定角定轨问题

定角定轨问题初探

─濒湖晨光学校石*成

【2014年八年级期末第26题第3问】大意是:已知AB :4+-=x y ,动点P 是第四象限的一点,且∠OPB =135°,试判断AP 与BP 的位置关系,并说明理由.

【参考答案提供的方法】延长PB 到P ′,过O 作O P ′⊥BP ′,二者交于点P ′. ∵︒=∠135OPB ∴︒=∠45OPP'

定角定轨问题

∵︒=∠90P'OP ∴OP'OP = ∵︒=∠=∠90P'OP AOB

∴P'OP BOP BOP AOB ∠+∠=∠+∠

即BOP'AOP ∠=∠

∵4:+-=x y AB

∴4==OB OA

∴AOP ∆≌'BOP ∆)(ASA ∴21∠=∠

又43∠=∠,

∴︒=∠=∠90AOB APB

即BP AP ⊥

【反思】 学生考试时,我未参加监考,也在做这份试题,因为ΔAOB 是等腰直角三角形,所以首先想到将ΔOBP 绕O 点逆时针旋转90°,明知旋转后BP 是落在AP 上,但不好表达,就放弃了,另辟途径;当时没有想到参考答案提供的方法.现在再回想一下,参考答案的方法其实也是一种旋转:不过所选择不是ΔOBP ,而是ΔOAP 绕O 点顺时针旋转90°,虽然两者实质是一样的,但后者更易入手证明;估计初次解答这道题的师生可能也有类似的经历.因为犯难了,所以只好打开几何画板,按题意作图.在作图过程中,首先必须面对∠OPB =135°如何作出?这样很自然地就想到了P 点的轨迹问题,应该是一段圆弧,再想到∠OAB =45°,∠OPB =135°,这一对对角互补,就有了O 、A 、B 、P 四点共圆,又由于∠AOB =90°,就确定了圆的直径,接着就确定了圆心,思路定下来之后,就写了几句,写完就跑到打印室,在学校办公的电脑上传到群中(我自己的电脑是386,内存256M ,太小太老,没法联网),这就是在群中所说的证明方法.虽然这种方法对八年级学生不适用,但却是本题最简单的一种证明方法.接下来又以本题为基础,新编制了若干定角问题,以问题征解的形式将其中一道题发给清水河中学的卢老师,请他思考.没想到,居然解答出来了!只是他不敢确定他的结果(他本人感觉得数有点怪)是否正确,要我确认,我没有具体去做,只看了一下思路没错,卢老师,高人!实在是高人!

卢老师在白纸上写了一个简单的解答提纲,然后用手机拍照,将照片发到群里,大家若有兴趣,可回头再查看一下,题目中P 点应改为M ,是我打错了.以下是原题及完整解答: (本人一向粗心大意,下面可能还有错漏之处,如此,请热心同仁指正,以便修改)

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