用换元法解方程
用换元法解方程
例1、（6x+7）2
（3x+4）（x+1）=6 解：令3x+
27=y ，则6x+7=2y ，3x+4=y+21，x+1=31（y-2
1） 原方程变形为：（2y ）2（y+21）（y-2
1）=18， 即4y 4-y 2-18=0 解之得y 2=49 y 2=-21 所以y 1=23 y 2=-23 y 3=2i y 4=-2i 所以原方程的解：x 1=-32 x 2=-35 x 3=-67+32i x 4=-67-32i 例2、解方程x 1 +x
211-=1235 解：由于定义域是0＜|x|＜1，可引入三角代换x=sin θ（-
2π＜θ＜2π），于是原方程可变形为sin 1+cos 1=1235，即θθθ2sin cos sin +=24
35 两边平方，得： θθ22sin 1sin
2+=5671225 于是得到一个一元二次方程：1225sin 2
2θ-567sin2θ-567=0， 解之得 sin2θ=2524或sin2θ=-4924 所以 cos2θ=±257或cos2θ=±14
735 因此，x=sin θ=±
53，±54，±14735+，±14735- 经检验，x=-53，-54，14735+，±14
735-都是增根，所以原方程的根是x 1=53，x 2=54，x 3=-14
735+ 例3、解方程6622+-x x =21+2x-x 2
解：将原方程变形为：x 2-2x+6+6
622+-x x -27=0 令y=622+-x x ，则有y 2+6y-27=0。解的y=3；y=-9（舍去）。由622+-x x =3，解得x 1=-1，x 2=3，均为原方程的解
例4、解方程-x
236+x 72-11=（x-6）2
解：将方程右边展开经变形可得：（x 2+12+x 236
）-12（x+x
6）+35=0 令u= x+
x
6，代入上式，得 u 2-12u+35=0，解得u 1=5，u 2=7. 由x+x 6=5，解得x 1=2，x 2=3；由x+x
6=7，x 3=1，x 4=6，他们都是原方程的解 例4、 数列{n a }中，a1=1，1+n a =161(1+4n a +n a 241+)求n a . (构建{}n b ，使n b =n a 241+>0，则b1=5,2
n
b =1+24n a ,则2412-=n n b a ，故)24
141(161241221n n n b b b +-?+=-+，所以()221)3(2+=+n n b b ，所以()32131-=-+n n b b ，{bn-3}是以2为首项，1/2为公比的等比数列，=-=2412n n b a 112231
232--?+?+n n ）
利用换元法解方程组
2 例如：x 2 3x x 2 3x 2 3x 2 2x 3x 2 2x 4x 2 5x 观察发现 2 3x 2 3x 2x 4x 2 5x 1，故可设 x 2 3x 2 3x 2 2x v ，原方程变为u 2 uv v 2 ，方程由繁变简，可得解? 第 6 讲利用换元法解方程 、方法技巧 （一） 换元法 解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的 . （二） 运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、 整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次 （三） 换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的， 不同的方程就有不同的换元方 法，因此， 这种方法灵活性大，技巧性强?恰当地换元，可将复杂方程化简，以 便寻求解题的途径. 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等. 82，使方程变得易解，这是均值换元法 例如: 5 — 6 0，可使用局部换元法, x 1 ②x 2 0,变形后也可使用局部换元法，设 2x 2 ~2 x x 2 1 19 —，看着很繁冗，变形整理成 6 x 2 x 2 2 x 2 x 19 一 —时，就可使用局部换兀法 6 82 , 可设 口 x 2，方程变成 ⑤6x 4 5x 3 38x 2 5x 符合与中间项等距离的项的系数相等, 如6x 4 与6 , 5x 3与5x 系数相等，可构造 x 1换元，是倒数换元法. x ⑥x 3 2、.3x 2 3x .3 1 0 ,不易求解，若反过来看，把设 x 看作已知数, 把.3设为设t ，则方程就变成x t 2 2x 2 1 t 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法 有时根 据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简, 求解的目的
(完整版)初中数学知识点总结分式方程和无理方程
初中数学知识点总结分式方程和无理方程 知识点总结 一．分式方程、无理方程的相关概念： 1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2．无理方程：根号内含有未知数的方程。（无理方程又叫根式方程） 3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。 二．分式方程与无理方程的解法： 1．去分母法： 用去分母法解分式方程的一般步骤是： ①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； ②解这个整式方程； ③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。 2．换元法： 用换元法解分式方程的一般步骤是： ②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想； ③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解； ④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。 解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。 三．增根问题： 1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。 2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。 3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。 解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。 常见考法 （1）考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主； （2）分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。 误区提醒
合并法换元法解元次方程组
合并法、换元法解二元一次方程组 （一）知识教学点 1．掌握用合并法、换元法解二元一次方程组的步骤． 2．熟练运用合并法、换元法解二元一次方程组． （二）能力训练点 1．培养学生的观察分析能力; 2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯． （三）德育渗透点 消元，化未知为已知的数学思想． （四）美育渗透点 通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美． 二、学法引导 1．教学方法：引导发现法、练习法，指导法． 2．学生学法：在前面已经学过二元一次方程组的解法，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法． 三、重点、难点、疑点及解决办法 （－）重点 使学生会用合并法、换元法解二元一次方程组． （二）难点 灵活运用合并法、换元法的技巧． （三）疑点 如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．
四、课时安排 一课时． 五、教具学具准备 电脑 投影仪． 六、教学过程 一导 运用导学案 自主学习 （一）解二元一次方程组的基本思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.而对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错.若能根据题目的特点，适时改进方法，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地解出方程组. （二）自主探究请同学们根据提示用合并法解二元一次方程组 （略） 设计意图：以学生的兴趣为主，由易至难，逐层递进，逐步完成各个任务。 （三）总结 二研 合作学习 研究探讨 （一）例题解析 （1） ???-=+=+② 10y 65x ① 1056y x
（2） ???=+-=-+-② 72009)-7(2010y 9)4(2x ① 3)20092010(3)92(2y x 设计意图：合作探究，探索比较，发现规律，使每位学生参与其中，成为课堂的主人，提高解题技巧 （二）练习题 （1）???=+=+② 79y 137x ① 61713y x （2）???=+=+② 74y 1911x ① 1061119y x （3）?????-=--+=-++.1106,3106y x y x y x y x （4）??? ????=--+=-++.86)32(55)1(3,36)32(5)1(2y x y x 设计意图：竞赛完成，激发学习热情，巩固强化 三验 课堂小测验（略） 设计意图：对学生完成情况及时了解，及时总结，对课堂教学及时反思，对下一步的教学进行适时，适当的调整。并对学生的解题情况进行总体的评价，要本着激励的原则，使学生有成就感。
利用换元法解方程(组)教学内容
第6讲 利用换元法解方程 一、方法技巧 （一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的. （二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程. 解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次. （三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方 法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径． 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等． 例如：① 256011x x x x ????++= ? ?++? ??? ，可使用局部换元法，设1x y x =+ ②22110x x x x +++=，变形后也可使用局部换元法，设1x t x += ③222212219116 x x x x x x x +++++=+++，看着很繁冗，变形整理成222211191116 x x x x x x +++++=+++时，就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=，可设()()3122x x y x +++==+，方程变成 ()()441182y y ++-=，使方程变得易解，这是均值换元法. ⑤4326538560x x x x +-++=，符合与中间项等距离的项的系数相等， 如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x + 换元，是倒数换元法. ⑥32310x x +++=，不易求解，若反过来看，把设x 看作已 t ，则方程就变成()() 2232110x t x t x ?+++-=， 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法. 有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的. 例如：
综合解一元二次方程—换元法
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练 【知识要点】 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母 来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元 的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例解析】 例1．用适当方法解下列方程： （1）2x2﹣5x﹣3=0 （2）16（x+5）2﹣9=0 2 2 2 ． （3）（x+x）+（x+x）=6 例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可； （2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2= ，直接开方即可；（3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可． 解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49， ∴x= = = ， ∴x1=3，x2=﹣； （2）整理得，（x+5）2=， 开方得，x+5=±， 即x1=﹣4 ，x2=﹣5 ， 2 +x，将原方程转化为2 ， （3）设t=x t+t=6 因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0， 解得t1=2，t2=﹣3． 2 2 ∴x+x=2或x+x=﹣3（△＜0，无解）， ∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2．
换元法解方程
换元法解方程 西安市第八十五中学江树基 换元法是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的．换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用方法有均值代换、多元代换、常数代换等． 解分式方程、无理方程、高次方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、高次方程逐步降次，实现这一基本思想的方法有多种，其中换元法是常用的一种重要方法，本文注重研究用换元法解方程的技能、技巧． 一、分式方程 分析：这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设 ∴（y-1）2=0，解得y=1． 经检验，x 1，x 2 都是原方程的根． 分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设y=x2+2x． 解：设y=x2+2x，则原方程可化为 即y2-y-12=0，解得y1=4，y2=-3．
x2＋2x=-3，无实数解． 例3 解方程 分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设y=x2＋2x＋10． 解：设y=x2＋2x＋10，则原方程可化为 解得y =9x，y2=-5x. 1 由x2＋2x＋10=9x，解得x =5，x2=2． 1 由x2＋2x＋10=-5x，解得x =-5，x4=-2． 3 经检验知，它们都是原方程的解． 注：以上三个例子可看出，换元时必须对原方程进行仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，化繁为简，达到解方程的目的． 二、无理方程 两边立方，并整理得 y3-2y2＋3y=0，即y（y2-2y＋3）=0， ∴y=0或y2-2y＋3=0，无解． 经检验知x=-1是原方程的解． 可设两个未知数，利用韦达定理解． 原方程为m＋n=1，又∵（m＋n）3=m3＋n3＋3mn·（m+n）=4+3mn=1，∴mn=-1．
方程解的情况及换元法
知识点：方程解的情况及换元法 1．一元二次方程的根的情况是. A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2．不解方程,判别方程3x2-5x+3=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 3．不解方程,判别方程3x2+4x+2=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 4．不解方程,判别方程4x2+4x-1=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 5．不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 6．不解方程,判别方程5x2+7x=-5的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 7．不解方程,判别方程x2+4x+2=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 不解方程,判断方程5y+1=2y的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 用换元法解方程时, 令= y,于是原方程变为. A.y-5y+4=0 B.y-5y-4=0 C.y-4y-5=0 D.y+4y-5=0 10. 用换元法解方程时,令= y ,于是原方程变为. A.5y-4y+1=0 B.5y-4y-1=0 C.-5y-4y-1=0 D.-5y-4y-1=0 11. 用换元法解方程()2-5()+6=0时，设=y，则原方程化为关于y的方程是 . A.y2+5y+6=0 B.y2-5y+6=0 C.y2+5y-6=0 D.y2-5y-6=0
谈无理方程的解法
宿城区中扬中学 张家旭 根号下含有未知数的方程叫无理方程。解无理方程的指导思想是通过乘方把无理方程转化为有理方程。由于在乘方过程中扩大了方程中未知数的取值范围，可能会产生增根，所以，解无理方程一定要验根，验根是必不可少的步骤。但对一些特殊的方程可考虑用特殊的方法来解，比较方便。现将解无理方程的基本方法和几种特殊方法归纳如下，供参考。 一、观察法 例1、 解方程 )2(5222+-=+x x 解：无论x 取什么值时，522+x 恒为正，而)2(2+-x 恒为负，矛盾。所以，此方程无解。 例2、 解方程 53-=-x x 解：根据算术根的定义，要保证x -3有意义，必须要x ≤3，而要使53-=-x x 有意义，必须要使x ≥5，这显然矛盾。所以，原方程无解。 例3、解方程 638=---x x 解：要使8-x 有意义，x ≥8，要使x -3有意义，x ≤3，显然不存在同时满足这两个条件的x 值。故此方程无解。 例4、解方程 x x x 21679-=-+- 分析：这个方程的特点是：左边两个根号下的被开方式的和等于右边根号下的被开方式。所以，由观察可得其解。 解：原方程可化为)7()9(79x x x x -+-=-+- 由观察得x=7或者x=9 显然x=9是增根。所以，原方程的解为x=7。 注：我们对一些较为简单的或者是有特殊关系的无理方程，可通过观察，根据算术根的定义或利用根式的有关性质，直接判断它们解的情况。这样，可不必盲目的去解方程，避免走弯路。 二、直接平方法 例5、解方程 x x x =-+2722 解：移项得，=+x x 722x+2 两边平方整理得，0432=-+x x 解得，4,121-==x x 经检验，42-=x 是增根。所以，原方程的解为x=1 。 注：含有一个根式的无理方程，通过整理后，通常要进行一次平方，即可把无理方程转化为有理方程。 例6、解方程 1542=+--x x 解：移项、两边平方并整理得，5210+=-x x 两边再平方并整理得， 080242=+-x x 解得 x =20， 或者x=4， 经检验，x=4是增根。所以，原方程的解为x=20。 注：含有两个根式的无理方程，通过整理后，通常要进行两次平方才能获得方程的解。 三、换元法 例7、解方程 0393253222=+++-+x x x x
综合解一元二次方程—换元法
综合解一元二次方程— 换元法 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练 【知识要点】 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例解析】 例1．用适当方法解下列方程： （1）2x2﹣5x﹣3=0 （2）16（x+5）2﹣9=0 （3）（x2+x）2+（x2+x）=6． 例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法 （1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可； （2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2=，直接开方即可； （3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可． 解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49， ∴x===， ∴x1=3，x2=﹣； （2）整理得，（x+5）2=， 开方得，x+5=±， 即x1=﹣4，x2=﹣5， （3）设t=x2+x，将原方程转化为t2+t=6， 因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0， 解得t1=2，t2=﹣3． ∴x2+x=2或x2+x=﹣3（△＜0，无解）， ∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2． 例2．解方程：（1）（x+3）（x﹣1）=5
知识点 用去分母法或换元法求分式方程的解
一、选择题 1. （2011?江苏宿迁，5，3）方程1 1112+=-+x x x 的解是（ ） A 、﹣1 B 、2 C 、1 D 、0 考点：解分式方程。 专题：计算题。 分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：方程的两边同乘（x+1），得 2x ﹣x ﹣1=1， 解得x=2． 检验：把x=2代入（x+1）=3≠0． ∴原方程的解为：x=2． 故选B ． 点评：本题考查了解分式方程：注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根． 2. （2011山西，9，2分）分式方程1223 x x =+的解为（ ） A ．1x =- B ． 1x = C ． 2x = D ． 3x = 考点：分式方程 专题：分式方程 分析：解分式方程的一般步骤：先化分式方程为整式方程， 解这个整式方程， 验根， 点明原分式方程的根． 解答：B 点评：掌握解分式方程的一般步骤即可，解分式方程切记要验根． 3. （2011四川凉山，10，4分）方程24321 x x x x x ++=++的解为（ ） A ．124,1x x == B ．12x x = = C ．4x = D ．124,1x x ==- 考点：解分式方程． 专题：计算题． 分析：把等号左边的第一项分母分解因式后，观察发现原分式方程的最简公分母为x （x ＋1），方程两边乘 以最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：原方程可化为：1 32)1(4+=+++x x x x x ， 方程两边都乘以x （x ＋1）得： x ＋4＋2x （x ＋1）＝3x 2，即x 2－3x －4＝0， 即（x －4）（x ＋1）＝0， 解得：x ＝4或x ＝－1， 检验：把x ＝4代入x （x ＋1）＝4×5＝20≠0；把x ＝－1代入x （x ＋1）＝－1×0＝0， ∴原分式方程的解为x ＝4． 故选C ． 点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解； （2）解分式方程一定注意要验根．学生要认识到分式方程验根的原因是在方程两边乘以最简公分母转化为整式方程后，整式方程与分式方程不一定是同解方程．
高中数学解题基本方法——换元法
高中数学解题基本方法——换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 ·a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) ·log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。
第七讲 分式方程和无理方程的解法
分式方程和无理方程的解法 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根． 分析：去分母，转化为整式方程． 解：原方程可化为： 142 12(2)(2)2 x x x x x +-=++-- 方程两边各项都乘以2 4x -： 2(2)42(2)4x x x x -+-+=- 即2 364x x -=-， 整理得：2 320x x -+= 解得：1x =或2x =． 检验：把1x =代入2 4x -，不等于0，所以1x =是原方程的解； 把2x =代入24x -，等于0，所以2x =是增根． 所以，原方程的解是1x =． 说明： (1) 去分母解分式方程的步骤： ①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根． (2) 验根的基本方法是代入原方程实行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．所以我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解． 2．用换元法化分式方程为一元二次方程 【例2】解方程 22 23()4011 x x x x --=-- 分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点， 设 2 1x y x =-，即得到一个关于y 的一元二次方程．最后在已知y 的值的情况下，用去分母的方法解方程 2 1 x y x =-． 解：设 2 1 x y x =-，则原方程可化为：2340y y --= 解得4y =或1y =-．
换元法解方程
换元法 在因式分解中,把一个较复杂的数学式子的某一部分看成一个整体,用一个字母去代替这一部分,使原式变成含有新元的简单式子,在分解后再将新元换出,这种方法叫换元法. 1.10)3)(4(22+++-+x x x x 2.24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x 3.20)5)(1)(3(2-+-+x x x 4.90)384)(23(22-++++x x x x 5.)(4)(22222y x xy y xy x +-++ 6.2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x 7.4482--a a 8.yz z y x 2222+-- 9. 644+x 10. 2214176y xy x -- 11. 581337622-++--y x y xy x 12.1433181892022-+--+y x y xy x 13. 2820152-+--y x xy x 14.12)2)(1(22-++++x x x x
15.1)1(2)(3---++y x xy y x 16. 222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x 17. 已知乘法公式 a 5+b 5=(a+b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)，a 5-b 5=(a-b)(a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3+b 4),利用或不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+1. 五.待定系数法 1. 192256112--x x 2.744272234+---x x x x 3.156234+-+-x x x x 六.因式定理 余数定理 ).()()(a f a x x f 的余数等于 除以多项式- 因式定理 整除能被则即的值为零，多项式如果a x x f a f x f a x -==)(,0)( )(,).)(a x x f -含有因式（即
用换元法解各种复杂方程
用换元法解各种复杂方程 用换元思想探索双二次方程、无理方程、分式方程这三类方程的解法。 [内容综述] “换元法”是一种重要的数学方法，它可以把较复杂的问题转化为较简单的问题去解决。在解高次方程、分式方程、无理方程的过程中都可以应用换元方法，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元一次或一元二次方程的目的。 [问题精讲] 1.在中学课程中,只要求学生会解一些特殊的高次方程,最常见的就是“双二次方程”，即只含有未知数的四次项、二次项和常数项的方程。对于这类方程,可以经过对二次项的换元转化为一元二次方程。例1，解方程(x 2+1)2=x 2+3 分析:思路1：以x 2+1为一个整体进行换元，因此要对方程右边进行变形使其含有x 2+1。 思路2：把方程展开成标准的双二次方程，再对x 2 进行换元。 解法一：原方程可化为(x 2+1)2-(x 2+1)-2=0，设x 2+1=y 得y 2-y-2=0， 解得 y 1=2，y 2=-1，x 2+1=-1无实根， 由x 2+1=2解得x 1=1，x 2=-1。 解法二：由原方程得x 4+x 2-2=0，设x 2=y （解题熟练时，这一换元过程也可以不写出） 得y 2+y-2=0，解得y 1=1，y 2=-2，x 2=-2无实根， 由x 2=1解得x 1=1，x 2=-1。 注意：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元方法都可以应用。例如在牛刀小试题1中，可以设4x 2+2=y ，则原方程化为y 2+y-12=0；也可以设4x 2+1=y ，则原方程化为y 2+3y-10=0（选C ），（还可以设4x 2=y 等等，学生可以自己练习）。但是无论采用哪一种换元方法，所得方程的解都是相同的。 2.解无理方程时，常把原方程中的一个含有未知数的根式作为整体进行换元，达到化去根号转化为可解方程的目的。这时经过变形，原方程的某个整式部分常可表示为新元的平方。 例2，解方程051356222=-----x x x x 分析：为使原方程中出现形式相同的部分，可以将其变形为 03135)13(222=------x x x x 。 解：设y x x =--132，则原方程可以化为2y 2-5y-3=0 解得（不符合算术根的定义，舍去。） 由3132=--x x 得x 1=5，x 2=-2，经检验是原方程的根。
一元二次方程中的整体思想(换元法)
一元二次方程中的整体思想（换元法） 一、内容概述 所谓整体思想就是从问题整体性质出发，发现问题及整体结构的特性，从而导出局部结构和元素的特性，这是中学数学竞赛常用解题思想之一。最具体的代表就是换元法的运用。 二、例题解析 初中阶段，在各年级的数学代数学习中，时常会碰到换元法。何为换元法呢？解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去替换从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以变高次为低次，化无理为有理。 （一）换元法在解方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而我们会碰到这样的困难：利用这些常规的变形方法解题，往往会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果，这可怎么办呢？对于某些方程，我们可以用新的未知数来替换原有未知数的某些代数式，把原方程化成一个易解的方程。 1.利用倒数关系换元 例1 解分式方程：224343x x x x +=-- 分析：此分式方程若两边同时去分母的话，会产生高次方程，比较复杂难解。但是若稍加整理成2243403x x x x -+ +=-，则可利用式子之间的倒数关系换元，这样问题就简单了。 解：移项整理得 2243403x x x x -+ +=- 设23x x y -=，则原方程可化为440y y ++= 去分母得2440y y ++= 解得122y y ==- 当2y =-时，232x x -=- 解得11x = 22x = 经检验：11x = 22x =是原方程的根 所以，原方程的根为11x = 22x = 练习1 103 =
无理方程的解法
无理方程解法 定义:根号下含有未知数的方程,叫做无理方程. 1.平方法解无理方程 例1解方程1x = 分析:移项、平方,转化为有理方程求解. 解:移项得1x =+ 两边平方得:2721x x x +=++ 移项,合并同类项得:260x x +-= 解得:3x =-或2x = 检验:把3x =-代入原方程,左边≠右边,所以3x =-就是增根. 把2x =代入原方程,左边 = 右边,所以2x =就是原方程的根. 所以,原方程的解就是2x =. 说明:含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤: ①移项,使方程的左边只保留含未知数的二次根式,其余各项均移到方程的右边;②两边同时平方,得到一个整式方程;③解整式方程;④验根. 例2解方程3+= 分析:直接平方将很困难.可以把一个根式移右边再平方,这样就可以转化为上例的模式,再用例4的方法解方程. 解:原方程可化为3=- 两边平方得:3293x x -=-+ 整理得:1427x x =-?=- 两边平方得:2 9(3)4914x x x +=-+ 整理得:223220x x -+=,解得:1x =或22x =. 检验:把1x =代入原方程,左边=右边,所以1x =就是原方程的根. 把22x =代入原方程,左边≠右边,所以22x =就是增根. 所以,原方程的解就是1x =.
例3解方程 解:移项得 两边平方后整理得 再两边平方后整理得x 2＋3x-28＝0, 所以 x 1=4,x 2=-7. 经检验知,x 2=-7为增根,所以原方程的根为x=4. 说明:含未知数的二次根式恰有两个或三个的无理方程的一般步骤: ①移项,使方程的一边只保留一个含未知数的二次根式;②两边平方,得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程;③一下步骤同例4的说明. 2.换元法解无理方程 例4 解方程 22 3152512x x x x ++++= 分析:本题若直接平方,会得到一个一元四次方程,难度较大.注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系,可以发现:2231533(51)x x x x ++=++.因此,可以设251x x y ++=,这样就可将原方程先转化为关于y 的一元二次方程处理. 解:251x x y ++=,则2222513153(1)x x y x x y ++=?+=- 原方程可化为:23(1)22y y -+=, 即23250y y +-=,解得:1y =或53y =-. (1)当1y =时225115010x x x x x x ++=?+=?=-=或; (2)当53y =-时,2510x x y ++=≥,所以方程无解. 检验:把1,0x x =-=分别代入原方程,都适合. 所以,原方程的解就是1,0x x =-=. 说明:解决根式方程的方法就就是采取平方、换元等法,将根式方程转化为有理方程,体
人教版初中数学方程与不等式之无理方程全集汇编
人教版初中数学方程与不等式之无理方程全集汇编 一、选择题 1．方程23 x+=的根是_______________． 【答案】x=7 【解析】 【分析】 根据无理方程的解法求解即可. 【详解】 x+=， 解：23 两边平方可得：x+2=9， 移项合并得：x=7. 故答案为：x=7. 【点睛】 本题考查了无理方程的解法，解题的关键是根据等式的性质将方程两边平方，从而化成整式方程. 2．方程21 -=的解为 x 【答案】x=1 【解析】 试题分析：方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x的值，然后把x的值代入进行检验即可． 试题解析：方程两边平方，得：2-x=1， 解得：x=1． 经检验：x=1是方程的解． 考点：无理方程． 3．方程2=x﹣6的根是______． 【答案】x=12． 【解析】 两边平方，求得一元二次方程的解，进一步利用x﹣3≥0验证得出答案即可． 解：2=x﹣6 4（x﹣3）=x2﹣12x+36 整理得x2﹣16x+48=0 解得：x1=4，x2=12 代入x﹣3＞0，当x=4时，等式右边为负数， 所以原方程的解为x=12． 故答案为：x=12．
4．方程32 x-=的解是__________． 【答案】x=7 【解析】 【分析】 将方程两边平方后求解，注意检验． 【详解】 将方程两边平方得x-3=4， 移项得：x=7， -=2，原方程成立， 代入原方程得73 x-＝2的解是x=7． 故方程3 故本题答案为：x=7． 【点睛】 在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，解得答案时一定要注意代入原方程检验． 5．方程-x=1的根是______ 【答案】x=3 【解析】 【分析】 先将-x移到方程右边，再把方程两边平方，使原方程化为整式方程x2=9，求出x的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解. 【详解】 解：整理得：=x+1， 方程两边平方，得：2x+10=x2+2x+1， 移项合并同类项，得：x2=9， 解得：x1=3，x2=-3， 经检验，x2=-3不是原方程的解， 则原方程的根为：x=3. 故答案为：x=3. 【点睛】 本题考查了解无理方程，无理方程在有些地方初中教材中不再出现，比如湘教版. 6．320 -=的解是____. x x x=- 【答案】3 【解析】 【分析】 根据解无理方程的方法可以解答此方程，注意无理方程要检验． 【详解】
用换元法解方程
1、用换元法解方程： 06)1 (5)1(2=+---x x x x 2．解不等式组，??? ??+≥+-<-4 5)1(331 221x x x x ，并把解集在数轴上 表示出来. 3．（5分）已知方程0132=--x x 的两根为1x 、2x ，求 21 12x x x x + 的值． 4、已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2-6x+k=0的两个实根， 且x 12x 22-x 1-x 2=115， （1）求k 的值； （2）求x 12+x 22+8的值. 5、已知关于x 的一元二次方程0)32(22=+-+m x m x 的两个不相等的实数根α、β满足11 1=+βα，求m 的值。 6、（1 ）计算：2 20 12(tan 601)()22-??-+--+-π-- ? ?? 7.分式：2 21A x =-，1111B x x =++-．()1x ≠±．下面三个结论：①A ，B 相等，②A ，B 互为相反数，③A ， B 互为倒数，请问哪个正确？为什么？ 8. 计算：03)2009(830tan 33π---??+- 9.(本题满分5分)比较（x+5）(x+7)与（x+6）2 的大小。
10．某校初三年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以同一标准划分成“不及格”、“合格”、“优秀”三个等级，为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中64名学生的两次考试考分等级，所绘制的统计图如图所示，试结合图示信息回答下列问题： （1）这64名学生培训前考分的中位数所在的等级是； （2）估计该校整个初三年级中， 培训后考分等级为“优秀”的学 生有名； （3）你认为上述估计合理吗？ 为什么？ 答：，理 由：。 11．(8分)某市为了解市民对已闭幕的某一博览会的总体印象，利用最新引进的“计算机辅助电话访问系统”（简称CATI系统），采取电脑随机抽样的方式，对本市年龄在16～65岁之间的居民，进行了400个电话抽样调查．并根据每个年龄段的抽查人数和该
分式方程增根与换元法解分式方程(含详细解析)
分式方程增根与换元法解分式方程 1．若关于x的方程只有一个实数根，则符合条件的所有实数a的值的总和为（） A．﹣6 B．﹣30 C．﹣32 D．﹣38 2．关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣6且m≠2 B．m＞6且m≠2 C．m＜6且m≠﹣2 D．m＜6且m≠2 3．若数a使关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程﹣=2有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 4．若分式方程=a无解，则a的值为（） A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣1 5．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4 6．若关于x的方程=1﹣无解，则k的值为（） A．3 B．1 C．0 D．﹣1 7．关于x的分式方程有增根，则m的值为（） A．0 B．﹣5 C．﹣2 D．﹣7 8．解方程会产生增根，则m等于（） A．﹣10 B．﹣10或﹣3 C．﹣3 D．﹣10或﹣4 9．关于x的方程有增根，那么a=（） A．﹣2 B．0 C．1 D．3
10．用换元法解方程组时，如设=u，=v，则将原方程组可 化为关于u和v的整式方程组（） A．B．C．D． 11．用换元法解分式方程﹣=5时，设=y，原方程变形为（） A．2y2﹣5y﹣3=0 B．6y2+10y﹣1=0 C．3y2+5y﹣2=0 D．y2﹣10y﹣6=0 12．已知﹣x2=2+x，则代数式2x2+2x的值是（） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2或6 13．已知x为实数，且，那么x2+9x的值为（） A．1 B．﹣3或1 C．3 D．﹣1或3 14．已知x为实数，且﹣（x2+x）=2，则x2+x的值为（） A．0 B．1 C．2 D．x2 15．解方程﹣=2时，如果设=y，则原方程可化为关于y的整式方程是（） A．3y2+2y+1=0 B．3y2+2y﹣1=0 C．3y2+y+2=0 D．3y2+y﹣2=0 16．若1﹣+=9，则的值是（） A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．±3 17．用换元法解方程时，设x+=y，则原方程可化为（）A．y2﹣2y﹣3=0 B．y2﹣2y﹣1=0 C．y2﹣y﹣1=0 D．y2﹣2y+3=0 18．若关于x的方程有增根，则m的值是 三．解答题（共11小题） 19．若解关于x的分式方程+=会产生增根，求m的值．
利用换元法解一元高次方程
利用换元法解一元高次方 程 This manuscript was revised on November 28, 2020
利用换元法解一元高次方程 在初中数学竞赛中，常常会出现一些高次方程求解问题，解这类问题的核心思想是降次，而换元法是其最主要的方法，所谓换元法，是指把方程中某些代数式用新的变量代替，使方程的次数降低，从而化难为易，使问题得以解决，这里举例说明如下． 一、直接换元 例1 解方程： (x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)＝24． 分析与解 ∵（x＋1）（x＋4)＝x2＋5x＋4， （x＋2）(x＋3)＝x2＋5x＋6， 设t＝x2＋5x＋4， 则可将原方程转化为关于t的一元二次方程 t(t＋2)＝24． 即t2＋2t－24＝0，（t－4)(t＋6)＝0， ∴t＝4．t＝－6． 当t＝4时，x2＋5x＝0， ∴x＝0，或x＝－5； 当t＝－6时，x2＋5x＋10＝0，此方程无解． 故原方程的解为x＝0，或x＝－5． 二、均值换元 即求出几个代数式的平均值，利用平均值进行代换． 例2 解方程： (4x＋1)(3x＋1)(2x＋1)（x＋1)＝3x4． 分析与解根据上面的经验，这样的方程左边是不能完全展开的，只能部分展开． ∵(4x＋1)(x＋1)＝4x2＋5x＋1， (3x＋1)(2x＋1)＝6x2＋5x＋1， 两个代数式有相同的一次项和常数项，故设t＝5x2＋5x＋1，则原方程可化为 （t－x2）（t＋x2）＝ 3x4． ∴t2＝4x4，t＝2x2或t＝－2x2， 代回即可求得原方程的根为： x＝． 注当然本题也可以直接设t＝4x2＋5x＋1或者t＝6x2＋5x＋1．例3 解方程：(x＋2)4＋(x－4)4＝272． 分析与解若将方程左边展开，将得到难解的高次方程．