天津市滨海新区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

滨海新区 第一学期期末测试卷

高 一 数 学

一．选择题（共12小题）

1．已知集合{1U =，2，3，4}，{1A =，3}，{1B =，4}，则()(U A B =I e ) A ．{2，3}

B ．{3}

C ．{1}

D ．{1，2，3，4}

2．函数()sin(2)()3f x x x R π

=+∈的最小正周期为( )

A ．4π

B ．2π

C ．π

D ．

2

π 3．命题“(1,)x ?∈+∞，213x x +≤”的否定是( ) A ．(,1]x ?∈-∞，213x x +> B ．(1,)x ?∈+∞，213x x +≤ C ．(,1]x ?∈-∞，213x x +≤ D ．(1,)x ?∈+∞，213x x +>

4．“1x >”是“21x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．在下列区间中，函数()3f x lnx x =+-的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

6．若0.43.3a =， 3.32og .l 0b =， 3.38og .l 2c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．c a b >>

B ．c b a >>

C ．a b c >>

D ．a c b >>

7．为了得到函数3sin(2)5y x π=-的图象，只需把函数3sin()5y x π

=-的图象上所有的点的( )

A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B ．横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变

C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D ．纵坐标缩短到原来的

1

2

倍，横坐标不变 8．下列命题为真命题的是( ) A ．若0a b >>，则22ac bc >

B ．若0a b >>，则22a b >

C ．若0a b <<，则2a ab <

D ．若0a b <<，则

11a b

<

9．已知[0,2]x ∈( ) A ．8

B ．2

C ．1

D ．0

10．给定函数2()f x x =，()2g x x =+，对于x R ?∈，用()M x 表示(),()f x g x 中较大者，记为

()max{(),()}M x f x g x =，则()M x 的最小值为( )

A ．1-

B ．1

C ．2

D ．4

11．已知函数32,0

()3,0x x f x x x ?-+<=?-+≥?

，()52(0)g x kx k k =+->，若对任意的1[1x ∈-，1]，总存在2[1x ∈-，

1]使得12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为( )

A ．(0,2]

B ．2(0,]3

C ．(0,3]

D ．(1,2]

12．已知函数()3cos()(0f x x ω?ω=-+>，0)?π<<是奇函数，将()f x 图象向左平移(0)θθ>个单位长

度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 在区间[,]62

ππ

上是单调递增的，且2()()()236g g g πππ==-，某

同学得出：①()g x 在区间713[,]1212

ππ

上是单调递减；②3()32g π=；③

53π是()g x 的一个零点；④θ的最小值为

23

π

.上述四个结论正确的是( ) A ．①② B ．③④

C ．②③

D ．①④

二．填空题（共8小题）

1322cos 15sin 15?-?的值为 ． 14．不等式(3)(5)0x x -+<的解集为 ． 15．若2

sin 3

α=

，则sin()πα-= ． 16．已知函数2()28f x x kx =--在区间[3，)+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是 ． 17．若lg2,lg3a b ==，则3log 12的值为 ．（结果用含a ，b 的代数式表示）

18．定义在R 上的偶函数()f x 在区间[0，)+∞上是增函数，若(tan(55))a f =-?，(tan 47)b f =?，(1)c f =，则用“<”将a ，b ，c 从小到大排序为 ．

19．发展农村电商是“乡村振兴计划”的重要组成，某农村电商结合自己出售的商品，要购买3000个高为2分米，体积为18立方分米的长方体纸质包装盒。经过市场调研。此类包装盒按面积计价，每平方分

米的的价格y （单位：元）与订购数量x （单位：个）之间有如下关系：

0.011,100020000.01,200040000.009,4000x y x x ≤

=≤

（说明：商家规定每个纸盒计费面积为六个面的面积之和），则该电商购入

3000个包装盒至少需要 元.

20．已知函数log ,01

()(0,1)2,1a

x m x f x a a x x +<≠?-+≥?

定义域内单调递减，若|2|>()f (m )f a ，则实数m 的取值范围是 ．

三．解答题（共4小题） 21．（本题满分12分） 已知3cos ,(,0)52

π

αα=∈-．

（1）求sin α和tan α定义域； （2）求sin()3π

α+的值．

22．（本题满分12分）

已知函数()log (2)(0,1)a f x x a a =+>≠． （1）求函数()f x 定义域；

（2）若(2)2f =，判断函数()f x 单调性，并用单调性定义证明； （3）解关于x 的不等式()0f x >．

23．（本题满分13分）

已知函数2()2sin cos 1,f x x x x x R =+?-∈，x R ∈．

（1）求使得()f x 的最大值及时x 的集合； （2）求()f x 在[0，]π上的单调减区间；

（3）若方程()f x a =在0,2x π??

∈????

上有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围．

24．（本题满分13分）

已知函数()(1)x g x a a =>，且1()()()

t

f x

g x g x +=+

是定义在R 上的奇函数． （1）求实数t 的值并判断函数()f x 的单调性（不需要证明）；

（2）关于x 的不等式2()(4)0f x bx f x ++->在(0,)+∞上恒成立，求实数b 的取值范围； （3）若1(2)[(2)])2()(g x x f x h g x m --=+在(0,)+∞上有两个零点12,x x ，

求证：m 12log (2a x x +>+．

滨海新区2019-2020学年度第一学期期末测试卷

高一数学参考答案

一．选择题（共12小题）

二．填空题（共8小题） 13.

14. (5,3)- 15. 2

3

16. (

,12]-∞ 17. 2a b

b

+ 18.c b a << 19. 1260 20. (3,)+∞

三．解答题（共4小题） 21．（本题满分12分）

解：（1）由3cos ,(,0)52=∈-παα，4sin 5∴==-α

sin 4tan cos 3

∴=

=-ααα （2）413sin()sin cos cos sin =333525+=+-?+πππααα 22．（本题满分12分）

解：（1）由题意：20x +>，解得：2x >-， 则函数的定义域为：{|2}x x >-

（2）因为(2)2f =，所以2log 4,2a a =∴=

2()log (2)f x x ∴=+，函数()f x 在(2,)-+∞上单调递增.

设12,(2,)x x ∈-+∞，且122x x -<<，则1

12212222

2()()log (2)log (2)log 2x f x f x x x x +-=+-+=+ 11

1212

222

222,0221log 022x x x x x x x x ++-<<∴<+<+∴

<∴<++Q 12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，()f x 在(2,)-+∞上单调递增

（3）由题意log (2)0a x +>，即log (2)log 1a a x +>

当01a <<时，221x x >-??+时，2

21

x x >-??+>?，解得：1x >-

综上所述：当01a <<时，不等式的解集为{|21}x x -<<-；当1a >时，不等式的解集为{|1}x x >-. 23．（本题满分13分）

解：（1）()1cos2212sin(2)6f x x x x =--=-π

设26

x t -=π

，函数取得最大值的集合为{|2,}

2

t t k k Z =

+∈π

π

2=262

t x k ∴=-

+ππ

π，解得：=

3

x k +π

π

所以使得()f x 的最大值及时x 的集合为：{|=,}3

x x k k Z +∈π

π.

（2）设112,[0,],26

6

6

6

x t x x -

=∈∴-

<-

<

π

π

π

ππ， 函数11sin ,(,)66y t t =∈-ππ的单调减区间是3(,)22

ππ

即

322

6

2x <-

<

π

π

π，解得536x <<

ππ 所以函数()f x 的单调减区间是5(,)36

ππ

. （3）由（2）可知()f x 在(0,)3π上单调递增，在(,)32ππ

上单调递减

且(0)1,()2,()132

f f f ===ππ

若方程()f x a =在0,2x π??

∈????上有两个不同的实数解，则[1,2)a ∈.

24．（本题满分13分）

解：（1）由题意1()x x

t

f x a a +=+

是定义在R 上的奇函数 所以(0)0f =，所以1(1)0t ++=，即2t =- 经检验，2t =-是()f x 是奇函数（不写不减分）

由题意得：1

()x

x f x a a

=-

，因为1a >，()f x 是R 上的增函数. （2）因为奇函数()f x 是定义域在R 上的增函数

又222()(4)0()(4)4f x bx f x f x bx f x x bx x ++->?+>-?+>- 即41b x x >--

+在(0,)+∞上恒成立，由基本不等式，当且仅当2x =时，4

1x x

--+取得最大值-3

所以3b >-，则实数b 的取值范围为(3,)-+∞.

（3）由题意：22211112()()2()()2x

x x x

x x x x

a m a a m a a a a h a x +

--=---+= 令

1

,(0,),(0,)x x

u a x u a =-

∈+∞∴∈+∞Q 则222()p u u u m =-+在(0,)+∞有两个不相等的零点，函数的对称轴是u m =

20

0(0)0(0)20()0()20

m m p p p m p m m ?>>???

∴>?=>????<=-+

解得：m 设12,u u 是方程222=0u mu -+的两个不等的正实数根

12122u m u m u u =+=-∴=

又12

12

1211,x x x x u a u a a a =-

=- 211

212

12121212111()()()2x x x x x x x x x x x x a a u u a a a a a a a a

∴=--=+-+=

由基本不等式21

12

12,2x x x x a a x x a a ≠∴+>Q

1212121221

22,()410x x x x x x x x a a a a

++++∴<+-∴-+>

解得：122x x a +<

122x x a +>

1212120,1,1,2x x x x x x a a a +++>>∴>∴>Q

121,log (2a a x x >∴+>+Q

所以：m

12log (2a x x +>+.