立体几何测试题(文科)
立体几何文科试题
一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中,正确的是( )
A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n
B.若m ?α,n ?α,m ∥β,n ∥β,则α∥β
C.若α⊥β,m ?α,则m ⊥β
D.若α⊥β,m ⊥β,m ?α,则m ∥α
2、已知直线,l m 与平面αβγ,,满足//l l m βγαα=? ,,和m γ⊥,则有
A .αγ⊥且l m ⊥
B .αγ⊥且//m β
C .//m β且l m ⊥
D .//αβ且αγ⊥
3.若()0,1,1a =- ,()1,1,0b =
,且()
a b a λ+⊥ ,则实数λ的值是( )
A .-1 B.0 C.1 D.-2
4、已知平面α⊥平面β,α∩β= l ,点A ∈α,A ?l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,m ∥β,则下列四种位置关系中,不一定...成立的是( ) A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AB ∥β D. AC ⊥β 5一个几何体的三视图及长度数据如图,则几何体的表面积与体积分别为
()3,27+
A ()328,
+B ()2327,+C ()2
3
,28+D
6、已知长方体的表面积是2
24cm ,过同一顶点的三条棱长之和是6cm ,则它
的对角线长是( )
B. 4cm
C.
D.
7、已知圆锥的母线长5l cm =,高4h cm =,则该圆锥的体积是____________3
cm
A. 12π B 8π C. 13π D. 16π
8、某几何体的三视图如图所示,当b a +取最大值时,这个几何体的体积为 ( )
A .
6
1 B .
31
C .32
D .2
1 9、已知,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB
=AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是 ( ) A.
3
π B. 43π C. 23π D. 53π
10、四面体ABCD 的外接球球心在CD 上,且2CD =,3=AB ,在外接球面上A B ,两点间的球面距离是( ) A .
π6
B .
π3
C .
2π3
D .
5π6
11、半径为2cm 的半圆纸片做成圆锥放在桌面上,一阵风吹倒它,它的最高处距桌面( ) A .4cm
B .2cm
C .cm 32
D .cm 3
12、 有一正方体,六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记
3的对面的数字为m ,4的对面的数字为n ,那么m+n 的值为( ) A .3 B .7 C .8 D .11
二.填空题:本大题共4个小题。把答案填在题中横线上。
13.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,
底面周长为3,那么这个球的体积为 ________
14、在ABC 中,13,12,5AB AC BC ===,P 是平面ABC 外一点,
PA PB PC ===
,则P 到平面ABC 的距离是 15、设A B C D 、、、是半径为2的球面上的四个不同点,且满足0AB AC ?= ,0AC AD ?= ,0AD AB ?=
,用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积,则123S S S ++的最大值是 .
16、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为2,2,3,则此球的表面积为 .
三.解答题:本大题共6个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17、(本小题满分12分)如图:直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, AC =BC =AA 1=2,∠ACB =90?.E 为BB 1的中点,D 点
在AB 上且DE = 3 .
(Ⅰ)求证:CD ⊥平面A 1ABB 1; (Ⅱ)求三棱锥A 1-C DE 的体积.
18、(本小题满分12分)
如图6,已知四棱锥ABCD P -中,PA ⊥平面ABCD , ABCD 是直角梯形,BC AD //,BAD ∠=90o,AD BC 2=. (1)求证:AB ⊥PD ;
(2)在线段PB 上是否存在一点E ,使AE //平面PCD , 若存在,指出点E 的位置并加以证明;若不存在,请说明理由.
19、(本小题满分12分)如图,四棱锥P —ABCD 中,ABCD 为矩形,△PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90°,面PAD ⊥面ABCD ,且AB=1,AD=2,E 、F 分别为PC 和BD 的中点.
(1)证明:EF ∥面PAD ; (2)证明:面PDC ⊥面PAD ; (3)求四棱锥P —ABCD 的体积.
20、(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,12CC AC BC ===,90ACB ∠=?. (1) 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图,请据此画出它的左视图和俯视图;
(2) 若P 是1AA 的中点,求四棱锥111B C A PC -的体积.
AB=66,高CD=3,点E是21、(本小题满分12分)如图所示,等腰△ABC 的底边
线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上,且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE.记BE x
V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.
(1)求V(x)的表达式;
(2)当x为何值时,V(x)取得最大值?22.(本小题满分14分)
如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm)。(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连结'
BC,证明:'
BC∥面EFG。
答案:
正视图
F
E
A
D
B
C
P
F E
A
D
B
C P
一、选择题
1 D 2、A 3、D 4、D 5、C6、D 7、A. 8、D 9、B 10、C 11、D 12、C 二、填空题 13、
43π 14、39
2
15、8 16、17π 三、解答题
17解:解:(1)在Rt △DBE 中,BE=1,DE= 3 ,∴BD=DE 2-BE 2
= 2 = 12 AB ,∴ 则D 为AB 中点, 而AC=BC , ∴CD ⊥AB 又∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱, ∴CD ⊥AA 1 又 AA 1∩AB =A 且 AA 1、AB ? 平面A 1ABB 1 故 CD ⊥平面A 1ABB 1 6分 (2)解:∵A 1ABB 1为矩形,∴△A 1AD ,△DBE ,△EB 1A 1都是直角三角形, ∴ 111111A EB D BE AD A ABB A D E A S S S S S ????---=
=2×2 2 -12 × 2 ×2-12 × 2 ×1-12 ×2 2 ×1= 3
2
2
∴ V A 1-CDE =V C -A 1DE = 13 ×S A 1DE ×CD= 13 ×3
2 2 × 2 =1 ∴ 三棱锥A 1-CDE 的体积为1. -------------------------12分
18解:解:(1)∵ PA ⊥平面ABCD ,AB ?平面ABCD ,
∴ PA ⊥AB . …… 2分 ∵ AB ⊥AD ,PA AD A =,
∴ AB ⊥平面PAD , …… 4分
∵ PD ?平面PAD ,∴ AB ⊥PD . …… 6分 (2)法1: 取线段PB 的中点E ,PC 的中点F ,连结DF EF AE ,,, 则EF 是△PBC 中位线.
∴EF ∥BC ,BC
EF 21
=, ……8分
∵ BC AD //,
BC AD 21=
,
∴EF AD EF AD =,//.
∴ 四边形EFDA 是平行四边形, ……10分
∴ DF AE //. ∵ AE
?平面PCD ,DF ?平面PCD ,
∴ AE ∥平面PCD . ∴ 线段PB 的中点E 是符合题意要求的点. ……12分 法2: 取线段PB 的中点E ,BC 的中点F ,连结AF EF AE ,,, 则EF 是△PBC 的中位线.
∴EF ∥PC ,
BC CF 21=
,
∵?EF 平面PCD , ?PC 平面PCD ,
∴//EF 平面PCD . …… 8分
∵ BC AD //,
BC AD 21
=
,
∴CF AD CF AD =,//.∴ 四边形DAFC 是平行四边形, ∴ CD AF //∵ AF
?平面PCD ,CD ?平面PCD ,
∴ AF ∥平面PDC . ……10分 ∵F EF AF = ,∴平面//AEF 平面PCD .∵?AE 平面AEF , ∴AE ∥平面PCD . ∴ 线段PB 的中点E 是符合题意要求的点. ……12分
19如图,连接AC ,
∵ABCD 为矩形且F 是BD 的中点, ∴AC 必经过F
1分
又E 是PC 的中点,
所以,EF ∥AP 2分
∵EF 在面PAD 外,PA 在面内,∴EF ∥面PAD
4分
(2)∵面PAD⊥面ABCD,CD⊥AD,面PAD 面ABCD=AD,∴CD⊥面PAD,又AP?面PAD,∴AP⊥CD 6分
又∵AP⊥PD,PD和CD是相交直线,AP⊥面PCD 7分
又AD?面PAD,所以,面PDC⊥面PAD 8分(3)取AD中点为O,连接PO,
因为面PAD⊥面ABCD及△PAD为等腰直角三角形,所以PO⊥面ABCD,
即PO为四棱锥P—ABCD的高10分
∵AD=2,∴PO=1,所以四棱锥P—ABCD的体积
12
33
V PO AB AD
=??=--------12分
21解: (1)
11
) (0
32
V x x x
=?<<即3
36
V x
=-(0x
<<
(2)22)
V x x
'==-,(0,6)
x
∴∈时,0;
V'>x
∴∈时,0;
V'<
6
x
∴=时()
V x取得最大值.
22 、解:
(Ⅰ)如图
······························································································· 4分
(Ⅱ)所求多面体体积
V V V
=-
长方体正三棱锥
11
446222
32
??
=??-????
?
??
2
284
(cm)
3
=.············································································ 9分
(Ⅲ)证明:在长方体ABCD A B C D
''''
-中,
连结AD',则AD BC
''
∥.
因为E G
,分别为AA',A D''中点,
所以AD EG
'∥,
从而EG BC'
∥.又BC'?平面EFG,
所以BC'∥面EFG.·············································································································· 14分
(俯视图)
(正视图)(侧视图)
A B
C
D
E
F
G
A'B'
C'
D'