浙江省名校协作体2018届高三上学期考试数学试题+Word版含答案

2017学年第一学期浙江省名校协作体试题

高三年级数学学科

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.

31i

i -=+( ▲

) A B C D 2. 双曲线22

194

y x -=的渐近线方程是（ ▲ ） 9432. . . .4923A y x B y x C y x D y x =±=±=±=±

3．若变量x ，y 满足约束条件11y x

x y y ≤??

+≤??≥-?

，则2x y +的最大值是（ ▲ ）

A .3

B .2

C .4

D .5

4. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足(

)23n n S a n N

*

=-∈，则6

S

=（ ▲ ）

A . 192

B . 189

C . 96

D . 93

5. ()4121x x ??

+-

???

展开式中2x 的系数为（ ▲ ） . 16 . 12 . 8 . 4A B C D

6．已知()cos ,sin a αα=，()()()

cos ,sin b αα=--，那么0“”a b ?=是

“α=4

k π

π+

()k Z ∈”的（ ▲ ）

A . 充分不必要条件

B . 必要不充分条件

C . 充要条件

D . 既不充分也不必要条件

7．已知函数()()()22130x f x x e ax a x =-+->为增函数，则a 的取值范围是（ ▲ ）

.

A [)-+∞ .

B 3[,)

2e -+∞ .

C (,-∞- .

D 3

(,]2

e -∞- 8. 设,A B 是椭圆22

:14x y C k

+=长轴的两个端点，若C 上存在点P 满足120APB ∠=，则k 的取值范围是（ ▲ ）

42

. (0,][12,+) . (0,][6,+)

3

3

24

. (0,][12,+) . (0,][6,+)

33

A B C D ∞∞∞

∞

9.

函数y x =( ▲ )

. [1) ) ) . (1,)A B C D ++∞+∞+∞+∞

10. 设数列{}n x 的各项都为正数且11x =. ABC ?内的点()

n P n N

*

∈均满足n P AB ?与n P AC ?的面积比为2:1，若11

(21)02

n n n n n P A x P B x P C ++

++=，则4x 的值为( ▲ ) .15 .17 .29 .31A B C D

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）

11. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为 ▲ ，体积为

▲

．

第11题图

俯视图

侧视图

正视图

12．已知在ABC ?中,3AB =,BC =2AC =，且O 是ABC ?的外心，则AO AC ?=

▲ ，AO BC ?= ▲ .

13. 已知712

sin cos 2225

ππαα????-

--+= ? ?????，且04πα<<，则sin α= ▲ ，

cos α= ▲ ．

14. 安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活 动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有 ▲ 种，学生甲被单独安排去金华 的概率是 ▲ ．

15. 已知F 是抛物线2

:4C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N . 若

1

2

FM MN =

，则FN = ▲ ． 16. 已知函数()()22

,0

,ln 14,0x x x f x x x ?+>?=??-+≤?

则关于x 的方程()246f x x -=的不同实根的个数为 ▲ ．

17. 如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α内，三条棱AB ,AC ,AD 都在平面α的同 侧. 若顶点B ,C 到平面α

，则平面ABC 与平面α所成锐二面角 的余弦值为 ▲ .

第17题图

三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分14分）已知函数2

()sin cos cos f x x x x ωωω=+(0)ω>的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间[,0]4

π

-

上的最值．

19. （本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AP ⊥，AB ∥CD ，且P B B C ==

BD =

2CD AB ==120PAD ∠=.

（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；

（Ⅱ）求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．

第19题

P

20．（本小题满分15分）设函数R m x

m

x x f ∈+

=,ln )(． （Ⅰ）当e m =(e 为自然对数的底数)时，求)(x f 的极小值； （Ⅱ）若对任意正实数a 、b （a b ≠），不等式()()

2f a f b a b

-≤-恒成立，求m 的取值范围．

21．（本小题满分15分）如图，已知抛物线py x C 2:2

1=的焦点在抛物线2

2:1C y x =+上，

点P 是抛物线1C 上的动点．

（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，A 、B 分别为两个切点，求PAB ?面积的最小值．

第21题图

22．（本小题满分15分）已知无穷数列{}n a 的首项11

2a =，1111,2n n n a n N a a *+??=+∈ ??

?.

（Ⅰ）证明：01<

11

++-=n

n n

n n a a b a a ，n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ，3

10

n T <

.

命题：金华一中 衢州二中（审校） 审核：诸暨中学

2017学年第一学期浙江省名校协作体参考答案

高三年级数学学科

首命题：金华一中 次命题兼审校：衢州二中 审核：诸暨中学

一、选择题

二、填空题 11. 18+203 12. 2，52- 13. 35，45 14. 150,775

15. 5 16. 4个 17. 2

3

三、解答题 18 解:( Ⅰ)1

())242

f x x πω=

++-----------------4分 22T π

πω

=

=,所以1ω=-----------------------6分 (Ⅱ)1

()(2)sin(4)242

g x f x x π==++------------------8分 当[,0]4

x π

∈-

时，34[,]4

44

x π

ππ

+

∈-

--------------------10分 所以min 31()()162

g x g π=-=； max ()(0)1g x g ==-------14分

19 解：(Ⅰ)证明：取CD 中点为E ，连接BE ，因为BC BD =，所以BE CD ⊥，又2

C D A B =，

AB //CD ，所以//AB DE =

，所以四边形ABED 为矩形，所以AB AD ⊥，

又AB AP ⊥，所以AB ⊥平面PAD .-------------------------------------------4分 又//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ，

又CD ?平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD .-------------------------------6分

第19题

P

(Ⅱ

) 在ABP ?中，AB =，PB =

AB AP ⊥，所以2AP =；

在ABD ?中，AB =

，BD =AB AD ⊥，所以2AD =.

取PD 和PC 的中点分别为F 和G ，则//1

2

FG CD =，

又//1

2AB CD =，所以//AB FG =，所以四边形AFGB 为平行四边形，

又2PA AD ==，F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥，

所以AF ⊥平面PCD ，所以BG ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD ，----------10分

所以PC 为PD 在平面PBC 上的射影，所以DPC ∠

为PD 与平面PBC 所成的角。----- 12分

在

Rt PDC ?中，

CD =PD =

PC =

所以sin 5

CD DPC

PC ∠=

==

。 即直线PD 与平面PBC 分 （用其它方法（如用空间向量法、等体积法等）解答，酌情给分！）

20 解：（Ⅰ）m e =时，221()e x e

f x x x x

-'=

-=，-----------------2分 所以()f x 在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，

故当x e =时，()f x 取极小值为()2f e =。--------------------------- 6分 （Ⅱ）不妨设a b >，则有()()22f a f b a b -≤-，即()2()2f a a f b b -≤-，

构造函数()()2g x f x x =-，所以()()g a g b ≤，所以()g x 为(0,)+∞上为减函数-----10分

所以2

1()20m

g x x x '=

--≤对任意(0,)x ∈+∞恒成立----------------------12分 即2

max 1

(2)8

m x x ≥-+=--------15分

21． 解：（Ⅰ）1C 的方程为2

4x y =--------------------3分

其准线方程为1y =-．------------------5分

（Ⅱ）设),2(2

t t P ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，

则切线PA 的方程：1112()y y x x x -=-，即211122y x x x y =-+，又2

111y x =+，所以

1122y x x y =+-，同理切线PB 的方程为2222y x x y =+-，又PA 和PB 都过P 点，所以

2

112

22420420

tx y t tx y t ?-+-=??-+-=??，所以直线AB 的方程为2

420tx y t -+-=.----------9分 联立22

421

y tx t y x ?=+-??=+??得22410x tx t -+-=，所以1221241x x t x x t +=???=-?。

所以12AB x =-=------------------11分

点P 到直线AB

的距离2222d =

=

．-----------13分

所以PAB ?的面积(

()3

22

212312312

S AB d t t ==+=+

所以当0t =时， S 取最小值为2。即PAB ?面积的最小值为2--------15分

22. （Ⅰ）证明：①当1n =时显然成立；

②假设当n k =()k N *

∈时不等式成立，即01k a <<， 那么当1n k =+时，

1111()2k k k a a a +=+>11212k a a =，所以101k a +<<， 即1n k =+时不等式也成立.

综合①②可知，01n a <<对任意n N *

∈成立.--------------------------------5分

（Ⅱ）

122

11

n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列。------------7分 又

111111()2n n n n n a a a a a +-=-+11()2n n

a a =-，易知1n n a a ??-????

为递减数列， 所以111n

n a a +??

-?

???也为递减数列， 所以当2n ≥时，

111n n a a +-2211()2a a ≤-154()245=-9

40

=-------------------10分 所以当2n ≥时，2

11

()n n n n n a a b a a ++-==111119()()()40n n n n n n a a a a a a +++--

<-------12分 当1n =时，1193

4010n T T b ===<，成立； 当2n ≥时，12n n T b b b =++

+<

3243199

[()()()]4040

n n a a a a a a ++-+-++-

1299()4040n a a +=

+-299994273(1)(1)40404040510010

a <+-=+-=< 综上，对任意正整数n ，3

10n T <-----------------------------------------------------------------15分