山东省德州市2017-2018学年高二上学期期末考试数学文试题含答案

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高二数学(文科)试题

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知命题:0,1x p x e x ?>>+,则p ?为( ) A .0,1x x e x ?>≤+ B .0,1x x e x ?>≤+ C .0,1x x e x ?<≤+ D .0,1x x e x ?<≤+

2.抛物线22y x =的焦点坐标是 ( ) A .1,02??

???

B .10,2?? ???

C .1,08?? ???

D .10,8?? ???

3. 过点()1,0且与直线220x y --=平行的直线方程是( )

A .220x y +-=

B .210x y -+=

C .210x y --=

D .210x y +-=

4.若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤??

+≥??--≤?

,则2z x y =-的最大值为 ( )

A . 1

B .2 C. 3 D .4

5.函数()x

f x xe =在点()()

0,0A f 处的切线斜率为( )

A . 0

B .-1 C. 1 D .e

6. “02n <<”是“方程

22

113x y n n

-=+-表示双曲线”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件 D .既不充分也不必要条件

7.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据(单位:cm ),可知此几何体的体积是 ( )

A .324cm

B .

3

643

cm C. (36cm +

D .(3

24cm +

8. 圆224x y +=与圆()()2

2

3449x y -+-=的位置关系为( ) A .内切 B .相交 C. 外切 D .相离

9. 设,m n 是两条不同直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是( )

A .//,//m n αβ且//αβ,则//m n

B .,m n αβ⊥⊥且αβ⊥,则m n ⊥ C. ,,m n m n αβ⊥?⊥,则αβ⊥ D .,,m//,//m n n ααββ??,则//αβ

10. 过点(),0P 2引直线l 与曲线y =

,A B 两点,O 为坐标原点,当AOB ?的

面积取最大值时,直线l 的斜率等于( )

A ..±11.设12,F F 分别是双曲线()22

22:10,b 0x y C a a b

-=>>的左、右焦点.圆2222x y a b +=+与

双曲线C 的右支交于点A ,且1223AF AF =,则双曲线离心率为( )

A .

125 B .13512. 已知()0,2A ,抛物线()2

:0C y mx m =>的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于点

M ,与其准线相交于点N 中,若:FM MN =OFN 面积为( )

A ...第Ⅱ卷 非选择题(共90分)

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)

13.若曲线()1a

y x a R =+∈在点()1,2处的切线经过坐标原点,则a = .

14.某隧道的拱线设计半个椭圆的形状,最大拱高h 为6米(如图所示),路面设计是双向车道,

车道总宽为 4.5米,那么隧道设计的拱宽d 至少应是 米. 15.若()2

1ln 2

f x x b x =-

+在()1,+∞上是减函数,则b 的取值范围是 . 16.已知圆()()2

2

:5121C x y -+-=和两点()()(),0,,00A a B a a ->.若圆C 上至少存在一点P ,使得090APB ∠=,则a 的取值范围 .

三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.已知圆22:8120C x y x +-+=,直线:20l x ay a ++=. (1)当a 为何值时,直线l 与圆C 相切;

(2)当直线l 与圆C 相交于,A B 两点,且AB =l 的方程. 18. 如图,已知PA O ⊥

所在的平面,AB 是O 的直径,4,AB C =是O 上一点,且

0,45,AC BC PCA E =∠=是PC 中点,F 为PB 中点.

(1)求证://EF 面ABC ; (2)求证:EF ⊥面PAC ; (3)求三棱锥B PAC -的体积.

19. 已知函数()3

2

2f x ax bx x =+-,且()f x 在1x =和2x =处取得极值.

(1)求函数()f x 的解析式;

(2)设函数()()g x f x t =+,是否存在实数t ,使得曲线()y g x =与x 轴有两个交点,若

存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.

20.已知命题:p 直线20ax y +-=和直线()32110ax a y -++=垂直;命题:q 三条直线

2310,4x 3y 50,10x y ax y -+=++=--=将平面划分为六部分.若p q ∨为真命题,求实

数a 的取值集合.

21.已知函数()21ln 22

x f x x x =-+-. (1)求函数()f x 的单调递增区间; (2)证明:当1x >时,()1f x x <-;

(3)确定实数k 的值,使得存在01x >当()01,x x ∈时,恒有()()1f x k x >-.

22.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是2,过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于

,A B 两点,当直线l 与x 轴平行时,直线l 被椭圆C 截得的线段长为

(1)求椭圆C 的方程;

(2)在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q ,使得直线l 变化时,总有PQA PQB ∠=∠?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

试卷答案

一、选择题

1-5:BDCCC 6-10: ABABB 11、12:DA

二、填空题

13. 2 14. 32 15. (],1-∞ 16. []12,14

三、解答题

17.解:将圆C 的方程228120x y x +-+=化成标准方程为()2

2

44x y -+=,

则此圆的圆心为()4,0,半径为2. (1)若直线l 与圆C

2=,解得3

4a =-;

(2)过圆心C 作CD AB ⊥,则根据题意和圆的性质,

得2222

212CD CD DA AC DA AB ?=?

?

?+==???==?

?

,解得7a =-或1a =-,故所求直线方程为7140x y --=或20x y --=.

18.解:(1)证明:在三角形PBC 中,E 是PC 中点,F 为PB 中点, ∴//EF BC ,BC ?平面,ABC EF ?平面ABC ,∴//EF 面ABC ; (2)证明:∵PA ⊥面ABC ,BC ?平面ABC ,∴BC PA ⊥, 又∵AB 是O 的直径,∴BC AC ⊥, 又PA

AC A =,∴BC ⊥面PAC ,

∵//EF BC ,∴EF ⊥面PAC ;

(3)∵0

45PCA ∠=,∴PA AC =,

在Rt ABC ?中,∵,4AC BC AB ==

,∴AC BC ==,

∴182

3B PAC P ABC ABC V V S PA --?==

=

. 19.解:(1)()2

322f x ax bx '=+-, 因为()f x 在1x =和2x =处取得极值, 所以1x =和2x =是()0f x '=的两个根,

则21232123b a a ?+=-?????=-??

,解得1332a b ?

=-????=

??,

经检验符合已知条件,故()32

13232

f x x x x =-+-; (2)由题意知()()32

2132,3232

g x x x x t g x x x '=-

+-+=-+-, 令()0g x '=得,1x =或2x =,

()()g x g x '、随着x 变化情况如下表所示:

由上表可知()()()()1,263

g x g t g x g t ==-

==-极小值极大值, 又x 取足够大的正数时,()0g x <,

x 取足够小的负数时,()0g x >,

因此,为使曲线()y g x =与x 轴有两个交点,结合()g x 的单调性, 得()506g x t =-=极小值或()2

03

g x t =-=极大值, ∴56t =

或2

3

t =, 即存在t ,且56t =或2

3

t =时,曲线()y g x =与x 轴有两个交点.

20.解:p 真:()23210a a -+=,()()2

3213110a a a a --=+-=,∴13

a =-或1a =,

q 真:∵2310x y -+=与4350x y ++=不平行,

则2310x y -+=与10ax y --=平行或4350x y ++=与10ax y --=平行或三条直线交于一点,

若2310x y -+=与10ax y --=平行,由

11231a --=≠-得23a =, 若4350x y ++=与10ax y --=平行,由11435a --=≠得4

3

a =-,

若三条直线交于一点,由23104350x y x y -+=??++=?,得1

13x y =-??

?=-??

代入10ax y --=得23

a =-, ∴q 真,23a =

或43a =-或23

a =-, ∵p q ∨真,∴p q 、至少有一个为真,

∴a 的取值集合为4212,,,,13333??--

-????

. 21.解:(1)()()211

1,0,x x f x x x x x

-++'=-+=

∈+∞, 由()0f x '>得2010x x x >??-++>?

解得0x <<

故()f x

的单调递增区间是? ??

; (2)令()()()()1,0,F x f x x x =--∈+∞,则有()21x F x x

-'=,

当()1,x ∈+∞时,()0F x '<, 所以()F x 在()1,+∞上单调递减,

故当1x >时,()()10F x F <=,即当1x >时,()1f x x <-; (3)由(2)知,当1k =时,不存在01x >满足题意,

当1k >时,对于1x >,有()()11f x x k x <-<-,则()()1f x k x <-,从而不存在01x >满足题意,

当1k <时,令()()()()1,0,G x f x k x x =--∈+∞,

则有()()2111

1x k x G x x k x x

-+-+'=-+-=,

由()0G x '=得,()2

110x k x ---=,

解得

120,1x x =

<=

>,

当()21,x x ∈时,()0G x '>,故()G x 在()21,x 内单调递增, 从而当()21,x x ∈时,()()10G x G >=,即()()1f x k x >-, 综上,k 的取值范围是(),1-∞.

22.

解:(1)∵2221

22

c e e a ===,∴2222222,2a c b c b c a b ==+==,

椭圆方程化为:22

2212x y b

b

+=,由题意知,椭圆过点

)

2261

12b b

+=,解得224,8b a ==, 所以椭圆C 的方程为:22

184

x y +=; (2)当直线l 斜率存在时,设直线l 方程:1y kx =+,

由22281

x y y kx ?+=?=+?得()2221460k x kx ++-=,()22

1624210k k ?=++>, 设()()1221122122421

,,,,621k x x k A x y B x y x x k -?

+=??+?-?=

?+?

假设存在定点()0,Q t 符合题意,∵PQA PQB ∠=∠,∴QA QB k k =-, ∴

()()()()21121221121212121212

11QA QB x y x y t x x x kx x kx t x x y t y t k k x x x x x x +-++++-+--+=

+== ()()()()1212122124421063

kx x t x x k t k k t x x +-+--=

=+-==-, ∵上式对任意实数k 恒等于零,∴40t -=,即4t =,∴()0,4Q , 当直线l 斜率不存在时,,A B 两点分别为椭圆的上下顶点()()0,2,0,2-, 显然此时PQA PQB ∠=∠,综上,存在定点()0,4Q 满足题意.

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