高考数学(理科)专题教学案:平面向量的线性运算及综合应用(含答案)

常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用

ep]

[真题感悟]

1.(2011·江苏卷)已知e 1,e 2是夹角为2

3π的两个单位向量,a =e 1-2e 2,b =k e 1+e 2,若a·b

=0,则k 的值为________.

解析 因为e 1,e 2是夹角为2

3

π的两个单位向量,所以

e 1·e 2=||e 1||e 2cos 〈e 1,e 2〉=cos 2π3=-1

2,又a·b =0,所以(e 1-2e 2)·(k e 1+e 2)=0,

即k -12-2+(-2k )????-12=0,解得k =5

4. 答案 5

4

2.

(2012·江苏卷)如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB →·AF →=2,则AE →·BF →的值是________.

解析 以顶点A 为坐标原点,AB 、AD 所在直线分别为x ,y 轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),E (2,1),设F (x,2),所以AB →·AF →=(2,0)·(x,2)=2x =2?x =1,即F (1,2),所以AE →·BF →=(2,1)·(1-2,2)=2(1-2)+2= 2. 答案

2

3.(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t )b .若b ·c =0,则t =________.

解析 因为向量a ,b 为单位向量,又向量a ,b 的夹角为60°,所以a ·b =12,由b·c =0,得

∴b ·c =t a ·b +(1-t )·b 2=12t +(1-t )×12=12t +1-t =1-1

2t =0.∴t =2.

答案 2

4.(2013·山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°,且|AB →|=3,|AC →|=2.若A P →=λAB →+AC →

,且AP →⊥BC →

,则实数λ的值为________.

解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →=0,即AP →·BC →=(λAB →+AC →)·(AC →-AB →)=(λ-1)AB →·AC →-λA B →2+AC

2=(λ-1)×3×2×????-12-λ×9+4=0,解得λ=712. 答案

7

12

[考题分析]

高考对本内容的考查主要有:

平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B 级,只有平面向量的应用为A 级要求,平面向量的数量积为C 级要求,应特别重视.

m]

试题类型可能是填空题,同时在解答题中经常与三角函数综合考查,构成中档题.

1.向量的概念

(1)零向量模的大小为0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向量为±a

|a |.

(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).

(4)如果直线l 的斜率为k ,则a =(1,k )是直线l 的一个方向向量. (5)|b |cos 〈a ,b 〉叫做b 在向量a 方向上的投影. 2.两非零向量平行、垂直的充要条件

设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),

(1)若a ∥b ?a =λb (λ≠0);a ∥b ?x 1y 2-x 2y 1=0. (2)若a ⊥b ?a ·b =0;a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0. 3.平面向量的性质

(1)若a =(x ,y ),则|a |=a·a =x 2+y 2. (2)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 |A B →

|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.

(3)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ为a 与b 的夹角,则cos θ=a ·b |a||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21x 22+y 22.

4.当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示,就要根据向量加减法的法则进行,特别是减法法则很容易使用错误,向量MN →=ON →-OM →

(其中O 为我们所需要的任何一个点),这个法则就是终点向量减去起点向量.

5.根据平行四边形法则,对于非零向量a ,b ,当|a +b |=|a -b |时,平行四边形的两条对角线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a +b |=|a -b |等价于向量a ,b 互相垂直,反之也成立.

6.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可

能是0或π的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要求不能反向共线.

热点一 平面向量的线性运算

【例1】 (2013·江苏卷)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =2

3BC .

若DE →=λ1AB →+λ2AC →

(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.

解析 如图,DE →=DB →+BE →=12AB →+23BC →=12AB →+23(AC →-AB →

)=-16AB →+23AC →,则λ1=-16,λ2

=23,λ1+λ2=1

2. 答案

1

2

[规律方法] 在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量当作字母,其运算类似于代数中合并同类项的运算,在计算时可以进行类比.本例中的第(1)题就是把向量DE →

AB →,AC →表示出来,再与题中已知向量关系式进行对比,得出相等关系式,可求相应的系数.

【训练1】 (2013·天津卷)在平行四边形ABCD 中,AD =1,∠BAD =60°,E 为CD 的中点.若

AC →·BE →=1,则AB 的长为________.

解析 在平行四边形ABCD 中,取AB 的中点F ,则BE →=FD →,∴BE →=FD →=AD →-12AB →,又AC

→=AD →+AB →,

∴AC →·BE →=(AD →+AB →)·(AD →-12AB →)=AD →2-12AD →·AB →+AD →·AB →-12AB →2=|AD →

|2+12|AD →||AB →|·cos

60°-12|AB →|2=1+12×12|AB →|-12|AB →

|2=1.

∴????12-|AB →||AB →|=0,又|AB →|≠0,∴|AB →|=12. 答案 12

热点二 平面向量的数量积

【例2】 (2013·苏州期中)已知O ,A ,B 是平面上不共线的三点,设P 为线段AB 垂直平分线上任意一点,若|OA →|=7,|OB →|=5,则OP →·(OB →-OA →)的值为________. 解析 设AB 的中点为C ,则

OP →·(OB →-OA →)=(OC →+CP →)·AB →=OC →·AB → =12

(OA →+OB →)·(OB →-OA →)

=12(|OB →|2-|OA →

|2)=12(25-49)=-12.

答案 -12

[规律方法] 求数量积的最值,一般要先利用向量的线性运算,尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量,利用向量的数量积运算建立目标函数,利用函数知识求解最值. 【训练2】 (2013·湖南卷)已知a ,b 是单位向量,a ·b =0.若向量c 满足|c -a -b |=1,则|c |的取值范围是________.

解析 由a ,b 为单位向量且a ·b =0, 可设a =(1,0),b =(0,1),又设c =(x ,y ), 代入|c -a -b |=1得(x -1)2+(y -1)2=1, 又|c |=x 2+y 2,

故由几何性质得12+12-1≤|c |≤12+12+1, 即2-1≤|c |≤2+1. 答案 [2-1,2+1]

热点三 平面向量与三角函数的综合

【例3】 (2013·南通调研)已知向量m =(sin x ,-1),n =(cos x,3). (1)当m ∥n 时,求sin x +cos x 3sin x -2cos x

的值;

(2)已知在锐角△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,3c =2a sin(A +B ),函数f (x )=(m +n )·m ,求f ????B +π

8的取值范围. 解 (1)由m ∥n ,可得3sin x =-cos x ,

于是tan x =-13,∴sin x +cos x 3sin x -2cos x =tan x +13tan x -2

=-1

3+13×????-13-2=-2

9.

(2)在△ABC 中A +B =π-C ,于是 sin(A +B )=s in C , 由正弦定理,得3sin C =2sin A sin C , ∵sin C ≠0,∴sin A =

32.又△ABC 为锐角三角形,∴A =π3,于是π6

2

.∵f (x )=(m +n )·m =(sin x +cos x,2)·(sin x ,-1)=sin 2 x +sin x cos x -2=1-cos 2x 2+12sin 2x -2=2

2sin ????2x -π4-3

2

∴f ????B +π8=22sin ????2????B +π8-π4-32=22sin 2B -32.由π6

2<

22sin 2B -32≤22-32

, 即f (B +π8)∈???

?-32,22-32.

[规律方法] 在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题.在解决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.

【训练3】 (2013·江苏卷)已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a -b |=2,求证:a ⊥b ;

(2)设c =(0,1),若a +b =c ,求α,β的值.

(1)证明 由|a -b |=2,即(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=2,整理得cos αcos β+sin αsin β=0,即a ·b =0,因此a ⊥b .

(2)解 由已知条件得?

????

cos α+cos β=0,sin α+sin β=1,

cos β=-cos α=cos(π-α),由0<α<π,得0<π-α<π,又0<β<π,故β=π-α.则sin α+sin (π-α)=1,即sin α=12,故α=π6或α=5π6.当α=π6时,β=5π

6(舍去)

当α=5π6时,β=π

6.

备课札记:

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