1.2.2同角三角函数关系(第1课时)

同角三角函数关系

1.2.2同角三角函数关系 教学目标: 1、掌握同角三角函数关系式; 2、能利用同角三角函数的基本关系进行简单的求值、化简和证明。 教学重点: 公式αα αααtan cos sin ,1cos sin 22==+的推导及其应用 教学难点: 由一个三角函数值求其它三角函数;选择适当的推理途径证明恒等式 教学过程: 活动一 ①由特殊角引入平方关系、商数关系; ②同角三角函数的基本关系: ▼平方关系:1cos sin 22=+αα ▼商数关系:)2 (,cos sin tan ππαααα+≠=k ③用定义证明上述二个公式。 活动二:能利用同角三角函数的基本关系进行简单的求值、化简和证明。 问题一:利用同角三角函数的关系求某个角的三角函数值。 例1:已知54sin = α,且α是第二象限角,求ααtan ,cos 的值。 例2:已知,5 12tan = α求ααcos ,sin 的值。

例3:已知,2tan =α求(1) ααααcos 9sin 4cos 3sin 2-- (2)αα22cos 3sin 2- 例4:已知2cos sin =+αα, 求(1)ααcos sin ,(2)αα22cos sin -。 问题二:利用同角三角函数的关系进行简单的化简。 例5、化简(1),1sin 1tan 2-α α其中α是第二象限角。 (2),cos 1cos 1cos 1cos 1α ααα-+++-其中α是第四象限角。 注:化简实际上也是一种恒等变形,通常要求化简的结果中,涉及的三角函数名称较少, 表达形式比较简单,特殊角的三角函数应求出它们的值 问题三:利用同角三角函数的关系进行简单的证明。 例6:求证: α αααsin cos 1cos 1sin -=+

三角函数的定义与同角三角函数关系

三角函数的定义与同角三角函数关系 一.知识内容: 1.在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. 2.三角函数定义: 在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P (x ,y ),那么: (1)y 叫做α的正弦,记作sin_α,即sin α=y ;(2)x 叫做α的余弦,记作cos_α,即cos α=x ; (3)y x 叫做α的正切,记作tan_α,即tan α=y x (x ≠0). 对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三 角函数. 思考:使锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合, 在终边上任取一点P ,PM ⊥x 轴于M ,设P (x ,y ),|OP |=r .问角α的正弦、余弦、正切分别等于什么? 4.(1)三角函数的定义域,值域分别是: (2)正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号: 5.由定义观察同角三角函数之间的关系: 二.知识应用: 例1.利用定义求下列角的三角函数值:(1) 32π (2)67π (3)3 10π- 练:(1)若750°角的终边上有一点(4,a ),则a =________. (2)求下列各式的值.①cos 25π3+tan(-15π4 );②sin 810°+tan 765°-cos 360°.

例2.已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ= 10 10x,求sin θ,tan θ. 练1已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sin α+ 3 cos α的值. 例3.(1)判断下列各式的符号:①sin 145°cos(-210°);②sin 3·cos 4·tan 5. (2)若α是第二象限角,则点P(sin α,cos α)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 练2(1)点P(tan α,cos α)在第三象限,则α是第________象限角. (2)若三角形的两内角A,B,满足sin A cos B<0,则此三角形必为() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能 例3.(1)已知cos α=-8 17,求sin α,tan α的值.(2).已知tan α=4 3且α为第三象限角, 求sin α,cos α的值. 练3(1)若sinα=-4 5,且α是第三象限角,求cosα,tanα的值;(2)若cosα= 3 3,求 sinα,tanα的值; (3)若tanα=- 2 2,求sinα,cosα的值.

(精心整理)同角三角函数基本关系式练习题

任意角的三角函数 1.已知sin α=45 ,且α为第二象限角,那么tan α的值等于 ( ) (A)3 4 (B)43 - (C)4 3 (D)4 3- 2.若θ是第三象限角,且02 cos <θ,则2 θ是 ( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限 3.设是第二象限角,则sin cos αα ( ) (A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1- 4.若tan θ=3 1,π<θ<32 π,则sin θ·cos θ的值为 ( ) (A)±3 10 (B) 3 10 5 若α 是三角形的一个内角,且sin α+cos α=3 2 ,则三角形为 ( ) (A) 钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形 6.已知α的终边经过P (ππ6 5cos ,6 5sin ),则α可能是 ( ) A .π6 5 B . 6 π C .3 π- D .3 π 7.如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是 ( ) A .)(] 22 ,22 [Z k k k ∈++-ππππ B .)() 22 3,22 (Z k k k ∈++ππππ C .)(] 22 3,22 [Z k k k ∈++ππππ D .)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ 8.1tan sin )(++=x b x a x f ,满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为 ( ) A .5 B .-5 C .6 D .-6 9. 扇形的周期是16,圆心角是2弧度,则扇形面积是______________

同角三角函数的基本关系教案

同角三角函数的基本关系 东宁县绥阳中学 教学目的: 知识目标:1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关 系式及它们之间的联系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函 数值的方法。 能力目标: 牢固掌握同角三角函数的两个关系式,并能灵活运用 于解题,提高学生分析、解决三角的思维能力; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程: 一、复习引入: 1.任意角的三角函数定义: 设角α是一个任意角,α终边上任意一点(,)P x y ,它与原点的距离为 (0)r r ==>,那么:sin y r α=,cos x r α=,tan y x α=, 2.当角α分别在不同的象限时,sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的? 3.背景:如果5 3sin =A ,A 为第一象限的角,如何求角A 的其它三角函数值; 4.问题:由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的,则角α的三个三角函数之间有什么关系? 二、讲解新课: (一)同角三角函数的基本关系式:

(板书课题:同角的三角函数的基本关系) 1. 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系: (1)商数关系:α ααcon sin tan = (2)平方关系:1sin 22=+ααcon 说明: ①注意“同角”,至于角的形式无关重要,如22sin 4cos 41αα+=等; ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如 tan cot 1(,)2 k k Z πααα?=≠∈; ③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、 变形用),如: cos α= 22sin 1cos αα=-, sin cos tan ααα =等。 2.例题分析: 一、求值问题 例1.(1)已知12sin 13α= ,并且α是第二象限角,求cos ,tan ,cot ααα. (2)已知4 cos 5α=-,求sin ,tan αα. 解:(1)∵22sin cos 1αα+=, ∴2222125cos 1sin 1()()1313 αα=-=-= 又∵α是第二象限角, ∴cos 0α<,即有5cos 13 α=- ,从而 sin 12tan cos 5ααα==-, 15cot tan 12αα==- (2)∵22sin cos 1αα+=, ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=, 又∵4cos 05α=-<, ∴α在第二或三象限角。 当α在第二象限时,即有sin 0α>,从而3sin 5 α=,sin 3tan cos 4 ααα==-; 当α在第四象限时,即有sin 0α<,从而3sin 5α=-,sin 3tan cos 4ααα==. 总结: 1. 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中,确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是:①没有确定好或不去确定角的终边位置;②利用平方关系开平方时,漏掉了负的平方根。 例2.已知tan α为非零实数,用tan α表示sin ,cos αα.

同角三角函数的基本关系式

同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系: 平方关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α 诱导公式 sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式 万能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ tan(α+β)=—————— 1-tanα·tanβ tanα-tanβ tan(α-β)=—————— 1+tanα·tanβ 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan2(α/2) 1-tan2(α/2) cosα=—————— 1+tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα=—————— 1-tan2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式

同角三角函数的基本关系式_练习题

同角三角函数的基本关系式 练习题 1.若sin α=4 5,且α是第二象限角,则tan α的值等于( ) A .-43 B.34 C .±34 D .±43 2.化简1-sin 2160°的结果是( ) A .cos160° B .-cos160° C .±cos160° D .±|cos160°| 3.若tan α=2,则2sin α-cos α sin α+2cos α的值为( ) A .0 B.34 C .1 D.5 4 4.若cos α=-8 17 ,则sin α=________,tan α=________. 5.若α是第四象限的角,tan α=-5 12 ,则sin α等于( ) A.15 B .-15 C.315 D .-513 6.若α为第三象限角,则cos α1-sin 2α+2sin α 1-cos 2α 的值为( ) A .3 B .-3 C .1 D .-1 7、已知A 是三角形的一个内角,sin A +cos A = 2 3 ,则这个三角形是 ( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .不等腰直角三角形 D .等腰直角三角形 8、已知sin αcos α = 1 8 ,则cos α-sin α的值等于 ( ) A .±3 4 B .±23 C .23 D .-2 3 9、已知θ是第三象限角,且9 5 cos sin 4 4 = +θθ,则=θθcos sin ( ) A . 32 B . 32- C . 3 1 D . 31- 10、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么θθcot tan +的值是 ( ) A .1- B .2- C .1 D .2 11、若 2cos sin 2cos sin =-+α αα α,则=αtan ( ) A .1 B .- 1 C .43 D .3 4- 12.A 为三角形ABC 的一个内角,若sin A +cos A =12 25 ,则这个三角形的形状为( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰三角形 13.已知tan θ=2,则sin 2 θ+sin θcos θ-2cos 2θ等于( ) A .-43 B.54 C.-34 D.45 14.(tan x +cot x )cos 2x =( )

同角三角函数的基本关系式练习

同角三角函数的基本关系式练习 一、选择题 1、),0(,5 4 cos παα∈=,则αcot 的值等于 ( ) A . 3 4 B .43 C .3 4 ± D . 4 3 ± 2、已知A 是三角形的一个内角,sin A +cos A = 2 3 ,则这个三角形是 ( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .不等腰直角三角形 D .等腰直角三角形 3、已知sin αcos α = 1 8 ,则cos α-sin α的值等于 ( ) A .±34 B .±23 C .23 D .-23 4、已知θ是第三象限角,且9 5 cos sin 44 =+θθ,则=θθcos sin ( ) A . 32 B . 32- C . 3 1 D . 31- 5、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么θθcot tan +的值是 ( ) A .1- B .2- C .1 D .2 6、若 2cos sin 2cos sin =-+α αα α,则=αtan ( ) A .1 B . - 1 C . 4 3 D .3 4- 7、已知 21cos sin 1-=+x x ,则 1sin cos -x x 的值是 A . 21 B . 2 1 - C .2 D .-2 8、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根,则m 的值为 A .51+ B .51- C .51± D .51-- 二、填空题 1、若15tan =α,则=αcos ;=αsin .

2、若3tan =α,则α αα α3 333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________. 3、已知 2cos sin cos sin =-+α αα α,则ααcos sin 的值为 . 4、已知5 24cos ,53sin +-= +-=m m m m θθ,则m=_________;=αtan . 三、解答题 1、:已知5 1 sin =α,求ααtan ,cos 的值. 2、已知22cos sin =+αα,求α α22cos 1sin 1+的值. 3、已知5 1 cos sin = +ββ,且πβ<<0. (1)求ββcos sin 、ββcos sin -的值;

同角三角函数的基本关系式_基础

同角三角函数基本关系 【要点梳理】 要点一:同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:22 sin cos 1αα+= (2)商数关系: sin tan cos ααα = (3)倒数关系:tan cot 1?=αα,sin csc 1αα?=,cos sec 1αα?= 要点诠释: (1)这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立; (2)2sin α是2 (sin )α的简写; (3)在应用平方关系时,常用到平方根,算术平方根和绝对值的概念,应注意“±”的选取。 要点二:同角三角函数基本关系式的变形 1.平方关系式的变形: 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-,,212sin cos (sin cos )αααα±?=± 2.商数关系式的变形 sin sin cos tan cos tan αααααα =?= ,。 【典型例题】 类型一:已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1.若4sin 5 α=-,且α是第三象限角,求cos α,tan α的值。 【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值,缩小角的范围。在解答过程中如果角α所在象限已知,则另两个三角函数值结果唯一;若角α所在象限不确定,则应分类讨论,有两种结果,需特别注意:若已知三角函数值以字母a 给出,应就α所在象限讨论。 举一反三: 【变式1】已知3sin 5 α=- ,求cos α,tan α的值。 类型二:利用同角关系求值

例2.已知:tan cot 2,θθ+=求: (1)sin cos ?θθ的值;(2)sin cos θθ+的值; (3)sin cos θθ-的值;(4)sin θ及cos θ的值 【变式1】已知sin cos αα-= (1)tan α+cot α;(2)sin 3α-cos 3α。 例3.已知:1tan 2θ=- ,求: (1)sin cos sin 3cos θθθθ +-; (2)2212sin cos sin cos θθθθ +-; (3)222sin 3sin cos 5cos θθθθ--。 【总结升华】已知tan α的值,求关于sin α、cos α的齐次式的值问题①如(1)、(2)题,∵cos α≠0,所以可用cos n α(n ∈N*)除之,将被求式转化为关于tan α的表示式,可整体代入tan α=m 的值,从而完成被求式的求值;②在(3)题中,求形如a sin 2α+b sin αcos α+c cos 2α的值,注意将分母的1化为1=sin 2α+cos 2α代入,转化为关于tan α的表达式后再求值。 举一反三: 【变式1】已知 tan 1tan 1 A A =--,求下列各式的值. (1)sin 3cos ;sin 9cos A A A A -+ (2)2 sin sin cos 2A A A ++

同角的三角函数的基本关系

同角的三角函数的基本关系 2.2同角的三角函数的基本关系 一、教学目标: ⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义; 2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能,提高运用公式的灵活性; 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中,注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程中,注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力. 二、教学重、难点 重点:公式及的推导及运用:(1)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个;(2)化简三角函数式;(3)证明简单的三角恒等式. 难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具 利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 及 ,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,

证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学过程 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化. 【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线 ,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且 .由勾股定理由 ,因此 ,即 . 根据三角函数的定义,当时,有 . 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1,商等于角的正切. 【例题讲评】 例1化简: 解:原式 例2 已知 解: (注意象限、符号)

同角三角函数的基本关系式练习题

同角三角函数的基本关系式练习题 1.若sin α=45 ,且α是第二象限角,则tan α的值等于( ) A .-43 B.34 C .±34 D .±43 2.化简1-sin 2160°的结果是( ) A .cos160° B .-cos160° C .±cos160° D .±|cos160°| 3.若tan α=2,则2sin α-cos αsin α+2cos α 的值为( ) A .0 B.34 C .1 D.54 4.若cos α=-817 ,则sin α=________,tan α=________. 5.若α是第四象限的角,tan α=-512 ,则sin α等于( ) A.15 B .-15 C.315 D .-513 6.若α为第三象限角,则cos α1-sin 2α+2sin α1-cos 2α 的值为( ) A .3 B .-3 C .1 D .-1 7、已知A 是三角形的一个内角,sin A +cos A = 23 ,则这个三角形是 ( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .不等腰直角三角形 D .等腰直角三角形

8、已知sin αcos α = 18 ,则cos α-sin α的值等于 ( ) A .±34 B .±23 C .23 D .-2 3 9、已知θ是第三象限角,且9 5cos sin 44=+θθ,则=θθcos sin ( ) A . 32 B . 32- C . 3 1 D . 31- 10、如果角θ满足2cos sin = +θθ,那么1tan tan θθ+的值是 ( ) A .1- B .2- C .1 D .2 11、若2cos sin 2cos sin =-+αααα,则=αtan ( ) A .1 B .- 1 C .43 D .3 4- 12.A 为三角形ABC 的一个内角,若sin A +cos A =1225 ,则这个三角形的形状为( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰三角形 13.已知tan θ=2,则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ等于( ) A .-43 B.54 C.-34 D.45 14.(1tan tan x x +)cos 2x =( ) A .tan x B .sin x C .cos x D .1tan x

同角三角函数的基本关系式

同角三角函数的基本关系式 诱导公式 sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα两角和与差的三角函数公式万能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ tan(α+β)=—————— 1-tanα ·tanβ tanα-tanβ tan(α-β)=—————— 1+tanα ·tanβ 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan2(α/2) 1-tan2(α/2) cosα=—————— 1+tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα=—————— 1-tan2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α 2tanα tan2α=————— 1-tan2αsin3α=3sinα-4sin3αcos3α=4cos3α-3cosα 3tanα-tan3αtan3α=—————— 1-3tan2α 三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式 α+βα-βsinα+sinβ=2sin—--·cos—-— 2 2 α+βα-βsinα-sinβ=2cos—--·sin—-—sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

同角三角函数关系

1.2.2 同角三角函数关系 已知sin α-cos α=-5 5,180°<α<270°,你能求出tan α的 值吗?你能化简sin θ-cos θ tan θ-1 吗?…… 为此,我们有必要研究同角三角函数的关系. 1.同角三角函数的平方关系是________________,使此式成立的角α的范围是________________. 2.同角三角函数的商数关系是________________,使此式成立的角α的范围是________________. 3.同角三角函数关系式是根据________________推导的. 4.sin 2α+cos 2α=1的变形有__________、__________.

5.tan α=sin α cos α的变形有__________、__________. 6.“1”的代换式有:1=___________________________= ________________________________. 7.知道角α的某一三角函数值求另外两三角函数值时,如果角α所在象限指定则结果只有________组解,如果角α所在象限没有指定,一般应有________组解. 8.1+tan 2θ=____________________,θ的取值范围是______________________. 答案:1.sin 2α+cos 2α=1 (-∞,+∞) 2.tan α=sin αcos α ???? ??α???α≠k π+π2,k ∈Z 3.三角函数定义 4.sin 2α=1-cos 2α cos 2α=1-sin 2α 5.tan αcos α=sin α cos α=sin α tan α 6.sin 2α+cos 2α tan 45° 7.一 二 8.1 cos 2θ ???? ??θ???θ≠k π+π2,k ∈Z

同角三角函数的基本关系式知识讲解(学校教学)

同角三角函数基本关系 【学习目标】 1.借助单位圆,理解同角三角函数的基本关系式: αα α ααtan cos sin ,1cos sin 2 2==+,掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法; 2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。 【要点梳理】 要点一:同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:2 2sin cos 1αα+= (2)商数关系: sin tan cos α αα = (3)倒数关系:tan cot 1?=αα,sin csc 1αα?=,cos sec 1αα?= 要点诠释: (1)这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立; (2)2 sin α是2 (sin )α的简写; (3)在应用平方关系时,常用到平方根,算术平方根和绝对值的概念,应注意“±”的选取。 要点二:同角三角函数基本关系式的变形 1.平方关系式的变形: 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-,,212sin cos (sin cos )αααα±?=± 2.商数关系式的变形 sin sin cos tan cos tan α ααααα =?= ,。 【典型例题】 类型一:已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1.已知tan α=-2,求sin α,cos α的值。 【思路点拨】先利用sin "tan 2"cos α αα = =-,求出sin α=-2cos α,然后结合sin 2α+cos 2α=1,求出sin α,cos α。 【解析】 解法一:∵tan α=-2,∴sin α=-2cos α。 ① 又sin 2α+cos 2α=1, ② 由①②消去sin α得(-2cos α)2+cos 2α=1,即2 1cos 5 α= 。 当α为第二象限角时,5 cos α=,代入①得25sin α=。

三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结

三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 (1)任意角---------?? ??? 正角逆时针旋转而成的角;负角顺时针旋转而成的角;零角射线没旋转而成的角. 角α(弧度)(,)∈-∞+∞. (2)角α的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,α就叫做第几象限角,终边在坐标轴上的角不是象限角,称之坐标角(或象限界角、轴线角等) (3)弧度制度:半径为r 的圆心角α所对弧长为l ,则l r α= (弧度或rad ). (4)与角α(弧度)终边相同的角的集合为{} 2,k k Z ββαπ=+∈,其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈,终边位置不变. 注:弧度或rad 可省略 (5)两制互化:一周角=036022r r ππ= =(弧度) ,即0180π=. 1(弧度)0 00 18057.35718π??'=≈= ??? 故在进行两制互化时,只需记忆0180π=,01180 π = 两个换算单位即可:如: 005518015066π=?=;036361805 ππ=?=. (6)弧长公式:l r α=((0,2])απ∈, 扇形面积公式:211 22 S lr r α= =. 注:关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法,把扇形的弧长类比成三角形的底,半径类比成三角形的高,则有1 1 = 2 2 S lr =g g 底高,如图4-1所示. 二、任意角的三角函数 1.定义 已知角α终边上的任一点(,)P x y (非原点 O ),则 P 到原点 O 的距 离 0r OP ==>.sin ,cos ,tan y x y r r x ααα= ==.

同角三角函数的基本关系及其应用方法

同角三角函数的基本关系应用方法 闫会林 同角三角函数的基本关系是三角函数题型中隐藏的条件,随时可以拿来应用,这就需要学生们非常熟练的掌握这种关系,能够运用同角三角函数之间关系求三角函数值或化简三角式。 我们已经知道了三角函数的定义: 任意角α的终边上取点P ,设点P 的坐标为(x ,y ),OP=r ,我们定义 。 ,即的正切,记作 叫做角;,即的正弦,记作叫做角;,即的余弦,记作叫做角x y x y r y r y r x r x = ==αααααααααtan tan sin sin cos cos 因此我们很容易得出同角三角函数的基本关系式: (1) 平方关系:1cos sin 22=+αα,即同一个正角的正弦、余弦的平方和等于1. (2)商数关系: α α αtan cos sin =,即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的 正切。 注意:同角三角函数的基本关系式当且仅当α的值使等式两边都有意义时才能成 立。在应用平方关系时,常用到平方根,算数平方根和绝对值的概念,应注意 ”“±的选取。 考查题型一 已知一个三角函数值,求两外两个三角函数值。 例1:若的值。是第三象限角,求 且ααααtan ,cos ,54 sin -= 解析: 3 4 3554 cos sin tan ,53541sin 1cos ,5 4sin 2 2 =??? ??-?- == -=?? ? ??---=--=∴- =α αααααα是第三象限角, 分析:此类题型属于较易题型,在α角象限确定的情况下,三角函数值得正负也就确定了,若角所在象限不确定,则应分类讨论。 题型二 已知αtan 的值,求关于ααcos sin 、 的齐次分式时,可将求值式变为关

(完整版)同角三角函数的基本关系及其应用

同角三角函数的基本关系应用方法 温燕红 同角三角函数的基本关系是三角函数题型中隐藏的条件,随时可以拿来应用,这就需要学生们非常熟练的掌握这种关系,能够运用同角三角函数之间关系求三角函数值或化简三角式。 我们已经知道了三角函数的定义: 任意角α的终边上取点P ,设点P 的坐标为(x ,y ),OP=r ,我们定义 。,即的正切,记作叫做角;,即的正弦,记作叫做角;,即的余弦,记作叫做角x y x y r y r y r x r x ===αααααααααtan tan sin sin cos cos 因此我们很容易得出同角三角函数的基本关系式: (1) 平方关系:1cos sin 22=+αα,即同一个正角的正弦、余弦的平方和等于1. (2)商数关系: αα α tan cos sin =,即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切。 注意:同角三角函数的基本关系式当且仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立。在应用平方关系时,常用到平方根,算数平方根和绝对值的概念,应注意”“±的选取。 考查题型一 已知一个三角函数值,求两外两个三角函数值。 例1:若的值。是第三象限角,求且ααααtan ,cos ,5 4 sin -= 解析: 3 4 3554cos sin tan ,53541sin 1cos ,5 4 sin 2 2 =??? ??-?-== -=?? ? ??---=--=∴-=ααααααα是第三象限角, Θ 分析:此类题型属于较易题型,在α角象限确定的情况下,三角函数值得正负也就确定了,若角所在象限不确定,则应分类讨论。 题型二 已知αtan 的值,求关于ααcos sin 、的齐次分式时,可将求值式变为关

(完整版)同角三角函数的关系练习题

同角三角函数的关系 【】已知3sin 5,且在第三象限,求cos ,tan 的值【】已知,51cos 且0tan ,求sin ,tan 。 【】若是第四象限角,且5 tan ,12求sin ,cos 【】已知,2tan 求下列各式的值: (1)cos 9sin 4cos 3sin 2; (2) cos sin ; (3)222cos 4cos sin 3sin 。 【】已知2tan ,求 (1)sin cos sin cos ; (2)22 sin sin cos 2cos 【】已知tan()3,求 (1)2cos()3sin() 4cos()sin(2) (2)22 cos sin cos 2sin 【】已知cos 2sin ,求 (1)sin 4cos 5sin 2cos , (2)2sin 2sin cos (3)22 2sin cos sin cos (4)2 2 2sin 1cos (5)22 sin 2cos (6)2sin sin cos 3 【】已知sin 2cos 53sin 5cos ,那么tan 的值为________.

【2015·福建】若5 sin 13,且α为第四象限角,则tan 的值等于( ) A.125 B .-125 C.512 D .-512 【2015·四川】已知sin 2cos 0,则22sin cos cos 的值是________. 【2013·浙江】已知10 sin 2cos 2,则tan2等于( ) A.43 B.34 C .-34 D .-4 3 【2013·新课标全国Ⅱ】设为第二象限角,若1 tan()42,则sin cos ________. 【2015·广东】已知tan α=2. (1)求tan()4的值; (2)求2sin 2 sin sin cos cos21的值. 【】已知角α的终边经过点P (2,-1),则sin cos sin cos ( ) A .3 B.1 3 C .-1 3 D .-3 【】若sin 2cos 5,则tan α等于( ) A.1 2 B .2 C .-1 2 D .-2 【】若2cos sin ,则cos sin 。 【】已知5 sin cos ,sin cos 4则。 【】已知1 sin cos (0)5,则tan ; 【】已知,81 cos sin 且24,求cos -sin 的值。 【】函数y =2cos 2x +5sin x -4的最大值为________. 【】函数y =sin x +cos x +sin xcos x 的最小值为________.

同角三角函数的基本关系式

同角三角函数的基本关系式 学习目标: 1.掌握同角三角函数之间的常用关系:平方关系、商数关系. 2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式. 学习过程 : 活动一:(复习准备) 上节课我们已学习了任意角的三角函数定义,如图1所示,任意角α的三个三角函数是如何定义的呢?在α的终边上任取一点),(y x P ,它与原点的距离是)0(>r r ,则角α的三个三角函数的值是: r y =αsin ,r x =αcos ,x y =αtan 活动二:(目标:掌握同角三角函数关系式) 推导同角三角函数关系式 ①平方关系: 1cos sin 22=+αα ②商数关系: α ααcos sin tan = 活动三:(目标:熟练应用同角三角函数关系式) 例1:已知5 4sin =α,且α是第二象限角,求αcos ,αtan 的值. 例2:已知17 8cos -=α,求αsin ,αtan 的值. 练习:5 12tan =α,求αsin ,αcos 的值。 说明:本题没有具体指出α是第几象限角,则必须由αcos 的函数值决定α可能是哪几象 限的角,再分象限加以讨论. 推广:已知αtan 为非零实数,用αtan 表示 αsin ,αcos . 例3:化简下列各式: (1)?-100sin 12;(2)??-20cos 20sin 21(3) 1sin 1tan 2-α α(α是第二象限角).

活动四:演练反馈 1、已知:135cos - =α ,求α的其他各三角函数值. 2、已知815tan - =α ,求αsin ,αcos . 3、证明: α αααsin cos 1cos 1sin -=+ 活动五.本课小结 活动六:课堂检测 1.已知5 4sin =α,),0(πα∈,则αtan = 2.化简 θθ22cos )tan 1(+ 3.化简 ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+ ,其中α为第二象限角. 4.已知2tan =α ,求 ααααcos sin cos sin -+的值. 5.已知α是三角形的内角,51cos sin =+αα,求αtan 值.

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