北京市西城区2017-2018学年度高三上学期期末文科数学试卷

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷

高三数学（文科） 2018.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选

出符合题目要求的一项．

1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B = （A ）{|13}x x -<< （B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x << （D ）{|23}x x <<

2．在复平面内，复数2i

1i

-对应的点的坐标为 （A ）(1,1)

（B ）(1,1)-

（C ）(1,1)--

（D ）(1,1)-

3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 （A ）1y x =-+

（B ）2(1)y x =-

（C ）sin y x =

（D ）1

2y x =

4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为

（A ）2 （B ）6 （C ）30 （D ）270

5．若12

2log log 2a b +=，则有

（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）4a b = （D ）4b a =

6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的 三视图如图所示，则截去．．

的几何体是 （A ）三棱锥 （B ）三棱柱 （C ）四棱锥 （D ）四棱柱

7．函数()sin()f x x ?=+的图象记为曲线C ．则“(0)(π)f f =”是“曲线C 关于直线π2x =

对称”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

8．已知A ，B 是函数2x

y =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12

y =的距离相等，

则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 （A ）(,1)-∞- （B ）(,2)-∞-

（C ）(,3)-∞-

（D ）(,4)-∞-

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若函数()()f x x x b =+是偶函数，则实数b =____．

10．已知双曲线22

221x y a b

-=的一个焦点是(2,0)F ，其渐近线方程为3y x =±，该双曲线的

方程是____．

11．向量,a b 在正方形格中的位置如图所示．如果小正方形格

的边长为1，那么?=a b ____．

12．在△ABC 中，3a =，3

C 2π∠=，△ABC 的面积为33

4，则b =____；c =____．

13．已知点(,)M x y 的坐标满足条件10,

10,10.x x y x y -??

+-??-+?≤≥≥

设O 为原点，则OM 的最小值是____．

14．已知函数2,2,

()1,

3.x x x c f x c x x ?+-?

=?

若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域

是1

[,2]4

-，则实数c 的取值范围是____．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

已知函数2π

()2sin cos(2)3

f x x x =-+．

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1

()2

f x -≥．

16．（本小题满分13分）

已知数列{}n a 是公比为1

3

的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值．

17．（本小题满分13分）

某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A ，B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．

表1 图2

（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数； （Ⅱ）某5人得分分别为45,50,55,75,85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组

成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；

（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B 类女生占女生总数的比例为1k ，

B 类男生占男生总数的比例为2k ．判断1k 与2k 的大小．

（只需写出结论）

类别

得分()x

B

1B

8090x ≤≤ 2B

7080x <≤ A

1A

5070x <≤ 2A

2050x <≤

18．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，1AA AC =.过1AA 的平面交11

B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ； （Ⅱ）求证：1//A A EF ；

（Ⅲ）记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若

116

V V =，

求BF

BC 的值.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；

（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平

行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分13分）

已知函数2()ln 2f x x x x =-．

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）求证：存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为

(2)(1)f f -；

（Ⅲ）比较(1.01)f 与 2.01-的大小，并加以证明．

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末

高三数学（文科）参考答案及评分标准

2018.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．A 2．B 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．0 10．2

2

13

y x -= 11．4

12．1；13 13．2

2 14．1[,)4-+∞；1[,1]2

注：第12，14题第一空2分，第二空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为2π

()2sin cos(2)3

f x x x =-+

ππ

1cos2(cos2cos sin 2sin )33

x x x =--?-? [ 4分] 33

sin 2cos 2122x x =

-+

[ 5分] π

3sin(2)13

x =-+， [ 7分]

所以()f x 的最小正周期 2π

π2

T ==． [ 8分] （Ⅱ）因为 π2x ≤≤

0，所以 ππ2π2333

x --≤≤． [10分] 所以 ππ3

sin(2)sin()332

x --=-≥， [12分]

所以 1

()2

f x -≥． [13分]

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为 26a +是1a 和3a 的等差中项，

所以 2132(6)a a a +=+． [ 2分]

因为数列{}n a 是公比为1

3

的等比数列，

所以 1112(6)39

a a

a +=+， [ 4分]

解得 127a =． [ 6分]

所以 1411

()3n n n a a q --=?=． [ 8分]

（Ⅱ）令1n a ≥，即41

()13

n -≥，得4n ≤， [10分]

故正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1． [11分] 所以 当3n =，或4n =时，n T 取得最大值， [12分] n T 的最大值为 34123729T T a a a ==??=．

[13分]

17．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）依题意得，样本中B 类学生所占比例为(0.020.04)1060%+?=， [ 2分]

所以A 类学生所占比例为40%． [ 3分] 因为全市高中学生共20万人，

所以在该项测评中被评为A 类学生的人数约为8万人． [ 4分] （Ⅱ）由表1得，在5人（记为,,,,a b c d e ）中，B 类学生有2人（不妨设为,b d ）． 将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种． [ 6分]

依次为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),ab cde ac bde ad bce ae bcd bc ade bd ace be acd cd abe

(,),(,)ce abd de abc ． [ 8分]

所以“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率为

63

105

=． [10分] （Ⅲ）12k k <． [13分]

18．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ） 因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 2分]

在三棱柱111ABC A B C -中，因为 1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥． [ 3分]

所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 5分] （Ⅱ）在 三棱柱111ABC A B C -中，

因为 11//A A B B ，1A A ?平面11BB C C ， [ 6分] 所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 8分] 因为 平面1AA EF 平面11BB C C EF =，

所以 1//A A EF ． [10分] （Ⅲ）记三棱锥1B ABF -的体积为2V ，三棱柱11ABF A B E -的体积为3V .

因为三棱锥1B ABF -与三棱柱11ABF A B E -同底等高， 所以 231

3

V V =， [11分] 所以 1233213

V V V V =-=. 因为

11

6

V V =，

所以 3131624V V =?=. [12分] 因为 三棱柱11ABF A B E -与三棱柱111ABC A B C -等高，

所以 △ABF 与△ABC 的面积之比为1

4

， [13分]

所以

1

4

BF BC =． [14分]

19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =． [ 2分]

所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=． [ 3分]

设椭圆C 的半焦距为c ，则 223c a b =-=， [ 4分] 所以椭圆C 的离心率32

c e a =

=． [ 5分]

（Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ． [ 6分]

若PAQB 是平行四边形，则 PA PB PQ +=

， [ 8分] 所以 00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，

整理得 002, 3x t y t =-=-． [10分] 将上式代入 220044x y +=，

得 22(2)4(3)4t t -+-=， [11分] 整理得 2528360t t -+=， 解得 18

5

t =，或2t =． [13分] 此时 182

(

,)55

P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形， 所以存在 182

(,)55

P ，或(2,2)P 满足题意． [14分]

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）函数2()ln 2f x x x x =-的定义域是(0,)+∞，

导函数为()2ln 2f x x x x '=+-． [ 1分] 所以(1)1f '=-， 又(1)2f =-，

所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =--． [ 3分] （Ⅱ）由已知(2)(1)4ln 22f f -=-． [ 4分]

所以只需证明方程 2ln 24ln 22x x x +-=-在区间(1,2)有唯一解．

即方程 2ln 4ln 20x x x +-=在区间(1,2)有唯一解． [ 5分]

设函数 ()2ln 4ln 2g x x x x =+-， [ 6分]

则 ()2ln 3g x x '=+．

当 (1,2)x ∈时，()0g x '>，故()g x 在区间(1,2)单调递增． [ 7分] 又 (1)14ln 20g =-<，(2)20g =>，

所以 存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0g x =． [ 8分] 综上，存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为

(2)(1)f f -． [ 9分]

（Ⅲ）(1.01) 2.01f >-．证明如下： [10分]

首先证明：当1x >时，()1f x x >--．

设 2()()(1)ln 1h x f x x x x x =---=-+， [11分] 则 ()2ln 1h x x x x '=+-．

当 1x >时，10x ->，2ln 0x x >，

所以 ()0h x '>，故()h x 在(1,)+∞单调递增， [12分] 所以 1x >时，有()(1)0h x h >=， 即当 1x >时，有()1f x x >--．

所以 (1.01) 1.011 2.01f >--=-． [13分]