20.2 一次函数的图象(3)
课题：20.2 一次函数的图像（3）
教学目标
1、能借助一次函数，进一步认识一元一次方程、一元一次不等式的解的情
况，并理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系．
2、通过研究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系，领会
数形结合的数学思想,初步能用函数知识分析问题和解决问题．
教学重点及难点
能以函数观点认识一元一次方程、一元一次不等式的解．
教学过程
一、情景引入
1、观察
已知一次函数y=kx+b（k≠0）变量x与y的部分对应值如下表：
（1）填空：方程kx+b=0的解为；
（2）填空：不等式kx+b>0的解集为；
（3）求这个一次函数的解析式．
2、思考
一次函数y=kx+b的自变量x的取值与方程kx+b=0的解或不等式kx+b>0的解集有何关系?
二、学习新课
1、一次函数与一元一次方程的关系
通过上述表格和填空训练，我们可以看到：
一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解；反之，一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标．两者有着密切联系，体现数形结合的数学思想．
2、一次函数与一元一次不等式的关系
【问题1】如图，已知直线l经过点A(0，-1)和B(2，0)，那么直线l在x轴
上方的点的横坐标的取值范围是什么？在x轴下方的点呢？
【问题2】关于x的一元一次不等式kx+b>0、kx+b<0与一次函数y=kx+b之间有什么关系？
【说明】通过对问题1、问题2的思考、讨论与探究，可以看到一次函数与一元一次不等式之间也有着密切联系，进一步体现数形结合的数学思想．（可借助几何画板展示图形的动态变化过程）
由一次函数y=kx+b的函数值y大于0（或小于0），就得到关于x的一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）．在一次函数y=kx+b的图像上且位于x轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解．
3、例题分析
例6 已知函数y=2
3
x+1．
（1）当x取何值时，函数值y=5？（2）当x取何值时，函数值y>5？
（3）在平面直角坐标系xoy中，在直线y=2
3
x+1上且位于x轴下方的所有
点，它们的横坐标的取值范围是什么？
解：（1）要使函数y=2
3
x+1的值y=5，只要使
2
3
x+1=5．
解方程2
3
x+1=5，得：x=6．所以，当x=6时，函数值y=5．
（2）要使函数y=2
3
x+1的值y>5，只要使
2
3
x+1>5．
解不等式2
3
x+1>5，得：x>6．所以，当x>6时，函数值y>5．
（3）因为所求的点在直线y=2
3
x+1上且位于x轴下方，所以
2
3
x+1<0．
解不等式2
3
x+1<0，得：x<-
3
2
．
即所有这样的点的横坐标的取值范围是小于-3
2
的一切实数．
对例6进一步分析，在直线y=2
3
x+1上，M(6，5)是以题（1）中所得的x
的值为横坐标的点，以题（2）所得的x的值为横坐标的点都位于这条直线上点M朝上一侧．
4、问题拓展
已知三条直线l1：y1=2x-1，l2：y2=-x+5，l3：y3=kx-3．
（1）如果l1∥l3，求k的值；
（2）如果l1、l2、l3都经过同一点，求k的值；
（3）当x取何值时，函数值y1大于y2?
【分析】问题（1）根据平行条件就可以求出k的值；问题（2）要求k的值，只要求出直线l1与l2的交点坐标，在代入l3的解析式，就可求出k的值．问题（3）可以把一次函数问题转化为一元一次不等式，进行求解．
三、巩固练习
1、已知一次函数解析式是y=3x+2．
（1）当x取何值时，y=1？
（2）当x取何值时，y>1？
（3）当x取何值时，y<1？
2、已知一次函数y=kx+b的图像经过点A(-3，0) 和B(0，-2)．
（1）求该函数解析式；
（2）当x取何值时，y>-2?
3、已知一次函数的解析式为y=-1
2
x+3，求在这个一次函数图像上且位于x
轴上方的所有点的横坐标的取值范围．
四、课堂小结（学生归纳，教师引导）
1、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有什么关系?
2、如何从函数观点来认识一元一次方程、一元一次不等式的解?
五、作业布置
1、练习本：书上P8第
2、3题，练习部分P4第2、3题．
2、课课练：P7—8习题20.2（3）．
教学设计说明
在熟悉一次函数图像基础上，通过观察表格和填空、以及问题1与问题2，从形和数两个角度探讨一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系．学会利用函数图像帮助分析和认识一元一次方程与一元一次不等式的解．
一次函数的图象与性质
一次函数图象和性质 【知识梳理】 1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（k b -，0）和（0，b ）两点的一条直线. 3. 一次函数y kx b =+的图象与性质 【思想方法】数形结合 【例题精讲】 例1. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点. （1）求这个一次函数的解析式； （2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上； （3）求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积. 例2. 已知一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求字母a 、b 为何值时： （1）y 随x 的增大而增大； （2）图象不经过第一象限； （3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3； （5）图象与y 轴交点在x 轴下方. 例3. 如图，直线l 1 、l 2相交于点A ，l 1与x 轴的交点坐标为（－1，0），l 2与y 轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题： （1）求出直线l 2表示的一次函数表达式； （2）当x 为何值时，l 1 、l 2表示的两个一次函数的函数值都大于0？ k 、b 的符号 k ＞0，b ＞0 k ＞0，b ＜0 k ＜0，b ＞0 k ＜0，b ＜0 图像的大致位 置 经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 性质 y 随x 的增大 而 y 随x 的增大而而 y 随x 的增大 而 y 随x 的增大 而
x y O 3 2y x a =+ 1y kx b =+ y x O B A 【当堂检测】 1.直线y ＝2x ＋8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______； 2.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列 结论：①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中， 正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.一次函数(1)5y m x =++，y 值随x 增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．1m >- B ． 1m <- C ．1m =- D ．1m < 4.一次函数23y x =-的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ） 6.已知整数x 满足-5≤x≤5，y 1=x+1，y 2=-2x+4对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较小值，则m 的最大值是（ ） A.1 B.2 C.24 D.-9 7.如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 ( ) A.（0，0） B.（ 22，2 2-） C.（－21，－2 1 ） D.（－22，－22） 8．一次函数y =2x －2的图象不经过．．． 的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是正比例函数y = -x 图象上两点，则下列判断正确的是 （ ） A ．y 1>y 2 B ．y 1 一次函数概念、图像及性质 【教学目标】 1. 了解认识一次函数定义、图像，并能根据函数解析式画出图像 2. 理解一次函数的截距概念，会根据直线的表达式指出它在y 轴上的截距 3. 理解、掌握一次函数性质，熟悉图像所经过的象限及y 随x 变化而变化的情况 4. 能运用一次函数的图像及性质解综合型问题 【教学重难点】 1. 根据一次函数的图像确定解析式 2. 掌握一次函数性质，并能灵活运用于解题 3. 能结合一次函数知识点灵活求解综合型问题 【教学内容】 ★ 知识梳理 一、概念 定义：解析式形如)0( ≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数 二、图像 一次函数的图象满足：（1）形状是一条直线；（2）始终经过（0 , b ）和（k b - , 0）两点 三、截距 定义：直线)0( ≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标是) , 0 (b ，截距是b 四、性质 1. 一次函数)0( ≠+=k b kx y ，当0>k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大；当0 一、概念 例1. 下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） （A ）1)1(32+-=x y （B ）x x y 1+ = （C ）x y 3-= （D ）x y 5-= 例2. 下列各式中，y 与x 成正比例关系的是 ；成一次函数关系的是 （1）x y 43= （2）x y 2 2-= （3）x y 29-= （4）x y 4= （5）52=+xy （6）765=+y x 例3. 下列说法中，不正确的是（ ） （A ）一次函数不一定是正比例函数 （B ）不是一次函数就一定不是正比例函数 （C ）正比例函数是特殊的一次函数 （D ）不是正比例函数不一定不是一次函数 例4. 下列说法不正确的是（ ） （A ）在32--=x y 中，y 是x 的正比例函数 （B ）在x y 21-=中，y 与x 成正比例 （C ）在1=xy 中，y 与x 1成正比例 （D ）在圆的面积公式2r S π=中，S 与2r 成正比例 例5. 已知b kx y +=，当3-=x 时，0=y ；当1=x 时，4=y ，求k 、b 的值 一次函数的图像和性质练习题 1、函数：①y=-2x+3；②x+y=1；③xy=1；④y=1+x ；⑤y=221x +1；⑥y=0.5x 中，属一次函 数的有 ，属正比例函数的有 （只填序号） 2、当m= 时，y=() ()m x m x m +-+-112 2是一次函数。 3、已知函数y=()()112-++m x m 当m 时，y 是x 的一次函数，当m 为 时，y 是x 的正比例函数。 4.正比例函数(0)y kx k =≠一定经过 点，经过(1)， ，一次函数(0)y kx b k =+≠经过(0)， 点，(0) ，点。 5.直线26y x =-+与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标 是 。与坐标轴围成的三角形的面积是 。 6.若一次函数(44)y mx m =--的图象过原点，则m 的值为 。 7.如果函数y x b =-的图象经过点(01)P ，，则它经过x 轴上的点的坐标为 。 8.一次函数3+-=x y 的图象经过点（ ，5）和（2， ）。 9、写出一条与直线y=2x -3平行，且经过点（2，7）的直线为 10.某函数具有下面两条性质：（1）它的图象是经过原点的一条直线；（2）y 随x 的增大而减小．请你写出一个满足上述条件的函数 。 11.写出一个图象与x 轴交点坐标为（3，0）的一次函数 12.写出一个图象与y 轴交点坐标为（0，－3）的一次函数 13.已知函数(3)2y m x =+-，要使函数值y 随自变量x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） Ａ．3m -≥ Ｂ．3m >- Ｃ．3m -≤ Ｄ．3m <- 14.一次函数(1)5y m x =++中，y 的值随x 的减小而减小，则m 的取值范围是（ ） Ａ．1m >- Ｂ．1m <- Ｃ．1m =- Ｄ．1m < 15．已知点A(-4, a),B(-2,b)都在一次函数y= 21x+k(k 为常数)的图像上,则a 与b 的大小关系是a____b(填”<””=”或”>”) 一次函数的图象和性质 一、知识要点： 1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。 注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0） （2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质： (1)图象的位置: (2)增减性 k>0时，y随x增大而增大 k<0时，y随x增大而减小 4．求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： ①利用一次函数的定义 构造方程组。 ②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程。 二、例题举例： 例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。 证明：∵与成正比例， 设=a(a≠0的常数), ∵y=, =(k≠0的常数), ∴y=·a=akx， 其中ak≠0的常数， ∴y与x也成正比例。 例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断 =(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 解：依题意，得 解得 n=-1， ∴=-3x-1, 一次函数的图象（2）教案 教学目标： 1、理解一次函数及其图象的有关性质。 2、能熟练地作出一次函数的图象。 教学重点：能熟练地作出一次函数的图象。 教学难点：一次函数的图象的性质。 课时安排：1课时 教学过程设计： 一、导入新课 上节课我们学习了如何画正比例函数的图象，步骤为①列表；②描点；③连线。 本节课我们进一步来研究一次函数的图象的画法及其性质。 二、新课学习 1、请大家在同一坐标系内作出一次函数y= -2x+1的图象。 列表： x…… y=－2x+1 …… 描点：连线： 2、做一做 在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x+5的图象。 3、议一议 一次函数y=kx+b 的图象的特点： 分析：在函数y=2x+5中，k>0，y 的值随x 值的增大而增大；在函数y=-2x+1中，y 的值随x 值的增大而减小。 由上可知，一次函数y=kx+b 中，y 的值随x 的变化而变化的情况跟正比例函数的图象的性质相同。对照正比例函数图象的性质，可知一次函数的图象不过原点，但是和两个坐标轴相交。在作一次函数的图象时，只需要描两个点。 一般选取（0，b ），（-k b ，0）比较简单。 4、想一想 （1）x 从0开始逐渐增大时，y=2x+6和y=5x 哪一个值先达到20？这说明了什么？（y=5x 的函数值先达到20，这说明随着x 的增加，y=5x 的函数值比y=2x+6的函数值增加得快） （2）直线y=-x 与y=-x+6的位置关系如何？（平行,一次函数k 相同就平行） （3）直线y=2x+6与y=-x+6的位置关系如何？（相交） 三、随堂练习 1、下列一次函数中，y 的值随x 值的增大而增大的是（ ） A 、y=-5x+3 B 、y=-x-7 C 、y=x 3-5 D 、y=-x 7+4 2、下列一次函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（ ） A 、y=32x-8 B 、y= -x+3 C 、y=2x+5 D 、y=7x-6 3、若一次函数y = kx + 4的图象经过原点，则 k = 4. 写出m 的3个值，使相应的一次函数y = (2m －1)x+2的值都是随x 的增大而减小 四、本课小结 一次函数y=kx+b 的图象的特点。 五、堂清检测 在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=3x+9与y= -3x+9的图像。 六、分层作业 必做题： 知识技能 1 2 选做题：数学理解 3 教、学反思 一次函数的性质和图像 目录一、函数的定义 （一）、一次函数的定义函数。 （二）、正比例函数的定义 二、函数的性质 （一）、一次函数的性质 （二）、正比例函数的性质 三、函数的图像 （一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置 （二）、一次函数的图像 1、一次函数图像的形状 2、一次函数图像的画法 （三）、正比例函数的图像 1、正比例函数图像的形状 2、正比例函数图像的画法 3、举例说明正比例函数图像的画法 四、k、b两个字母对图像位置的影响 K、b两个字母的具体分工是： （一次项系数）k决定图象的倾斜度。 （常数项）b决定图象与y轴交点位置。 五、解析式的确定 （一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次 （二）用待定系数法确定解析式 六、两条函数直线的四种位置关系 两直线平行，k1= k2，b1≠b2 两直线重合，k1= k2，b1=b2 两直线相交，k1≠k2 两直线垂直，k1×k2=－1 （一）两条函数直线的平行 （二）两条函数直线的相交 （三）两条函数直线的垂直 一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数 这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。 在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。 《一次函数的图像》 例1 某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2小时后血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐步衰减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （小时）的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后， （1）分别求出2≤x 和2≥x 时，y 与x 的函数关系式； （2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，则在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？ 例2 已知一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点)0,6(-A ，与y 轴交于点B ，若AOB ?的面积为12，且y 随x 增大而减小，求一次函数的解析式． 例3 作出53-=x y 的图像． 例 4 已知一次函数图象过点(4，1)和点(-2，4)．求函数解析式并画出图象．根据图象回答：(1)当x=-1时y 的值；(2)当y=2时x 的值；(3)图象与x 轴交点A 的坐标，与y 轴交点B 的坐标；（4）当x 为何制值时0,0,0y y y >=<；（5）当14x -<≤时y 的取值范围；（6）14y -<≤时x 的取值范围；（7）求AOB V 的面积；（8）方程1302 x -+=的解 例5 正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示，请确定k 、b 的情况： 例 6 在同一坐标系中，分别作出下列一次函数的图像： （1）23+=x y ； （2）x y 3= （3）23-=x y . 例7 在直角坐标系中，一次函数在y 轴上的交点坐标是B(0，5)，与x 轴交点A 的横坐标是图象与y 轴交点到原点距离的2倍，点C 的坐标是(6，0)，点P 的坐标是(0，y)，若四边形ABPC 的面积为S ，求S 关于y 的函数解析式，并求出自变量的取值范围；若∠PCO=30°时，求四边形ABPC 的面积． 教学准备 1. 教学目标 【教学目标】 知识与技能： 1.理解正比例函数的概念. 2.会用描点法画正比例函数图象.一次函数图像 3.掌握正比例函数的性质．一次函数性质 过程与方法： 1.通过实际情境引入，培养学生数学建模的能力． 2.通过对正比例函数的性质的探究，使学生经历做数学的过程，初步形成正确、科学的学习方法. 情感态度与价值观： 1.实际情境引入，使学生认识到生活实例中有大量的函数模型，激发学生学习数学的兴趣． 2.培养学生热爱自然、热爱生活的优秀品质. 2. 教学重点/难点 【教学重点】 1.正比例函数的概念.一函数性质一次函数图像 2.探究正比例函数的性质.一次函数的应用 【教学难点】 正比例函数的性质中的y与x的变化关系. 3. 教学用具 4. 标签 教学过程 一、创设情境，引入 设计意图：从课本案例出发，通过数形结合让学生理解。 通过实际情境引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分，向学生渗透热爱自然、关注珍惜物种、人与动物和谐共处的情感教育. 同时发展学生从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力. 二、观察思考、归纳概念 列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？ 如果是，请写出函数解析式？ 1.圆的周长L随半径r的变化而变化？ 2.铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m(单位;g)随它的 体积V的变化而变化。 3.每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的 总厚度h(单位：cm)随联系标的本数n的变化而变化。 4.冷冻一个0°C的物体，使它每分下降2°C,物体的 温度T(单位：°C）随冷冻时间t(单位：min）的变化 而变化。 师生活动：教师多媒体呈现上述五个实际问题. 学生独立解答，解答后小组交流，出代表进行反馈. 教师要重点关注：（1）题中学生易将写成 .（4）题中每分钟下降2℃应记为“-2℃”，避免学生将写为 .关注学生能否准确找出中的常量. 一次函数的图象与性质（基础篇） 知识要点 1．一次函数的定义： ①已知y=(m+1)x2－|m|+n+4，当m= ，y是x的一次函数；当m= ，n= 时，y是x 的正比例函数． ②已知函数y=(k+2)x+k2－2，当k时，它为一次函数；当k= 时，它为正比例函数． 2．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象特征： 一次函数的图象是一条直线，因为两点确定一条直线，所以画一次函数图象时，描点时常选图象与x轴的交点和y轴的交点． ①当k>0，b>0时，直线过第象限． ②当k>0，b<0时，直线过第象限． ③当k<0，b>0时，直线过第象限． ④当k<0，b<0时，直线过第象限． ⑤若正比例函数y=－(k+1)x+k2－4的图象只经过第一、三象限，则k = ． ⑥一次函数y=－3x必过第象限． ⑦一次函数y=πx+3必过第象限． ⑧正比例函数y=(3k2+1)x必过第象限． 3．直线y=kx+b与y=kx(k≠0)的关系： 直线y=kx+b与y=kx(k≠0)的关系是平行关系． ①当b>0时，直线y= kx+b可以由直线y=kx向上平移个单位而得到． ②当b<0时，直线y= kx+b可以由直线y=kx向下平移个单位而得到． ③将直线y=3x沿y轴向平移个单位长度可得直线y=3x+6； ④将直线y=－5x+6沿y轴向平移个单位长度可得直线y=－x． 4．直线与坐标轴交点的求法： 求函数图象与x轴的交点坐标，令y=0，解方程kx+b=0得x的值，就是相应的横坐标x的值； 求函数图象与y轴的交点坐标，令x=0得y=b，就是相应的横坐标y的值； ①已知函数y=2x－6，与x轴的交点坐标为；与y轴的交点坐标为． ②函数y=2x+1的图象是不经过第象限的直线，它与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是． 5．一次函数y=kx+b(k≠0)的增减性： 当k>0时，y随x的增大而增大，函数图象从左到右呈上升趋势． 当k<0时，y随x的增大而减小，函数图象从左到右呈下降趋势． ①已知一次函数y=(1－2k)x+2k－1，当k时，y随x的增大而增大，此时图象经过第象限． ②已知一次函数y=(6+3m)x+(n－4)． 当m时，y随x的增大而减小；当m，n时，函数图象与y轴的交点在x 轴下方；当m，n时，函数图象经过原点． 1. (2015 山东省东营市) 如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2015的坐标是． 答案：（，） 2. (2015 湖南省怀化市) 一次函数y=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k 和b的取值范围是（） A k＞0，b＞0 B k＜0，b＜0 C k＜0，b＞0 D k＞0，b＜0 答案：C 3. (2015 浙江省丽水市) 在平面直角坐标系中，过点（－2，3）的直线l经过一、二、三象限．若点（0，a），（－1，b），（c，－1）都在直线l上，则下列判断正确的是（） A．a＜b B．a＜3 C．b＜3 D．c＜－2 答案：D 4. (2015 四川省遂宁市) 直线y=2x ﹣4与y 轴的交点坐标是（ ） A ．（4，0） B ． （0，4） C ． （﹣4，0） D ． （0，﹣4） 答案： 分析： 令x=0，求出y 的值，即可求出与y 轴的交点坐标． 解答： 解：当x=0时，y=﹣4， 则函数与y 轴的交点为（0，﹣4）． 故选D ． 点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要知道，y 轴上的点的横坐标为0． 5. (2015 四川省眉山市) 关于一次函数y= 2x -l 的图象，下列说法正确的是 A ．图象经过第一、二、三象限 B ．图象经过第一、三、四象限 C ．图象经过第一、二、四象限 D ．图象经过第二、三、四象限 答案： 分析：根据一次函数图象的性质解答即可． 解答：解：∵一次函数y=2x ﹣l 的k=2＞0， ∴函数图象经过第一、三象限， ∵b=﹣1＜0， ∴函数图象与y 轴负半轴相交， ∴一次函数y=2x ﹣l 的图象经过第一、三、四象限． 故选B ． 点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限．k ＜0时，直线必经过二、四象限．b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交． 6. (2015 四川省泸州市) 若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根,则一次函数y kx b =+的大致图象可能是 课题：§6.3 一次函数的图象（1） 【学习目标】 1、理解函数图象的概念. 2、经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤. 3、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系. 4、能较熟练作出一次函数的图象. 【学习重难点】 理解并掌握作一次函数图像的一般步骤. 【自学探究】 1、函数的概念：一般地，在某个变化过程中，有两个变量__ __和__ _， 如果给定一个_ __值，相应地就确定了一个_ __值，那么我们称____是____的函数，其中_ __是自变量,____是因变量. 2、若两个变量x, y间的关系式可以表示成y=kx+b (k,b为常数, k≠0)的形式， 则称y是x的（x为自变量，y为因变量）, 特别地,当b=0时，称y是x的函数 3、甲品牌拖拉机开始工作时,油箱中有油30升.如果每小时耗油6升,求油箱 中的余油量y（升）与工作时间x(时)之间的函数关系式. 【师生合作】 1、函数图象的概念 把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值作为点的和，在直角坐标系内描出它的，所有这些点组成的图形叫做该函数的. 注：由此概念，函数图象的每一个点的坐标都满足函数表达式。 2、作一次函数的图象 例1：作出一次函数y=2x-1的图象.（仿照课本187页例1完成.）根据图象的定义，需要先找点，所以要先列表。(计算后完成下表) 描点：以表中各组对应值作为点的坐标， 在直角坐标系内描出相应的点。 连线：把这些点依次连起来，得到y=2x+1 的图象，它是一条________。 完成之后请思考： 作一次函数图象的一般步骤是：__________、 ___________、 ___________. 做一做： （1）、按上面的步骤作出一次函数y=-2x+5的图象。 列表： 描点：以表中各组对应值作为点的 坐标，在直角坐标系内描出 相应的点。 连线：把这些点依次连起来，得到 y=-2x+5的图象，请在右边空白处作图。 （2）、在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y=-2x+5？ 议一议： 思考下列问题，把结果写在下面，在课堂上和同学讨论. （1）、满足关系式y=-2x+5的x ，y 所对应的点（x ，y ）都在一次函数y=-2x+5的图象上吗？ （2）、一次函数y=-2x+5的图象上的点（x ，y ）都满足关系式y=-2x+5吗？ o x y 一次函数及其性质 ●知识点一一次函数的定义 一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当 时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数． ⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当，时，仍是一次函数． ⑶当，时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． ●知识点二一次函数的图象及其画法 ⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线． ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可． ①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直 线与两坐标轴的交点． ⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线． ●知识点三一次函数的性质 ⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大； ⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小． ●知识点四一次函数的图象、性质与、的符号 ⑴ 一次 函数 ， 符号 图象 性质随的增大而增大随的增大而减小 ⑵一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限． 当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号． 知识点五用待定系数法求一次函数的解析式 ⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法． ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值； ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式． 类型一：正比例函数与一次函数定义 1、当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？ 思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0． 举一反三： 【变式1】如果函数是正比例函数，那么（）. A．m=2或m=0 B．m=2 C．m=0D．m=1 【变式2】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值． 培优： 一次函数图像及性质 【基础知识概述】 一、函数的图象： 把—个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象. 二、正比例函数的图象及性质： 1．正比例函数y=kx(k 是常数,k≠0)的图象是过(0，0)，(1，k)两点的一条直线． 2．当k ﹥0时，y 值随x 的值的增大而增大；（图象经过一、三象限） 当k ﹤0时，y 值随x 的值的增大而减小。（图象经过二、四象限） 3．|k|越大直线越靠近y 轴，|k|越小直线越靠近x 轴。 三、一次函数的图象及性质： 1．一次函数y=kx+b(k ，b 为常数，k ≠0)的图象是过(0，b),(k b - ，0)两点的一条直线． 2．当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升。 ① 当k>0,b>0时,一次函数图象过一、二、三象限， ② 当k>0,b ＜0时,一次函数图象过一、三、四象限， 3．当k<0时，y 随x 的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降。 ① 当k<0,b>0时,一次函数图象过一、二、四象限， ② 当k<0,b<0时,一次函数图象过二、三、四象限， 【例题巧解点拨】 例1、① 函数25+-=x y 与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ； ② 已知一次函数y= ax+4与y = bx-2的图象在x 轴上相交于同一点, 则b a 的值是__________. 变式训练：1.已知函数y= -x+m 与y= mx-4的图象的交点在x 轴的负半轴上,那么m 的值___. 2.若函数y=-x-4与x 轴交于点A ，直线上有一点M ，若△AOM 的面积为8，则点M 的坐标 ． 3.（2011衡阳）如图，一次函数y=kx+ b 的图象与x 轴的交点坐标为（2，0）， 则下列说法：①y 随x 的增大而减小； ②b>0； ③关于x 的方程kx+b=0的解为x=2． 其中说法正确的有 ． 例2、已知函数y= -2x-6。 ① 求当x= -4时，y 的值，当y= -2时，x 的值。 ② 画出函数图象； ③ 求出函数图象与坐标轴的两个交点之间的距离； ④ 如果y 的取值范围-4≤y ≤2,求x 的取值 20.2(2)一次函数的图像 班级 姓名 学号 一、课前复习 1、一次函数y=kx+b(k,b 是常数, k ≠0)的图像是________,且经过点____________. 2、已知直线经过点(-3,11)和(5,-5). 求：(1)这条直线的表达式; (2)这条直线的截距; (3)这条直线与坐标轴的交点坐标. 二、新课探究 在同一直角坐标系中，画出下列直线 （1）y=31x+2, y=x+2, y=3x+2 ； （2）y= -2x+2, y=-x+2, y= -3 1 x+2. 思考：1、6条直线的截距是____________. 2、直线相对于x 轴的倾斜程度，即直线与x 轴正方向夹角的大小与k 的大小有何关系？ 3、一次函数y=kx+b(k,b 是常数, k ≠0)，常数k 称为直线的____________. 画图：在同一直角坐标系中画出直线y=-21x+2，直线y=-21x ，直线y=-2 1 x-2，并判断这三条直线之间的位置关系. 思考：一次函数y=kx+b 的图像与 正比例函数y=kx 的图像有什么位置关系? 归纳： 1、一般地，一次函数y=kx+b(（k ≠0，b ≠0）的图像可由正比例函数y=kx 的图像________得到.当b>0时，向________平移b 个单位；当b<0时，向________平移|b|个单位. 2、如果k 1=k 2 ,b 1≠b 2，那么直线y=k 1x+b 1与直线y=k 2x+b 2_______. 3、如果直线y=k 1x+b 1与直线y=k 2x+b 2平行，那么______________ . 例1、已知一次函数的图像经过点A(4,-3),且与直线12 1 +=x y 平行, （1）求这个函数解析式. （2）求该一次函数图像与坐标轴围成的图形形面积？ 一次函数中考专题 ?选择题 3.如图，已知：函数y=3x+b 和y=ax- 3的图象交于点P （- 2，- 5），则根据图 象可得不等式3x+b > ax- 3的解集是 A. x >- 5 B. x >- 2 C . x >- 3 D . x v - 2 4.甲、乙两汽车沿同一路线从 A 地前往B 地，甲车以a 千米/时的速度匀速行驶， 途中出现故障后停车维修，修好后以2a 千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车 出发2小时后匀速前往B 地，比甲车早30分钟到达.到达B 地后，乙车按原 速度返回A 地，甲车以2a 千米/时的速度返回A 地.设甲、乙两车与A 地相距 s （千 米），甲车离开A 地的时间为t （小时），s 与t 之间的函数图象如图所示.下 列说法：①a=40;②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时 1 ?如图，是某复印店复印收费 y （元） 与复印面数（8开纸）x （面）的函数图 象，那么从图象中可看出，复印超过 100面的部分，每面收费（ A. 0.4 元 B. 0.45 元 C.约 0.47 元 D . 0.5 元 B. x v 3 C. x > 2 D . x v 2 等式kx >ax+4的解集为（ ）A . x >3 【解答】①由函数图象，得a=120- 3=40故①正确， ② 由题意，得 5.5— 3- 120-(40X 2), =2.5- 1.5, =1. ???甲车维修的时间为1小时；故②正确， ③ 如图：???甲车维修的时间是1小时，??? B (4，120). ???乙在甲出发2小时后匀速前往B 地，比甲早30分钟到达. ? E (5，240). ?乙行驶的速度为：240- 3=80, ?乙返回的时间为：240-80=3,二F (8，0). 设BC 的解析式为y 1=k 1t+b 1，EF 的解析式为y 2=k 2t+b 2，由图象，得 ? y 1=80t - 200，y 2=- 80t+640， 当 y 1=y 2 时，80t - 200=- 80t+640，t=5.25 . ?两车在途中第二次相遇时t 的值为5.25小时，故弄③正确， ④当t=3时，甲车行的路程为120km ，乙车行的路程为 80X( 3 - 2) =80km ， ?两车相距的路程为：120-80=40千米，故④正确，故选：A . 5 .甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h ， 并且甲车途中休息了 0.5h ，如图是甲乙两车行驶的距离y (km )与时间x (h ) 的函数图象.则下列结论：(1) a=40, m=1; (2)乙的速度是80km/h ; (3) 甲比乙迟'h 到达B 地；(4) ■' 4 120=4k 1 + b 1 240=5. 5k^b , L r 240=5k 2+b 0二Ek 尹b? 解得j kl=S ° b 〔二-200 k^-80 b2=^40 乙车行驶〉小时或工小时，两车恰好相距50km . 4 4 B. 2 第六章一次函数 ５．一次函数图象的应用（二） 一、学生起点分析 在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用． [来源:学*科*网Z*X*X*K] 二、教学任务分析 《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第五节。本节内容安排了2个课时完成．第一课时让学生利用一次函数的图象解决一些简单的实际问题，本节课为第2课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础． 三、教学目标分析 1．教学目标 ●知识与技能目标： 1．进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； ●过程与方法目标： 1．在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维； 2．在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识． ●情感与态度目标： 在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣．2．教学重点 一次函数图象的应用 3．教学难点[来源:] 从函数图象中正确读取信息 四、教法学法[来源:学|科|网Z|X|X|K] 1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展” 2．课前准备： 教具：教材，课件，电脑 学具：教材，练习本，铅笔，直尺 五、教学过程： 本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置． 第一环节：情境引入 6.3 一次函数的图象（一） 学法与教法学习目标：1.经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤； 2.能熟练作出一次函数的图象； 3.理解一次函数表达式与图象之间的对应关系。 学习重点：会作一次函数的图象。 学习难点：理解并掌握作一次函数图象的一般步骤。 一、预读： 知识点一：函数图象的概念 1.把一个函数的_____________与对应的_____________的值分别作为点的 ___________和____________，在直角坐标系内描出它的____________，所有这些 点组成的_____________叫做该函数的图象。 2.假设代数表达式y=2x+1中，自变量x取1时，对应的因变量y=_____________， 则我们可在直角坐标系内或描出表示_____________的点，再给x的另一个值，对 应又一个y，又可知直角坐标系内描出一个点，所有这些点组成的图形叫该函数 y=2x+1的图象。 知识点二：作函数图象的一般步骤 试一试：作出一次函数，y=2x+3的图象，并说明它的图象是什么？ 知识点二：点在图象上 点在图象上即图象经过点，也就是点的横坐标、纵坐标满足图象的函数关系式。如 点的横坐标、纵坐标不满足图象的函数关系，则点不在该图象上或该图象不经过这 一点。 练一练：点（a,3）在一次函数y=-2x+5的图象上，则a=_____________。 知识点四：一次函数y=kx+b的图象。 1.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是经过（_______，0）和（0，_______）两点 的一条_____________。 2.一次函数y=kx+b的图象有什么特点？ 一次函数的定义 1、判断正误: （1）一次函数是正比例函数； （ ） (2)正比例函数是一次函数； （ ） (3)x ＋2y ＝5是一次函数； （ ）(4)2y －x=0是正比例函数． （ ） 2、选择题 （1）下列说法不正确的是（ ） A ．一次函数不一定是正比例函数。 B ．不是一次函数就不一定是正比例函数。 C ．正比例函数是特殊的一次函数。 D ．不是正比例函数就一定不是一次函数。 （2）下列函数中一次函数的个数为（ ） ①y=2x ；②y=3+4x ；③y=21 ；④y=ax （a ≠0的常数）；⑤xy=3；⑥2x+3y-1=0； A ．3个 B 4个 C 5个 D 6个 3、填空题 （1）若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m 满足的条件是____________。 （2）当m=__________时，函数y=3x2m+1 +3 是一次函数。 (3 )关于x 的一次函数y=x+5m-5，若使其成为正比例函数，则m 应取_________。 4、已知函数y= ()()112-++m x m 当m 取什么值时，y 是x 的一次函数？当m 取什么值是，y 是x 的正比例函数。 5、函数：①y=-2x+3；②x+y=1；③xy=1；④y=1+x ；⑤y=221x +1；⑥y=0.5x 中，属一次函数的有 ，属正比例函数的有 （只填序号） （2）当m= 时，y=()()m x m x m +-+-1122是一次函数。 (3)请写出一个正比例函数，且x =2时，y= －6 请写出一个一次函数，且x=－6时，y=2 (4) 我国是一个水资源缺乏的国家，大家要节约用水．据统计，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．李丽同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当李丽同学离开x 小时后水龙头滴了y 毫升水．则y 与x 之间的函数关系式是 (5)设圆的面积为s ，半径为R,那么下列说法正确的是（ ） 6.3.一次函数的图象（二） 一、教学目标 1、了解正比例函数y=kx 的图象的特点。 2、会作正比例函数的图象。 3、理解一次函数及其图象的有关性质。 4、能熟练地作出一次函数的图象。 二、能力目标 1、进一步培养学生数形结合的意识和能力。 2、通过议一议，培养学生的探索精神和合作交流意识。 三、情感目标 让学生全身心地投入教学活动中，能积极与同伴合作交流，并能进行探索的活动，发展实践能力与创新精神。 四、教学重点 1、正比例函数的图象的特点。 2、一次函数的图象的性质。 五、教学过程 1、新课导入 上节课我们学习了如何画一次函数的图象，步骤为①列表；②描点；③连线。经过讨论我们又知道了画一次函数的图象不需要许多点，只要找两点即可，还明确了一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。 本节课我们进一步来研究一次函数的图象的其他性质。 2、讲授新课 （1）首先我们来研究一次函数的特例——正比例函数有关性质。 请大家在同一坐标系内作出正比例函数y= 2 1x ，y=x ，y=3x ，y=-2x 的图象。 如图： （图略） 3、议一议 （1）正比例函数y=kx 的图象有什么特点？（都经过原点） （2）你作正比例函数y=kx 的图象时描了几个点？（至少两点） （3）直线y=2 1x ，y=x ，y=3x 中，哪一个与x 轴正方向所成的锐角最大？哪一与x 轴正方向所成的锐角最小？ 4、小结：正比例函数的图象有以下特点： （1）正比例函数的图象都经过坐标原点。 （2）作正比例函数y=kx 的图象时，除原点外，还需找一点，一般找（1,k ）点。 （3）在正比例函数y=kx 图象中，当k>0时，k 的值越大，函数图象与x 轴正方向所成的锐角越大。 （4）在正比例函数y=kx 的图象中，当k>0时，y 的值随x 值的增大而增大；当k<0时，y 的值随x 值的增大而减小。 5、做一做 在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x+6,y=-x,y=-x+6,y=5x 的图象。 一次函数y=kx+b 的图象的特点：分析：在函数y=2x+6中，k>0，y 的值随x 值的增大而增大；在函数y=-x+6中，y 的值随x 值的增大而减小。 由上可知，一次函数y=kx+b 中，y 的值随x 的变化而变化的情况跟正比例函数的图象的性质相同。对照正比例函数图象的性质，可知一次函数的图象不过原点，但是和两 个坐标轴相交。在作一次函数的图象时，也需要描两个点。一般选取（0，b ），（-k b ，0）比较简单。 6、想一想 （1）x 从0开始逐渐增大时，y=2x+6和y=5x 哪一个值先达到20？这说明了什么？（y=5x 的函数值先达到20，这说明随着x 的增加，y=5x 的函数值比y=2x+6的函数值增加得快） （2）直线y=-x 与y=-x+6的位置关系如何？（平行,一次函数k 相同就平行） （3）直线y=2x+6与y=-x+6的位置关系如何？（相交） 7、随堂练习 1、下列一次函数中，y 的值随x 值的增大而增大的是（ ） A 、y=-5x+3 B 、y=-x-7 C 、y=x 3-5 D 、y=-x 7+4 2、下列一次函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（ ）一次函数概念图像及性质
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