高二数学二项式定理导学案
高二数学导学案
二项式定理
学习目标
1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；
2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导
实践的认识事物过程。
重 点
二项式定理的内容及归纳过程
难 点
在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律
学习过程
一.课前准备
复习1：积（a 1+a 2+---+a n ）（b 1+b 2+---+b n 展开后共有（ ）项
复习2：
(a+b)1=
(a+b) 2=
(a+b)3=
(a+b)1展开式中的项数为（ ），每项的次数为（ ）；
(a+b)2展开式中的项数为（ ），每项的次数为（ ），a 的次数规律是
（ ），b 的次数规律是（ ）.
(a+b)3展开式中的项数为（ ），每项的次数为（ ），a 的次数规律是
（ ），b 的次数规律是（ ）.
二．新课导学
学习探究
探究任务一：二项式定理
问题1：猜测（a+b ）n 展开式中共有多少项？分别有哪些项？各项系数分别是什
么？
新知1：
)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+--
上面的公式叫二项式定理，公式右边的多项式叫做（a+b ）n 的展开式，其中二项
式系数是（ ），二项展开式的通项是（ ），用符号（ ）表示，即展
开式的第（ ）项。
试试：写出（1+x ）6=
反思：（a+b ）n 的展开式中，二项式系数与项的系数相同吗？
典型例题
类型一、二项式定理的直接应用
例题1、求6)12(x x -
的展开式
变式训练： ①7)21(x +的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。 ②求9)1(x
x -的展开式中含3x 的系数。
类型二、利用二项式定理求特定项
例题2、已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n 2)x
1x (-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.
变式训练：已知n 2)x
2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14:3，求展开式的常数项
探究任务二 杨辉三角
问题2：在展开式中，当n=1,2,3,----时，各项的二项式系数有何规律？
(a+b)1=
(a+b) 2=
(a+b)3=
(a+b)4=
(a+b) 5=
(a+b)6=
新知2：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中各项系数的关系是
（ ）
探究任务三 二项式系数的性质
问题3：设函数f(r)=C n r..函数的定义域是（ ），函数的图像有何性质？（以
n=6为例）
新知3：二项式系数的性质
（1） 对称性
（2） 增减性与最大值
（3） 各二项式系数的和
反思：为什么二项式系数有对称性？
例题3 证明：在（a+b ）n 展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二
项式系数的和
练习1.已知1010221010)21(x a x a x a a x +?+++=-,
=+?+++10210a a a a ____a 1+a 2+a 3+…..+a 10=______
2.C n 0+2C n 1+22C n 2+---+2n C n n
【课堂检测】（10分钟）
1.在9)1(-x 按x 的降幂排列,系数最大的项是（ ）
A .第四项和第五项 B.第五项 C.第五项和第六项 D.第六项 2.++-+++++++=-312102010
10221010()()2(a a a a a x a x a x a a x ，则
2
9)a + 的值为（ ）
A .0 B.-1 C.1 D.10)12(-
3.设n n
n n a a a a x a x a x a a x x 24202222102,)1(++++++++=++ 则等于（
） A.n 3 B.23n C.213-n D.21
3+n
4.在()100
332y x +的展开式中，系数为有理数的项共有（ ）
A.16项
B.17项
C.18项
D.19项
5、项式(21
x x +)6的展开式中,常数项为_____________.
6、在10()x a -的展开式中,x 7的系数是15,则实数a = _______________. 走进高考：
在10)32(y x -的展开式中,求:
①二项式系数的和;
②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
④奇数项系数和与偶数项系数和;
⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.
能力提升：求证：1231
232n
n n n n n C C C nC n -++++=?
()()34121x x +-展开式中x 的系数为_______________。
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二
二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利
人教版高中数学知识点大全(文科版)
高中文科数学常用公式及常用结论总结 1、集合的运算 （1）交集 }|{B x A x x B A ∈∈=，且 （B A 、中的公共元素组成的集合） （2）并集 }|{B x A x x B A ∈∈=，或 （B A 、中的所有元素组成的集合） （3）补集 记全集为U ,则}|{A x U x x A C U ?∈=，且（全集U 中除去A 中的元素组成的集合） 2、四种命题及其相互关系 注意：“否命题”和“命题的否定”是两个不同的概念.命题“若p 则q ”的否命题为“若p ?则q ?”，命题“若p 则q ”的否定为“若p 则q ?”. 3、充分必要条件 定义：若p q ?则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. （1）若q p ?且p q ?，则称p 是q 的充分不必要条件； （2）若q p ?且p q ?，则称p 是q 的必要不充分条件； （3）若q p ?且p q ?，则称p 是q 的充分必要条件； （4）若q p ?且p q ?，则称p 是q 的既不充分也不必要条件. 例：（1）在ABC ?中，“B A >”是“B A sin sin >”的充分必要条件. （2）若)(x f 在0x 处可导，则“0)(0='x f ”是“)(x f 在0x 处有极值”的必要不充分条件. （3）“B A ,互为互斥事件”是“B A ,互为对立事件”的必要不充分条件. （4）若)(x f 在],[b a 上连续，则“0)()(
二项式定理导学案20
二项式定理 4个容器中有红、蓝玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？ 都不取蓝球（全取红球）： 取1个蓝球（1 蓝3红）： 取2个蓝球（2蓝2红）： 取3个蓝球（3蓝1红）： 取4个蓝球（无红球）： 从 不作多项式运算，用组合知识来展开展开式中有哪些项？各项系数各是什么？ 取4个a球（不取 b球）： 取3个a球（取3 a 1 b）： 取2个a球（取2 a 2 b）： 取1个a球（取1 a 3 b）： 不取 a球（全取b球）： 4 3 1 2 2 1 3 4 4 ) (b a b a b a b a b a b a+ + + + = +=4 3 1 2 2 1 3 4b b a b a b a a+ + + + 二项式定理：一般地，对于* N n∈有 n n n n n n k k n k n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a C b a0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 01 ) (+ + + + + + + = +- - - - - 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做n b a) (+的， 其中叫做，叫做二项展开式的通项，用 1+ k T表示， 即： 1+ k T= 该项是展开式的第项，展开式共有项. 例1. 学习 目标 1.理解二项式定理的推导过程； 2.会用二项式定理的通项公式求特定项，正，逆用公式进行求解与证明； 3.通过用组合的方法进行推导，培养学生归纳推理的能力。 4.用联系的观点看问题，事物之间的内在联系，一种观点的不同角度理解。 重点 难点 重点：用计数原理分析n b a) (+的展开式，得到二项式定理。 难点：对二项式定理展开式与通项公式的灵活应用。 ) )( )( )( (b a b a b a b a+ + + + {}) , ,3,2,1,0 (n k C k n ∈ 2 + 求的展开式。 5 （1x)
二项式定理学案
1．3．1二项式定理（1） （一）教学目标 1、知识与技能: 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。 2、过程与方法:通过学生熟悉的多项式的乘法引入，让学生归纳猜想出二项式定理，发挥例题的示范作用使学生能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。 3、情态与价值：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力 （二）教学重、难点 重点：二项式定理和二项展开式的通项公式。 难点：二项式定理和二项展开式的通项公式。 （三）教学设想 、问题情境 1. 在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n 的展开式. (a+b)1= , (a+b)2= , (a+b)3= , (a+b)4= . 构建数学 (a+b) ｎ = 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其 中r n C （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 数学应用 例1用二项式定理展开： （1）93)b a (+； （2）7)x 22x (- 例2求（1+2x ）7的展开式中第4项的二项式系数和系数 例3求（x- 8)21x 的二项展开式中的常数项。 n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C ++++++---ΛΛ2221110
练习： 1. 求（2a+3b ）6的展开式的第3项. 2. 求（3b+2a ）6的展开式的第3项. 3.写出的 展开式的第r+1项. 4选择题 （1）62)x a a x (-的展开式中，第五项是………………………………………（ ） A .x 15- B .32a x 6- C .x 20 D .x 15 （2）153)a 1 a (-的展开式中，不含a 的项是第……………………………（ ）项 A .7 B .8 C .9 D .6 （3）（x-2）9的展开式中，第6项的二项式系数是……………………………（ ） A .4032 B .-4032 C .126 D .-126 （4）若n )111 x (-的展开式中的第三项系数等于6，则n 等于………………（ ） A .4 B .4或-3 C .12 D .3 （5）多项式(1-2x)5(2+x)含x 3项的系数是………………………… ………（ ） A .120 B .-120 C .100 D .-100 5.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x 2的系数. 6.求二项式73)213(+ 的展开式中的有理项. 7.二项式n 4 )x 1x x (+ 的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数. n x x )21(33-
人教版高中高二文科数学选修1-2测试题教学教材
高二数学（文）选修1-2测试题（60分钟） 满分：100分 考试时间：2018年3月 姓名： 班级： 得分： 附：1.22 (),()()()() n ad bc K n a b c d a b a c b c b d -= =+++++++ 2.“X 与Y 有关系”的可信程度表： P (K 2≥k ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 一、 单项选择题（每题4分，共40分。每题只有一个选项正确，将答案填在下表中） 1、下列说法不正确的是（ ） A ．程序图通常有一个“起点”，一个“终点” B ．程序框图是流程图的一种 C ．结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线（或方向箭头）构成 D ．流程图与结构图是解决同一个问题的两种不同的方法 2． 给出下列关系：其中具有相关关系的是（ ） ①考试号与考生考试成绩； ②勤能补拙； ③水稻产量与气候； ④正方形的边长与正方形的面积。 A ．①②③ B ．①③④ C ．②③ D ．①③ 3、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第n 个图案中的白色地面砖有( )． A ．4n －2块 B ．4n ＋2块 C ．3n ＋3块 D ．3n －3块 4、如图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则直 接影响“计划” 要素有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。 A.假设三内角都不大于60度； B. 假设三内角都大于60度； C. 假设三内角至多有一个大于60度； D. 假设三内角至多有两个大于60度。 6、在复平面内，复数 103i i +的共轭复数应对应点的坐标为（ ） A ． (1,3) B ．(1,-3) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 7、已知两个分类变量X 和Y ，由他们的观测数据计算得到K 2的观测值范围是3.841
二项式定理(一)教案
二项式定理教案（一） 一、教学目标： 1．知识技能： （1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广 （2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理 2．过程与方法 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式 3．情感、态度、价值观 培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式得到二项式定理。 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 三、教学过程 （一）提出问题： 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式。如2222)(b ab a b a ++=+， 那么： 3 ) (b a +=? 4)(b a +=? 100)(b a +=? 更进一步：n b a )(+=？ （二）对2)(b a +展开式的分析 ))(()(2 b a b a b a ++=+ 展开后其项的形式为：22,,b ab a 考虑b ，每个都不取b 的情况有1种，即02c ,则2a 前的系数为02c 恰有1个取b 的情况有12c 种，则ab 前的系数为12c 恰有2个取b 的情况有22c 种，则2b 前的系数为22c 所以 2 2212202 2222)(b c ab c a c b ab a b a ++=++=+ 类似地 3 33223213 3033223333)(b c ab c b a c a c b ab b a a b a +++=+++=+ 思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+=? 问题： 1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？ 4 a b a 3 22b a 3ab 4b
二项式定理教学案设计
《二项式定理》教案设计 一、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 （一）提出问题，引入课题 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+， ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？ 【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识． 问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识 探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项的系数为多少？ (4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？ 探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析 各项的形式、项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有 “法”可依． (三) 形成定理，说理证明 探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式． )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理 证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理 可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -， 它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
人教版高二文科数学《圆锥曲线》基础练习题
圆锥曲线文科基础练习题 姓名: 班别： 一、选择题： 1． 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为 （ ） A ． B ． C ． D ． 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的 方程为 （ ） A ． B ． C ．或 D ．以上都不对 3．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条 射线 4．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 5．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1- 二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。 预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※） （设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+ 期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n 课题：二项式定理 时间：2018/5/23 班级：教师： 一、学习目标：1、会用二项式定理求二项式的展开式 2、会用通项求展开式中的任意项 3、会区分项的二次项系数和项的系数 二、学习过程： （一）复习旧知 组合数公式=_________________________,特别的=________ (二)知识探究与学习 1、完成计算: (a＋b)2 =______________________________ (a＋b)3= (a＋b)(a＋b)(a＋b)= ______________________________猜想(a＋b)n=(a＋b)(a＋b)…(a＋b) ( n个(a＋b)相乘) =______________________________ 2、二项式定理 (a＋b)n =______________________________ 这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (1)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有____________项，而且每一项的次数都为____________。(2)二项式系数：____________ (3)通项：(a＋b)n展开式的第____________项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝____________ (三)题型探究与训练 题型求展开式、二项式系数、项的系数、任意项 （1）例：求的展开式、展开式的第3项的系数、第3项的二项式系数； （2）跟踪训练1 求(a-2b)4的展开式的第4项系数和二项式系数； （四）归纳与总结 1、二项式定理： 2、通项： 三、学习效果检测 1、写出的展开式. 2、的展开式的第6项的系数是_____________， 第6项的二项式系数是____________。 四、课后作业 课本36页习题1.3A组2、4(1)(2) 五、课后反思 高二数学期末复习综合测试（文） 一．选择 1．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 2．命题：“若2 2 0(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ） A ． 若0(,)a b a b R ≠≠∈，则2 2 0a b +≠ B ． 若0(,)a b a b R =≠∈，则2 2 0a b +≠ C ． 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则2 2 0a b +≠ D ． 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则2 2 0a b +≠ 3．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．0 90 B ．0 60 C ．0 135 D ．0 150 4．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若 231n n S n T n =+,则n n a b =（ ） A ．23 B ．2131n n -- C ．2131 n n ++ D ．2134n n -+ 5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=， 则3132310log log ...log a a a +++=（ ） A ．12 B ．10 C ．31log 5+ D ．32log 5+ 6．一元二次不等式2 20ax bx ++>的解集是11 (,)23 - ，则a b +的值是（ ）。 A. 10 B. 10- C. 14 D. 14- 7．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2 x π ∈ C ．2y = D ．y = 高中数学学案:二项式定理 基础诊断 1. ? ? ????2－13x 6的展开式中的第4项为________． 2. 在? ? ???x －2x 5中第3项的二项式系数为________；系数为________． 3. 在? ?? ??1x ＋ 1x 3n 的展开式中,所有奇数项的二项式系数之和等于1 024,则中间项的二项式系数是________． 4. 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7,则a1＋a2＋…＋a7为________． 范例导航 考向 例1在 ? ? ? ? ? ? x－ 1 2 3 x 10 展开式中, (1) 求第4项的二项式系数及第4项的系数； (2) 求展开式中的常数项并说明它是展开式的第几项． 已知数列{a n}是等差数列,且a1,a2,a3是? ? ? ? ? 1＋ 1 2x m 展开式的前三项的系数． (1) 求m的值； (2) 求? ???? 1＋ 1 2x m 展开式的中间项． 考向 例2已知 ? ? ? ? ? ? x＋ 1 2 4 x n 展开式的前三项的系数成等差数列． (1) 求 ? ? ? ? ? ? x＋ 1 2 4 x n 展开式中所有的有理项； (2) 求? ???? x－ 2 x2 n 展开式中系数的绝对值最大的项． 设? ? ???x －a x 6(a>0)的展开式中x 3的系数为A,常数项为B,若B ＝4A,求展开式中第4项的系 数． 考向 例3 (1) 设a ∈Z ,且0≤a <13,若512 012＋a 能被13整除,则a ＝________； (2) S ＝C 127＋C 227＋…＋C 27 27除以9的余数为________． 9191除以100的余数是________． 自测反馈 1. 若? ????ax 2＋1x 5 的展开式中x 5的系数为－80,则实数a ＝________． 讲学案 课题：二项式定理第一课时 设计教师：设计时间：2015.4.2 一、教学目标 1.知识与技能: (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法: 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3.情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点 1.教学重点：用计数原理分析3) a 的展开式，得到二项式定理． (b 2.教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项 式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 （老师在多媒体上展示学案，同学们齐读）今天我们学习新课《二项式定理》，我们的学习目标是： 1、进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用 2、运用二项式定理的过程中，领会化归意识与方法迁移的能力 （一）公式探究： 师：今天是星期四，再过8天是星期几？再过是星期几？再过天呢？如果是过天呢 生：再过8天是星期五；再过是星期五；再过天也是星期五，如果是过天，……应该也是星期五吧！ 师：先给同学们吃颗定心丸，星期五是对的，可有谁知道这是为什么？ 生：这…… 师：没事，学习完我们今天要学的知识，我想聪明的同学们能告诉你怎么一回事了．板书（二项式定理） 设计感悟：本来的设计是经过天，再过天，后来觉得那不是这道题的本质，用8反而更容易我后面找到周期7埋下伏笔，而且学生马上算了出来，更容易发现规律，事实证明能将学生的兴趣激发出来． 师：二项式定理其实就是研究形如如何展开表示．对这个问题我们如何来研究呢？ 生：（感到茫然）…… 师：我们研究问题时经常使用什么方法？对了，就是特殊到一般，一般到特殊．现在这种情况是一般还是特殊的？ 生：一般的． 师：恩，那如何特殊化呢？ 生：是不是先令试试看…… 师：很棒哦．这就是先特殊，然后再一般的方法，下面说来说说如何展开表示？ 生：（举手并回答）． 师：很好哦．那谁来说说如何表示呢？ 生：（举手并回答） 师：看来同学们回答都不错哦！接下来的一个问题是如何展开？ 生：许多同学拿起笔算了起来，一些同学陷入思考中…… 师：让我们回顾刚刚的做法，为什么一些同学很快的写出的情形？ 人教A版高中数学（文）目录表必修1第一章集合与函数概念 1．1集合 1．2函数及其表示 1．3函数的基本性质阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1指数函数 2．2对数函数 2．3幂函数第三章概率 3．1随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程 3．2古典概型 3．3几何概型第三章函数的应用 3．1函数与方程 3．2函数模型及其应用必修4第一章三角函数 1．1任意角和弧度制 1．2任意角的三角函数必修 21．3三角函数的诱导公式第一章空间几何体 1．4三角函数的图象与性质 1．1空间几何体的结构 1．2空间几何体的三视图和直观图 1．5函数y=Asin（ωx+ψ） 1．3空间几何体的表面积与体积 1．6三角函数模型的简单应用第二章平面向量第二章点、直线、平面之间的位置关 2．1平面向量的实际背景及基本概系念 2．1空间点、直线、平面之间的位 2．2平面向量的线性运算置关系 2．3平面向量的基本定理及坐标表 2．2直线、平面平行的判定及其性示质 2．4平面向量的数量积 2．3直线、平面垂直的判定及其性 2．5平面向量应用举例质第三章直线与方程第三章三角恒等变换 3．1直线的倾斜角与斜率 3．1两角和与差的正弦、余弦和正 3．2直线的方程切公式 3．3直线的交点坐标与距离公式 3．2简单的三角恒等变换必修3第一章算法初步 1．1算法与程序框图 1．2基本算法语句 1．3算法案例阅读与思考割圆术必修5第一章解三角形 2021年高中数学《1.3.1 二项式定理》导学案新人教A版选修2-3一、预习目标 通过分析(a+b)2的展开式，归纳得出二项式定理;掌握二项式定理的公式特征并能简单应用。 二、预习内容 1、（a+b）2= （a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)=______________________________ （a+b）3= （a+b）4= 2、二项式定理的证明过程 3、（a+b）n= 4、（a+b）n的二项展开式中共有______项，其中各项的系数______叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用T k+1表示，即通项为展开式的第k+1项：_____________________ 5、在二项式定理中，若a=1，b=x，则有 （1+x）n=_______________________________________ 课内探究学案 一、学习目标 1.用计数原理分析（a+b）3的展开式，进而探究（a+b）4的展开式，从而猜想二项式定 理。 2.熟悉二项式定理中的公式特征，能够应用它解决简单问题。 3. 培养学生观察、分析、概括的能力。 二、学习重难点： 教学重点：二项式定理的内容及应用 教学难点：二项式定理的推导过程及内涵 三、学习过程 （一）探究（a+b）3、（a+b）4的展开式 问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？ 合作探究一：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？ 问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？ 结论：（a+b）4= C a4+ C a3b+ C a2b2+ C a b3+ C b4 （二）猜想、证明“二项式定理” 问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？ 高二文科数学第 1 页 共 4 页 安居区2019年下期期中高二年级文化素质监测 数学（文科）试题 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题，满分60分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的） 1、下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（ ） A 、空间中任意三点 B 、空间中两条直线 C 、一条直线和一个点 D 、两条平行直线 2、直线3 10x y +=-的倾斜角为（ ） A.30? B.60? C.120? D.150? 3.若空间三条直线c b a ,,满足c b b a //,⊥，则直线a 与c 关系一定是( ) .A 平行 .B 相交 .C 异面 .D 垂直 4.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) .A 若//l α，//l β，则//αβ .B 若l α⊥，l β⊥，则//αβ .C 若l α⊥，//l β，则//αβ .D 若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 5.在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） 高二文科数学第 2 页 共 4 页 A B C D 6.点(2,5)P 关于直线1x y +=的对称点的坐标是（ ） A. (4,1)-- B. (5,2)-- C. (6,3)-- D. (4,2)-- 7、在空间中，有如下四个命题： ①平行于同一个平面的两条直线是平行直线； ②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面； ③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则//αβ； ④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直. 其中正确的命题个数（ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 8.已知圆0242 2=+-+y x y x ，则过圆内一点()0,1E 的最短弦长为（ ） A. 3 B ．22 C ．23 D ．25 9、若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 10、如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等， 则异面直线1AB 和1A C 所成的角的余弦值大小为( ） A ．14 B ．14- C ．12 D ．12- 11、若圆C 的方程为22(3)(2)4x y -+-=，直线l 的方程为 10x y -+=，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为（ ） A 、22(1)(4)4x y +++= B 、22 (1)(4)4x y -+-= C.22(4)(1)4x y -+-= D 、22(4)(1)4x y +++= 12、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球 体积之比是 A ．2∶π B ．1∶2π C ．1∶π D ．4∶3π 二项式定理 学习目标：能利用计数原理证明二项式定理；理解并掌握二项式定理，并能简单应用. 学习重点：探究并归纳用计数原理分析3 )(b a +的展开式的形成过程，并依此方法得到二项式定 理． 二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如何利用两个计数原理得到2)(b a +，3)(b a +，4 )(b a +的展开式？你能由此猜想一下n b a )(+的展开式是什么？ 学习任务：阅读课本P 29～P 35. 问题1. 用乘法法则展开3)(b a +，合并同类项之前展开式有多少项？合并同类项后会有几项？其 中b a 2的系数是多少？用两个计数原理分析。 问题2. 回答P 30探究。 问题3. n b a )(+的展开式按照a 的降幂排列，共有多少项？其中，含有k k n b a -的项是第几项？这 一项的项数是多少？利用计数原理分析。 问题4. 通过教材例1和例2学习，熟悉二项式定理二项式系数，二项展开式的通项中a ，b ，n ， k 的具体含义。 问题5. 回答P 32探究。 问题6. 如果把n b a )(+的展开式的二项式系数看成函数的话，它是一个定义域在自然数内的离散 函数),2,1,0()(n n C r f r n ???==，请通过“杨辉三角”计算n = 6时的二项式系数，并画出 )6,2,1,0()(6???==r C r f r 的图象， 由图象得出函数值怎样的分布特点？试着由此总结二项式 系数的性质。 问题7. 仔细阅读例3，体会“赋值法”的应用。 必做题 A 级 P 31 1～4 P 35 1～3 B 级 习题1.3 A 组 B 组. 选做题 1. 73)2(x x +的展开式的第4项是 ；第4项的二项式系数是 ；第4项的系数 是 . 2. 求103)1()1(x x +-的展开式中5x 的系数. 3. 对于二项展开式1 2) (+-n b a ，下列结论中成立的是（ ） A.中间一项的二项式系数最大 B.中间两项的二项式系数相等且最大 C.中间两项的二项式系数相等且最小 D.中间两项的二项式系数互为相反数 4.（1）4)(x y y x -的展开式中33y x 的系数是 . （2）6 )212(x x - 的展开式的常数项是 . 5. 533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 6. 在1003)52(+的展开式中，有理项的个数是多少？ 7. 求10 2)11(x x + +的展开式中的常数项. 8.（1）63 64364164C C C +???++ = . （2）612 512C C += . 9. 求n x x x )1()1()1(43++???++++的展开式中2x 的系数. 10. 已知2010201021020102)21(x a x a x a a x +???+++=-. （1）求2010210a a a a +???+++的值. （2）求20102008420a a a a a ++???+++的值. 11.（1）n n n n n n C C C C 1321242-+???++等于（ ） A. n 3 B. 13-n C. 2 1 3-n D. 12 3-n （2）已知7292222332210=+???+++n n n n n n n C C C C C ，则n n n n n C C C C +???+++321等于（ ） A.63 B.64 C.31 D.32 12. 若n x x )1(2 3+ 的展开式中第6项系数最大，则其中的常数项为（ ） A.210 B.10 C.462 D.252 13. 若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则 （1）43210a a a a a ++++ = . （2）4321a a a a +++ = . （3）2312420)()(a a a a a +-++ = . 14. 已知)()21(20102010102010R x x a x a a x ∈+???++=-，求 2010 201022 1222a a a +???++的值.二项式定理公开课教案
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