明目标、知重点
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的积分．
1．微积分基本定理
如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么?b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则
(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则?b a f (x )d x ＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则?b a f (x )d x ＝－S 下．
(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则?b a f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上
＝S 下，则?b a f (x )d x ＝0.
探究点一 微积分基本定理
思考1 如图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y ＝y (t )，并且y (t )有连续的导数，
由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v (t )＝y ′(t )．设这个物体在时间段[a ，b ]内的位移为s ，你能分别用y (t )，v (t )表示s 吗？
答 由物体的运动规律是y ＝y (t )知：s ＝y (b )－y (a )，
通过定积分的几何意义，可得s ＝?b a v (t )d t ＝?b a y ′(t )d t ，
所以?b a v (t )d t ＝?b a y ′(t )d t ＝y (b )－y (a )．其中v (t )＝y ′(t )．
小结 (1)一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么?b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )．
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
(2)运用微积分基本定理求定积分?b a f (x )d x 很方便，
其关键是准确写出满足F ′(x )＝f (x )的F (x )． 思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使F ′(x )＝f (x )？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？
答 不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．
不影响，因为
?b a f (x )d x ＝[F (b )＋c ]－[F (a )＋c ]＝F (b )－F (a )．
例1 计算下列定积分：
(1)?211x d x ；(2)?31(2x －1x 2)d x ；(3)?0－π(cos x －e x )d x . 解 (1)因为(ln x )′＝1x
， 所以?211x
d x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2. (2)因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x 2， 所以?31(2x －1x 2)d x ＝?312x d x －?311x 2d x ＝x 2|31＋1x |31＝(9－1)＋(13－1)＝223
. (3)?0－π(cos x －e x )d x ＝?0－πcos x d x －?0－πe x d x
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
7.微积分基本定理练习题
7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 111．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5 4π，y ＝0所围图形的面积为________． 14．若a ＝??02x 2 d x ，b ＝??02x 3 d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________． 三、解答题 15．求下列定积分： ①??0 2(3x 2＋4x 3 )d x ； ② sin 2 x 2 d x . 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2 所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝??0 1(2ax 2 －a 2 x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0 1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2 2 [解析] 所求面积为 ＝1＋2＋? ?? ?? 1－22＝4－22. 14.[答案] c 定积分及微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c专题13 定积分与微积分基本定理知识点
考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . （2）在 ()d b a f x x ? 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被 积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数)； （2）[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??； （3） ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a 微积分基本定理导学案
微积分基本定理导学案 【学习要求】 1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分． 【学法指导】 微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法. 【知识要点】 1．微积分基本定理：如果f(x)在区间[a，b]上可积，并且_________，那么?b a f(x)d x ＝． 2．定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则 （1）当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则?b a f(x)d x＝． （2）当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则?b a f(x)d x＝_______． （3）当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则?b a f(x)d x＝，若S上＝S下，则?b a f(x)d x＝. 【问题探究】 探究点一微积分基本定理 问题1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？ 问题2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)? 例1计算下列定积分：
（1）?211x d x ； （2）?31(2x －1x 2)d x ； （3）?0－π(cos x －e x )d x . 跟踪训练1 计算下列定积分： （1）?1025x 4d x ； （2）?31(x ＋1x )26x d x . 探究点二 分段函数的定积分 例2 已知函数f (x )＝????? sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4. 先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分． 跟踪训练2 （1）设f (x )＝????? x 2， x ≤0，cos x －1， x >0， 求?1－1f (x )d x ； （2）求?a －a x 2d x (a >0)． 探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分：?π0sin x d x ，?2ππsin x d x ，?2π0 sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论． 跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54 π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)． 【当堂检测】 1． (1＋cos x )d x 等于 ( ) A ．π B ．2 C ．π－2 D ．π＋2 2．若?a 1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2，则a 的值是 ( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．?20(x 2－23x )d x ＝_______ 4．已知f (x )＝??? 4x －2π，0≤x ≤π2， cos x ，π2 微积分基本定理教案
1.6微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理 的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 设()()F x f x '=则在[,]a b 上，⊿y=()()F b F a - 将[,]a b 分成n 等份，在第i 个区间[x i-1,x i ]上，记⊿yi=F(x i )-F(x i-1),则 ⊿y=∑⊿y i 如下图，因为⊿h i =f(x i-1) ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以 ⊿y ≈∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x 故
高中数学16微积分基本定理(教案)
三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
人教A版导学案-微积分基本定理.doc
导学案：微积分基本定理 学习目标 1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分. 2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法. 教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 教学难点：了解微积分基本定理的含义. 一、自主学习： 1.定积分的定义：， 2.定积分记号： _____________________________________________ 思想与步骤_________________________________________ 几何意义. __________________________________________ '(x2+i)rfx= r(公)吹= 3.用微积分基本定理求定积分j ( 二、新知探究 新知1:微积分基本定理： 背景：我们讲过用定积分定义计算定积分，但如果要计算么，其计算过程比较复杂，所以不是Jo Jl X 求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 探究问题1：变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为s(t),速度为v(t) ( v(r)>^), 则物体在时间间隔［T^T2］内经过的路程记为S ,则 一方面：用速度函数v(t)在时间间隔(7；,7；］求积分，可把路程S = S=V 另一方面：通过位置函数S (t)在［7；,%］的图像看这段路程S还可以表示为S(7；) — S(&) 探究问题2： 位置函数S (t)与某一时刻速度函数v (t)之间的关系式为 S'Q) = v(z) 上述两个方面中所得的路程S可表达为 ) \\(t)dt = S = S^)-S(T 2 上面的过程给了我们启示 上式给我们的启示：我们找到了用/3)的原函数(即满足F\x) = /(x))的数值差F(b) — F0)来计算/(%)在［a.b］上的定积分的方法。 定理如果函数F(x)是上的连续函数/3)的任意一个原函数，则 该式称之为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一?种有效方法。
(完整版)2-14第十四节定积分与微积分基本定理(理)练习题(2015年高考总复习)
第十四节 定积分与微积分基本定理（理） 时间：45分钟分值：75分 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1 2x 2dx , S 2= ；dx , S 3 = 2e x dX ，贝U S i , 1 1 1 B . S 2
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