高中数学讲义微专题01 命题形式变化及真假判定

第1炼 命题形式变化及真假判定

一、基础知识： （一）命题结构变换

1、四类命题间的互化：设原命题为“若p ，则q ”的形式，则 （1）否命题：“若p ?，则q ?” （2）逆命题：“若q ，则p ” （3）逆否命题：“若q ?，则p ?”

2、p q ∨，p q ∧

（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为p q ∨

（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为p q ∧ 3、命题的否定p ?：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法

（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多n 个→至少1n +个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时,p q 均变为,p q ??：

p 或q →p ?且q ? p 且q →p ?或q ?

（3）全称命题与存在性命题的否定

全称命题：():,:,()p x M p x p x M p x ?∈→??∈? 存在性命题：():,:,()p x M p x p x M p x ?∈→??∈?

规律为：两变一不变

① 两变：量词对应发生变化（???），条件()p x 要进行否定()p x ?? ② 一不变：x 所属的原集合M 的不变化

（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。

1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联

2、p q ∨，p q ∧，如下列真值表所示：

简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、p ?：与命题p 真假相反。 4、全称命题：

真：要证明每一个M 中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：

真：只需在M 举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明M 中所有的元素均不能使命题成立 二、典型例题

例1：命题“若方程2

0ax bx c -+=的两根均大于0，则0ac >”的逆否命题是（ ） A. “若0ac >，则方程20ax bx c -+=的两根均大于0” B. “若方程2

0ax bx c -+=的两根均不大于0，则0ac ≤” C. “若0ac ≤，则方程2

0ax bx c -+=的两根均不大于0” D. “若0ac ≤，则方程20ax bx c -+=的两根不全大于0”

思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“0ac >”的对立面是“0ac ≤”，“均大于0”的对立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再调换顺序即可，D 选项正确 答案：D

例2：命题“存在2,20x Z x x m ∈++≤”的否定是（ ）

A ． 存在2

,20x Z x x m ∈++> B ．不存在2

,20x Z x x m ∈++>

C ． 对任意2,20x Z x x m ∈++≤

D ．对任意2

,20x Z x x m ∈++>

思路：存在性命题的否定：要将量词变为“任意”，语句对应变化

222020x x m x x m ++≤→++>，但x 所在集合不变。所以变化后的命题为：“对任意

2,20x Z x x m ∈++>”

答案：D

例3：给出下列三个结论

（1）若命题p 为假命题，命题q ?为假命题，则命题“p q ∨”为假命题

（2）命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠” （3）命题“,20x x R ?∈>”的否定是“,20x x R ?∈≤”，则以上结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

思路：（1）中要判断p q ∨的真假，则需要判断,p q 各自的真值情况，q ?为假命题，则q 为真命题，所以,p q 一假一真，p q ∨为真命题，（1）错误

（2）“若……，则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定，而（2）中对“0x =或0y =”的否定应该为“0x ≠且0y ≠”，所以（2）错误

（3）全称命题的否定，要改变量词和语句，且x 的范围不变。而（3）的改写符合要求，所以（3）正确

综上只有（3）是正确的 答案：C

例4 ：有下列四个命题

① “若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题 ② “全等三角形的面积相等”的否命题

③ “若1q ≤，则2

20x x q ++=有实根”的逆否命题 ④ “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题 其中真命题为（ ）

A. ①②

B.②③

C. ①③

D. ③④

思路：①中的逆命题为“若,x y 互为相反数，则0x y +=”，为真命题。②中的否命题为“如

果两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等”，为假命题（同底等高即可）。③中若要判断逆否命题的真假，则只需判断原命题即可。1q ≤时，判别式440q ?=-≥，故方程有实根。所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。④中的逆命题为“如果一个三角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然是假命题。综上，①③正确 答案：C

小炼有话说：在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理，则可以考虑其对应的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解 例5：下列命题中正确的是（ ）

A. 命题“x R ?∈，使得2

10x -<”的否定是“x R ?∈，均有2

10x -<”

B. 命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则2

230x x --≠”

C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题

D. 命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是真命题

思路：分别判断4个选项的情况，A 选项命题的否定应为“x R ?∈，均有2

10x -≥”，B 选型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。C 选项的命题是正确的，菱形即满足条件，D 选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可判断原命题的真假，原命题是假的，例如终边相同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。D 错误 答案：B

例6：如果命题“p 且q ”是假命题，“q ?”也是假命题，则（ ） A. 命题“p ?或q ”是假命题 B. 命题“p 或q ”是假命题 C. 命题“p ?且q ”是真命题 D. 命题“p 且q ?”是真命题

思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命题的真假，再根据真值表进行判断。题目中以q ?为入手点，可得q 是真命题，而因为p 且q 是假命题，所以p 只能是假命题。进而p ?是真命题。由此可判断出各个选项的真假：只有C 的判断是正确的 答案：C

例7：已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22

x y >，在命题①p q ∧；

②p q ∨；③()p q ∧?；④ ()p q ?∨中，真命题是（ ）

A. ①③

B. ①④

C. ②③

D. ②④

思路：可先判断出,p q 的真假，从而确定出复合命题的情况。命题p 符合不等式性质，正确，而q 命题是错的。所以①是假的，②是真的，③④中，因为p ?为假，q ?为真，所以③正确，④不正确。综上可确定选项D 正确 答案：D

例8：下列4个命题中，其中的真命题是（ ）

()111:0,,23x x

p x ????

?∈+∞< ? ????? ()21123

:0,1,log log p x x x ?∈>

()3121:0,,log 2x p x x ???∈+∞> ??? 413

11:0,,log 32x

p x x ????

?∈< ? ?????

A. 13,p p

B. 14,p p

C. 23,p p

D. 24,p p

思路：12,p p 为存在性命题，所以只要找到符合条件的x 即可。1p 可作出11,23x x

y y ????

== ? ?

????

的图像，通过观察发现找不到符合条件的x ；2p 同样作图可得()112

3

0,1,log log x x x ?∈>，

所以2p 正确；3p 通过作图可发现图像中有一部分12

1log 2x

x ??

< ???，所以3p 错误；在4p 中，

可得当10,3x ??∈ ???时，011331111,log log 1223x x ??????<=>= ? ? ???????，所以13

11log 2x

x ??

<< ???，4

p 正确。综上可得：24,p p 正确 答案：D

小炼有话说：（1）在判断存在性命题与全称命题的真假，可通过找例子（正例或反例）来进行简单的判断，如果找不到合适的例子，则要尝试利用常规方法证明或判定

（2）本题考察了指对数比较大小，要选择正确的方法（中间桥梁，函数性质，数形结合）进行处理，例如本题中123,,p p p 运用的数形结合，而4p 通过选择中间量判断。

例9：已知命题2

00:,10p x R mx ?∈+≤，命题2

:,10q x R x mx ?∈++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）

A. 22m -≤≤

B. 2m ≤-或2m ≥

C. 2m ≤-

D. 2m ≥ 思路：因为p q ∨为假命题，所以可得,p q 均为假命题。则,p q ??为真命题。

22:,10;:,10p x R mx q x R x mx ??∈+>??∈++≤。解决这两个不等式能成立与恒成立问

题即可。

解：p q ∨ 为假命题

,p q ∴均为假命题 22:,10;:,10p x R mx q x R x mx ??∈+>??∈++≤ ,p q ∴??为真命题

对于2:,10p x R mx ??∈+>

22110mx m x

+>?>-

当x R ∈时，21

0x

-

< 0m ∴≥ 对于2:,10q x R x mx ??∈++≤，设()2

1f x x mx =++，由图像可知：若q ?成立，则

240m ?=-≥ ，解得：2m ≥或2m ≤-

所以综上所述：2m ≥

小炼有话说：因为我们平日做题都是以真命题为前提处理，所以在逻辑中遇到已知条件是假命题时，可以考虑先写出命题的否定，根据真值表得到命题的否定为真，从而就转化为熟悉的形式以便于求解

例10：设命题:p 函数()()

22

lg 4f x x x a =-+的定义域为R ；命题[]:1,1q m ?∈-，不等

式253a a --≥恒成立，如果命题“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围

思路：由“p q ∨”为真命题可得,p q 至少有一个为真，由“p q ∧”为假命题可得,p q 至少有一个为假。两种情况同时存在时，只能说明,p q 是一真一假。所以分为p 假q 真与p 真q 假进行讨论即可

解： 命题“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题

,p q ∴一真一假

若p 假q 真，则:p ?函数()()

22

lg 4f x x x a =-+的定义域不为R

2164022a a ∴?=-≥?-≤≤

2:53q a a --≥

2max

533a a ∴--≥

=

25601a a a ∴--≥?≤-或6a ≥ 21a ∴-≤≤-

若p 真q 假，则:p 函数()()

22

lg 4f x x x a =-+的定义域为R

216402a a ∴?=-

[]:1,1q m ??∈-，不等式253a a --<

2max

533a a ∴--<

= 解得16a -<<

26a ∴<<

综上所述：[]()2,12,6a ∈-- 三、近年模拟题题目精选：

1、（2014河南高三模拟，9）已知命题:,ln 20p x R x x ?∈+-=，命题2:,2x q x R x ?∈≥，则下列命题中为真命题的是（ ）

A. p q ∧

B. p q ?∧

C. p q ∧?

D. p q ?∧? 2、（2014，岳阳一中，3）下列有关命题的叙述: ① 若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题

② “5x >”是“2

450x x -->”的充分不必要条件

③ 命题:p x R ?∈，使得2

10x x +-<，则:p x R ??∈，使得2

10x x +-≥

④ 命题：“若2

320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为：“若1x ≠或2x ≠，则

2320x x -+≠”

其中错误命题的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3、（2014成都七中三月模拟，4）已知命题:,2x

p x R x e ?∈->，命题

2:,l o g (1)0a q a R a +?∈+

>，则（ ）

A. 命题p q ∨?是假命题

B. 命题p q ∧?是真命题

C. 命题p q ∨是假命题

D. 命题p q ∧是真命题

题，则实数a 的取值范围是（ ）

A. (),1-∞-

B. ()3,-+∞

C. ()1,3-

D. ()3,1- 5、（2014 新课标全国卷I ）不等式组：1

24x y x y +≥??

-≤?

的解集记为D ，有下面四个命题：

()1:,,22p x y D x y ?∈+≥- ()2:,,22p x y D x y ?∈+≥ ()3:,,23p x y D x y ?∈+≤ ()4:,,21p x y D x y ?∈+≤-

其中真命题是（ ）

A. 23,p p

B. 12,p p

C. 14,p p

D. 13,p p

习题答案： 1、答案：C

解析：分别判断,p q 真假，令()ln 2f x x x =+-，可得()()120f f < 由零点存在性定理可知()1,2x ?∈，使得()ln 20f x x x =+-=，p 为真；通过作图可判断出当()2,4x ∈时，

22x x <，故q 为假；结合选项可得：p q ∧?为真

2、答案：B

解析：判断每个命题：①若p 真q 假，则p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，故①错误；② 不

等式2

450x x -->的解为5x >或1x <-，由命题所对应的集合关系可判断出②正确；③ 存

在性命题的否定，形式上更改符合“两变一不变”，故③正确；④ “1x =或2x =”的否定应为“1x ≠且2x ≠”，故④错误，所以选择B

3、答案：B

解析：对于p ：当0x <时，2x x e ->，故p 正确；对于q ：因为210a +>，所以当()0,1a ∈时，()

2

log 10a a +<，故q 错误，结合选项可知p q ∧?是真命题

4、答案：C

立问题，利用二次函数图像可得： ()2

140a ?=--<，解得()1,3a ∈- 5、答案：C

解析：由已知条件作出可行域，并根据选项分别作出相应直线

22,22,23,21x y x y x y x y +=-+=+=+=-，观察图像可

知：阴影部分恒在22x y +=-的上方，所以1p 成立；且阴影区域中有在21x y +≤-中的点，所以4p 成立，综上可得：14,p p 正确