2004—2013年江苏专转本高等数学真题(附答案)
2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分.)
1、[]
(]
???∈--∈=2,00,3)(3
3
x x
x x x f ,是: ( )
A 、有界函数
B 、奇函数
C 、偶函数
D 、周期函数
2、当0→x 时,x x sin 2
-是关于x 的 ( ) A 、高阶无穷小
B 、同阶但不是等价无穷小
C 、低阶无穷小
D 、等价无穷小
3、直线L 与x 轴平行且与曲线x e x y -=相切,则切点的坐标是 ( ) A 、()1,1
B 、()1,1-
C 、()1,0-
D 、()1,0
4、2228R y x =+设所围的面积为S ,则dx x R R
?
-220
228的值为 ( )
A 、S
B 、
4S C 、
2
S D 、S 2
5、设y
x y x u arctan ),(=、22ln
),(y x y x v +=,则下列等式成立的是 ( )
A 、
y
v x u ??=?? B 、
x
v x u ??=?? C 、
x
v y u ??=?? D 、
y
v y u ??=?? 6、微分方程x
xe y y y 22'3''=+-的特解*
y 的形式应为 ( )
A 、x
Axe 2 B 、x
e B Ax 2)(+ C 、x
e
Ax 22
D 、x
e
B Ax x 2)(+
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
7、设x
x x x f ??
?
??++=32)(,则=∞
→)(lim x f x 8、过点)2,0,1(-M 且垂直于平面2324=
-+z y x 的直线方程为
9、设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ,N n ∈,则=)0('
f
10、求不定积分
=-?
dx x
x 2
31arcsin 11、交换二次积分的次序
=?
?
-dy y x f dx x x 21
2
),(
12、幂级数∑∞
=-1
2)1(n n
n
x 的收敛区间为
三、解答题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分) 13、求函数x
x
x f sin )(=的间断点,并判断其类型.
14、求极限)
31ln()1()sin (tan lim
2
2
x e dt
t t x x
x +--?→.
15、设函数)(x y y =由方程1=-y
xe y 所确定,求
2
2=x dx y
d 的值.
16、设)(x f 的一个原函数为x
e x ,计算?dx x x
f )2('
.
17、计算广义积分dx x x ?
+∞-2
1
1.
18、设),(xy y x f z -=,且具有二阶连续的偏导数,求x z ??、y
x z
???2.
19、计算二重积分dxdy y y D
??sin ,其中D 由曲线x y =及x y =2
所围成.
20、把函数2
1
)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数,并写出它的收敛区间.
四、综合题(本大题共3小题,每小题8分,满分24分)
21、证明:
??
=
π
ππ
)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ,并利用此式求dx x
x
x
?+π
2
cos 1sin .
22、设函数)(x f 可导,且满足方程)(1)(20
x f x dt t tf x
++=?
,求)(x f .
23、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧,甲城位于岸边,乙城离河岸40公里,乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里,两城计划在河岸上合建一个污水处理厂,已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元。问污水处理厂建在何处,才能使铺设排污管道的费用最省?
2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
1、0=x 是x
x x f 1
sin )(=的 ( ) A 、可去间断点
B 、跳跃间断点
C 、第二类间断点
D 、连续点
2、若2=x 是函数)21
ln(ax x y +-=的可导极值点,则常数=a ( ) A 、1- B 、2
1
C 、2
1-
D 、1
3、若
?+=C x F dx x f )()(,则?=dx x xf )(cos sin ( )
A 、C x F +)(sin
B 、
C x F +-)(sin C 、C F +(cos)
D 、C x F +-)(cos
4、设区域D 是xoy 平面上以点)1,1(A 、)1,1(-B 、)1,1(--C 为顶点的三角形区域,区域1D 是D 在第一象限的部分,则:=+??dxdy y x xy D
)sin cos ( ( )
A 、??1
)sin (cos 2
D dxdy y x
B 、??1
2
D xydxdy
C 、??+1
)sin cos (4
D dxdy y x xy
D 、0
5、设y
x
y x u arctan ),(=,22ln
),(y x y x v +=,则下列等式成立的是 ( )
A 、
y
v
x u ??=?? B 、
x v x u ??=?? C 、x v y u ??=?? D 、y
v y u ??=?? 6、正项级数(1)
∑∞
=1
n n
u
、(2)
∑∞
=1
3n n
u
,则下列说法正确的是 ( )
A 、若(1)发散、则(2)必发散
B 、若(2)收敛、则(1)必收敛
C 、若(1)发散、则(2)可能发散也可能收敛
D 、(1)、(2)敛散性相同
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
7、=----→x
x x
e e x x x sin 2lim
0 ; 8、函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格郎日中值定理的=ξ ; 9、
=++?
-1
1
2
11
x x π ;
10、设向量{}2,4,3-=α、{}k ,1,2=β;α、β互相垂直,则=k ; 11、交换二次积分的次序=?
?
-+-dy y x f dx x x 211
1
),( ;
12、幂级数
∑∞
=-1
)12(n n
x
n 的收敛区间为 ;
三、解答题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分)
13、设函数??
?
??+=a x
x x f x F sin 2)()( 00
=≠x x 在R 内连续,并满足:0)0(=f 、6)0('=f ,求a . 14、设函数)(x y y =由方程???-==t
t t y t x cos sin cos 所确定,求dx dy 、2
2dx y
d .
15、计算?
xdx x sec tan 3
.
16、计算?
1
arctan xdx
17、已知函数),(sin 2
y x f z =,其中),(v u f 有二阶连续偏导数,求x z ??、y
x z
???2
18、求过点)2,1,3(-A 且通过直线1
2354:z
y x L =+=-的平面方程.
19、把函数2
2
2)(x x x x f --=展开为x 的幂级数,并写出它的收敛区间.
20、求微分方程0'=-+x e y xy 满足e y x ==1的特解.
四、证明题(本题8分)
21、证明方程:0133
=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根.
五、综合题(本大题共4小题,每小题10分,满分30分)
22、设函数)(x f y =的图形上有一拐点)4,2(P ,在拐点处的切线斜率为3-,又知该函数的二阶导数a x y +=6'',求)(x f .
23、已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成,求: (1)、曲边三角形的面积;
(2)、曲边三角形饶X 轴旋转一周的旋转体体积.
24、设)(x f 为连续函数,且1)2(=f ,dx x f dy u F u
y
u
?
?=)()(1
,)1(>u
(1)、交换)(u F 的积分次序; (2)、求)2('
F .
2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
1、若21)
2(lim
0=→x x f x ,则=→)
3
(lim 0x f x x ( ) A 、21 B 、2 C 、3 D 、3
1
2、函数?????=≠=0
01sin
)(2
x x x
x x f 在0=x 处 ( )
A 、连续但不可导
B 、连续且可导
C 、不连续也不可导
D 、可导但不连续
3、下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是 ( ) A 、x
e y = B 、x y +=1
C 、2
1x y -= D 、x
y 11-
= 4、已知C e dx x f x +=?2)(,则=-?dx x f )(' ( )
A 、C e
x
+-22
B 、
C e x +-221 C 、C e x +--22
D 、C e x +--22
1
5、设
∑∞
=1
n n
u
为正项级数,如下说法正确的是 ( )
A 、如果0lim 0=→n n u ,则∑∞
=1n n u 必收敛 B 、如果l u u n
n n =+∞→1
lim )0(∞≤≤l ,则∑∞
=1n n u 必收敛
C 、如果
∑∞
=1
n n
u
收敛,则
∑∞
=1
2
n n
u
必定收敛 D 、如果
∑∞
=-1
)
1(n n n
u 收敛,则∑∞
=1
n n u 必定收敛
6、设对一切x 有),(),(y x f y x f -=-,}0,1|),{(2
2≥≤+=y y x y x D ,
=1D }0,0,1|),{(22≥≥≤+y x y x y x ,则??=D
dxdy y x f ),( ( )
A 、0
B 、
??1
),(D dxdy y x f C 、2??1
),(D dxdy y x f D 、4??1
),(D dxdy y x f
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
7、已知0→x 时,)cos 1(x a -与x x sin 是等级无穷小,则=a
8、若A x f x x =→)(lim 0
,且)(x f 在0x x =处有定义,则当=A 时,)(x f 在0x x =处连
续.
9、设)(x f 在[]1,0上有连续的导数且2)1(=f ,
?
=1
3)(dx x f ,则?=1
')(dx x xf
101=,⊥,则=+?)(
11、设x e u xy
sin =,
=??x
u
12、=??D
dxdy . 其中D 为以点)0,0(O 、)0,1(A 、)2,0(B 为顶点的三角形区域.
三、解答题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分)
13、计算1
1lim
3
1
--→x x x .
14、若函数)(x y y =是由参数方程?
??-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定,求dx dy 、2
2dx y
d . 15、计算
?
+dx x x
ln 1. 16、计算dx x x ?
20
2cos π
.
17、求微分方程2
'2y xy y x -=的通解.
18、将函数)1ln(
)(x x x f +=展开为x 的幂函数(要求指出收敛区间).
19、求过点)2,1,3(-M 且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程.
20、设),(2
xy x xf z =其中),(v u f 的二阶偏导数存在,求y z ??、x
y z
???2.
四、证明题(本题满分8分).
21、证明:当2≤x 时,233
≤-x x .
五、综合题(本大题共3小题,每小题10分,满分30分)
22、已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2,求此曲线方程.
23、已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成. (1)求此平面图形的面积;
(2)求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
24、设??
???=≠=??00
)(1
)(t a t dxdy x f t t g t
D ,其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域,
函数)(x f 连续.
(1)求a 的值使得)(t g 连续; (2)求)('
t g .
2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分) 1、若2)2(lim
=→x x f x ,则=∞→)21
(lim x
xf x ( )
A 、
4
1 B 、2
1 C 、
2 D 、4
2、已知当0→x 时,)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小,而x n sin 又是x cos 1-的高阶无穷小,则正整数=n ( ) A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
3、设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ,则方程0)('=x f 的实根个数为 ( ) A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
4、设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ,则=?
dx x f )2(' ( )
A 、C x +4cos
B 、
C x +4cos 2
1
C 、C x +4cos 2
D 、C x +4sin
5、设dt t x f x ?
=
2
1
2sin )(,则=)('x f ( )
A 、4
sin x B 、2
sin 2x x C 、2
cos 2x x D 、4
sin 2x x 6、下列级数收敛的是 ( )
A 、∑∞
=122n n
n
B 、
∑
∞
=+1
1
n n n C 、∑∞
=-+1
)1(1n n
n
D 、
∑
∞
=-1
)1(n n
n
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
7、设函数???
??=≠+=0
2
0)
1()(1
x x kx x f x ,在点0=x 处连续,则常数=k
8、若直线m x y +=5是曲线232
++=x x y 的一条切线,则常数=m 9、定积分
dx x x x )cos 1(432
2
2+-?
-的值为
10、已知→
a ,→
b 均为单位向量,且2
1
=?→
→b a ,则以向量→→?b a 为邻边的平行四边形的面积为
11、设y
x
z =
,则全微分=dz 12、设x x e C e C y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解,则该微分方程为
三、解答题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分)
13、求极限x
x x e x x tan 1
lim 0--→.
14、设函数)(x y y =由方程xy e e y
x
=-确定,求0=x dx dy 、0
2
2=x dx y
d .
15、求不定积分dx e x x
?
-2.
16、计算定积分dx x
x ?
-12
22
2
1.
17、设),32(xy y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数,求y
x z
???2.
18、求微分方程2'2007x y xy =-满足初始条件20081
==x y 的特解.
19、求过点)3,2,1(且垂直于直线???=++-=+++0
120
2z y x z y x 的平面方程.
20、计算二重积分dxdy y x D
??
+22,其中{}
0,2|),(22≥≤+=y x y x y x D .
四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 21、设平面图形由曲线21x y -=(0≥x )及两坐标轴围成. (1)求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积;
(2)求常数a 的值,使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分.
22、设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质: (1)在点1-=x 的左侧临近单调减少; (2)在点1-=x 的右侧临近单调增加; (3)其图形在点)2,1(的两侧凹凸性发生改变. 试确定a ,b ,c 的值.
五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,满分18分)
23、设0>>a b ,证明:
dx x f e e dx e x f dy b
a
a x x b
y
y x b
a
???
++-=)()()(232.
24、求证:当0>x 时,2
2)1(ln )1(-≥-x x x .
2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
1、设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义,下列函数中必为奇函数的是 ( ) A 、)(x f y -= B 、)(43x f x y = C 、)(x f y --=
D 、)()(x f x f y -+=
2、设函数)(x f 可导,则下列式子中正确的是 ( )
A 、)0()
()0(lim
'0
f x
x f f x -=-→
B 、)()
()2(lim
0'00
x f x x f x x f x =-+→
C 、)()
()(lim 0'000
x f x
x x f x x f x =??--?+→?
D 、)(2)
()(lim 0'000
x f x
x x f x x f x =??+-?-→?
3、设函数)(x f ?
=1
22sin x
dt t t ,则)('x f 等于 ( ) A 、x x 2sin 42
B 、x x 2sin 82
C 、x x 2sin 42
-
D 、x x 2sin 82
-
4、设向量)3,2,1(=→a ,)4,2,3(=→
b ,则→
→
?b a 等于 ( ) A 、(2,5,4) B 、(2,-5,-4)
C 、(2,5,-4)
D 、(-2,-5,4)
5、函数x
y
z ln
=在点(2,2)处的全微分dz 为 ( ) A 、dy dx 2121+- B 、dy dx 2121+ C 、dy dx 2121- D 、dy dx 2
121--
6、微分方程123'
'
'=++y y y 的通解为 ( ) A 、1221++=--x x
e c e
c y
B 、21
221+
+=--x x
e c e
c y C 、1221++=-x
x
e
c e c y
D 、2
1221++=-x
x
e
c e c y 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
7、设函数)
1(1
)(2--=x x x x f ,则其第一类间断点为 .
8、设函数{=)(x f ,
0,3tan ,
0,<≥+x x
x
x x a 在点0=x 处连续,则a = .
9、已知曲线543223++-=x x x y ,则其拐点为 . 10、设函数)(x f 的导数为x cos ,且2
1
)0(=f ,则不定积分?dx x f )(= . 11、定积分
dx x x
?-++1
121sin 2的值为 .
12、幂函数∑∞
=?12
n n
n
n x 的收敛域为 . 三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分) 13、求极限:x
x x
x 3)2(
lim -∞
→ 14、设函数)(x y y =由参数方程Z n n t t y t t x ∈≠?
??-=-=,2,cos 1,sin π所决定,求22,dx y
d dx dy
15、求不定积分:?+dx x x 1
3
. 16、求定积分:?
1
dx e x .
17、设平面π经过点A (2,0,0),B (0,3,0),C (0,0,5),求经过点P (1,2,1)且与平面π垂直的直线方程.
18、设函数),(x y y x f z +=,其中)(x f 具有二阶连续偏导数,求y
x z ???2.
19、计算二重积分??D
dxdy x 2,其中D 是由曲线x
y 1
=,直线2,==x x y 及0=y 所围成的平面区域.
20、求微分方程2'2x y xy +=的通解.
四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 21、求曲线)0(1
>=x x
y 的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小,并求此最小值.
22、设平面图形由曲线2x y =,22x y =与直线1=x 所围成.
(1)求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
(2)求常数a ,使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分.
五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,满分18分)
23、设函数)(x f 在闭区间[]a 2,0)0(>a 上连续,且)()2()0(a f a f f ≠=,证明:在开区间),0(a 上至少存在一点ξ,使得)()(a f f +=ξξ.
24、对任意实数x ,证明不等式:1)1(≤-x
e x .
2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
1、已知32
lim 22=-++→x b
ax x x ,则常数b a ,的取值分别为 ( )
A 、2,1-=-=b a
B 、0,2=-=b a
C 、0,1=-=b a
D 、1,2-=-=b a
2、已知函数4
2
3)(2
2-+-=x x x x f ,则2=x 为)(x f 的 A 、跳跃间断点
B 、可去间断点
C 、无穷间断点
D 、震荡间断点
3、设函数??
?
??>≤=0,1sin 0,
0)(x x x x x f α在点0=x 处可导,则常数α的取值范围为 ( )
A 、10<<α
B 、10≤<α
C 、1>α
D 、1≥α
4、曲线2
)1(1
2-+=x x y 的渐近线的条数为 ( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
5、设)13ln()(+=x x F 是函数)(x f 的一个原函数,则=+?
dx x f )12(' ( )
A 、
C x ++4
61
B 、
C x ++4
63
C 、
C x ++8
121
D 、
C x ++8
123
6、设α为非零常数,则数项级数∑∞
=+12
n n
n α
( ) A 、条件收敛
B 、绝对收敛
C 、发散
D 、敛散性与α有关
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分) 7、已知2)(
lim =-∞
→x
x C
x x ,则常数=C . 8、设函数dt te x x t ?
=
20
)(?,则)('x ?= .
9、已知向量)1,0,1(-=→
a ,)1,2,1(-=→
b ,则→
→
+b a 与→
a 的夹角为 .
10、设函数),(y x z z =由方程12=+yz xz 所确定,则
x
z
??= . 11、若幂函数)0(12>∑∞
=a x n
a n
n n 的收敛半径为21,则常数=a .
12、微分方程0)2()1(2=--+xdy y ydx x 的通解为 .
三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分)
13、求极限:x
x x x sin lim 3
0-→
14、设函数)(x y y =由参数方程???-+=+=3
2)1ln(2
t t y t x 所确定,,求22,dx y
d dx dy .
15、求不定积分:?
+dx x 12sin .
16、求定积分:?
-10
2
22dx x
x .
17、求通过直线1
2
213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程.
18、计算二重积分??
D
yd σ,其中}2,2,20),{(2
2≥+≤≤≤≤=y x y x x y x D .
19、设函数),(sin xy x f z =,其中)(x f 具有二阶连续偏导数,求y
x z
???2.
20、求微分方程x y y =-'
'的通解.
四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
21、已知函数13)(3+-=x x x f ,试求: (1)函数)(x f 的单调区间与极值; (2)曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点;
(3)函数)(x f 在闭区间]3,2[-上的最大值与最小值.