导与练普通班2017届高三数学一轮复习第五篇平面向量第2节平面向量基本定理及其坐标表示基丛点练理

第2节平面向量基本定理及其坐标表示

1.设向量a= (1,-3),b=(-2,4),则向量-2a-3b为( D )

(A)(1,-1) (B)(-1,1)

(C)(-4,6) (D)(4,-6)

解析:-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).

故选D.

2.(2015东北三校第二次联考)向量a=(2,-9),向量b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为( A )

(A)(,-) (B)(-,)

(C)(,-) (D)(-,)

解析:因为a-b=(5,-12),

所以|a-b|==13,

所以与a-b同向的单位向量为(,-).

3.(2015贵州省适应性考试)在下列向量组中,可以把向量a=(2,3)表示成λe1+μe2(λ,μ∈R)的是( C )

(A)e1=(0,0),e2=(2,1)

(B)e1=(3,4),e2=(6,8)

(C)e1=(-1,2),e2=(3,-2)

(D)e1=(1,-3),e2=(-1,3)

解析:在A,B,D中,e1,e2均共线.

4.(2015兴安盟二模)平面向量a=(1,-2), b=(-2,x),若a∥b,则x等于( A )

(A)4 (B)-4 (C)-1 (D)2

解析:因为平面向量a=(1,-2),b=(-2,x),

且a∥b,

所以1·x-(-2)·(-2)=0,

解得x=4.

5.(2015郴州二模)已知两点A(1,0),B(-1,),O为坐标原点,点C在第二象限,且∠

AOC=135°,设=-+λ(λ∈R),则实数λ等于( A )

(A)(B)

(C)(D)

解析:根据题意设C(x0,-x0),

所以=(x0,-x0),=(1,0),=(-1,).

由=-+λ得,

(x0,-x0)=(-1-λ,λ),

所以解得λ=.

6.(2016安徽“江淮十校”联考)在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,S为△ABC的面积.若向量p=(S,a+b+c),q=(a+b-c,1)满足p∥q,则tan 等于( D )

(A) (B) (C)2 (D)4

解析:由p∥q得S=(a+b)2-c2=2ab+a2+b2-c2,

即absin C=2ab+2abcos C,

即sin C=1+cos C,

sin ·cos =2cos2,

所以tan =4.故选D.

7.(2015河北石家庄二模)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a-b与b共线,则x的值为.

解析:因为a-b=(2-x,2),

又a-b与b共线且b=(x,-1),

所以2x+2-x=0,

所以x=-2.

答案:-2

8.(2016德阳校级月考)已知向量=(k,11),=(4,5), =(5,8),且A,B,C三点共线,则k= .

解析:因为向量=(k,11),=(4,5),=(5,8),

所以=(4-k,-6),=(1,3),

因为A,B,C三点共线,不妨设=λ,

所以(4-k,- 6)=λ(1,3),所以

解得k=6.

答案:6

9.(2015温州二模)已知六边形ABCDEF为正六边形,若向量=(,-1),则|-|= ;+= .(用坐标表示)

解析:六边形ABCDEF为正六边形,向量=(,-1),

如图:A(0,0),B(,-1),C(2,0),D(2,2),E(,3),F(0,2).

|-|=| (0,-2)-(-,1)|==2.

+=(,-3)+(,1)=(2,-2).

答案:2(2,-2)

能力提升练(时间:15分钟)

10.(2015和平区二模)如图,在△ABC中,=,= ,若=λ+μ,则λ+μ的值为( A )

(A) (B) (C) (D)

解析:因为=+,=,

所以=+,

因为=-,=,

所以=-,

所以=+

=+(-)

=+,

因为=λ+μ,

所以λ=,μ=,

则λ+μ=+=.

11.(2015浮山县校级期中)已知四边形ABCD为平行四边形,A(-1,2),B(0,0),C(1,7),则点D 的坐标是( C )

(A)(-9,9) (B)(-9,0)

(C)(0,9) (D)(0,-9)

解析:设D的坐标为(x,y),

因为A(-1,2),B(0,0),C(1,7),

所以=(1,-2),=(1-x,7-y),

因为四边形ABCD为平行四边形,

所以=,

所以1-x=1,7-y=-2,

解得x=0,y=9.

12.△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(3c-b,a-b),n=(3a+3b,c),m∥n,则cos A= .

解析:因为m∥n,所以(3c-b)c=(a-b)(3a+3b),

即bc=3(b2+c2-a2),

所以=,

所以cos A==.

答案:

13.(2016枣庄校级月考)若点M是△ABC所在平面内一点,且满足=+.

(1)求△ABM与△ABC的面积之比.

(2)若N为AB中点,AM与CN交于点O,设=x+y,求x,y的值.

解:(1)由=+,可知M,B,C三点共线.

如图令=λ得=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,

所以λ=,

所以=,即面积之比为1∶4.

(2)由=x+y得=x+,

=+y,

由O,M,A三点共线及O,N,C三点共线??

精彩5分钟

1.(2015遵义高三联考)在平面直角坐标系中,向量n=(2,0),将向量n绕点O按逆时针方向旋转后得向量m,若向量a满足|a-m-n|=1,则|a|的最大值是( B )

(A)2-1 (B)2+1

(C)3 (D)++1

解题关键:注意利用数形结合思想求解.

解析:依题意,m=(1,),所以m+n=(3,),

设a=(x,y),

又|a-m-n|=1,

所以(x-3)2+(y-)2=1.

所以向量a的终点坐标(x,y)的轨迹是以(3,)为圆心,半径为1

的圆.

所以|a|的最大值为圆心(3,)到原点的距离加上半径.

所以|a|的最大值为+1=2+1.

2.(2016益阳模拟)如图,在△OMN中,A,B分别是OM,ON的中点,若=x+y(x,y∈R),且点P落在四边形ABNM内(含边界),则的取值范围是( C )

(A)[,] (B)[,]

(C)[,] (D)[,]

解题关键:注意利用极端值(特值、特殊位置)寻找解题思路.

解:若P在线段AB上,设=λ,

则有=+=+λ=+λ(-),

所以=,

由于=x+y(x,y∈R),

则x=,y=,故有x+y=1,

若P在线段MN上,设=λ,则有=, 由于在△OMN中,A,B分别是OM,ON的中点,

则=x+y=x+y(x,y∈R),

则x=,y=,故有x+y=2,

若P在四边形ABNM内(含边界),则x≥0,y≥0, 则∈[,].