式

写出平方差公式 .

5、 叫多项式的因式分解.

6、因式分解与整式乘法的关系怎样？ ［问题研讨］

例 1：计算：①()()

23232--?-a a a ②()

()xy xy xy y x m n 22312-?+-+

)3)(52(y x y x -- （4）)168()4(2--+x x .

例2：

1、已知a ＋b=－3, ab=2, 求a 2＋b 2 ; (a －b)2

的值.

2、先化简，后求值：2x 2

(x 2

-x+1)-x(2x 3

-10x 2

+2x), 其中x=0.25

例3、（1）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A 、a （x ＋y ）＝ax ＋ay B 、x 2－4x ＋4＝x （x －4）＋4

C 、10x 2－5x ＝5x （2x －1）

D 、x 2－16＋3x ＝（x ＋4）（x －4）＋3x （2）下列因式分解中，结果正确的是（ ）

A 、x 2－4＝（x ＋2）（x －2）

B 、1－（x ＋2）2＝（x ＋1）（x+3）

C 、2m 2n －8n 3＝2n(m 2－4n 2)

D 、x 2－x ＋41＝x 2（1－2

41

1x x +） （3）因式分解：ab 2－2ab ＋a ＝＿＿＿＿＿＿

（4）多项式4x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项 式可以是＿＿＿＿＿＿＿＿＿

分析：（1）考察的是因式分解的概念，注意与整式乘法的区别与联系.

（2）A 正确，B 的结果不正确，C 还可以用平方差公式继续分解，D 因式不能有分式，∴D 不正确. （3）先提取公因式a ，再用完全平方公式

（4）是一道开放性题，答案不唯一，不要只习惯于一种完全平方公式，如－4x 2，－1等 例4、（1）一套住房的平面图如图所示，其中卫生间、厨房的面积和等于（ ） A 、4xy B 、3xy C 、2xy D 、xy

（2）从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）

A 、（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2

B 、（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2

C 、a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）

D 、a 2＋ab ＝a （a ＋b ）

例5、已知，如图，现有a 3a 、b 3b 的正方形纸片和a 3b 的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为2a 2＋5ab ＋2b 2，并标出此矩形的长和宽.

［规律总结］

1、掌握好平方差公式与完全平方公式的特征

2、因式分解的一般步骤：

（1）多项式的各项有公因式时，先提公因式； （2）各项没有公因式时，要看能不能用公式法来分解； （3）分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解. ［强化训练］

1、利用因式分解简便计算：57399＋44399－99正确的是（ ） A 、993（57＋44）＝993101＝9999 B 、993（57＋44－1）＝993100＝9900 C 、993（57＋44＋1）＝993102＝10098 D 、993（57＋44－99）＝9932＝198

2、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的

代数恒等式是： （ ）

A ．()2222——b ab a b a +=

B ．()222

2b ab a b a ++=+

C ．()ab a b a a 2222+=+

D ．()()22——b a b a b a =+

3、如果多项式162++mx x 能分解为一个二项式的平方的形式，那么m 的值为： （ ） A ．4 B ．8 C ．—8 D ．±8

4、()()212-+-x mx x 的积中x 的二次项系数为零，则m 的值是：（ ） A ．1 B ．–1 C ．–2 D ．2

5、在整式运算中，任意两个一次二项式相乘后，将同类项合并得到的项数可以是

6、多项式4a 2+M 能用平方差公式分解因式，则单项式M= .

7、先化简，再求值：（3x+2）(3x －2)－5x(x －1)-(2x －1)2,其中x=－

1

3

2014届中考数学复习讲义

第5课时 分式

班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿

［课标要求］

1、理解分式的意义，会求分式有意义、无意义以及分式的值为零的条件.

2、熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分，通分和加减乘除的四则运算．

3、能解决一些与分式有关的数学问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力 ［基础训练］

1、（07，无锡）化简分式2

b

ab b

+的结果为（ ） Ａ、1a b

+ Ｂ、11a b + Ｃ、21a b +

Ｄ、

1

ab b

+ 2、（07，南充）如果分式2x

x

-的值为0，那么x 为（ ）．

A 、－2

B 、0

C 、1

D 、2

3、（06，重庆）使分式

4

2-x x

有意义的x 的取值范围是（ ）

A 、x ＝2

B 、x ≠2

C 、x ＝－2

D 、x ≠－2

4、(07，连云港)当99a =时，分式21

1

a a --的值是

．

5、（07，南京）计算：221111

a a a a a a -÷----＝＿＿＿＿＿＿ 6、若分式1

||3

22--+x x x 的值为零，则x 的值为（ ）

A 、x ＝－3

B 、x ＝3

C 、x ＝－3或x ＝1

D 、x ＝3或x ＝－1 7、（06，旅顺口）已知两个分式：A ＝

4

42

-x ，B ＝x x -++21

21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ） A 、相等 B 、互为倒数 C 、互为相反数 D 、A 大于B 8、（07，天津）已知7=+y x 且12=xy ，则当y x <时，y

x 1

1-的值等于 . ［要点梳理］

1、分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有＿＿＿＿，那么代数式B

A

叫做分式；分式

B A 有意义的条件为＿＿＿＿＿＿，分式B A 无意义的条件为＿＿＿＿＿，分式B

A

＝0的条件为＿＿＿＿＿＿＿；

2、最简分式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

3、分式的约分：把分式的分子和分母中的＿＿＿＿＿＿＿约去；

4、分式的通分：把几个＿＿＿＿分母的分式化成＿＿＿＿分母的分式；通分的关键是确定最简公分母，

最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；

5、分式的基本性质： ，用式子表示为＿＿＿＿＿＿＿；

6、同分母分式相加减法则：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；异分母分式相加减法则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

7、分式乘法法则：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 分式除法法则：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

8、分式的混合运算顺序，先算 ，再算 ，最后 ，有括号先算括号里面的． ［问题研讨］

例1、（1）（05，大连）若分式

y

x y

x -+中的x 、y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ） A 、不变 B 、原来的3倍 C 、是原来的31 D 、是原来的6

1 （2）（07，天津）若分式1

1

||--x x 的值为零，则x 的值等于 . 例2、化简：

（1）（07，常州）24142x x --- （2）（07，南充）22221

422

x x x x x x +?----

例3、（1）（07，南通）已知x ＝2007，y ＝2008，求x y

x y 4x 5y x xy

4x 5y xy 2x 22

22-+-+÷-++的值．

（2）（06，湖北）先化简代数式：1

11211

2

2-÷??? ??-++-x x x x x ，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.

（3）（07，泰州）先化简，再求值：222

4124422a a a a a a

??--÷ ?-+--??，其中，a 是方程2

310x x ++=的根．

例4、请你阅读下列计算过程，再回答所提出的问题：

x

x x ----13

132 ＝

1

3

)1)(1(3---+-x x x x （A ）

＝

)

1)(1()

1(3)1)(1(3-++--+-x x x x x x （B ）

＝x －3－3（x ＋1） （C ） ＝－2x －6 （D ）

（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？＿＿＿＿＿＿＿

（2）从（B ）到（C ）是否正确？＿＿＿＿＿＿若不正确，错误的原因是＿＿＿＿＿＿ （3）请你正确解答.

例5、（07，杭州）给定下面一列分式：)0(,...,,,,49

37253≠--x y

x y x y x y x 其中

（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？

（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式的第7个分式.

［规律总结］

1、分式的基本性质中必须强调B ≠0，这一前提条件B 这一代数式的取值是任意的，故有可能使B 的值为零．分式的分子与分母乘零后分式无意义，故运用分式基本性质时，必须考虑B 的值是否为零． ２、掌握并灵活应用分式的基本性质，在通分和约分时，都要注意分解因式知识的应用． ３、化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧．

４、分式的混合运算必须按顺序和法则进行，在运算过程中能化简的尽要能化简，最后结果必须化成最简分式． ［强化训练］

1、在x 1、21、212+x 、πxy 3、y

x +3、m a 1+中分式的个数有（ ）

A 、2个

B 、3个

C 、4个

D 、5个 2、（06，湖州）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）

A 、y x y x y x y

x 222121

+-=+-

B 、b a b a b a b a 222.02.0++=++

C 、y x x y x x --=-+-11

D 、b a b a b a b a +-=-+３、化简2

21

42

x x x ---的结果是（ ） A 、 12x + B 、 12

x - C 、 2324x x -- D 、2324x x +-

４、（07，韶关）按下列程序计算，最后输出的答案是（ ）

A 、3

a B 、.2

1a + C 、2

a D 、a

５、已知分式

5

45

||2---x x x ，当x ＿＿＿＿＿＿时，分式有意义；

6、若13x x +=．求2

421

x x x ++的值是（ ）

Ａ、

18 Ｂ、110 Ｃ、12 Ｄ、14

７、 (07，重庆)先化简，再求值：???

?

?+---÷--11211222x x x x x x ，其中x ＝sin60°

8、有这样一道题：“计算：22

2211

1x x x x x x x

-+-÷--+的值，其中2004x =．”甲同学把“2004x =”错抄成“2040x =”，但他的计算结果也是正确的．你说这是怎么回事？

2014届中考数学复习讲义

第6课时 二次根式及其运算

班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿

［课标要求］

1、 准确、熟练地掌握二次根式的定义性质

2、 能根据二次根式的性质熟练地化简二次根式

3、 能准确、熟练地辨别哪些二次根式是同类二次根式

4 、掌握二次根式加、减、乘、除运算法则，并能熟练运算 5、会化去分母中的根号 ［基础训练］

1、（潍坊）2

0)130(tan -于（ ）

A 、1－

33 B 、3－1 C 、3

3

－1 D 、1－3

2、（2007 ）

A B

C D

3、（2007x 的取值范围是（ ）B A 、x ＞1 B 、x ≥1 C 、x ＜1 D 、x ≤1

4、（2007浙江绍兴）下列计算正确的是（ ）A

A ．632=

? B ．532=+

C ．248=

D ．224=

-

5、（江西）已知a ＜2，则2)2(-a ＝＿＿＿＿＿＿＿＿

［要点梳理］

1、 二次根式：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿的式子叫做二次根式

2、 二次根式的化简就要使二次根式满足：（1）被开方数中不含＿＿＿＿＿＿＿，（2）被开方数中＿＿＿

＿＿＿＿，（3）分母中不含有＿＿＿＿＿＿＿.

3、 同类二次根式：n 个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数＿＿＿＿＿＿＿，这几个二次根式

叫做同类二次根式 4、 二次根式的性质：（1）a ＿＿＿＿0（a ≥0），（2）（a ）2＝＿＿＿（a ≥0），（3）2a ＝＿＿＿＿，

（4）ab ＝＿＿＿＿（a ≥0，b ≥0），（5）

b

a

＝＿＿＿＿（a ≥0，b ＞0） 5、 二次根式的加减法实质就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

6、 二次根式的乘法法则：a ·b ＝＿＿＿＿＿＿＿＿（a ≥0，b ≥0）

7、 二次根式的除法法则：a ÷b ＝＿＿＿＿＿＿＿＿（a ≥0，b ＞0） ［问题研讨］

例1、（1）下列二次根式中与3是同类二次根式的是（ ） A 、18 B 、3.0 C 、30 D 、300 （2）（武汉）已知a ＜b ，化简二次根式b a 3-正确的结果是（ ） A 、－a ab - B 、－a ab C 、a ab D 、a ab -

例2、（1）（2006，荆门市）设2 =a ，3＝b ，用含a 、b 的式子表示54.0，下列表示正确的是（ ） A 、0.3ab B 、3ab C 、0.1ab 3 D 、0.1a 3b （2）下列各式计算正确的是（ ）

A 、a ＋b ＝b a +

B 、5x x x 4=-

C 、

94218

8+=+＝2＋3＝5 D 、3

22322944944=+=+= （3）等式x x x x --=--6)4()6()4(2

成立的条件是（ ）

A 、x ≥4

B 、4≤x ≤6

C 、x ≥6

D 、x ≤4或x ≥6 例3（2007山东烟台）观察下列各式：

==请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________________________

例4、（1）（2006，河南）计算0020072006)2(30cos 2)32()32(---+-

（2）已知

,23

53

51,2131

31-=+-=

+，请你根据这此结论计算， )12007)(2005

20071

3

51

1

31(

+++

+++

+ 的值.

分析：（1）注意运用法则（ab ）n ＝a n b n 和运用平方差公式进行计算.（2）注意探求规律，把根式化成同分母相加后，分子可相互抵消得

2

1

2007-，然后运用平方差公式进一步得出结果. ［规律总结］

1.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.

2.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约分问题，再化简二次根式，而不一定要先化成最简二次根式，再约分.

3.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷. ［强化训练］ 1、 函数y ＝

x

x

+-121的自变量x 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿

2、 已知｜a －2｜＋（b －1）2＋4+c ＝0，则a －b ＋2c ＝＿＿＿＿＿＿

3、 已知122+-x x ＝1－x ，则x 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿

4、 化简（a －1）1

1

--

a 的结果是＿＿＿＿＿＿＿

5、 （2007___________．

6、 在实数范围内分解因式5x 2－2＝＿＿＿＿＿＿

7、 已知3)3(2-=-x x 与x x -=-5)5(2都成立，则|10|)6(2

-+-x x 的化简结果为＿＿＿＿＿

＿＿ 8、（芜湖）估算

2

3

250+的值（ ）

A 、在4和5之间

B 、在5和6之间

C 、在6和7之间

D 、在7和8之间 9、下列各组二次根式中，是同类二次根式的一组是（ ） A 、12,2 B 、50,5 C 、2

3

,

6 D 、8,3 10、对于题目“化简并求值：

21

122

-++a a

a ，其中a ＝－5”，甲、乙二人的解答不同：甲的解答是：原式＝

2)1(1a a a -+＝a 1＋a 1－a ＝a 2－a ＝－534552=+，

乙的解答是：原式＝2

)1(1a a

a -+＝a 1＋a －a

1

＝a ＝－5，请问谁的解答正确？为什么？

2014届中考数学复习讲义

初三数学复习教学案（007）

整式方程的解法

学号＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿

［课标要求］：

1、 理解方程有关的基本概念

2、 会解一元一次方程，简单的二元一次方程组

3、 会用因式分解法，公式法，配方法解简单的数字系数的一元二次方程. ［基础训练］

1 已知方程32

x -9x+m=0的一个根是1，则m 的值是 2 如果2（x+3）的值与3（1-x ）的值互为相反数，那么x 等于（ ） A.-8 B.8 C.-9 D.9

3 关于y 的一元二次方程2y （y －3）＝－4的一般形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它的二次项的系数是＿＿＿＿＿，一次项是＿＿＿＿＿，常数项是＿＿＿＿＿

4、若方程kx 2＋x ＝3x ＋1是一元二次方程，则k 的取值范围是＿＿＿＿＿＿

5、方程x 2＝5x 的解是＿＿＿＿＿＿＿

6、若关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根为＿＿＿＿＿＿

7、已知x 2－x －1＝0则－x 3＋2x 2＋2003的值为＿＿＿＿＿＿＿

8、一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，第三边长为整数acm ，且a 满足a 2－10a ＋21＝0，则此三角形的周长为＿＿＿＿＿＿＿＿

9、两圆的半径分别是方程x 2-3x+2=0的两根．且圆心距d=1，则两圆的位置关系是（ ）

A ．外切

B ．内切

C ．外离

D ．相交 10、解下列方程（组） （1）161

10312=--+x x （2）???=-=+5

3473y x y x

（3）4x 2－1＝0（直接开平方法） （4）x 2－4x ＋3＝0（配方法）

（5）2x 2－7x ＝4（公式法） （6）x ＋3－x （x ＋3）＝0（因式分解法）

［要点梳理］

1、方程：含有 叫方程．

2、一元一次方程：只含有一个 ，并且未知数的指数是 ，系数不为0，这样的方程叫一元一次方程．一般形式

3、解一元一次方程的一般步骤是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

4、解二元一次方程组的基本方法有＿＿＿＿＿＿法和＿＿＿＿＿＿＿＿法

5、一元二次方程定义，在整式方程中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫一元二次方程，它的一般形式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

6、解一元二次方程的方法有＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿

7、一元二次方程的ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求根公式是＿＿＿＿＿＿＿＿ ［问题研讨］

例1、若代数式235

4x+32

2n m 3

x m n

+-与是同类项，则x=__________.

例2、解方程组?

??=+=-935

23y x y x

例3、按要求解下列方程

（1）4(x ＋1)2＝(x －5)2（直接开平方法） （2）4x （2x －1）＝3（2x －1）（因式分解法）

（3）2x 2＋5x －3＝0（配方法） 4、x 2＋5＝25x （公式法）

例4、已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个解与方程

31

1

=-+x x 的解相同. （1）求k 的值； （2）求方程x 2＋kx －2＝0的另一个解.

例5、已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程： x 2－1＝0 ① x 2＋x －2＝0 ② x 2＋2x －3＝0 ③

……

x 2＋（n －1）x －n ＝0 ○

n （1）请解上述一元二次方程①、②、③、○

n ； （2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可.

［规律总结］

2、解一元二次方程时要根据方程的特征，灵活选用方法一般先看能否用直接开平方法，因式分解法，

若能用公式法通常不用配方法. ［强化训练］ 1、 填空

①x 2－3x ＋1＝0 ②3x 2－1＝0 ③－3t 2＋t ＝0 ④x 2－4x ＝2 ⑤2x 2－x ＝0 ⑥5（m ＋2）2＝8 ⑦3y 2－y －1＝0 ⑧2x 2＋4x －1＝0 ⑨(x －2)2＝2（x －2）

适合运用直接开平方法＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 适合运用因式分解法＿＿＿＿＿ 适合运用公式法＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 适合运用配方法＿＿＿＿＿＿＿ 2、方程（m+1）x |m|+1+（m-3）x-1=0．

（1）m 取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；

（2）m 取何值时，方程是一元一次方程． 3、选择适当的方法解下列方程： （1）2

25

16x ＝1 （2）5x 2＝2x （3）3x 2＋1＝4x

（4）(x －2)2＝9x 2 （5）x （3x －7）＝2x （6）x （2x －7）＝－8

49

（7）(2x －1)2＝（3x ＋1）2 （8）（x+1）（x －1）＝22x