递推与归纳

递推与归纳
递推与归纳

递推与归纳

准备题按规律填数

(1)3 ,6 ,9 ,12 ,()

(2)2 ,4 ,8 ,16 ,()

(3)1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,(),()

相邻项之间的关系(规律),又称为递归关系,有了递归的关系就可以利用数列前面的项求出后面的项。这样的方法就是递推法。

观察若干具体事物的特性,发现适用于其他更一般的事物的规律(或结论),这样的方法就是归纳法。

例1计算下列各题

(1)33...3×33 (34)

(2)++++…+

试一试:计算+++…+

例2如图,将自然数按从小到大的顺序排列成螺旋形,在2处拐第一个弯,在3处拐第二个弯,5处拐第三个弯,……

问第二十个拐弯的地方是哪一个数?

例32000枚棋子排一列,从第一枚开始编号为1号到2000号,要求取出凡编奇数号的棋子,余下的棋子按原顺序再次编号,再取出要编奇数号的棋子,依次重复上面作法,问最后留下的一枚棋子,第一次编号是多少?

例4小兔子出生以后两个月就能生小兔,如果一对长大的兔子每月不多不少恰好生一对(一雌一雄)小兔子,那么一对初生的小兔,经过一年(12个月),共有多少对兔子?

试一试10个小朋友围坐一圈做传手巾的游戏,规定每个人得到手巾后只能往右边第一个或第二个人手中传,问手巾从小强手中传出,传递一圈后又回到小强手中,共有多少钟不同的传法?

例5在下面的长方形中,线段MN分这个长方形为两部分,问4条线段最多把这个长方形分成几部分?100条呢?

练习:

1、99……9×99……9+199……9的得数末尾有多少个零?

2、计算666......6×666 (67)

3、已知,=11……155……56 求a.

4、有一串数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数起,每个数恰好是前两个数的和,,第2017个数被3除后所得的余数是几?

5、给定第一个数是1,第二个数是2,从第三个数起,每个数都是前面所有数之和,问第10个数是多少?并求这10个数之和。

6、斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,第20项是多少?

7、有一楼梯共10级,如果规定每步只能跨上一级或二级,从地面登上第10级有多少种不同的走法?

8、如图,按箭头所指方向,从A到B有多少条不同的路线?

9、一个长方形中任意画了10个点,以这10个点及长方形的4个顶点为端点的连线,如果没有互相相交的的线段,

那么这些线段最多能把长方形分割成多少个相互不重叠的三角形区域?

10、一个圆上有9个点A1,A2,A3,…,A9.以它们为顶点连三角形,使每个点恰好是一个三角形的顶点,

且各个三角形的边都不相交.问共有多少种不同的连法?

第五讲 归纳与递推计数

第五讲归纳与递推计数 【知识点】 一、欧拉定理 平面图形:顶点数+区域数-边数=1 二、求最多交点数(n条直线) n×(n-1)÷2 三、分平面 1.直线分平面:1+n×(n+1)÷2 2.封闭图形 1)圆分平面:2+n×(n-1) 2)三角形分平面:2+3×n×(n-1) 3)四边形分平面:2+4×n×(n-1) 4)M边形分平面:2+M×n×(n-1) 四、多边形分三角形(n个内点) 1.四边形:4+(n-1)×2 2.M边形:M +(n-1)×2 【周周测】 练习1 某城市有10条笔直的道路,这10条路没有平行的,每两条都有交叉路口,但没有3条或3条以上的路在一个路口相交,如果每一个交叉路口安排一名交警,共需安排()名。 练习2 将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片,如果要分成不少于1000个小纸片,至少要画()条直线。请说明。

练习3 平面上的七个圆和一条直线最多将平面分为几部分? 练习4 如图,一枚棋子放在七角棋盘的第0格。现依反时针方向移动这枚棋子,且依次走1,2,3,…,n,…格。不论走多少次,总有几个格子从不停有棋子,这几个格子的号码是( )。 练习5 在一张五边形的纸上有20个点,如果把五边形的顶点算在一起,则一共有25个点。已知这些点中任意三个点都不在同一直线上,按下面两个规定把这些纸剪成一些三角形:①每个三角形的顶点都是这25个点中的3个;②每个三角形内,都不再有这些点。 问:这张五边形的纸最多能剪出( )个这样的三角形。 6 5 4321

69练习6 在2,3两数之间,第一次写上5(5=2+3),第二次在2,5和5,3之间分别写上7(7=2+5),8(8=5+3): 2...7...5...8 (3) 即每次都在已写上的两个相邻数之间,写上这两个相邻数之和,这样的过程共重复7次,问所有数之和是多少? 。 练习7 在方格纸上画折线段(见图),小方格的边长是1,折线上每一直线段都按螺旋形一次编号为①、②、③、…,问:(1)编号 的线段长度是( ) (2)长为28的线段的编号是( )你发现什么规律?

奥数讲义计数专题:归纳与递推

华杯赛计数专题:归纳与递推 基础知识: 1.递推的基本思想:从简单情况出发寻找规律,逐步找到复杂问题的解法。 2.基本类型:上楼梯问题、直线分平面问题、传球法、圆周连线问题。 3.递推分析的常用思路:直接累加、增量分析、从复杂化归简单。 例题: 例1.一个楼梯共有10级台阶,规定每步可以迈一级台阶或二级台阶.走完这10级台阶,一共可以有多少种不同的走法? 【答案】89种 【解答】 设n级台阶有a n种走法,则a n=a n-1+a n-2 1级有1种走法;2级有(1+1和2)2种走法;3级有(1+1+1、2+1和1+2)3种走法;4级有3+2=5种走法;5级有3+5=8种走法;6级有5+8=13种走法;7级有8+13=21种走法;8级有13+21=34种走法;9级有21+34=55种走法;10级有34+55=89种走法 例2.小悦买了10块巧克力,她每天最少吃一块,最多吃3块,直到吃完,共有多少种吃法? 【答案】274种 【解答】通过枚举法和递推法:设n块糖有a n种走法,则a n=a n-1+a n-2+ a n-3 1块糖有1种吃法;2块糖有2种吃法; 3块糖有4种吃法; 4块糖有1+2+4=7种吃法; 5块糖有2+4+7=13种吃法; 6块糖有4+7+13=24种吃法; 7块糖有7+13+24=44种吃法; 8块糖有13+24+44=81种吃法;9块糖有24+44+81=149种吃法;10块糖有 44+81+149=274种吃法。 例3.用1×2的小方格覆盖2×7的长方形,共有多少种不同的覆盖方法? 【答案】21种 【解答】2×1的方格有1种盖法;2×2的方格有2种盖法;2×3的方格有2+1=3种盖法; 2×4的方格有3+2=5种盖法;2×5的方格有3+5=8种盖法;2×6的方格有5+8=13种盖法; 2×7的方格有8+13=21种盖法。 例4.如果在一个平面上画出4条直线,最多可以把平面分成几个部分?如果画20条直线,最多可以分成几个部分? 【答案】211个 【解答】1条直线将平面分成1+1=2部分;2条直线最多将平面分成1+2+1=4部分; 3条直线最多将平面分成1+2+3+1=7部分;4条直线最多将平面分成1+2+3+4+1=11部分……20条直线最多将平面分成1+2+3+……+20+1=211部分;

初中数学竞赛《归纳与递推》配套练习题

《归纳与递推》配套练习题 一、简答题 1、请用递推方法求出甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相,共有多少种不同站法? 2、在平面上有5个三角形,最多把平面分割成多少部分? 3、将自然数1,2,3,…,按图排列,在“2”处转第一个弯,“3”处转第二个弯,“5”处转第三个弯,…。问哪个数处转第十二个弯? 4、用“1×2”纸牌(如下左图)若干张,放在一个图形上,要求“不空、不超、不重叠”,满足这种条件的叫做一种“完全覆盖”。例如,用“1×2”纸牌覆盖“2×2”图形(如下右图),有两种方法。 问用“1×2”纸牌,覆盖“2×8”图形(如下图)有多少种覆盖方法? 5、10级台阶,每次可以上1级或者2级,那么有多少种不同的走法? 6、平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分? 平面上24条直线最多能把圆的内部分成几部分?

7、 8、传说在印度的佛教圣地贝拿勒斯圣庙里安放着个一个黄铜板,板上插着三根宝石针,在第一根宝石针上,从下到上穿着由大到小的64片中心有孔的金片。每天都有一个值班僧侣按下面规则移动金片:把金片从第一根宝石针移到其余的某根宝石针上。要求一次只能移动一片,而且小片永远要放在大片的上面。当时传说当64片金片都按上面的规则从第一根宝石针移到另一根宝石针上时,世界将在一声霹雳中毁灭。所以有人戏称这个问题叫“世界末日”问题(也称为“Hanoi塔”问题),当然,移金片和世界毁灭并无联系,这只是一个传说而已,但说明这是一个需要移动很多很多次才能办到的事情。那么究竟按上述规则移动完成64片金片需要移动多少次呢? 答案部分 一、简答题 1、 【正确答案】:120 【答案解析】:一个人站法:1种; 二个人站法:1×2=2(种); 三个人站法:1×2×3=6(种); 四个人站法:1×2×3×4=24(种);

解题思路点滴 归纳与递推

解题思路点滴---归纳与递推 归纳与递推是数学竞赛中考查的重要方法。其中归纳有完全归纳法(如枚举法)和不完全归纳法;递推法有正向递推法,也有逆向递推法。 例1 在下面各列数中的横线上填上适当的数。 (1)21,32,43,54, ,76;(2)32,1,65,43, ,2 3; (3)1,2,4,8, ,32;(4)1,10,19,28, ,46; (5)1,3,7,13, ,31;(6)1,3,8,15, ,35; (7)1,3,4,7, ,18。 【分析与解】给数列填数问题的基本解法是按数据特点归纳出数据关系形成数列通项,或发现前后之间的递推关系,进一步按通项或由递推式填出横线上的数。 (1)该数列的第n 项形如1-n n ,而横线上的是第5项,故应填6 5; (2)按分母特点把各项还原成分数 32,44,56,68, ,812故第n 项形如22+n n ,横线上应填7 10; (3)把各项分解质因数得1,2,22,23, ,25;故第n 项形如2n - 1,横线上的数=24=16。 (4)易观察得:每项加上9便得后面一项,故横线上的数是29+9=37。 (5)设横线上的数是x ,则将数列中各项与前项相减组成新数列得 2,4,6,x -13,31-x 。∴x -13=8,且31-x =10;故x =21。∴横线上应填21。 (6)容易看出数列的第n 项形如n 2-1,横线上是第5项,故应填24。 (7)容易看出,每两项相加便得后面一项,故横线上的数是11。 【评注】分析数据之间的关系,归纳出数列通项,或相邻项之间的递推关系,是解填数问题的常用方法。其中常用的技巧有:差分法、 分数化法、分解质因数法、设未知数法等。 例2 数列1,3,2,-1,-2,1,…,的第n 项a n 及其后面两项a n +1,a n +2之间满足关系式a n +2=a n +1-a n 。求这个数列的前2000项之和。(前2000项的和=333×(1+3+2-1-3-2)+1+3=4) 例3 求19991999的个位数字。(9) 例4 现有100个数按递推排列,其中第一个数是0,第二个数是2,并且从第二个数起每个数的三倍都等于其前后两个数之和,问第100个数被6除所得余数是几?(2) 例5 (1)平面上5条直线最多能把一个圆的内部分成几部分?(16) (2)平面上100条直线最多能把一个圆分成多少部分?(5051) 例6 平面上100个不同的圆最多把平面分成多少部分。 (99092) 例7 王大爷卖西瓜,第一次卖了全部的一半又半个;第二次卖了余下的一半又半个;第三次卖了第二次余下的一半又半个;第四次卖了第三次余下的一半又半个。最后还剩下一个西瓜,问王大爷原来一共有多少个西瓜?(31) 例8 如果xyz =x 3+y 3+z 3,则称三位数xyz 为芙蓉花数,试求出大于400而小于500的所有芙蓉花数。 练习 1.请你根据下列各个数之间的关系,在括号里填上恰当的数

小六数学第5讲:递推与归纳(教师版)

第五讲递推与归纳 有时,我们会遇上一些具有规律性的数学问题,这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律,并利用这一规律去解决问题。 例如:按规律填数:1,4,9,16,25,(),49,64; 分析:要在括号填上适当的数,就要正确判断出题目所呈现出的规律。若你仔细地观察这一数列,就会发现这些数之间的规律: ⑴先考虑相邻两个数之间的差,依次是3,5,7,9,……,15;可以看到相邻两数的差从3开始呈现递增2的规律,所以括号里的数应是25+11=36,再看36+13=49得到验证。 ⑵如果我们换一个角度去考虑,那么我们还可以发现,这数列的第一项是1的平方,第二项是2的平方,第三项是3的平方,……,从这些事实中,发现规律是第n项是n的平方。那么所求的是第六项是62=36。 我们把相邻数之间的关系称为递归关系,有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数。像这种解题方法称为递推法。 1. 理解递推法的概念。 2. 会用递推法解题

例1:999 …999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数? 分析:我们可以从最简单的9×9的乘积中有几个奇数着手寻找规律。 9×9=81,有1个奇数;99×99=99×(100-1)=9900-99=9801,有2个奇数; 999×999=999(1000-1)=999000-999=998001,有3个奇数; …… 从而可知,999…999×999…999的乘积中共有10个数字是奇数。 例2:如图所示:线段AB 上共有10个点(包括两个端点)那么这条线段上一共有多少条不同的线段? 分析:先从AB 之间只有一个点开始,在逐步增加AB 之间的点数,找出点和线段之间的规律。 我们可以采用列表的方法清楚的表示出点和线段数之间的规律。 AB 之间只有1个点:线段有 1+2=3条。AB 之间只有2个点:线段有 1+2+3=6条。 AB 之间只有3个点:线段有 1+2+3+4=10条。 AB 之间只有4个点:线段有 1+2+3+4+5=15条。…… 不难发现,当AB 之间有8个点时,线段有 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45条。 若再进一步研究可得出这样得规律,线段数=点数×(点数-1)÷2。 例3:计算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。 分析:这是一道特殊的计算题,当然我们可以采用分别求出每个数的立方是多少再求和计算出这题的结果。这样的计算工作量比较大,是否可以采用其它较简便的方法计算呢?下面我们就来研究这个问题。 13+23=(1+2)2; 13+23+33=(1+2+3)2; 13+23+33+43=(1+2+3+4)2 ;…… 这样我们可以容易地得到13+23+33+43+53+63+73+83+93+103 =(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)2 = 552= 3025 通过这个例题我们可以得到13+23+33++……+n 3=(1+2+3+…+n ) 2 例4:2000个学生排成一行,依次从左到右编上1~2000号,然后从右到左按一、二报数,报一的离开队伍,剩下的人继续按一、二报数,报一的人离开队伍,……按这个规律如此下去,直至当队伍只剩下一人为止。问:最后留下的这个人原来的号码是多少? 分析“我们通过前几次留在队伍中的学生的编号找出规律。 第一次留下的学生编号是:2,4,6,8,10,……; 都是2的倍数。即21的倍数; 第二次留下的学生编号是:4,8,12,16,20,……; 都是4的倍数,即22的倍数; 第一次留下的学生编号是:8,16,24,32,40,……;都是8的倍数。即23的倍数;…… 由于210=1024<2000<211=2048;这样可知,最后留下学生的号码一定是1024。 例5:圆周上两个点将圆周分为两半,在这两点上写上数1;然后将两段半圆弧对分,在两个分点上写上相邻两点上的数之和;再把4段圆弧等分,在分点上写上相邻两点上的数之和,如此继续下去,问第6步后,圆周上所有点上的之和是多少? 分析:先可以采用作图尝试寻找规律。 10个9 10个9 10个9 10个9 1 2 3 4 5 6 7 8 B

由递推公式求通项的9种方法经典总结

精析由递推公式求通项的9种方法 1.a n +1=a n +f (n )型 把原递推公式转化为a n +1-a n =f (n ),再利用累加法(逐差相加法)求解,即a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=a 1+f (1)+f (2)+f (3)+…+f (n -1). [例1] 已知数列{a n }满足a 1=1 2,a n + 1=a n +1 n 2 +n ,求a n . [解] 由条件,知a n +1-a n =1 n 2+n = 1nn +1=1n -1 n +1 ,则(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+…+(a n -a n -1)=? ????1-12+? ??? ?12-13+? ????13-14+…+? ?? ???1n -1-1n , 所以a n -a 1=1-1n .

因为a 1=12,所以a n =12+1-1n =32-1 n . 2.a n +1=f (n )a n 型 把原递推公式转化为a n +1 a n =f (n ),再利用累乘法(逐商相乘法) 求解,即由a 2a 1=f (1),a 3a 2=f (2),…,a n a n -1=f (n -1),累乘可得a n a 1= f (1)f (2)…f (n -1). [例2] 已知数列{a n }满足a 1=2 3,a n + 1=n n +1 ·a n ,求a n . [解] 由a n +1=n n +1·a n ,得a n +1a n = n n +1 , 故a n =a n a n -1·a n -1a n -2·…·a 2 a 1 ·a 1=n -1n × n -2n -1×…×12×23=23n .即a n =2 3n . 3.a n +1=pa n +q (其中p ,q 均为常数,pq (p -1)≠0)型

2020年高考物理复习攻略:递推归纳法(教师版)

专题04递推归纳法 递推归纳法是依据物理问题所呈现的物理量之间的关系或潜在的物理条件,通过物理相关规律,再辅以数学方法来递推归纳,得出物理量变化的通式,从而探知物理量的变化规律。在应用递推归纳法解决物理问题时,要善于引导学生挖掘物理量之间的变化关系及其隐含的物理条件,因为它是我们进一步对物理问题进行递推归纳的抓手。 譬如,在应用递推归纳法解解决动力学问题时,首先要分析物体的受力,进一步分析物体的运动情况,善于分析出物体运动中的相似阶段,把握物体在相似运动阶段的节点。把整个运动过程分为若干个相似的阶段,每个相似阶段具有宏观运动性质的相似性。比如:有的相似性阶段是先在电场中作匀变速运动后在磁场中做匀速圆周运动,有的相似性阶段是先匀加速运动后做匀减速运动。在相似性阶段还可能具有相同的某一物理量,或是运动周期相同,或是末速大小相等,或是位移大小相等,如此不一而足。因此,递推归纳出的物理量往往具有比较简单的变化规律,或是等差数列变化,或是等比数列变化,较难一点的是复合数列变化。 典例1(19年江苏卷)如图所示,匀强磁场的磁感应强度大小为B .磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M 、N ,MN =L ,粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短),反弹前后水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反.质量为m 、电荷量为-q 的粒子速度一定,可以从左边界的不同位置水平射入磁场,在磁场中做圆周运动的半径为d ,且d

解题思路点滴 归纳与递推教学内容

解题思路点滴归纳与 递推

解题思路点滴---归纳与递推 归纳与递推是数学竞赛中考查的重要方法。其中归纳有完全归纳法(如枚举法)和不完全归纳法;递推法有正向递推法,也有逆向递推法。 例1 在下面各列数中的横线上填上适当的数。 (1)21,32,43,54, ,76;(2)32,1,65,4 3, ,2 3; (3)1,2,4,8, ,32;(4)1,10,19,28, ,46; (5)1,3,7,13, ,31;(6)1,3,8,15, ,35; (7)1,3,4,7, ,18。 【分析与解】给数列填数问题的基本解法是按数据特点归纳出数据关系形成数列通项,或发现前后之间的递推关系,进一步按通项或由递推式填出横线上的数。 (1)该数列的第n 项形如1-n n ,而横线上的是第5项,故应填6 5; (2)按分母特点把各项还原成分数 32,44,56,68, ,812故第n 项形如22+n n ,横线上应填7 10; (3)把各项分解质因数得1,2,22,23, ,25;故第n 项形如2n -1,横线上的数=24=16。 (4)易观察得:每项加上9便得后面一项,故横线上的数是29+9=37。 (5)设横线上的数是x ,则将数列中各项与前项相减组成新数列得 2,4,6,x -13,31-x 。∴x -13=8,且31-x =10;故x =21。∴横线上应填21。 (6)容易看出数列的第n 项形如n 2-1,横线上是第5项,故应填24。 (7)容易看出,每两项相加便得后面一项,故横线上的数是11。

【评注】分析数据之间的关系,归纳出数列通项,或相邻项之间的递推关系,是解填数问题的常用方法。其中常用的技巧有:差分法、分数化法、分解质因数法、设未知数法等。 例2 数列1,3,2,-1,-2,1,…,的第n项a n及其后面两项a n+1,a n+2之间满足关系式a n+2=a n+1-a n。求这个数列的前2000项之和。(前2000项的和=333×(1+3+2-1-3-2)+1+3=4) 例3 求19991999的个位数字。(9) 例4 现有100个数按递推排列,其中第一个数是0,第二个数是2,并且从第二个数起每个数的三倍都等于其前后两个数之和,问第100个数被6除所得余数是几?(2) 例5 (1)平面上5条直线最多能把一个圆的内部分成几部分?(16) (2)平面上100条直线最多能把一个圆分成多少部分?(5051) 例6 平面上100个不同的圆最多把平面分成多少部分。 (99092) 例7 王大爷卖西瓜,第一次卖了全部的一半又半个;第二次卖了余下的一半又半个;第三次卖了第二次余下的一半又半个;第四次卖了第三次余下的一半又半个。最后还剩下一个西瓜,问王大爷原来一共有多少个西瓜?(31)例8 如果xyz=x3+y3+z3,则称三位数xyz为芙蓉花数,试求出大于400而小于500的所有芙蓉花数。 练习 1.请你根据下列各个数之间的关系,在括号里填上恰当的数 (1)1,5,9,13,17,()

小学五年级奥数 第十四讲:归纳与递推的方法

小学五年级奥数第十四讲:归纳与递推的方法 递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想。例如自然数中最小的数是1,比1大1的数是2,接下来比2大1的数是3,…由此得到了自然数数列:1,2,3,4,5,…。在这里实际上就有了一个递推公式,假设第n 个数为an,则 即由自然数中第n个数加上1,就是第n+1个数。 由此可得: 这样就可以得到自然数数列中任何一个数。 再看一个例子: 例1 平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分?平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分 解: 假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数。这里k=0,1,2,…。如图可见

归纳出递推公式(1) 即画第n+1条直线时,最多增加n部分。原因是这样的:第一条直线最多把圆分成两部分,故a1=2。当画第二条直线时,要想把圆内部分割的部分尽可能多,就应和第一条直线在圆内相交,交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段,而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域,因而增加的区域数是2,正好等于第二条直线的序号。同理,当画第三条直线时,要想把圆内部分割的部分数尽可能多,它就应和前两条直线在圆内各有一个交点。两个交点把第三条直线在圆内部分成三条线段。而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域。因而增加的区域部分数是3,正好等于第三条直线的序号,…。这个道理适用于任意多条直线的情形,所以递推公式(1)是正确的。这样就易求得5条直线最多把圆内分成: 要想求出100条直线最多能把圆内分成多少区域,不能直接用上面的公式了,可把上面的递推公式变形:

公式(2)也称为数列1,2,4,7,11,16,…的通项公式。 一般来说,如果一个与自然数有关的数列中任一项 an可以由它前面的k(≤n-1)项经过运算或其他方法表示出来,我们就称相邻之间有递归关系,并称这种公式为递推公式或递推关系式。通过寻求递归关系来解决问题的方法就称为递推方法。许多与自然数有关的数学问题都常常具有递推关系,可以用递推公式来表达它的数量关系。如何寻求这个递推公式是解决这类问题的关键之一,常用的方法是“退”到问题最简单情况开始观察,逐步归纳并猜想一般的递推公式。在小学阶段,我们仅要求学生能拨开问题的一些表面现象由简到繁地归纳出问题的递推公式就行了,不要求严格证明。当然能证明更好。所谓证明,就是要严格推出你建立的关系式适合所有的n,有时,仅仅在前面几项成立的关系,不一定当n较大时也成立。 例2 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域?平面上1993 个圆最多能将平面分割成多少个区域? 解:设平面上k个圆最多能将平面分割成ak部分,我们先“退”到最简单的情形。如图可见:

六年级奥数优胜教育第5讲:递推与归纳含答案

第五讲 递推与归纳 A 1. 100 条直线最多能把一个平面分成 _____ 个部分。 2. 熊大叔是一个卖烧饼的师傅 ,他用一个平底锅煎饼 ,他是这样煎饼的 : 每次只能放两个饼 每个饼正反面都要煎 ,煎每一面都要 1分钟 ,问他煎 10个这样的饼需要 ______ 分钟。 3. 上一段 11阶楼梯,规定每一步只能上一级或两级 ,那么要登上第 11级台阶有 ______ 种不同 的走法。 4. 请先计算 11× 11,111 × 111,1111 × 1111, 你能根据以上结果 , 不经过计算而直接写出 11111111×11111111= ________ 。 例 1: 999?999×999?999 的乘积中有多少个数字是奇数? 10 个 9 10 个 9 例 2:如图所示:线 段 同的线段? AB 上共有 10 个点(包括两个端点)那么这条线段上一共有多少条不 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 B a 8 例 3:计算 13+23+33+43+53+63+73+83+93+103 得值。 例 4: 2000 个学生排成一行,依次从左到右编上 1~2000 号,然后从右到左按一、二报数, 报一的离开队伍,剩下的人继续按一、二报数,报一的人离开队伍,??按这个规律如 此例 5:圆周上两个点将圆周分为两半,在这两点上写上数 1 ;然后将两段半圆弧对分,在两 个分点上写上相邻两点上的数之和; 再把 4 段圆弧等分, 在分点上写上相邻两点上的数 之和,如此继续下去,问第 6 步后,圆周上所有点上的之和是多少? 例 6: 4 个人进行篮球训练, 互相传球接球, 要求每个人接球后马上传给别人, 开始由甲发 球,并作为第一次传球,第五次传球后,球又回到甲手中,问有多少种传球方式?

六年级奥数试题-递推与归纳(学生版)

第五讲递推与归纳 递推法: 1. 理解递推法的概念。 2. 会用递推法解题 例1:999…999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数? 10个910个9

例2: 如图所示:线段AB 上共有10个点(包括两个端点)那么这条线段上一共有多少条不同的线段? 例3:计算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。 例4:2000个学生排成一行,依次从左到右编上1~2000号,然后从右到左按一、二报数, 报一的离开队伍,剩下的人继续按一、二报数,报一的人离开队伍,……按这个规律如此下去,直至当队伍只剩下一人为止。问:最后留下的这个人原来的号码是多少? 例5:圆周上两个点将圆周分为两半,在这两点上写上数1;然后将两段半圆弧对分,在两 个分点上写上相邻两点上的数之和;再把4段圆弧等分,在分点上写上相邻两点上的数之和,如此继续下去,问第6步后,圆周上所有点上的之和是多少? 例6: 4个人进行篮球训练,互相传球接球,要求每个人接球后马上传给别人,开始由甲发 球,并作为第一次传球,第五次传球后,球又回到甲手中,问有多少种传球方式? A 1. 100条直线最多能把一个平面分成_____个部分。 2. 熊大叔是一个卖烧饼的师傅,他用一个平底锅煎饼,他是这样煎饼的:每次只能放两个饼,每个饼正反面都要煎,煎每一面都要1分钟,问他煎10个这样的饼需要_____分钟。 3. 上一段11阶楼梯,规定每一步只能上一级或两级,那么要登上第11级台阶有_____种不同的走法。 4.请先计算11×11,111×111,1111×1111,你能根据以上结果,不经过计算而直接写出11111111×11111111=________。 5.我们知道三角形的内角和是180度,长方形的内角和是360度,那么正十边形的内角和是_____度。 B 6.有一列数,第一个数是0.第二个数是100,从第三个数开始,每个数都是前两个数的平均数,问第2005个数的整数部分是_____。 7.小华过生日,邀请了班上的16名同学参加他的生日聚会,小华买了一个单层的大蛋糕,要保证每个人都能吃到蛋糕,问至少要切_____刀。 8.一对刚出生的雌雄小兔,在喂养两个月后就生下一对雌雄小兔,并且以后每个月都能生一对雌雄小兔,张大伯现在喂养一对雌雄小兔,一年后一共有_____对小兔。 1 2 3 4 5 6 7 8 B

归纳与递推

归纳与递推 例1.10条直线把平面最多分成多少部分? [答疑编号5721090101] 【答案】56 【解答】用a n表示n条直线最多分平面的区域数, a1=2; a2=4; a3=7 …… a n+1= a n+n+1; 因此,a10 = a9+10 = a8+9+10 = a7+8+9+10 =…… = a1+2+3+……+8+9+10 = 2+2+3+……+8+9+10=56 所以,10条直线把平面最多分成56个部分。 例2. 5个圆和1条直线最多把平面分成多少部分? [答疑编号5721090102] 【答案】32 【解答】用a n表示n个圆和1条直线最多把平面分成的区域数: a n+1= a n+2(n+1). a1=4; a2= a1+4=4+4; a3= a2+6=4+4+6 ; 1

a4= a3+8 a5= a4+10=4+4+6+8+10=32. 所以,5个圆和1条直线最多把平面分成32部分。 例3. 10级台阶,每次可以迈1~3级,那么有多少种迈法? [答疑编号5721090103] 【解答】用a n表示n级台阶的迈法数: 第一类:第一步迈1级台阶,有a n-1种迈法; 第二类:第一步迈2级台阶,有a n-2种迈法; 第三类:第一步迈3级台阶,有a n-3种迈法; 所以,a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4). a1=1;a2=2;a3=4;a4=7;a5=13;a6=24;a7=44; a8=81;a9=149;a10=274 所以,有274种迈法。 例4. 1~n排成一行,每个数要么大于前面所有的数,要么小于前面所有的数,这样的排列有多少种? [答疑编号5721090104] 2

课题:递推与归纳

课题:递推与归纳 教学目标: 使学生初步了解递推这种数学方法。培养学生观察和归纳的能力,为学生将来的学习做准备。 教学重点:了解递推这种数学方法 教学过程: 一. 口算练习。(看谁算的又快又准) (1) 12= 22= 32= … 202 = (2) 13= 23= 33=… 103= 二. 填空,并说出理由。 (1)1、2、3、4、…、( ) 第100个 (2)1、3、5、7、…、( ) 第10个 (3)2、4、7、9、12、14、( )、( ) (4)2、6、12、20、30、( )、…、( ) 第10个 (5)12 、35 、811 、1930 、( )( ) 三、研究。 1、108边形的内角和是多少度? 4

1800×(n-2) 2、在一个长方形里加10条直线,最多可将它分成多少块? 1 1 1条2=1+1 2条4=1+1+2 3条7=1+1+2+3 10条1+1+2+3+…+10=56 n条1+1+2+3+…+n 3、从一个三角形的两个顶点各引出10条直线,最多可将它分成多少块? 1 4 9 16 1=12 4=22 9=32 16=42 10条102 4、1+3+5+…+19=() 1=1=12 1+3=4=22

1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+…+19=102 1+3+5+…+2n-1=n2 5、13+23+33+…+103 =( ) 13=1=12 13+23=9= 32=(1+2)2 13+23+33=36=62=(1+2+3)2 13+23+33+43=100= 102=(1+2+3+4)2 13+23+33+…+103=(1+2+3+…+10) 2 13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n) 2 递推数列与应用问题 递推数列是一类广泛而复杂的问题,其特点是:逻辑推理性强,求解方法开放,有利于思维的发散性与个性品质的培养,主要是运用转化思想化归为两类基本数列(等差数列、等比数列)的求解. 数学应用问题是数学知识作用于实际的数学问题,是高考的热点,其特点是:内容广泛,对信息收集、语言转换和数据处理能力要求高,是应用意识与能力培养的素质教育的一个主要方面. 应用问题与递推数列结合既可以把数学运用于实践,又可以在实践中发展能力,因此在教学中有意识地从这两个方面去培养学生的能力是有裨益的. 递推数列与应用问题包含的内容相当广泛. 如:分期付款,旅游开发,环境保护,城镇规划,机构改革等等,甚至于在其它学科(象物理、化学、生物、

递推法解题

递推法解题 基础知识 对于某些与自然数有关的问题,我们有时可以用递推法解决,扎谓用递推法解题,就是根据题目的特点,构造出递推关系解题的一种方法,解决问题的关键在于构造递推关系。递推关系一般可以用归纳、猜想等途径获得。 利用递推法解题的一般步骤为:(1)确定初始值;(2)建立递推关系;(3)利用递推关系求通项。 递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想.例如自然数中 最小的数是1,比1大1的数是2,接下来比2大1的数是3,…由此得到了自然数数列:1,2,3,4,5,….在这里实际上就有了一个递推公式,假设第n个数为a n,则a n+1=a n+1;即由自然数中第n个数加上1,就是第n+1个数。由此可得a n+2=a n+1+1,这样就可以得到自然数数列中任何一个数. 再看一个例子: 平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分?平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分? 解:假设用a k表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数.这里k=0,1,2,…. a0=1 a1=a0+1=2 a2=a1+2=4 a3=a2+3=7 a4=a3+4=11 … 归纳出递推公式a n+1=a n+n. (1) 即画第n+1条直线时,最多增加n部分.原因是这样的:第一条直线最多把圆分成两部分,故a1=2.当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能多,就应 和第一条直线在圆内相交,交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段,而每条线 段又把原来的一个区域划分成两个区域,因而增加的区域数是2,正好等于第二条 直线的序号.同理,当画第三条直线时,要想把圆内部分割的部分数尽可能多,它就应和前两条直线在圆内各有一个交点.两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段. 而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域.因而增加的区域部分数是3,正好等 于第三条直线的序号,….这个道理适用于任意多条直线的情形.所以递推公式(1) 是正确的.这样就易求得5条直线最多把圆内分成: a5=a4+5=11=5=16(部分)。 要想求出100条直线最多能把圆内分成多少区域,就去求通项公式。 一般来说,如果一个与自然数有关的数列中的任一项a n可以由它前面的k(≤n-1)项经过运算或其他方法表示出来,我们就称相邻项之间有递归关系,并称这个数列为递归数列.

小六数学第5讲:递推与归纳(学生版)

第五讲 递推与归纳 知识梳理 递推法: 教学重难点 1. 理解递推法的概念。 2. 会用递推法解题 特色讲解: 例1:999…999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数? 例2:如图所示:线段AB 上共有10个点(包括两个端点)那么这条线段上一共有多少条不同的线段? 例3:计算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。 例4:2000个学生排成一行,依次从左到右编上1~2000号,然后从右到左按一、二报数, 报一的离开队伍,剩下的人继续按一、二报数,报一的人离开队伍,……按这个规律如此下去,直至当队伍只剩下一人为止。问:最后留下的这个人原来的号码是多少? 例5:圆周上两个点将圆周分为两半,在这两点上写上数1;然后将两段半圆弧对分,在两 个分点上写上相邻两点上的数之和;再把4段圆弧等分,在分点上写上相邻两点上的数之和,如此继续下去,问第6步后,圆周上所有点上的之和是多少? 例6: 4个人进行篮球训练,互相传球接球,要求每个人接球后马上传给别人,开始由甲发 球,并作为第一次传球,第五次传球后,球又回到甲手中,问有多少种传球方式? 当堂练习 A 1. 100条直线最多能把一个平面分成_____个部分。 2. 熊大叔是一个卖烧饼的师傅,他用一个平底锅煎饼,他是这样煎饼的:每次只能放两个饼,每个饼正反面都要煎,煎每一面都要1分钟,问他煎10个这样的饼需要_____分钟。 3. 上一段11阶楼梯,规定每一步只能上一级或两级,那么要登上第11级台阶有_____种不同的走法。 4.请先计算11×11,111×111,1111×1111,你能根据以上结果,不经过计算而直接写出11111111×11111111=________。 10个9 10个9 1 2 3 4 5 6 7 8 B

根据递推公式求数列通项公式的常用方法总结归纳(新)

求递推数列通项公式的常用方法归纳 目录 一、概述·································· 二、等差数列通项公式和前n项和公式·································· 1、等差数列通项公式的推导过程································ 2、等差数列前n项和公式的推导过程·································· 三、一般的递推数列通项公式的常用方法·································· 1、公式法·································· 2、归纳猜想法·································· 3、累加法·································· 4、累乘法·································· 5、构造新函数法(待定系数法)·································· 6、倒数变换法·································· 7、特征根法·································· 8、不动点法································· 9、换元法································· 10、取对数法·································· 11、周期法··································

六年级奥数优胜教育第5讲:递推与归纳含答案

第五讲 递推与归纳 例1:999 …999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数? 例2:如图所示:线段AB 上共有10个点(包括两个端点)那么这条线段上一共有多少条不同的线段? 例3:计算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。 例4:2000个学生排成一行,依次从左到右编上1~2000号,然后从右到左按一、二报数, 报一的离开队伍,剩下的人继续按一、二报数,报一的人离开队伍,……按这个规律如此下去,直至当队伍只剩下一人为止。问:最后留下的这个人原来的号码是多少? 例5:圆周上两个点将圆周分为两半,在这两点上写上数1;然后将两段半圆弧对分,在两 个分点上写上相邻两点上的数之和;再把4段圆弧等分,在分点上写上相邻两点上的数之和,如此继续下去,问第6步后,圆周上所有点上的之和是多少? 例6: 4个人进行篮球训练,互相传球接球,要求每个人接球后马上传给别人,开始由甲发 球,并作为第一次传球,第五次传球后,球又回到甲手中,问有多少种传球方式? A 1. 100条直线最多能把一个平面分成_____个部分。 2. 熊大叔是一个卖烧饼的师傅,他用一个平底锅煎饼,他是这样煎饼的:每次只能放两个饼,每个饼正反面都要煎,煎每一面都要1分钟,问他煎10个这样的饼需要_____分钟。 3. 上一段11阶楼梯,规定每一步只能上一级或两级,那么要登上第11级台阶有_____种不同的走法。 4.请先计算11×11,111×111,1111×1111,你能根据以上结果,不经过计算而直接写出10个9 10个9 1 2 3 4 5 6 7 8

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