山东省德州市2017-2018学年高二上学期期末考试数学文试题含答案
高二数学(文科)试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知命题:0,1x p x e x ?>>+,则p ?为( ) A .0,1x x e x ?>≤+ B .0,1x x e x ?>≤+ C .0,1x x e x ?<≤+ D .0,1x x e x ?<≤+
2.抛物线22y x =的焦点坐标是 ( ) A .1,02??
???
B .10,2?? ???
C .1,08?? ???
D .10,8?? ???
3. 过点()1,0且与直线220x y --=平行的直线方程是( )
A .220x y +-=
B .210x y -+=
C .210x y --=
D .210x y +-=
4.若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤??
+≥??--≤?
,则2z x y =-的最大值为 ( )
A . 1
B .2 C. 3 D .4
5.函数()x
f x xe =在点()()
0,0A f 处的切线斜率为( )
A . 0
B .-1 C. 1 D .e
6. “02n <<”是“方程
22
113x y n n
-=+-表示双曲线”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件 D .既不充分也不必要条件
7.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据(单位:cm ),可知此几何体的体积是 ( )
A .324cm
B .
3
643
cm C. (36cm +
D .(3
24cm +
8. 圆224x y +=与圆()()2
2
3449x y -+-=的位置关系为( ) A .内切 B .相交 C. 外切 D .相离
9. 设,m n 是两条不同直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是( )
A .//,//m n αβ且//αβ,则//m n
B .,m n αβ⊥⊥且αβ⊥,则m n ⊥ C. ,,m n m n αβ⊥?⊥,则αβ⊥ D .,,m//,//m n n ααββ??,则//αβ
10. 过点(),0P 2引直线l 与曲线y =
,A B 两点,O 为坐标原点,当AOB ?的
面积取最大值时,直线l 的斜率等于( )
A ..±11.设12,F F 分别是双曲线()22
22:10,b 0x y C a a b
-=>>的左、右焦点.圆2222x y a b +=+与
双曲线C 的右支交于点A ,且1223AF AF =,则双曲线离心率为( )
A .
125 B .13512. 已知()0,2A ,抛物线()2
:0C y mx m =>的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于点
M ,与其准线相交于点N 中,若:FM MN =OFN 面积为( )
A ...第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若曲线()1a
y x a R =+∈在点()1,2处的切线经过坐标原点,则a = .
14.某隧道的拱线设计半个椭圆的形状,最大拱高h 为6米(如图所示),路面设计是双向车道,
车道总宽为 4.5米,那么隧道设计的拱宽d 至少应是 米. 15.若()2
1ln 2
f x x b x =-
+在()1,+∞上是减函数,则b 的取值范围是 . 16.已知圆()()2
2
:5121C x y -+-=和两点()()(),0,,00A a B a a ->.若圆C 上至少存在一点P ,使得090APB ∠=,则a 的取值范围 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知圆22:8120C x y x +-+=,直线:20l x ay a ++=. (1)当a 为何值时,直线l 与圆C 相切;
(2)当直线l 与圆C 相交于,A B 两点,且AB =l 的方程. 18. 如图,已知PA O ⊥
所在的平面,AB 是O 的直径,4,AB C =是O 上一点,且
0,45,AC BC PCA E =∠=是PC 中点,F 为PB 中点.
(1)求证://EF 面ABC ; (2)求证:EF ⊥面PAC ; (3)求三棱锥B PAC -的体积.
19. 已知函数()3
2
2f x ax bx x =+-,且()f x 在1x =和2x =处取得极值.
(1)求函数()f x 的解析式;
(2)设函数()()g x f x t =+,是否存在实数t ,使得曲线()y g x =与x 轴有两个交点,若
存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.
20.已知命题:p 直线20ax y +-=和直线()32110ax a y -++=垂直;命题:q 三条直线
2310,4x 3y 50,10x y ax y -+=++=--=将平面划分为六部分.若p q ∨为真命题,求实
数a 的取值集合.
21.已知函数()21ln 22
x f x x x =-+-. (1)求函数()f x 的单调递增区间; (2)证明:当1x >时,()1f x x <-;
(3)确定实数k 的值,使得存在01x >当()01,x x ∈时,恒有()()1f x k x >-.
22.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是2,过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于
,A B 两点,当直线l 与x 轴平行时,直线l 被椭圆C 截得的线段长为
(1)求椭圆C 的方程;
(2)在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q ,使得直线l 变化时,总有PQA PQB ∠=∠?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
试卷答案
一、选择题
1-5:BDCCC 6-10: ABABB 11、12:DA
二、填空题
13. 2 14. 32 15. (],1-∞ 16. []12,14
三、解答题
17.解:将圆C 的方程228120x y x +-+=化成标准方程为()2
2
44x y -+=,
则此圆的圆心为()4,0,半径为2. (1)若直线l 与圆C
2=,解得3
4a =-;
(2)过圆心C 作CD AB ⊥,则根据题意和圆的性质,
得2222
212CD CD DA AC DA AB ?=?
?
?+==???==?
?
,解得7a =-或1a =-,故所求直线方程为7140x y --=或20x y --=.
18.解:(1)证明:在三角形PBC 中,E 是PC 中点,F 为PB 中点, ∴//EF BC ,BC ?平面,ABC EF ?平面ABC ,∴//EF 面ABC ; (2)证明:∵PA ⊥面ABC ,BC ?平面ABC ,∴BC PA ⊥, 又∵AB 是O 的直径,∴BC AC ⊥, 又PA
AC A =,∴BC ⊥面PAC ,
∵//EF BC ,∴EF ⊥面PAC ;
(3)∵0
45PCA ∠=,∴PA AC =,
在Rt ABC ?中,∵,4AC BC AB ==
,∴AC BC ==,
∴182
3B PAC P ABC ABC V V S PA --?==
=
. 19.解:(1)()2
322f x ax bx '=+-, 因为()f x 在1x =和2x =处取得极值, 所以1x =和2x =是()0f x '=的两个根,
则21232123b a a ?+=-?????=-??
,解得1332a b ?
=-????=
??,
经检验符合已知条件,故()32
13232
f x x x x =-+-; (2)由题意知()()32
2132,3232
g x x x x t g x x x '=-
+-+=-+-, 令()0g x '=得,1x =或2x =,
()()g x g x '、随着x 变化情况如下表所示:
由上表可知()()()()1,263
g x g t g x g t ==-
==-极小值极大值, 又x 取足够大的正数时,()0g x <,
x 取足够小的负数时,()0g x >,
因此,为使曲线()y g x =与x 轴有两个交点,结合()g x 的单调性, 得()506g x t =-=极小值或()2
03
g x t =-=极大值, ∴56t =
或2
3
t =, 即存在t ,且56t =或2
3
t =时,曲线()y g x =与x 轴有两个交点.
20.解:p 真:()23210a a -+=,()()2
3213110a a a a --=+-=,∴13
a =-或1a =,
q 真:∵2310x y -+=与4350x y ++=不平行,
则2310x y -+=与10ax y --=平行或4350x y ++=与10ax y --=平行或三条直线交于一点,
若2310x y -+=与10ax y --=平行,由
11231a --=≠-得23a =, 若4350x y ++=与10ax y --=平行,由11435a --=≠得4
3
a =-,
若三条直线交于一点,由23104350x y x y -+=??++=?,得1
13x y =-??
?=-??
,
代入10ax y --=得23
a =-, ∴q 真,23a =
或43a =-或23
a =-, ∵p q ∨真,∴p q 、至少有一个为真,
∴a 的取值集合为4212,,,,13333??--
-????
. 21.解:(1)()()211
1,0,x x f x x x x x
-++'=-+=
∈+∞, 由()0f x '>得2010x x x >??-++>?
解得0x <<
故()f x
的单调递增区间是? ??
; (2)令()()()()1,0,F x f x x x =--∈+∞,则有()21x F x x
-'=,
当()1,x ∈+∞时,()0F x '<, 所以()F x 在()1,+∞上单调递减,
故当1x >时,()()10F x F <=,即当1x >时,()1f x x <-; (3)由(2)知,当1k =时,不存在01x >满足题意,
当1k >时,对于1x >,有()()11f x x k x <-<-,则()()1f x k x <-,从而不存在01x >满足题意,
当1k <时,令()()()()1,0,G x f x k x x =--∈+∞,
则有()()2111
1x k x G x x k x x
-+-+'=-+-=,
由()0G x '=得,()2
110x k x ---=,
解得
120,1x x =
<=
>,
当()21,x x ∈时,()0G x '>,故()G x 在()21,x 内单调递增, 从而当()21,x x ∈时,()()10G x G >=,即()()1f x k x >-, 综上,k 的取值范围是(),1-∞.
22.
解:(1)∵2221
22
c e e a ===,∴2222222,2a c b c b c a b ==+==,
椭圆方程化为:22
2212x y b
b
+=,由题意知,椭圆过点
)
,
∴
2261
12b b
+=,解得224,8b a ==, 所以椭圆C 的方程为:22
184
x y +=; (2)当直线l 斜率存在时,设直线l 方程:1y kx =+,
由22281
x y y kx ?+=?=+?得()2221460k x kx ++-=,()22
1624210k k ?=++>, 设()()1221122122421
,,,,621k x x k A x y B x y x x k -?
+=??+?-?=
?+?
,
假设存在定点()0,Q t 符合题意,∵PQA PQB ∠=∠,∴QA QB k k =-, ∴
()()()()21121221121212121212
11QA QB x y x y t x x x kx x kx t x x y t y t k k x x x x x x +-++++-+--+=
+== ()()()()1212122124421063
kx x t x x k t k k t x x +-+--=
=+-==-, ∵上式对任意实数k 恒等于零,∴40t -=,即4t =,∴()0,4Q , 当直线l 斜率不存在时,,A B 两点分别为椭圆的上下顶点()()0,2,0,2-, 显然此时PQA PQB ∠=∠,综上,存在定点()0,4Q 满足题意.