专题七 代数与几何综合

代数与几何综合（一）

【考点解析】

代数与几何的大型综合题通常可分为以下类型： 一、在几何图形背景下建立函数或方程：

这类问题通常要建立等式（函数和方程）来解决，在建立等式时常用到以下方式：一是运用有关计算公式（如各类图形的面积公式）；二是运用勾股定理、三角函数或相似三角形等知识建立起等式（函数和方程），由此得到函数或方程．后者是大家学习和掌握的重点． 二、坐标系下的几何图形：

这类问题的解决，关键点有二：一是求点的坐标，要熟练掌握求点的坐标的方法,尤其是方程法；二是点的坐标与线段长的互化，要善于将已知条件转化为线段长，继而转化为点的坐标，同样当已知点的坐标后，可能还需将之转化为有关线段的长，从而与几何图形联系起来．

【典型例题】

例1．（2009清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．

（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面

的点为1A ，1A MN △与四边形

BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？

M

N

C

B

E

F A

A 1

例2．（2011宿迁）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，设DQ ＝t （0≤t ≤2），线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，过Q 作QE ⊥AB 于点E ，过M 作MF ⊥BC 于点F ． （1）当t ≠1时，求证：△PEQ ≌△NFM ；

（2）顺次连接P 、M 、Q 、N ，设四边形PMQN 的面积为S ，求出S 与自变量t 之间的函

数关系式，并求S 的最小值．

Q P

N

M F

E D C B A

2.坐标系下的几何图形：

例3．（2009桂林）如图，已知直线

3

:3

4

l y x

=+，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．

（1）求点A、点B的坐标；

（2）设F是x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F （不写作法和证明，保留作图痕迹）；

（3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x y

，），求y与x的函数关系式；

（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线l相切于点B，若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．

【点拨】对于（2），关键是找出圆心；对于（3），由于∣y∣和∣x∣都与垂线段有关，故易于从图中找到有关的直角三角形，从而利用勾股定理列出∣y∣和∣x∣的关系，继而得到y与x的函数关系式对于（4），可用方程思想去分析解决．

cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．

（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；

（2）求证：四边形OPBQ

的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时，抛物线21

4

y x bx c =++经过B 、P 两点，过线

段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．

这类综合题的特点是：先求函数解析式，然后利用解析式确定有关点的坐标，再由点的坐标确定有关线段的长，最后利用图形的几何性质解决问题（注意：到此已经与函数图像无关了，也就是说，解到这里，已经剥离开函数的“外衣”,变成一个纯几何问题了）当然，这种几何问题是一种动态题，常常需要讨论．

【典型例题】

3．函数图象与几何图形相结合的问题 例5．在平面直角坐标系中，直线62

1

+-

=x y 与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点． （1）直接写出B 、C 两点的坐标； （2）直线x y =与直线62

1

+-

=x y 交于点A ，动点P 从点O 沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t 秒（即OP = t ）.过点P 作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ．

① 若点P 在线段OA 上运动时（如图1），过P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，设矩形PQMN 的面积为S ，写出S 和t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值． ② 若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t 为何值时，过P 、Q 、O 三点的圆与轴相切.

图（1）

备用图

例6．（怀化）在矩形AOBC 中，OB=6，OA=4，分別以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k

y k x

=

>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AE?AO=BF?BO ； （2）若点E 的坐标为（2，4），求经过O 、E 、F 三点的抛物线的解析式；

（3）是否存在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出此时的OF 的长：若不存在，请说明理由．

例7.(2011济南)如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标

为(6，0)．抛物线y＝－4

9x

2＋bx＋c经过点A、C，与AB交于点D．

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，

连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．

①求S关于m的函数表达式；

②当S最大时，在抛物线y＝－4

9x

2＋bx＋c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ

为直角三角形，请直接

．．写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

备用图

例8.（2011凉山州）如图，抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且12x x <，与y 轴交于点()0,4C -，其中12x x ，是方程2

4120x x --=的两个根。

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当C M N △的面积最大时，求点M 的坐标； （3）点()4,D k 在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。

代数与几何综合（一）答案

例1．解：（1）MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△

68

h x ∴= 34

x h ∴= ····································································· 3分

（2）1AMN A MN △≌△

1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，

①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，

1A MN y S =△=21133

2248

MN h x x x ==··（04x <≤） ························································4分 ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边

EF 上的高为1h ， 则13

2662

h h x =-=

- 11EF MN

A EF A MN ∴ ∥△∽△

1

1AMN ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△ 12

16A EF S h S ??

= ???

△△ABC

1

68242

ABC S =??= △ 2

2

3632241224

62EF

x S x x

??- ?∴==?=-+ ? ???

1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ??

=-=--+=-+- ???

△△

B

C

N

M A

M

N

C

B

E

F

A

A 1

所以 2

91224(48)8

y x x x =-

+-<< ············································································6分 综上所述：当04x <≤时，2

38

y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2

912248

y x x =-+-， 取16

3x =

，8y =最大 86>

∴当16

3

x =时，y 最大，8y =最大 ·

·····················································································8分 例2：解：（1）∵四边形ABCD 是正方形

∴∠A ＝∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝AB ∵QE ⊥AB ，MF ⊥BC ∴∠AEQ ＝∠MFB ＝90°

∴四边形ABFM 、AEQD 都是矩形 ∴MF ＝AB ，QE ＝AD ，MF ⊥QE 又∵PQ ⊥MN

∴∠EQP ＝∠FMN 又∵∠QEP ＝∠MFN ＝90° ∴△PEQ ≌△NFM ．

（2）∵点P 是边AB 的中点，AB ＝2，DQ ＝AE ＝t

∴P A ＝1，PE ＝1－t ，QE ＝2

由勾股定理，得PQ ＝22PE QE +＝4)1(2+-t ∵△PEQ ≌△NFM ∴MN ＝PQ ＝4)1(2+-t

又∵PQ ⊥MN

∴S ＝MN PQ ?21＝[]

4)1(21

2+-t ＝21t 2－t ＋2

5

∵0≤t ≤2 ∴当t ＝1时，S 最小值＝2．

综上：S ＝21

t 2－t ＋2

5，S 的最小值为2．

例3．解（1）A （4-，0），B （0，3） ············································· 2分（每对一个给1分）

（2）满分3分．其中过F 作出垂线1分，作出BF 中垂线1分，找出圆心并画出⊙P 给1分． （注：画垂线PF 不用尺规作图的不扣分）

（3）过点P 作PD ⊥y 轴于D ，则PD =x ，BD =3y -， ············ 6分

PB =PF =y ，∵△BDP 为直角三形， ∴ 222

PB PD BD =+

∴222

BP PD BD =+ ································7分

即2

2

2

3y x y =+- 即2

2

2

(3)y x y =+- ∴y 与x 的函数关系为213

62

y x =

+··················································································8分 （4）存在

解法1：∵⊙P 与x 轴相切于点F ，且与直线l 相切于点B ∴AB AF = ··························································································································9分 ∵2

2

2

2

5AB OA OB =+= ∴2

2

5AF =

∵AF =4x + ， ∴22(4)5x += ···················································································· 10分 ∴19x x ==-或 ·················································································································· 11分 把19x x ==-或代入21362y x =+，得5

153

y y ==或 ∴点P 的坐标为（1，

5

3

）或（-9，15） ········································································· 12分 例4：解：(1) ∵CQ ＝t ，OP ，CO =8 ∴OQ =8－t

∴S △OPQ ＝

21(8)2t -=+（0＜t ＜8） …………………3分 (2) ∵S 四边形OPBQ ＝S 矩形ABCD －S △P AB －S △CBQ

＝11

88)22

??-??＝ ………… 5分 ∴四边形O PBQ 的面积为一个定值，且等于 …………6分

（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时, △QPB 必须是一个直角三角形，依题意只能

是∠QPB ＝90°

又∵BQ 与AO 不平行 ∴∠QPO 不可能等于∠PQB ，∠APB 不可能等于∠PBQ

∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ ∽△PBQ ∽△ABP ………………7分

8=解得：t ＝4 经检验：t ＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）

此时P （0）

∵B （8）且抛物线2

14

y x bx c =++经过B 、P 两点，

∴抛物线是2

184

y x =

-+，直线BP 是：8y =- …………………8分

设M （m 8-）、N (m ，2

184

m -+)

∵M 在BP 上运动 ∴m ≤

∵2

1184

y x =

-+与28y =-交于P 、B 两点且抛物线的顶点是P

∴当m ≤12y y > ………………………………9分

∴12MN y y =-＝21

(24

m -

-+ ∴当m =MN 有最大值是2

∴设MN 与BQ 交于H 点则M 、H

∴S △BHM ＝

1

32

??

∴S △BHM ：S 五边形QOPMH ＝＝3:29

∴当MN 取最大值时两部分面积之比是3：29． …………………10分

代数与几何综合（二）答案

例5．解：（1）B （12，0） C （0，6）…………………………………………….2分 （2）①∵点P 在y = x 上，OP = t ，

∴点P

）， ∵点Q 在直线62

1

+-

=x y 上，PQ ∥x 轴 ∴点Q

坐标(12

) ∴PQ

=12

12=，PN

=…………………………4分

∴21.5S PQ PN t =?=-+………………………………………………5分

221.5(8)12 1.5(12,t t =--++=--+

∴当22=t 时，S 的最大值为12………………………………………6分

②若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切，

则圆心在y 轴上，且y 轴垂直平分PQ…………………………………..7分 ∵∠POC ＝45°，∴∠QOC ＝45°，………………………………..8分

12-=

，∴212=t …………………………………….9分 例6．证明：（1）∵E ，F 点都在反比例函数图象上，

∴根据反比例函数的性质得出，xy k =， ∴AE?AO=BF?BO ；

（2）∵点E 的坐标为（2，4）， ∴AE?AO=BF?BO=8， ∵BO=6，∴BF=

43，∴F （6，43

）， 分别代入二次函数解析式得：04244

3663c a b c a b c ??=?++=???++=

?，解得：13830a b c ?

=-??

?

=??=??

?

，

∴21833

y x x =-

+； （3）如果设折叠之后C 点在OB 上的对称点为C'，连接C'E 、C'F ，过E 作EG 垂直于OB

于点G ，则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有以下几个关系可以考虑： 设BC'=a ，BF=b ，则C'F=CF=4b -． ∴点的坐标F （6，b ），E （1.5b ，4）． EC'=EC=6 1.5b -，

∴在Rt △C'BF 中，222(4)a b b +=- ①

∵Rt △EGC'与∽Rt △C'BF ， ∴（6 1.5b -）：（4b -）=4：a=（6 1.5b a --）：b ②，

解得：810

3

9a b ==，， ∴F 点的坐标为（6，10

9

）．

∴

FO=

． 例7. 解：（1） 抛物线2

49

y x bx c =-

++经过点(08)A ，和(60)C ，， 2

846609c b c =??

∴?-?++=??，． 解得438

b c ?=???=?，

244

893

y x x ∴=-++．

（2）①

8610OA OC AC ==∴=，，，

过点Q 作QE BC ⊥于点E ，则

3

sin 5

QE AB ACB QC AC ===∠． 3

105

QE m ∴

=-，

3

(10)5QE m ∴=-，

12S CP QE ∴=·

=13

(10)25m m -· =2

3310m m -+ =2315(5)102

m --+ ∴当5m =时，S 取最大值．

②在抛物线的对称轴l 上存在点F ，使FDQ △为直角三角形，满足条件的点F 共有四个，坐标分别为：

123433338466222222F F F F ??????+- ? ? ????????

，，，，，． 例8. （1）∵2

4120x x --=，∴1

2x =-，26x =。

∴(2,0)A -，(6,0)B 。·························1分

又∵抛物线过点A 、B 、C ，故设抛物线的解析式为(2)(6)y a x x =+-，将点C

的坐标代入，求得1

3

a =

。

∴抛物线的解析式为214

433

y x x =

--。················3分 （2）设点M 的坐标为（m ，0），过点N 作NH x ⊥轴于点H （如图（1））。

∵点A 的坐标为（2-，0），点B 的坐标为（6，0）， ∴8AB =，2AM m =+。···························4分

∵MN BC ，∴MN ABC △∥△。

∴

NH AM CO AB =，∴248NH m +=，∴2

2

m NH +=。·················5分 ∴11

22

CMN ACM AMN S S S AM CO AM NH =-=- △△△ 2121(2)(43224m m m m +=+-=-++ ···························6分 21

(2)44

m =--+。

∴当2m =时，CMN S △有最大值4。

此时，点M 的坐标为（2，0）。·····································7分 （3）∵点D （4，k ）在抛物线214

433

y x x =

--上， ∴当4x =时，4k =-，

∴点D 的坐标是（4，4-）。

① 如图（2），当AF 为平行四边形的边时，AF

DE ，

∵D （4，4-），∴4DE =。

∴1(6,0)F -，2(2,0)F 。 ···························9分

② 如图（3），当AF 为平行四边形的对角线时，设(,0)F n ， 则平行四边形的对称中心为（2

2

n -，0）。 ··················10分 ∴E '的坐标为（6n -，4）。 把E '（6n -，4）代入214

433

y x x =--，得216360n n -+=。

解得 8n =±

3(8F -，4(8F +。·

························12分

图（1）

图（2）

图（3）