第九章 第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

第九章 第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

一、选择题

1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68

D ．0.84

2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为 c ，a 、b 、c ∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1， 则ab 的最大值为

( )

A.1

48 B.124 C.112

D.16

3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )

A ．100

B ．200

C ．300

D ．400

4．若随机变量X ～N (1,4)，P (X ≤0)＝m ，则P (0

C.1－2m 2

D ．1－m

5．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球2次(每次罚球结果互不影响)得分的均值是( )

A ．0.7

B ．1

C ．1.4

D ．2

6．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，若随机变量ξ＝|a －b |的取值，则ξ的数学期望E (ξ)＝

( )

A.89

B.35

C.25

D.13

二、填空题

7．某县农民的月均收入ξ服从正态分布，即ξ～N (1 000,402)，则此县农民月均收入在1 000元到1 080元间人数的百分比为________．

8．随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ<1)＝0.841 3，则P (－1<ξ<0)＝________.

9．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2

3，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让

其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1

12，则随机变量

X 的数学期望E (X )＝________.

三、解答题

10．中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q (简称血酒含量，单位是毫克/100毫升)，当20≤Q ≤80时，为酒后驾车；当Q >80时，为醉酒驾车．济南市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q ≥140的人数计入120≤Q <140人数之内)．

(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数；

(2)从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X 的分布列和数学期望．

11．甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为2

3，乙能攻克

的概率为34，丙能攻克的概率为4

5

.

(1)求这一技术难题被攻克的概率；

(2)现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励a 万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a 万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得a

2万元；

若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得a

3

万元．设甲得到的奖金数为X ，求X 的分布

列和数学期望．

12．某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中：

(1)恰有2人申请A 片区房源的概率；

(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．

详解答案

一、选择题

1．解析：∵ξ～N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84， ∴P (ξ≤－2)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ≤4)＝0.16. 答案：A

2．解析：依题意得3a ＋2b ＋0×c ＝1，∵a >0，b >0，∴3a ＋2b ≥26ab ，即 26ab ≤1，∴ab ≤124

.

答案：B

3．解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000,0.1)， 所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ， 故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200. 答案：B

4．解析：据题意知正态曲线关于直线x ＝1对称， 故P (0

2

－m ，

因此P (0

2－m )＝1－2m .

答案：A

5．解析：设X 表示此运动员罚球2次的得分，则X 的所有可能取值为0,1,2.其分布列为

∴E (X )＝0×0.09＋1×0.42＋2×0.49＝1.4. 答案：C

6．解析：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 1

7＝126条，

ξ的可能取值有0、1、2.

P (ξ＝0)＝6×7126＝13，

P (ξ＝1)＝8×7126＝4

9，

P (ξ＝2)＝4×7126＝29，E (ξ)＝8

9.

答案：A 二、填空题

7．解析：P (1 000<ξ≤1 080)＝1

2P (920<ξ≤1 080)

＝1

2P (1 000－80<ξ≤1 000＋80) ＝1

2×0.954 4＝0.477. 答案：47.72%

8．解析：依题意得P (－1<ξ<0)＝P (0<ξ<1)＝P (ξ<1)－P (ξ<0)＝0.841 3－0.5＝0.341 3. 答案：0.3413

9．解析：∵P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×1

3，

∴p ＝1

2

，随机变量X 的可能值为0,1,2,3，

因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×(12)2＋23×(12)2＝13，P (X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝5

12，

P (X ＝3)＝23×(12)2＝1

6

，

因此E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53.

答案：5

3

三、解答题

10．解：(1)由已知得，(0.003 2＋0.004 3＋0.005 0)×20＝0.25,0.25×60＝15，所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．

(2)易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人，所以X 的所有可能取值为0,1,2.

P (X ＝0)＝C 36C 38＝514，P (X ＝1)＝C 26C 1

2

C 38＝1528，

P (X ＝2)＝C 16C 22

C 38＝328

，

X 的分布列为

E (X )＝0×514＋1×1528＋2×328＝3

4

.

11．解：(1)这一技术难题被攻克的概率P ＝1－(1－23)(1－34)(1－45)＝1－13×14×15＝59

60.

(2)X 的可能取值分别为0，a 3，a

2，a .

P(X ＝0)＝13×(1－14×15)5960＝19

59，

P(X ＝a 3)＝23×34×

455960＝2459

，

P(X ＝a 2)＝23×(34×15＋14×45)5960＝1459

，

P(X ＝a )＝23×14×

155960＝2

59.

∴X 的分布列为

E (X )＝0×1959＋a 3×2459＋a 2×1459＋a ×259＝17

59

a .

12．解：(1)法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式

有

C 24·

22种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·

2234＝827

.

法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验． 记“申请A 片区房源”为事件A ，则P (A )＝1

3

.

从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为P 4(2)＝C 24(13)2(23)2

＝827

.

(2)ξ的所有可能值为1,2,3. P (ξ＝1)＝334＝1

27

，

P (ξ＝2)＝C 23(C 12C 34＋C 24C 22)34＝1427(或P (ξ＝2)＝C 23(24

－2)34＝14

27)，

P (ξ＝3)＝C 13C 24C 1234

＝49(或P (ξ＝3)＝C 24A 3

3

34＝49

)． 综上知，ξ有分布列

从而有：E (ξ)＝1×127＋2×1427＋3×49＝65

27.