第七章 线性变换 习题答案课件

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第七章 线性变换 习题答案课件

第七章 线性变换

3.在[]P x 中,()()f x f x '=A ,()()f x xf x =B ,证明:

-=A B BA =E .

『解题提示』直接根据变换的定义验证即可. 证明 任取()[]f x P x ∈,则有

()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=-=A B BA A B BA A B

(())()()()xf x xf x f x f x ''=-==E ,

于是-=A B BA =

E . 4.设,A B 是线性变换,如果-=A B BA =

E ,证明: 1

,1k k k k k --=>A B BA A

『解题提示』利用数学归纳法进行证明.

证明 当2k =时,由于-=A B BA =

E ,可得 22()()2-=-+-=A B BA A A B BA A B BA A A ,

因此结论成立.

假设当k s =时结论成立,即1

s

s

s s --=A B BA

A

.那么,当1k s =+时,有

1

1

()()(1)s s s s s s s s s s ++-=-+-=+=+A

B BA

A A

B BA A B BA A A A A ,

即对1k s =+结论也成立.从而,根据数学归纳法原理,对一切1>k 结论都成立. 『特别提醒』由0

=A

E 可知,结论对1k =也成立.

5.证明:可逆映射是双射.

『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可.

证明 设A 是线性空间V 上的一个可逆变换.对于任意的,V ∈αβ,如果=αβA A ,那么,用1

-A 作用左右两边,得到1

1()()--===ααββA

A A A ,因此A 是单射;另外,对于任意的V ∈β,存在

1V -=∈αβA ,使得1()-==αββA A A ,即A 是满射.于是A 是双射.

『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射A 是V 到自身的同构. 6.设12,,

,n εεε是线性空间V 的一组基,A 是V 上的线性变换,证明A 可逆当且仅当

12,,,n εεεA A A 线性无关.

证法1 若A 是可逆的线性变换,设1122n n k k k ++

+=0A A A εεε,即

1122()n n k k k ++

+=0A εεε.

而根据上一题结论可知A 是单射,故必有1122n n k k k +++=0εεε,

又由于12,,,n εεε是线性无关的,

因此120n k k k ==

==.从而12,,,n εεεA A A 线性无关.

反之,若12,,,n εεεA A A 是线性无关的,那么12,,

,n εεεA A A 也是V 的一组基.于是,根据

教材中的定理1,存在唯一的线性变换B ,使得()i i =B A εε,1,2,

,i n =.显然 ()i i =BA εε,()i i =A B A A εε,1,2,

,i n =.

再根据教材中的定理1知,==A B BA E .所以A 是可逆的.

证法2 设A 在基12,,

,n εεε下的矩阵为A ,即 121212(,,

,)(,,

,)(,,

,)n n n ==A A A A εεεεεεεεεA .

由教材中的定理2可知,A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆.

因此,如果A 是可逆的,那么矩阵A 可逆,从而12,,,n εεεA A A 也是V 的一组基,即是线性无

关的.反之,如果12,,

,n εεεA A A 是线性无关,从而是V 的一组基,且A 是从基12,,,n εεε到

12,,,n εεεA A A 的过渡矩阵,因此A 是可逆的.所以A 是可逆的线性变换.

『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A 的逆变换;方法2借助教材中的定理2,将线性变换A 可逆转化成了矩阵A 可逆.

9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为

11

121321

222331

32

33a a a a a a a a a ?? ?= ? ???

A . 1)求A 在基321,,εεε下的矩阵;

2)求A 在基123,,k εεε下的矩阵,其中k P ∈且0k ≠; 3)求A 在基1223,,+εεεε下的矩阵.

『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵,也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解.

解 1)由于

3131232333333232131a a a a a a =++=++A εεεεεεε, 2121222323323222121a a a a a a =++=++A εεεεεεε, 1111212313313212111a a a a a a =++=++A εεεεεεε.

故A 在基321,,εεε下的矩阵为

333231123

222113

12

11a a a a a a a a a ?? ?= ? ???

B . 2)由于

11112123131112123131

a a a a a k a k

=++=++A εεεεεεε,

2121222323121222323k ka ka ka ka a k ka =++=++A εεεεεεε,

31312323331312323331

a a a a a k a k

=++=+

+A εεεεεεε. 故A 在基123,,k εεε下的矩阵为

11121322122

233132

331

1a ka a a a a k k a

ka a ??

? ?= ? ???

B . 3)由于从123,,εεε到1223,,+εεεε的过渡矩阵为

100110001??

?= ? ???

X ,

故A 在基1223,,+εεεε下的矩阵为

1

1112131112

1213

321

222321112212

2212

231331

32

33313232

33100100110110001001a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+????????

? ???

?

==-+--- ? ??? ? ? ??? ?+???????

?

B . 『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义,直接给出了1)和2)所求的矩阵;3)借助了过渡矩阵,利用相似矩阵得到了所求矩阵.事实上,这三个题目都可以分别用两种方法求解.

10.设A 是线性空间V 上的线性变换,如果1

k -≠0A ξ,但k =0A ξ,求证:1

,,

,k -A A

ξξξ

(0k >)线性无关.

证明 由于k

=0A

ξ,故对于任意的非负整数i ,都有()k i

i k +==0A

A A ξξ.当0k >时,设

1

12k n x x x -++

+=0A A

ξξξ,

用1

k -A

作用于上式,得

1

1k x -=0A

ξ,

但1

k -≠0A

ξ,因此10x =.于是

1

2k n x x -+

+=0A A

ξξ,

再用2

k -A

作用上式,同样得到20x =.依此下去,可得120k x x x ==

==.从而1

,,

,k -A A

ξξξ线

性无关.

16.证明:

??????? ?

?n λλλ

2

1

与??????

?

?

?n i i

i λλλ

2

1 相似,其中n i i i ,,,21 是1,2,

,n 的一个排列.

『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义. 证法1 设V 是一个n 维线性空间,且12,,

,n εεε是V 的一组基.另外,记

1

2

n λλλ??

?

?= ?

?

?

?

A ,1

2

n i i

i λλλ?? ?

?= ? ? ??

?

B .

于是,在基12,,,n εεε下,矩阵A 对应V 的一个线性变换A

,即

12

121212

(,,,)(,,,)(,,

,)n n n n λλλ??

?

?== ? ??

?

εεεεεεεεεA A .

从而i i i λ=εεA ,1,2,

,i n =.又因为12,,,n i i i εεε也是V 的一组基,且

1

2

121212(,,,)(,,

,)(,,,)n n n n i i

i i i i i i i i i i λλλ?? ? ?

==

? ? ??

?

εεεεεεεεεB A .

故A 与B 相似.

证法2 设

12

n λλλ??

?

?= ?

?

?

?

A 与 1

2

n i i

i λλλ?? ?

?= ? ? ??

?

B . 对A 交换,i j 两行,再交换,i j 两列,相当于对A 左乘和右乘初等矩阵1

(,)(,)i j i j -=P P 和(,)i j P ,而

1(,)(,)i j i j -P AP

即为将A 中的i λ和j λ交换位置得到的对角矩阵.于是,总可以通过这样的一系列的对调变换,将A 的主对角线上的元素12,,

,n λλλ变成12,,,n i i i λλλ,这也相当于存在一系列初等矩阵12,,

,s Q Q Q ,使得

1

112112

s s ---=Q Q Q AQ Q Q B ,

令12

s =Q Q Q Q ,则有1-=Q AQ B ,即A 与B 相似.

『方法技巧』证法1利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质;证法2利用了矩阵的相似变换,直接进行了证明.

17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似. 证明 由于A 可逆,故A

1

-存在.于是

11()()--==A AB A A A BA BA ,

因此,根据相似的定义可知AB 与BA 相似.

19.求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量.已知A 在一组基下的矩阵为:

1)3452??= ???A ; 4)563101121-?? ?

=- ?

?

-??

A ;5)001010100??

?= ? ???A . 解 1)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A .由于A 的特征多项式为

23

4

|514(7)(2)52

λλλλλλλ---=

=--=-+--E A , 故A 的特征值为17λ=,22λ=-.

当17λ=时,方程组1()λ-=0E A X ,即为

1212

440,

550.x x x x -=??

-+=? 解得它的基础解系为???

?

??11.从而A 的属于特征值17λ=的全部特征向量为

112k k =+ξεε,

其中k 为任意非零常数.

当22λ=-时,方程组2()λ-=0E A X ,即为

1212

540,

540.x x x x --=??

--=? 解得它的基础解系为???

?

??-54,从而A 的属于特征值22λ=-的全部特征响向量为 21245l l =-ξεε,

其中l 为任意非零常数.

4)设A 在给定基123,,εεε下的矩阵为A ,由于A 的特征多项式为

56

3

11(2)(111

21

λλλ

λλλλ---=-=---+--+E A ,

故A 的特征值为12λ=

,21λ=

,31λ=.

当12λ=时, 方程组1()λ-0E A X =,即为

1231231

233630,20,230.

x x x x x x x x x --+=??

+-=??--+=? 求得其基础解系为210-??

?

? ???

,故A 的属于特征值2的全部特征向量为

111122k k =-+ξεε

其中1k 为任意非零常数.

当21λ=时, 方程组2()0λ-E A X =,即为

123123123(4630,(10,2(20.

x x x x x x x x x ?-+-+=??

++-=??--++=?? 求得其基础解系为???

?

?

??--3213,故A

的属于特征值1

22122233(2k k k =-+ξεεε

其中2k 为任意非零常数.

当31λ=时,方程组3()0λ-E A X =,即为

123123123(4630,

(10,2(20.

x x x x x x x x x ?---+=??

+--=??--+=?? 求得其基础解系为????

?

??+-3213,故A

的属于特征值1

33132333(2k k k =-+ξεεε

其中3k 为任意非零常数.

5)设A 在给定基123,,εεε下的矩阵为A ,由于A 的特征多项式为

201

1

0(1)(1)1

λ

λλλλλ

--=-=-+-E A ,

故A 的特征值为11λ=(二重),21λ=-.

当11λ=时,方程组1()λ-0E A X =,即为

1313

0,

0.x x x x -=??

-+=? 求得其基础解系为,

101???

??

??010?? ?

? ???

,故A 的属于特征值1的全部特征向量为 1112213k k k ++ξ=εεε

其中12,k k 为任意不全为零的常数.

当21λ=-时,方程组2()0λ-E A X =,即为

13213

0,20,0.x x x x x --=??

-=??--=? 求得其基础解系为101-?? ?

? ???

,故A 的属于特征值1-的全部特征向量为

213l l +ξ=-εε,

其中l 为任意非零常数.

『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根,再对每个根求得所对应的特征向量,但一定要注意表达成基向量的线性组合形式.

24.1)设21,λλ是线性变换A 的两个不同特征值,12,εε是分别属于21,λλ的特征向量,证明:12

+εε不是A 的特征向量;

2)证明:如果线性空间V 的线性变换A 以V 中每个非零向量作为它的特征向量,那么A 是数

乘变换.

证明 1)反证法.假设12+εε是A 属于特征值λ的特征向量,即

121212()()λλλ+=+=+A εεεεεε.

而由题设可知111222,λλ==A A εεεε,且12λλ≠,故

12121122()λλ+=+=+A A A εεεεεε.

比较两个等式,得到

1122()()λλλλ-+-=0εε.

再根据12,εε是属于不同特征值的特征向量,从而是线性无关性,因此021=-=-λλλλ,即12λλ=.这与12λλ≠矛盾.所以12+εε不是A 的特征向量.

2)设12,,,n εεε是V 的一组基,则它们也是A 的n 个线性无关的特征向量,不妨设它们分别属于

特征值12,,

,n λλλ,即

i i i λ=A εε,1,2,

,i n =.

根据1)即知12n λλλλ==

==.否则,若12λλ≠,那么12+≠0εε,且不是A 的特征向量,这与V

中每个非零向量都是它的特征向量矛盾.所以,对于任意的V ∈α,都有λ=A αα,即A 是数乘变换.

25.设V 是复数域上的n 维线性空间,,A B 是V 上的线性变换,且=A B BA .证明: 1)如果0λ是A 的一个特征值,那么0V λ是B 的不变子空间; 2),A B 至少有一个公共的特征向量.

证明 1)设0V λ∈α,则0λ=A αα,于是,由题设知

00()()()()()λλ=====A B A B BA B A B B αααααα,

因此0V λ∈B α.根据不变子空间的定义即知,0V λ是B 的不变子空间.

2)由1)可知0V λ是B 的不变子空间,若记0

0|V λ

=B B ,则0B 是复数域上线性空间0λV 的一个线性变

换,它必有特征值0μ及非零向量0V λ∈β,使得

00μ==B B βββ,

即β是B 的特征向量,从而β是A 和B 的公共特征向量.因此,,A B 存在公共的特征向量.

线性变换练习题

线性变换习题 一、填空题 1. 设σ是3 P 的线性变换,(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-,,,a b c P ?∈,1(1,0,0),ε= 2(0,1,0),ε=3(0,0,1)ε=是3P 的一组基,则σ在基123,,εεε下的矩阵为 _______________,又3123,P αεεε=-+∈则()σα=_________。 2. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵,定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ:()A σξξ=, n P ξ∈,则()1dim (0)σ-= ,()dim ()n P σ= 。 3. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是11220 1121-?? ? ? ?-?? ,则σ在基213,,ααα下的矩阵是 。 4. 如果矩阵A 的特征值等于1,则行列式||A E -= 。 5. 设A =???? ? ??? ??21 1 12 1112 ,()X AX σ=是P 3上的线性变换,那么σ的零度= 。 6. 若n n A P ?∈,且2 A E =,则A 的特征值为 。 7. 在[]n P x 中,线性变换D (()f x )'()f x =,则D 在基211,,, ,n x x x -下的矩阵 为 。 8. 在22 P ?中,线性变换10:20A A σ??→ ???在基121001,,0000E E ???? == ? ????? 300,10E ??= ??? 40001E ?? = ???下的矩阵是 。 9. 设321502114A ?? ? = ? ??? 的三个特征值为1λ,2λ,3λ,则1λ+2λ+3λ= , 1λ2λ3λ= 。 10. 数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为 维线性空间,

PPT例题

PPT试题类型 打开PPT文件夹下的“PPT_2.PPT 一.设置幻灯片背景。 例如:将第二页幻灯片背景设置为黄色(R:255,G:255,B:0) 为第一页幻灯片设置填充效果背景,渐变颜色为:预设、心如止水,底纹式样为从标题: 二.在幻灯片中输入文字并设置格式 例如:在第二页幻灯片标题文本框中输入“生活信息化”,并将文字设置为:黑体、下划线、红色、阴影;在第一页幻灯片副标题处输入文字“信息技术”,并将文字设置为:楷体,字号:40。 三.设置幻灯片的动画方式 例如:为第二页幻灯片中的文本内容部分设置自定义动画,效果为:进入——飞入,方向:自左侧;为第三页幻灯片标题文字设置自定义动画,效果为:进入——自左侧擦除,声音:风铃。 四.插入艺术字并设置格式 例如:在第二页幻灯片顶部插入艺术字“生活信息化”,艺术字的样式为第二行第三列,并将文字设置为:黑体。 五.在幻灯片中插入指定文本 例如:在第三页幻灯片文本内容部分插入“金融信息化.txt”文件中的文字内容。 六.设置幻灯片的切换方式 例如:1.设置所有幻灯片的切换方式为“盒状展开”,换页方式为每

隔2秒自动换页,取消单击鼠标时换页。 2.设置第一张幻灯片的切换方式为”水平百叶窗“,速度为中速,声音为爆炸。 七.修改某一幻灯片的版式 例如:将第二张幻灯片的版式修改为“只有标题和正文”。 八.设置幻灯片的动作按钮。 例如:在第三张幻灯片右下脚插入自定义动作按钮,动作设置为单击鼠标,链接到第2张幻灯片中。 九.设置超级链接 例如:将第二张幻灯片中的“金融信息化”超级链接到第三张幻灯片中。(从幻灯片标题列表里选) 十.修改幻灯片 例如:1.在第二张幻灯片后面新建一个标题幻灯片。 2.删除某一张幻灯片 3.把第一张幻灯片和第二张幻灯片位置交换。 十一.插入图片和文本框,并设置图片和文本框格式 例如:1.在第三张幻灯片中插入图片“金融信息化.JPG”,线条颜色是红色,粗细是2磅,并设置图片高宽分别为9厘米和15厘米;2.设置“金融信息化.jpg”图片的缩放比例为高宽均为45%,位置为水平5CM,垂直5CM, 3.在文章任意位置插入高宽均为5厘米的横排文本框,内容为“生活信息化”。

第六章_线性变换_68180769

第六章 线性变换 映射:,X Y ≠?≠?,如果有一个法则σ,它使得X 中每个元素α,在Y 中有唯一确定的元素β与之对应,则称σ为X 到Y 的一个映射,记作:X Y σ→,()σαβ=,β称为α在σ下的象,α称为β在σ下的原象。 注:()(),X στασατα=??∈=对。 变换:一个集合到自身的映射。 线性变换的定义与性质 定义 设V 是数域F 上的线性空间,σ是V 的一个变换,如果满足条件: (1)()()()βσασβασV,α,β+=+∈?; (2)()()k F,αV,k αk σασ?∈?∈=, 则称σ是V 上的线性变换或线性算子。 (1), (2)等价于条件:,,,k l F V αβ?∈∈ ()()()σk αl βk σαl σβ+=+。 例:设σ:n n R R →,定义为()c αασ=,c 为常数。-----数乘 变换或位似变换。 c =0-----零变换,记为o 。 c =1-----恒等变换,记为ε。 例:设σ是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转θ角的变换 设()()(),,,T T x y x y ασα''==,则

cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ'=-??'=+? 记cos sin sin cos A θθθ θ-?? =??? ? ,则()A σαα=是一个线性变换。 例:判断下列变换是否是线性变换 (1) ()()12323,,1,,T T a a a a a σ=; (2) ()()12323,,0,,T T a a a a a σ=; (3) ()()12312231,,2,,T T a a a a a a a a σ=-+; (4) ()()212312 3,,,,3T T a a a a a a σ=. 线性变换的基本性质 (1)()θθσ=; (2)()()ασασ-=-; (3)线性变换保持向量的线性组合关系不变,即若s s αk αk αk β+++=Λ2211,则1122s s βk αk αk ασσσσ=+++L ; 若θ=+++s s αk αk αk Λ2211,则θσσσ=+++s s αk αk αk Λ2211。 (4)线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。 线性变换的运算 ()V L ----线性空间V 上所有线性变换的集合。

复杂盈亏问题 课件 典型例题

第四讲复杂盈亏问题 【专题知识点概述】 盈亏问题是一类生活中很常见的问题.按不同的方法分配物品时,经常发生不能均分的情况.如果有物品剩余就叫盈,如果物品不够就叫亏,这就是盈亏问题的含义. (1)一次有余(盈),一次不够(亏),可用公式: (盈+亏)÷(两次每人分配数的差)=人数。 (2)两次都有余(盈),可用公式: (大盈-小盈)÷(两次每人分配数的差)=人数。 (3)两次都不够(亏),可用公式: (大亏-小亏)÷(两次每人分配数的差)=人数。 (4)一次不够(亏),另一次刚好分完,可用公式: 亏÷(两次每人分配数的差)=人数。 (5)一次有余(盈),另一次刚好分完,可用公式: 盈÷(两次每人分配数的差)=人数。 【重点难点解析】 1.理解掌握并运用直接计算型盈亏问题; 2.理解掌握条件转换型盈亏问题; 3.理解掌握关系互换型盈亏问题. 【竞赛考点挖掘】 1.条件转换 2.关系互换 【习题精讲】 【例1】(难度等级※) 实验小学学生乘车去春游,如果每辆车坐60人,则有15人上不了车;如果每辆车多 坐5人,恰好多出一辆车.问一共有几辆车,多少个学生?

【分析与解】 每辆车坐60人,则多余15人,每辆车坐60+5=65人,则多出一辆车,也就是差65人.因此车辆数目为: (65+15)÷5=80÷5=16(辆). 学生人数为: 60×(16-1)+15=60×15+15 =900+15=915(人). 答:一共有16辆车,915名学生. 【例2】(难度等级※) 小胖的爷爷买回一筐梨,分给全家人.如果小胖和小妹二人每人分4个,其余每人分2个,还多出4个,如果小胖1人分6个,其余每人分4个,又差12个.问小胖家有多 少人?这筐梨子有多少个? 【分析与解】 第一次分法是小胖、小妹各4个,其余每人2个,多余4个.假设小胖、小妹也分2个,那么会多多少个梨呢?很容易想,那就会多出:2×2+4=8(个). 第二次分法是小胖一人得6个,其余每人4个,差12个,假如小胖也只分4个呢,那么就只差:12-2=10(个). 这样一想,就变成和前面讲的例子一样了. 解小胖家的人数为: [2×2+4+(12-2)]÷2=(8+10)÷2=9(人). 梨子数为: 4×2+2×(9-2)+4=8+14+4=26(个), 或者6+4×(9-1)-12=6+32-12=26(个). 答:小胖家有9人,这筐梨有26个. 【例3】(难度等级※) 用一根长绳测量井的深度,如果绳子两折时,多5米;如果绳子3折时,差4米.求绳 子长度和井深. 【分析与解】 井的深度为:(5×2+4×3)÷(3-2)=22÷1=22(米). 绳子长度为:(22+5)×2=27×2=54(米),或者(22-4)×3=18×3=54(米). 【例4】(难度等级※※) 食堂采购员小李到集贸市场去买肉,如果买牛肉18千克,则差4元;如果买猪肉20 千克,则多2元.已知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克? 【分析与解】

DLT 直接线性变换解法程序

DLT 直接线性变换解法程序介绍 一、程序综合介绍:DLT结算程序 程序功能介绍:应用6个已知点计算左右片l 系数;然后应用已经求得的l系数求解物方空间坐标系坐标 程序名:SuYGDLT 程序界面: 程序界面有四个按钮,分别为读取文件,左片l系数计算,右片系数计算,物放坐标解算程序界面有四个编辑框,分别用来输出文件信息,左片l系数、右片l系数、以及无妨坐标结果 截图如下 程序使用介绍: 必须先点击导入文件按钮,导入文件方可进行正确的计算,如果未导入文件就点击左片平差或右片平差或无妨坐标解算就会弹出如下对话框:

读取数据后点击其它按钮进行其它计算。 程序文件格式: 数据文件分为两部分,KnownPoint,UNKnownPoint,分别代表已知点信息和待求点信息当文件读取程序读到“KnownPoint”时开始读取已知点信息,已知点信息格式如下 GCP1,1214.0000,1032.0000,1046.5180,1071.6652,9.201742,-9.672384,-2.726064 分别代表点名、左片相片X坐标、左片相片y坐标、右片相片x坐标、右片相片y坐标物方坐标X、Y、Z; 当文件读取到“END KnownPoint”时结束已知坐标的读取 待求点信息类似:文件格式截图如下: 程序运行结果与评估: 本程序区1-10号点作为已知点计算l近似值11-20号点作为未知点解求其物方三维坐标;

程序运行结果与所给参考值相似,应该可以证明其运算是正确的,运行结果截图如下: 二、程序编程思想及相关代码 程序编程思想及相关函数: 本程序设计DLTCalculation类作为l系数结算主程序,其成员变量及成员函数与作用介绍如下: CSuLMatrix LL;//左片L系数矩阵 CSuLMatrix RL;//右片L系数矩阵 int m_iKnownPointCount;//已知点个数 CControlPoint *m_pKnownPoint;//已知点 int m_iUnKnownPointCount;//未知点个数 CControlPoint *m_pUnKnownPoint;//未知点 public: CString LoadData(const CString& strFileName);//读取文件函数 int ifLoda;//判断是否导入数据 CString Datainfor;//文件信息存储 CString *SplitString(CString str,char split, int& iSubStrs); //分割函数 void LFormApproL(CSuLMatrix &LL);//计算左片L系数近似值 void RFormApproL(CSuLMatrix &RL);//计算右片L系数近似值 void FormLErrorEquations(CSuLMatrix LL,CMatrix &LM,CMatrix &LW);//组成左片系数矩阵和常数项矩阵 void LAdjust();//左片平差主函数 void FormRErrorEquations(CSuLMatrix RL,CMatrix &RM,CMatrix &RW);//组成右片系数矩阵和常数项矩阵 void RAdjust();//右片平差主函数 void Output(const CString& strFileName);//输出结果主程序

线性变换习题课

七、线性变换习题课 1.复习线性变换的概念 例1 将C看成R上的线性空间,变换是线性的,看成C上的线性空间则不是。 证明:R上:有== 又 故A是R上线性空间C的线性变换。 C上:取及,有,而,故A不是C上线性空间C的线性变换。 由上例,变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。 2.利用运算的意义,运算律推证线性变换的等式,利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。 例2设A,B是线性变换,如果证明: ,(k>0) 证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法. 对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知 =AB=(BA+E)A+A-BA2 =BA2+A+A-BA2=2A 结论成立. 设当k时结论成立,即,也即. 当k+1时, =ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1 =BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k 所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立. 例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换. 证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵. 设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B. 因为,所以由得AB=BA.由的任意 性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,,于是为数量变换. 有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换. 3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法. A可逆10存在使=E.

A是双射. A在基下的矩阵A可逆—有限维 例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关. 证明:证法一: “”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性无关. “”线性无关, 因dimV=n,故使得 =A() 令使=() 易见,且,即 又任给设= 有()== 故,从A可逆. 证法二:利用双射 “” A是双射,则0==A() 得0=(0对应0) 故,线性无关. “”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射. 证法三:利用矩阵 A可逆A在下的矩阵A可逆 ()A也是一组基=n 线性无关 例5设,W1,W2是V的子空间,且,则可逆. 证明:由,有V,可设W1的一组基为, W2的一组

课件例题与习题

第二章 例题: 1、某人投资一项目200,000元,期限4年,要求回报率为12%,计算4年后应得到的本利和。 2、某项投资4年后可以取得100,000元的收入,年利率为12%,计算其收入的现值。 3、C公司每年末向银行借款20000元,年利率为10%,计算其第四年末应归还的本息为多少? 4、现在存入银行一笔钱,准备在以后五年中每年末得到10000元,如果利息率为10%,现在应存入多少钱?

5、某人每年年初存入银行1000元,银行存款年利率为8%,问第10年末的本利和应为多少? 6、某企业租用一设备,在10年中每年年初要支付租金5000元,年利息率为8%,问这些租金的现值是多少? 7、某企业向银行借入一笔款项,银行贷款的年利息率为8%,银行规定从第四年起,每年年末偿还本息1000元,至第9年末还完,问这些款项的现值应为多少? 8、某企业拟建立一项永久性的奖学金,每年计划颁发3万元奖学金,若利息率为6%,问企业目前应为其至少准备多少钱?

练习: 1、某人参加一项少儿人寿保险,保险公司给出的方案如下:从出生开始至14周岁止每年年末交存360元。如果年收益率为8%。 (1)计算14周岁末的终值; (2)如果保费可以在参加保险时一次性交纳,问一次性应交纳多少? 2、某人年初存入银行1万元,年利率4%。要求计算: (1)每年复利一次,5年后账户余额是多少? (2)每半年复利一次,5年后账户余额是多少? (3)如果该人分5年每年末都存入相等金额,每年复利一次,则为达到本题第一问所得账户余额,每年末应存多少钱? (4)如果该人分5年每年初都存入相等金额,每年复利一次,则为达到本题第一问所得账户余额,每年初应存多少钱?

Matlab+实现直接线性变换

直接线性变换Matlab实现的程序源代码 function re=DLT(A,B) %imco为像方坐标,输入单位是像素 imco=A; %此处为控制点像方坐标,格式为2×n,单位:像素 %obco为物方坐标,输入单位是毫米 obco=B; %此处为控制点物方坐标,格式为n×3单位:毫米 imco_be=[];B=[];M=[]; for i=1:size(imco,2) imco_be=[imco_be;imco(:,i)]; end for i=1:size(imco,2) A1=[obco(i,:),1,0,0,0,0]; A2=[0,0,0,0,obco(i,:),1]; M=[M;A1;A2]; B1=obco(i,:).*imco_be(2*i-1); B2=obco(i,:).*imco_be(2*i); B=[B;B1;B2]; end M=[M,B]; N=M(1:11,:); L=N\(-imco_be(1:11,:)); X0=-((L(1)*L(9)+L(2)*L(10)+L(3)*L(11))/(L(9)*L(9)+L(10)*L(10)+L(11)*L(11))); Y0=-((L(5)*L(9)+L(6)*L(10)+L(7)*L(11))/(L(9)*L(9)+L(10)*L(10)+L(11)*L(11))); L=[L;0];M3=[];W=[]; for i=1:size(imco,2) xyz=obco(i,:); A=xyz(1)*L(9)+xyz(2)*L(10)+xyz(3)*L(11)+1; r2=(imco_be(2*i-1)-X0)*(imco_be(2*i-1)-X0)+(imco_be(2*i)-Y0)*(imco_be(2*i)-Y 0); M1=[A*(imco_be(2*i-1)-X0)*r2;A*(imco_be(2*i)-Y0)*r2]; M2=-[M(2*i-1:2*i,:),M1]/A; M3=[M3;M2]; W=[W;-[imco_be(2*i-1);imco_be(2*i)]/A]; end WP=M3'*W; NBBN=inv(M3'*M3); LP=-NBBN*WP; v=M3*LP+W; imco_be=imco_be+v; X0=-(LP(1)*LP(9)+LP(2)*LP(10)+LP(3)*LP(11))/(LP(9)*LP(9)+LP(10)*LP(10)+LP (11)*LP(11)); Y0=-(LP(5)*LP(9)+LP(6)*LP(10)+LP(7)*LP(11))/(LP(9)*LP(9)+LP(10)*LP(10)+LP (11)*LP(11)); 1

第七章线性变换习题答案

第七章线性变换3.在P[x]中,Af(x)f(x),Bf(x)xf(x),证明: ABBA=E. 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可. 证明任取f(x)P[x],则有 =(A BBA)f(x)ABf(x)BAf(x)A(xf(x))B(f(x)) (xf(x))xf(x)f(x)Ef(x), 于是ABBA=E. 4.设A,B是线性变换,如果ABBA=E,证明: kkk k1,k1ABBAA. 『解题提示』利用数学归纳法进行证明. 证明当k2时,由于ABBA=E,可得 22()()2 ABBAAABBAA B BAAA, 因此结论成立. 假设当ks时结论成立,即ssss1 ABBAA.那么,当ks1时,有 s1s1(s s)()ssss(s1)s ABBAAABBAA B BAAAAA, 即对ks1结论也成立.从而,根据数学归纳法原理,对一切k1结论都成立. 『特别提醒』由 AE可知,结论对k1也成立. 5.证明:可逆映射是双射. 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可. 1证明设A是线性空间V上的一个可逆变换.对于任意的,V,如果AA,那么,用 A 作用左右两边,得到A AAA,因此A是单射;另外,对于任意的V,存在1()1() 1()1() 1V A,使得 1 AA(A),即A是满射.于是A是双射.

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『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构. 6.设1,2,,n是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明A可逆当且仅当 A1,A2,,A n线性无关. 证法1若A是可逆的线性变换,设k AkAkA0 ,即 1122nn A(kkk nn)0. 1122 而根据上一题结论可知A是单射,故必有k kk0,又由于 1,2,,n是线性无关的, 1122nn 因此k 1k2k n0.从而A1,A2,,A n线性无关. 反之,若A 1,A2,,A n是线性无关的,那么A AA也是V的一组基.于是,根据 1,2,,n 教材中的定理1,存在唯一的线性变换B,使得B(A i)i,i1,2,,n.显然 BA(i)i,A B(A i)A i,i1,2,,n. 再根据教材中的定理1知,ABBAE.所以A是可逆的. 证法2设A在基 1,2,,n下的矩阵为A,即 A(,,,n)(A,A,,A n)(,,,n)A. 121212 由教材中的定理2可知,A可逆的充要条件是矩阵A可逆. 因此,如果A是可逆的,那么矩阵A可逆,从而A 1,A2,,A n也是V的一组基,即是线性无 关的.反之,如果A AA是线性无关,从而是V的一组基,且A是从基 1,2,,n到1,2,,n A1,A2,,A n的过渡矩阵,因此A是可逆的.所以A是可逆的线性变换. 『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换;方法2借助教材中的定理2,将线性变换A可逆转化成了矩阵A可逆. 9.设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为 aaa 111213 A aaa. 212223 aaa 313233 1)求A在基3,2,1下的矩阵;

PPT操作练习题

POWERPOINT操作练习题 打开考试目录下的"内存的性能.ppt"文件,完成下列题目。 1、在第三张幻灯片下面加一个水平文本框“快乐学习”,楷体,40磅。 2、将4号幻灯片中的内容文本框边框线设置为红色,粗细为10磅。 3、将1号幻灯片的标题文本框设置为高度4cm, 宽度20cm; 内容右对齐。 4、在第一张幻灯片的右下角插入自选图形“五角星”, 高度宽度都是4cm。 5、在第一张幻灯片的左下角插入试卷目录中的图片“地广人稀.jpg”, 高度宽度都是2cm。 6、在第5张幻灯片的右上角插入艺术字库第4行第3列格式, 内容为“电脑”,隶书,44磅,加粗。 7、给第二张和第四张幻灯片的背景加一个水滴纹理。 8、将3号幻灯片的背景色改为双色过渡填充,上白下蓝(颜色1为蓝)。 9、将5号幻灯片的背景设为预设颜色“红日西斜”斜下右下角格式。 10、将6号幻灯片的背景设为双色,颜色1为“按填充配色方案”, 颜色2为“按背景配色方案”,纵向右上角格式。 11、给第一张幻灯片插入试卷目录下的声音“高山流水”,自动播放。 12、给最后一张幻灯片插入试卷目录下的影片“电解”,自动播放。 13、为第2张幻灯片的标题“内存性能分类”设置动画效果: 向左擦除,引入文本方式为“按字母”,声音效果为“风铃”, 在前一事件后2秒自动启动动画。 14、给5号幻灯片的图片设置预设动画为“照相机”。保存关闭该文件。

打开考试目录下的"硬盘小常识.ppt"文件,完成下列题目。 15、将该幻灯片的应用设计模板改为“Blends.pot”样式。 16、在第一张幻灯片的前面插入一张“标题,文本与剪贴画”式 的幻灯片。 17、把最后一张幻灯片移动到第四张的前面。 18、复制第三张幻灯片到第五张的后面。 19、删除第3张和第7张幻灯片。 20、给第2张幻灯片的文字“硬盘小常识”设置超链接, 链接到第5张幻灯片。 21、在第3张幻灯片的左下角加一个自定义结束放映按钮。 22、在最后一张幻灯片的左下角加一个开始按钮,要求链接到第一张。 23、设置放映方式为“观众自行浏览”,循环放映。 24、设置2号幻灯片的切换方式如下:中速向右插入,单击鼠标换页, 切换时的声音为“照像机”效果。 25、设置3号和5号幻灯片的切换方式如下:快速盒状展开, 每隔2秒换页,切换时的声音为“收款机”效果。 26、设置放映方式为“在展台浏览”,换片方式为“人工”。 27、为所有的幻灯片加幻灯片编号。页脚设置为"计算机小常识"。 保存关闭PowerPoint。

保险学课件例题

保险学课件例题——09级金融1班1、根据历史经验,某一农贸市场发生火灾 损失的概率分布如下: 损失额(万元) 10 20 0.50 0.50 概率 试计算该农贸市场发生火灾损失的标准差和离散系数。 解:该农贸市场发生火灾的预期损失额为:10×0.50+ 20×0.50 =15(万元 ) 损失的标准差为:√(10-15)2×0.50 + (20-15)2×0.50 = 5 离散系数为:5 ÷ 15 = 1/3 答:该农贸市场发生火灾损失的标准差为5;离散系数为1/3。 2、某制药企业有两种方案来减少由于产品责任所带来的损失风险,其 中,每种方案都有两个可能的结果,具体情况如下:方案二 解:两种方案的期望损失:) 元×15 000=17 500(方案一:0.5×20 000+0.5) 元×50 000=10 800(方案二:0.98×10 000+0.02答:方案一的期望损失比方案二的期望损失大,因此,按照期望损失最小化的原则,该企业应选择方案二。 2M为货币财富。现在他有,其中U为效用,3、某人的期望效用函U=15+3√M450%的可能收益万元,想投资于某项目,而这项投资50%的可能全部损失,有万元,试问他是否会投资该项目?,期望效用和214万元,相应的效用分别为15解:如果投资,可能得到0元或。 50% =1815 × 50% + 21 ×则为。2万元, 效用约为19如果不投资,货币财富仍然为确定的答:不投资的效用大于投资的期望效用,因此他不会投资。元的汽车。一次事故会导致 4 000 12 000 元的现金和价值4、假设张三具有汽车发生全损,而事故发生的频率依赖于张三驾驶的谨慎程度。当张三开车很;当张三开车很慢,即足够小心时,50%快,即不够小心时,事故发生的概率为 1 000 20%。此处假设因小心开车而延长路途时间的成本为事故发生的概率为元。假设张三的效用函数为个人财富的平方根,通过对个人期望效用的计算,张三会选择自己驾驶时的态度。 1)在没有保险的情况下,小心驾驶的期望效用:解:(C=0.8U(16 000-1 000)+0.2U(16 000-4 000-1 000)=118.96 EU INC=0.5U(16 000)+0.5U(16 000-4 000)=118.02 不小心驾驶的期望效用:EU NCC>

工程经济学课件中的例题

课件中的例题 第一章 1.案例:Jack获得MBA学位后开了一家商店,自有资金投资了200,000美元,并亲自管理。年底会计编制的年度损益表如下: 销售收入 90 000 减:售出货物成本 40 000 毛利 50 000 减:广告 10 000 折旧 10 000 聘请工人的工资 15 000 税、费 5 000 30 000 净会计利润 20 000 你认为Jack这家店的盈利情况怎么样呢? 实际上,还有两笔成本在作理性决策时应考虑: 1、Jack投资的200 000美元,如果年利率5%,则每年可获10 000美元利息,这应被视为资金的机会成本。 2、MBA学位的人,年薪一般40 000美元,现在Jack为自己管理商店,放弃了出去工作领薪水的机会。 为计算经济利润,损益表应改为: 销售收入 90 000 减:售出货物成本 40 000 毛利 50 000 减:会计成本 30 000 净会计利润 20 000 减帐薄中没反映的: 资金的机会成本 10 000 放弃的薪水 40 000 50 000 净经济利润 -30 000 对决策者来说,只有机会成本才是真正的成本 2. 应用:为法学院新大楼选址 西北大学法学院一直坐落于芝加哥城的密执安湖边。然而,西北大学本部位于伊凡斯顿市的郊区。70年代中期,法学院开始计划建造新的大楼。从而需要选择合适的位置。 是应该建造在城市的原处以便与商业区的法律中介机构保持联系呢? 还是应该移至伊凡斯顿以便与学校的其他系科一起保持完整呢? 有很多人支持选择商业区的位置。他们认为新建筑的位置选择在商业区是成本效率较高的,因为学院已经在此拥有土地,相反,若将新建筑建在伊凡斯顿,则要在那里购置土地。这个论断符合经济学道理吗? 这犯了未能区分会计成本与机会成本的通常错误。从经济学观点来看,选择商业区作为建筑地址是颇费代价的,因为沿湖位置的机会成本高,这项资产出售以后会足以购买伊凡斯顿的土地,并会有实际现金剩余下来。 3. 边际分析在决策中的应用举例: 一家民航公司在从甲地到乙地的航班上,全部成本分摊到每一座位上是250元,那么,当飞机上有空位时,它能不能以较低的票价(如每张150元)卖给学生呢? 很多人认为不行,因为票价低于成本会导致亏损。 根据边际分析法,在决策时不应当使用全部成本(这里包括飞机维修费用及机场设施和地勤人员的费用),而应当考虑因学生乘坐飞机而额外增加的成本(ΔC),这种每增加一个乘客而额外增加的成本叫做边际成本(MC)。事实上每增加一个学生引起的边际成本是很小的(如30元),它可能只包括学生的就餐费和飞机因增加负荷而增加的燃料费。 因学生乘坐而额外增加的收入叫做边际收入,在这里,就是学生票价150元,我们可以看出因学生乘坐而引起的边际收入增加大于边际成本,说明增加学生为公司带来了利润。 结论:

线性变换例题 (3)

【例9.15】已知系统具有如下形式 u y y y y 66116')2()3(=+++ 试求此系统对角形式的状态方程。 解 令 y x =1,'2y x =,) 2(3y x = 即 21x x =& 32x x =& u x x x x 661163213+---=& 写成矩阵—向量形式 u x x x x x x ?? ?? ??????+????????????????????---=????? ?????6006116100010321321&&& (9.76) []?? ?? ? ?????=321001x x x y 可以看出A 阵为友矩阵,且A 的特征值为 321321-=-=-=λλλ,, 即 321λλλ≠≠ 。 这时我们选转换矩阵P 形式为 ??????? ???? ?????=---11211 2 22 2 121 111 n n n n n n P λλλλλλλλλΛ M ΛM M ΛΛΛ n 为相同的阶数,这里n =3。 本题中 ???? ??????---=921321111 P 令x=Pz 将上式代入(9.42)式,得: Bu APz z P +=& CPz y Bu P APz P z =+=--11& 系统可写为

????????????????????---??????????---??????????---=??????????32132194132111161161000105.05.111435.05.23z z z z z z &&&u ???????????????? ????---+6005.05.111435.05.23 u z z z z z z ???? ??????-+????????????????????---=????? ?????363300020001321321&&& 输出方程为 [][]?? ?? ? ?????=????????????????????---=321321111921321111001z z z z z z y

课件例题

路基路面工程课件例题 例1:某路段为粉性土,在最不利季节测得路槽下80cm每分层土的天然含水量如下:0.21、0.22、0.23、0.26、0.25、0.22、0.26、0.2; 土的液限为0.4,分界相对含水量为w1=0.55,w2=0.65,w3=0.75,判断该路基的干湿类型。 例2:已知某地段是粘性土,Ⅳ3,路表距地下水位高度为1.58m,预估路面厚度为30cm,又得知路表距地下长期积水高度为0.75m,查得有关资料如下:地下水:H1=1.5~1.7 H2=1.1~1.2 H3=0.8~0.9;地表长期积水:H1=0.8~0.9 H2=0.5~0.6 H3=0.3~0.4,判断该地段的干湿类型。 例1: 如图所示路堤由双层土体组成,试确定边坡稳定性验算参数c、tg 、r值。 例2 某砂类土路堤填料的内摩擦角为35度,如果采用1:1.5的边坡,安全系数取1.25,问该路基是否稳定,如不稳,可采取什么措施? 例3 如图路堤横断面,已知填料为砂性土,容重为18.62kN/m3,粘结力为0.98kPa,内摩擦角为35度,问该路堤边坡会不会沿滑动面AB滑动(安全系数取1.25)? 例4:试分析如图折线坡上路堤的抗滑稳定性

计算: 1) 首先求土块①的剩余下滑力; ①的面积:S1=1/2(4+6)×2+1/2×6×6=28 m2 ①的重量:G1=28×18=504 kN/m ①的抗滑力:R1=1/K[(G1+q?b1)cosα1×tg?+c?L1] =1/1.25[544×0.707×0.268+10×6.0/0.707] =150.36kN/m ①的下滑力:T1=(G1+q?b1)sinα1=544×0.707 =384.608 kN/m 所以,①的剩余下滑力为:F1=T1-R1=234.25 kN/m 2) F1当作外力,求土块②的剩余下滑力; ②的面积:S2=4×8=32 m2 ②的重量:G2=32×18=576 kN/m ②的抗滑力:R2=1/K[(G2+q?b2+F1×0.707)×tg?+c?L2] =1/1.25[781.61×0.268+10×4.0] =199.58 kN/m ②的下滑力:T2=F1×0.707=234.25×0.707 =165.61kN/m ②的剩余下滑力为:F2=T2-R2=-33.97 kN/m<0, 也即①和②可以自平衡,所以令F2为0,不带入下块计算。 3) 求土块③的剩余下滑力; ③的面积:S3=1/2×8×8=32 m2 ③的重量:G3=32×18=576 kN/m ③的抗滑力:R3=1/K[G3×cosα2×tg?+c?L3] =1/1.25[576×0.97×0.268+10×8.0/0.97] =185.8 kN/m ③的下滑力:T3= G3×sinα2=576×0.242 =139.4 kN/m ③的剩余下滑力为:F3=T3-R3=-46.4 kN/m<0 4) 因为③的剩余下滑力小于0,折线路堤满足抗滑要求。

基于直接线性变换算法的普通数码相机检校的应用研究

基于直接线性变换算法的普通数码相机检校的应用研究 孔 建 黄建魏 沈 周 (西南交通大学 四川成都 610031 中铁十局 山东济南 520000) 摘要:本文采用直接线性变换(DLT )算法,完成了普通数码相机检校的应用研究。通过编程实验,解算普通数码相机在不同焦距情况下内方位元素(00,x y ,f )以及畸变参数(径向畸变系数1k ,2k 、偏心畸变系数1p ,2p ),同时对直接线性变换方法中l 初值的问题给出解决方案。提出了解决控制点布设在一个近似平面上解算l 系数初始值的方法,并且依据实验数据分析了在不同焦距下,相机内方位元素和光学畸变参数的变化情况。 关键字:直接线性变换;相机检校;径向畸变;偏心畸变 Abstract In this paper, to complete a common application of digital camera calibration by using the direct linear transformation algorithm. This paper have solved different elements of interior orientation (00,x y ,f )and distortion parameters (Radinal Distortion 1k , 2k ,Decentering Distortion 1p ,2p )of ordinary digital camera focal length by the programming experiments and meanwhile, put forward the solutions of the initial value problem in the direct linear transformation method. Proposed a solution in an approximate control points for solving plane initial value coefficient method, and analyzed the changes of the camera orientation elements and optical distortion parameters in the base of experimental data at different focal lengths. 1 概述 在数字摄影测量中,数字影像的获取,通常采用的是专业的摄影设备。这些专业设备的价格昂贵,对非专业部门是无法应用的。随着数码相机技术的发展与进步,普通数码相机在数字摄影测量领域中得到了广泛的应用,尤其是在近景数字摄影测量、无人机低空摄影测量的应用中,表现出了巨大的优势。普通数码相机不仅价格便宜,且操作方便,是专业摄影机不能比拟的。随着数码相机技术的

第七章 线性变换练习题参考答案

第七章 线性变换练习题参考答案 一、填空题 1.设123,,εεε是线性空间 V 的一组基,V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε?==++∈则 σ在基321,,εεε下的矩阵B =1,T AT -而可逆矩阵T =001010100?? ? ? ??? 满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为123x A x x ?? ? ? ??? . 2.设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵,定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-={}|0,n A P ξξξ=∈,()1dim (0)σ-=n r -,()dim ()n P σ=r . 3.复矩阵()ij n n A a ?=的全体特征值的和等于1n ii i a =∑ ,而全体特征值的积等于 ||A . 4.设σ是n 维线性空间V 的线性变换,且σ在任一基下的矩阵都相同,则σ为__数乘__变换 . 5.数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间,它与n n P ?同构. 6.设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ ,()f x 为任一多项式,则()f A 的全体特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 7.设???? ??=2231A ,则向量??? ? ??11是A 的属于特征值 4 的特征向量. 8.若????? ? ?--=100001011A 与1010101k B k ?? ?=-- ? ???相似,则k = -1/2 . 9.设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ,则=||A 3 .

35 直接线性变化的基本原理和解算方法.

立体摄影测量的基本原理 421 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 3.5 直接线性变化的基本原理和解算方法

4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 一、直接线性变化的关系式 111333222333s s s i i i ()()()0()()()()()()0()()(),,,,s a b c i f s s s s s s s s s s s s a X X b Y Y c Z Z x f a X X b Y Y c Z Z a X X b Y Y c Z Z y f a X X b Y Y c Z Z X Y Z X Y Z -+-+-?+=? -+-+-? ? -+-+-? +=?-+-+-? 中心构像方程: 其中:为物点的空间坐标 为光心的空间坐标 ,,(=1,2,3)旋转矩阵 所测x y 像片的主距 ,像点在摄影坐标系的坐标

4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 直接线性变化法 ?直接线性变换(DLT —Direct Linear Transformation )算法是直接建立像点坐标与物点空间坐标关系式的一种算法。 ?该算法在机算中,不需要内、外方位元素。而直接通过像点解算物点。

4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 二、线性误差的修正 1、线性误差: ?底片均匀变形、不均匀变形 ?畸变差 ?x ,y 坐标轴不垂直 2、线性修正?系数 假设主点坐标为(0,0)

c语言课件中例题

例/*ch2_003.c*/ #define PRICE 12.5 main() { int num=3; float total; char ch1,ch2=‘D’; total=num*PRICE; ch1=ch2-‘A’+‘a’; printf(“total=%f,ch1=%c\n”,total,ch1); } 运行结果: total=37.500000, ch1=d 例: /*ch2_6.c*/ #include main() { int x,y=7; float z=4; x=(y=y+6,y/z); printf("x=%d\n",x); } 运行结果:x=3 /*ch3_4.c*/ #include main() { int c; printf("Enter a character:"); c=getchar(); printf("%c--->hex%x\n",c,c); } 运行结果: Enter a character:A A--->hex41 例输入三角形边长,求面积 /*ch3_12.c*/ #include #include main() { float a,b,c,s,area; scanf("%f,%f,%f",&a,&b,&c); s=1.0/2*(a+b+c); area=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

printf("a=%7.2f, b=%7.2f, c=%7.2f, s=%7.2f\n",a,b,c,s); printf("area=%7.2f\n",area); } 输入:3,4,6 ? 输出:a= 3.00, b= 4.00, c= 6.00 s= 6.50 area= 5.33 例从键盘输入大写字母,用小写字母输出 /*ch4_13.c*/ #include "stdio.h" main() { char c1,c2; c1=getchar(); printf("%c,%d\n",c1,c1); c2=c1+32; printf("%c,%d\n",c2,c2); } 输入:A ? 输出:A,65 a,97 例显示1~10的平方 /*ch5_21.c*/ #include main() { int i=1; while(i<=10) { printf("%d*%d=%d\n",i,i,i*i); i++; } } 运行结果: 1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*7=49 8*8=64 9*9=81 10*10=100

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