专题3.9 曲线是否过定点,可推可算可检验(原卷版)

专题9 曲线是否过定点,可推可算可检验 【题型综述】

直线过定点问题在全国卷近几年高考中出现的频率较低,是圆锥曲线部分的小概率考点.此种平民解法思维上比较接地气,但是实际操作上属于暴力美学范畴.定点问题是常见的出题形式,化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.直线过定点问题通法,是设出直线方程,通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式,代入直线方程即可.技巧在于:设哪一条直线?如何转化题目条件? 【典例指引】

例1、(“手电筒”模型)已知椭圆C :13

42

2=+y x 若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.

解:设1122(, ), (, ) A x y B x y ,由223412

y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34) 84(3) 0k x mkx m +++-=, 22226416(34)(3) 0m k k m ∆=-+->,22340k m +->

212122284(3) , 3434mk m x x x x k k

-+=-⋅=++ 2222121212122

3(4) () () () 34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+

以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-,

1212122y y x x ∴⋅=---,1212122() 40y y x x x x +-++=, 222222

3(4) 4(3) 1640343434m k m mk k k k --+++=+++, 整理得:2271640m mk k ++=,解得:1222, 7

k m k m =-=-,且满足22340k m +-> 当2m k =-时,:(2) l y k x =-,直线过定点(2,0),与已知矛盾;

当27k m =-

时,2:() 7l y k x =-,直线过定点2(,0) 7

综上可知,直线l 过定点,定点坐标为2(,0). 7 ◆方法总结:本题为“弦对定点张直角”的一个例子:圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆

锥曲线于AB ,则AB 必过定点) ) (, ) ((2

222022220b a b a y b a b a x +-+-.(参考百度文库文章:“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”)

◆模型拓展:本题还可以拓展为“手电筒”模型:只要任意一个限定AP 与BP 条件(如=∙BP AP k k 定值,=+BP AP k k 定值),直线AB 依然会过定点(因为三条直线形似手电筒,固名曰手电筒模型).

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