常微分选择题

数学系

选择题（每小题4分）

1、下列方程中为常微分方程的是（）

(A) 2

-210x x += (B) 2 ' y xy =

???=+??? (D) 2 y x c =+(c 为常数）

2、下列微分方程是线性的是（）

(A)22 ' y x y =+ (B)2 " x y y e += (C)2"0 y x += (D)2 '-y y xy =

3、方程2-2 "3' 2x y y y x e ++=特解的形状为( )

(A)2-2 1 x y ax ey = (B) 2-2 1 () x y ax bx c e =++ (C)22-2 1 ()x y x ax bx c e =++ (D) 22-21 ()x y x ax bx c e =++

4、下列函数组在定义域内线性无关的是（）

(A) 4, x (B) 2 ,2, x x x (C)22 5,cos ,sin x x (D) 2

1,2,,x x

5、微分方程2-y

xdy ydx y e dy =的通解是( )

(A)(-) y x y c e = (B)()y x y e c =+ (C)()x y x e c =+ (D) (-)y

y x c e =

6、下列方程中为常微分方程的是（）

(A)2

0 t dt xdx += (B)sin 1x =

20u u

x y

??+=?? 7、下列微分方程是线性的是（）

(A)2

'1y y =+ (B)

11dy dx xy

=+ (C)2 ' y by cx += (D) 4

'0y xy += 8、方程 "-2' 2(cos 2sin )x

y y y e x x x +=+特解的形状为( )

(A) 1[()cos sin ]x y e Ax B x C x =++ (B) y e Ax x C x x 1=+[cos sin ] (C)y e Ax B x Cx D x x 1=+++[()cos ()sin ] (D)y xe Ax B x Cx D x x 1=+++[()cos ()sin ]

9、下列函数组在定义域内线性无关的是（）

(A)31, , x x (B)2 2 2,,x x x

10、微分方程2-ydx xdy y exdx =的通解是( )

(A)

()

x y x e c =+ (B)

( ) x x y e c =+

(C)

(-) x x y c e =

(D)(-)x y x e c =

11、下列方程中为常微分方程的是（）

(A)2

-10 x y += (B) 2

' x y y

x y

???=+??? (D) 2 x y c +=(c 为常数）

12、下列微分方程是线性的是（）

(A) dy dx y x = (B)2

y '+6y '=1 (C) y '=y 3+sin x (D)y '+y =y 2cos x

13、方程y ''+y =2sin x 特解的形状为( )

(A) )sin cos (1x B x A x y += (B) y Ax x 1=sin (C)y Bx x 1=cos (D)y Ax x x 12=+(cos sin )

14、下列函数组在定义域内线性无关的是（）

(A) 0,1, t (B) e t ，2e t ,e -t (C)e t e t t t --3322sin ,cos (D)

t t t t ,||,242+

15、微分方程ydx-xdy=x 2e x dx 的通解是( )

(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x ) (C) x=y(c-e x ) (D) y=x(c-e x )

16、下列方程中为常微分方程的是（）

(A) x 2+y 2-z 2=0 (B) y ce x =

(C)

????u t u

=22 (D) y=c 1cost+c 2sint (c 1,c 2为常数） 17、下列微分方程是线性的是（）

(A) )(t x ' -x=f(t) (B)3

y '+y=cos x (C) x +2

y '=y '' (D) y '+(1/3)y =y 4

18、方程y ''-2

y '+3y =e -x cos x 特解的形状为( )

(A)y A x B x 1=+cos sin (B) y Ae x 1=- (C)y e A x B x x 1=+-(cos sin ) (D)y Axe x x 1=-cos

19、下列函数组在定义域内线性无关的是（）

(A)

23,,t t t e e e (B) 20,, t t

++t t ， (D) 4-t,2t-3,6t+8

20、微分方程xdx-ydy=y 2e y dy 的通解是( )

(A) x=y(e y + c) (B) x=y(c-e y ) (C) y=x(e x +c) (D) y=x(c-e y )

21、下列方程中为常微分方程的是（）

(A) x 3

+1=0 (B) y ce x

= (C)

????u t u

=22 (D) ''+=y y e x 2'

22、下列微分方程是线性的是（）

(A)y ''+y 2=1+x (B)y '2

+y=cosx (C)

y '-2y=2x 2 (D) xdx+ydy=0

23、方程''-+=-y y y e x

69163'特解的形状为( )

(A) 31x

y Ae = (B)y Ax e x

123=

24、下列函数组在定义域内线性无关的是（）

(A)2,,x x x e xe x e (B) 222,cos , cos x x (C) 2 1,2,x (D) 5420,,x x e x e x

25、微分方程ydx-xdy=2x 2e x dx 的通解是( )

(A) y=x(c-2e x ) (B) x=y(c+2e x ) (C) x=y(c-2e x ) (D) y=x(c+2e x ) 26、微分方程

dy dx y x tg y

=+的通解为（） (A) 1

sin y x

cx = (B) sin y x =x +c (C) sin y x =c x (D) sin x y =c x

27、微分方程2y y ''=(y ')2的通解（）

(A) (x-c )2 (B) c 1(x -1)2+c 2(x +1)2 (C) c 1+(x -c 2)2 (D) c 1(x -c 2)2

28、微分方程xdy-ydx=y 2e y dy 的通解为（）

(A) y=x(e x +c) (B) x=y(e y +c) (C) y =x(c-e x ) (D) x=y(c-e y ) 29、微分方程y ''-2

y '-3y =0的通解*y 为（）

(A)

c x c x 123+ (B) c x c

123+ (C) c e c e x x 123+- (D) c e c e x x 123-+

30、微分方程y ''-3y '+2y =2x -2e x 的特解y *的形式是（）

(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x 31、通过坐标原点且与微分方程

x =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( ) (A) e x y

-=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y =+1 (D) 222y x x =+

32、设y(x)满足微分方程(cos 2x)y 1+y=tgx 且当x=π/4时y=0，则当x =0时y =( ) (A) π/4 (B) -π/4 (C) -1 (D) 1

33、已知y=y(x) 的图形上点M(0,1)处的切线斜率k=0，且y(x)满足微分方程

''=+y y 12(')，则y(x)=( )

(A) sin x (B)cos x (C) shx (D) chx

34、微分方程y ''-2

y '-3y =0的通解是y =( )

(A)3

3x x ++ (B) c x c x

a x dy

dx b x y f x 22++=()()()的特解，则y c c y x c y x c y x =--++()()()()11211223

(A) 是所给微分方程的通解 (B) 不是所给微分方程的通解

(D) 可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解

36、设 y(x)满足 y 'sinx=yLny ，且y (π/2)=e ，则y (π/4)=（）

(A) e /2 (B)-1

e (C) e 21

- (D) e

37、微分方程2cos 0yn ytgx y x -+=的通解是（）

(A) arctgx c + (B)

x ()arctgx c + (C) 1arctgx c x + (D) 1arctgx c x

38、微分方程(1+y 2)dx=(arctgy-x)dy 的通解为（）

(A) x arctgy ce arctgy =-+-1 (B) x arctgy ce arctgy =-++1 (C) x arctgy ce c arctgy

=-++ (D) x arctgy ce c arctgy =-+

39、微分方程''+=y y x 421

cos 的通解为y=（） (A) e c x c x c x +++1223 (B) c x c x c 12

23++ (C) c e c x c x

123++ (D) c x c x c 13

3++

40、微分方程''-''+=y y y x 76sin 的通解是 y =（）

(A) e

x x x

-++5747

74sin cos (B) c e c x c e c x x x 1234+++-sin cos

1233+++- (D) ()sin ()cos c c x x c c x x 1233+++

41、通过坐标原点且与微分方程

x =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( ) (A) e

x y

-=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y =+1 (D) 222y x x =+

42、设y(x)满足微分方程xy 1+y-y 2Lnx=0且当y(1)=1,则y(e)=( )

(A) 1/e (B) 1/2 (C) 2 (D) e

43、已知()y y x =满足()()x xy y dx y xy x dy 2222220+-++-=，且(1)1

y =则y 122+?? ??

?=( ) (A) 1 (B) 1/2 (C)

22 (D) 122

+ 44、微分方程''=

+y xy x 212'

满足初始条件y x ==01, y x '==0

3的特解是y=( ) (A)x x 3

3++ (B) x x 3

31++ (C) x x 2

3++ (D) x x 2

31++

45、微分方程''++=y y y 6130'的通解是y=( )

(A) e c x c x x -+31222(cos sin ) (B) e c x c x x 21233(cos sin )- (C) e c x c x x 31222(cos sin )- (D) e c x c x x -+21233(cos sin ) 46、微分方程y y

x c '+

+=20满足y x ==2

0的特解y =（） (A) 4422x

x - (B)

x x 2244- (C))2ln (ln 2-x x (D))2ln (ln 1

2-x x

47、微分方程y ytgx y x 'cos -+=2

0的通解是（）

(A)

()cos x c x y

=+ (B) ()cos y x c x =+ (C) 1

cos x x c y

=+ (D) cos y x x c =+

48、微分方程(y 2-6x )y ' +2y=0的通解为（）

(A) 2x-y 2+cy 3=0 (B) 2y-x 3+cx 3=0 (C) 2x-cy 2+y 3=0 (D) 2y-cx 3+x 3=0

49、微分方程''+=y y x 421

2cos 的特解的形式是y=（）

(A) cos 2a x (B) cos2ax x

(C)sin 2cos2 a x b x + (D)sin 2cos 2 ax x bx x +

50、满足微分方程''-''+=y y y x 76sin 的一个特解 y*=（）

(A)e x x x -++5747

74sin cos (B)e x x x +

74sin cos

(C)e x x x -++65

774sin cos (D)e e x x x x --+++65747

74sin cos

51、初值问题"40,(0)0,'(0)1y y y y +===的解是()y x =（）（其中其通解为

1212()sin2cos2,,y x c x c x c c =+为任意常数）

(A)1sin 23x (B)1sin 22x (C)1sin33x （D ）1sin 32

52、下列方程中为常微分方程的是（）

(A)4

310x x x +-+= (B) 2"'y y x +=

???=+??? (D)2u v w =+

53、下列微分方程是线性的是（）

(A)2

"'y xy y x ++= (B)22'y x y =+ (C)2"()y xy f x -= (D)3

"'y y y -=

54、已知(,)F x y 具有一阶连续偏导，且(,)()F x y ydx xdy +为某一函数的全微分，则（）

(A) F F x y ??=?? (B)F F x y x y ??=?? (C)F F x y x y ??-=?? (D)F F

y x

x y

??=??

55、设123(),(),()y x y x y x 是二阶线性非齐次微分方程"()'()()y P x y Q x y f x ++=的三个线性无关解，12,c c 是任意常数，则微分方程的解为( )

(A)11223c y c y y ++ (B)1122123(1)c y c y c c y ++-- (C)1122123()c y c y c c y +-+ (D)1122123(1)c y c y c c y +--- 56、若连续函数()f x 满足关系式20

()ln 22x t f x f dt ??

+ ???

，则()f x 为（）

(A)2x e ln (B)22x e ln (C)2x e ln + (D)22x

e ln +

57、若3312,x x y e y xe ==，则它们所满足的微分方程为（）

(A)"6'90y y y ++= (B)"90y y -= (C)"90y y += (D)"6'90y y y -+=

58、设123,,y y y 是二阶线性微分方程"()'()()y p x y q x y r x ++=的三个不同的特解，且

y y y y --不是常数，则该方程的通解为（）

(A)11223c y c y y ++ (B)1122231()()c y y c y y y -+-+ (C)11232c y c y y ++ (D)112223()()c y y c y y -+- 59、设()f x 连续，且满足方程

()1

()()f tx dt nf x n N =∈?，则()f x 为（）

(A)1n n

cx - (B)(c c 为常数） (C)sin c nx (D)s cco nx

60、设12,y y 是方程"()'()0y p x y q x y ++=的两个特解，则1122y c y c y =+（12,c c 为任意常数）（）

(A)是此方程的通解 (B)是此方程的特解 (C)不一定是该方程的解 (D)是该方程的解

61、方程22

(2)"(2)'(22)0x x y x y x y ---+-=的通解为（）

(A)12x y c e c =+ (B)12x x y c e c e -=+ (C)212x y c e c x =+ (D)12x y c e c x =+

62、微分方程"'1x

y y e -=+的一个特解形式为（）

(A)x

ae b + (B)x

axe bx + (C)x ae bx + (D)x

axe b + 63、方程2

()(2)0pxy y dx qxy x dy --+=是全微分的充要条件是（）

(A)4,2p q == (B)4,2p q ==- (C)4,2p q =-= (D)4,2p q =-=-

64、表达式2

[cos()][cos()3]x y ay dx by x y x dy +++++是某函数的全微分，则（）

(A)2,2a b == (B)3,2a b == (C)2,3a b == (D)3,3a b ==

65、方程"'"'x y y y y xe -+++=是特解形式为（）

(A)()x ax b e -+ (B)()x x ax b e -+

66、方程"2'x y y y xe -+=的特解*y 的形式为（）

(A) x

axe (B)()x ax b e + (C)()x x ax b e + (D)2()x x ax b e + 67、已知1cos y wx =与23cos y wx =是微分方程2

"0y w y +=的解，则1122y c y c y =+是（）

(A) 方程的通解 (B)方程的解，但不为通解 (C)方程的特解 (D)不一定是方程的解 68、方程"3'232x y y y x e -+=-的特解*y 的形式为（）

(A) ()x ax b e + (B)()x ax b xe + (C)()x ax b ce ++ (D)()x ax b cxe ++

69、方程22"3'2x

y y y x e -++=特解的形式为（）

(A) 22x

y ax e

-= (B)2

2()x

y ax bx c e

-=++

y x ax bx c e -=++ (D)2

2()x

y x ax bx c e

-=++

70、下列函数在定义域内线性无关的是（）

(A) 4x (B)22x x x ?? (C)225cos sin x x ?? (D)2

12x x ???

71、微分方程2y

xdy ydx y e dy -=的通解是（）

(A)()y

x y c e =- (B)()y

x y e c =+ (C)()x

y x e c =+ (D)()y

y x c e =- 72、方程

5,3dx dy

x y x dt dt

=-+-=-的奇点为（） (A)（0,0） (B) (0,5) (C) (5,5) (D) (5,0)

73、（0,0）为系统

,23dx dy

y x y dt dt

==--的（） (A) 鞍点 (B) 结点 (C) 中心 (D) 焦点

74、方程

dx dy dz

xz yz xy

的首次积分是（） (A)2

xy z c -= (B)2

x c y

= (C)2x yz c -= (D)2xz x c -=

75、方程

222

22dx dy dz

x y z xy xz

==--的首次积分是（） (A) 2

x y z c x ++= (B)222

x y z c y

++= (C)y c x = (D)z c x =

76、系统22dx

x y dt

dy x y dt

?=-+????=--??的奇点类型为（）

(A) 稳定结点 (B) 不稳定结点 (C) 稳定焦点 (D) 不稳定焦点

77、系统34

74dx

x y dt dy x y dt

?=-????=-??的奇点类型为（）

(A) 鞍点 (B) 焦点 (C) 中心 (D) 结点

78、方程"x

y y xe

-+=有形如（）特解

(A)x

y Axe -= (B)21()x y Ax Bx c e -=++ (C)1()x y Ax B e -=+ (D)x

Ae -

79、方程2

"6'13(512)t

x x x e t t ++=-+特解形状为（）

(A)2

1()t

x At Bt c e =++ (B)1()t

x At B e =+ （C)1t x Ate = (D)1t x Ae =

80、方程"2'2cos x y y y e x --+=的特解形状为（）

(A)1cos x y A xe -= (B)1sin x y A xe -= (C)1(cos sin )x y e A x B x -=+ (D)1x y Ae -=

81、方程"2'2cos t

x x x te t -+=的特解形状为（）

(A)21()cos t x At Bt c e t =++ (B)21()sin t x At Bt c e t =++ (C)

1(cos sin )t x e A t B t =+

(D)221()cos ()sin t t x At Bt c e t Dt Et F e t =++++

82、微分方程()()0x y y x ye e dx xe e dy ---++=的通解为（）

(A)x y ye xe c -= (B)y x ye xe c -= (C)x y ye xe c --= (D)x y ye xe c --=

83、微分方程(sin 2sin )(cos 2cos )0x x e y y x dx e y x dy -++=的通解为（）

(A)sin 2cos x

e y y x c += (B)s 2cos x

e co y y x c += (C)sin cos x

e y y x c += (D)s 2cos x

e co y y x c +=

84、微分方程(2)0y

e dx x xy e dy -+=的通解为（）

(A)2

xe y c += (B)

e y c x

+= (C)y xe xy c += (D)y y e c x +=

85、方程2

(3)20x

e y dx xydy ++=的通解为（）

(A)3

xe x y c += (B)2

(2)x

x x e x y c -+= (C)2

(22)x

x x e x y c --+= (D)2

(2)x

x e x y c -+=

86、下列方程为常微分方程的是（）

(A)2

0x y z ++= (B)22u u u

x y y

???+=??? (C)sin sin y A t B t =+ (D)'x y Ae =

87、方程432422(22)(3)0y y xy e xy y dx x y e x y x dy +++--=的积分因子为（）

(A)21()x x μ=

(B)1()x x μ= (C)41()y y μ= (D)2

()y y

μ= 88、方程(2)0y y e x xy e dy -+=的积分因子为（）

(A)21()x x μ=

(B) 1()x x μ= (C)21()y y μ= (D) 1

()y y

μ=

89、方程2(3)20x e y dx xydy ++=的积分因子为（）

(A) 1()x x μ=

(B)2()x x μ= (C) 1

()y y

μ= (D) 2()y y μ= 90、方程(1)0y xy dx xdy --+=的积分因子为（）

(A)()x x e μ= (B)()x x e μ-= (C)()y y e μ= (D)()y y e μ-=

91、方程2

(225)(22)0x y y dx x x dy ++++=的积分因子为（）

(A) 1()x x μ=

(B)21()1x x μ=+ (C) 1()y y

μ= (D)21()1y y μ=+ 92、方程3

2(1)0xy dx x y dy +-=的积分因子为（）

(A) 1()x x μ=

(B) 21()x x μ= (C) 1()y y μ= (D) 21()y y

μ= 93、方程(2cos )0x

e dx e ctgx y y dy ++=的积分因子为（）

(A)()sin x x μ= (B)()s x co x μ= (C)()sin y y μ= (D)()s y co y μ=

94、方程2

()0ydx x y x dy -++=的积分因子为（）

(A)

21()x x μ=

(B) 21()y y μ= (C)22

(,)x y x y

μ=+

(D)1

(,)x y x y

μ=+

95、方程3222()0y dx x xy dy +-=的积分因子为（）

(A) 21x μ= (B)1xy μ= (C)221x y μ= (D)21x y

μ=

96、方程36330x y x dx dy y y

x ????

+++= ? ?????的积分因子为（）

(A)x μ= (B)y μ= (C)xy μ= (D)2x y μ=

97、下列方程中为常微分方程的是（）

(A) 2

-210x x += (B) 2 ' y xy =

???=+??? (D) 2 y x c =+(c 为常数）

98、下列微分方程是线性的是（）

(A)2

' y x y =+ (B)2

" x

y y e += (C)2

"0 y x += (D)2

'-y y xy =

选择题答案

1 B

2 C

3 C

4 A

5 A

6 A

7 B

8 D

9 A 10 B 10 B 12 A 13 A 14 C 15 D 16 B 17 A 18 C 19 A 20 B 21 D 22 C 23 B 24 A 25 A 26 C 27 D 28 D 29 D 30 D 31 A 32 C 33 D 34 D 35 D 36 C 37 B 38 A 39 C 40 C 41 A 42 B 43 D 44 B 45 A 46 A 47 C 48 A 49 D 50 B 51 B 52 B 53 A 54 B 55 B 56 B 57 D 58 B 59 A 60 D 61 C 62 D 63 C 64 B 65 B 66

71 B 72 B 73 B 74 A 75 B 76 C 77 D 78 C 79 A 80 C 81 D 82 C 83 A 84 B 85 C 86 D 87 C 88 A 89 B 90 B 91 B 92 D 93 C 94 C 95 D 96 C 97 B 98 C

常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是。

8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+x dy y dx 的通解为。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

常微分方程试题库

常微分方程试题库二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解，（2分）当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ，（2分）积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分）（分）（22 3. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t

常微分方程试题(卷)

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程试题

2012常微分方程试题B及答案

南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B Array 装订线装订线

常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题（每小题3分，本题共30分） 1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4． )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分） 11. 解：齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 （5分） 12. 解：对应的特征方程为：012 =++λλ，解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ （3分）所以方程的通解为：)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- （5分） 13. 1=??y M ，x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. （3分）凑微分，0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离（3分） 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量（5分）

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3）（4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

常微分方程基本概念习题附解答

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3

常微分方程试题库.

常微分方程一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o

8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^=

常微分方程计算题word

常微分方程习题集（3）（三）、计算题 1. 解方程：0)(22=-++xydy dx x y x ； 2. 解方程： 024=++xy xy dx dy ； 3. 解方程：0)(22=+++xydy dx x y x ； 4. 解方程：y x '=y y x +-22； 5. 解方程：； 6. 解方程： x y x y y x tan =-'； 7. 解方程：； 8. 解方程：y y x e y ' ='； 9. 解方程：xy x y y x dx dy 3225423++-=； 10. 解方程：y x y y xy dx dy 22 ++-=； 11. 解方程：0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x ； 12. 解方程：243y x y x +='； 13. 解方程：0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y ； 14. 解方程： x x x y x y x x dx dy cos sin cos sin +-= ； 15. 解方程：3 432842y xy x y y x x dx dy ++++-= ； 16. 解方程：02=+'-'y y x y ； 17. 解方程：； 18. 解方程：04)4(=+x x ； 19. 解方程：y e y y '-'=)1(； 20. 解方程：122='+y x ； 21. 解方程：； 22. 解方程：6244x y y x =+' ； 23. 解方程：033=-'+''-'''y y y y ； 24. 解方程：； 25. 解方程：021 212 2=++'x y y ； 26. 解方程：04)3() 5(=-x x ；

常微分练习题

习题四随机变量的数字特征一、填空题 1.若随机变量X 服从区间[a,b]的均匀分布，则E X =______, D X =_____ 2.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知E[(X-1)( X-2)]=1,则λ=___ 3.设随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2)，k,b 为常数，则有E(k X+b )=_______ D(k X+b )=__________ 4.若随机变量X 服从二项分布B(n,p )，且EX=6，DX=3.6，则n =______, p =____ 5.设随机变量X 1,X 2,X 3互相独立,且X 1～U(0,6),X 2～N(0,),X 2 23～P(3),记Y= X 1-2X 2+3X 3，则E(Y)=__,D （Y ）=___. 6*.设X 与的联合分布律为：则Y X 与Y 的联合相关系数 XY ρ=____________ 7. 设随机变量X 在区间[-1,2]上服从均匀分布，则随机变量 1,0,,Y ?? =??? 若X>0若X=0-1若X<0，则方差D(Y)= . 8*.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若Z=X-0.4，则Y 与Z 的相关系数为。 9*.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5,EX=EY=0,EX 2=EY 2=2,则E(X+Y)2= . 10.随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X > = 。二、选择题 1.设随机变量X 的概率密度函数为f （x ）=0.10.100 0x e x x ??>??≤?? ，则E （2X+1）=【】 A 1.2 B 41 C 21 D 20 2. 设X 是随机变量，EX=1，DX=3，则E[3(X ?2+2)]= 【】 A 18 B 9 C 30 D 36 3.设X 是随机变量，EX=μ，DX=σ2，则对任意常数C ，必有【】 A E(X-C)2=EX 2-C 2 B E(X-C)2=E(X-μ)2 C E(X-C)2≤E(X-μ)2 D E(X-C)2≥E(X-μ)2

常微分方程计算题及答案.

计算题（每题10分） 1、求解微分方程2 '22x y xy xe -+=。 2、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy +=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+ -=的通解 4、求方程组dx dt y dy dt x y ==+?????2的通解 5、求解微分方程 '24y xy x += 6、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy -=通过点(1,0)的第二次近似解。 7、求解方程 ''+-=-y y y e x '22的通解 8、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????234的通解 9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy -=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解 12、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????2332的通解 13、求解微分方程 x y y e x (')-= 14、试用逐次逼近法求方程22x y dx dy +=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解 16、求解方程 x e y y y -=-+''32 的通解

17、求方程组?????-+=-+=y x dt dy dt dx x y dt dy dt dx 243452的通解 18、解微分方程2 2 (1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程 2dy x y dx =-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ????. 20、利用逐次逼近法，求方程 22dy y x dx =-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ???。 21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ?与精确解()x ?有如下误差估计式： 1 0|()()|(1)! n n n ML x x x x n ??+-≤-+。 22、求初值问题 22,(1)0dy x y y dx =--= 在区域 :|1|1,||1R x y +≤≤ 的解的定义区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。 23、cos cos 0y y x y dx x dy x x ??-+= ??? 24、2 221dy y dx x y ??+= ?+-?? 25、 21210dy x y dx x -=-= 26、ln (ln )0y ydx x y dy +-= 27、'2ln y y y y y x = +- 28、22dy y x dx xy -=

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件3 03ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程21d d y x y -=过点)1,2 (π 共有无数个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件 13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 x x y x y +-=d d 无奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=????=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 y x y =d d 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶

(完整版)常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答一、问答题： 1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义? 答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。 2．举例阐述常数变易法的基本思想。答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。例：求 ()()dy P x y Q x dx =+的通解。首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dx y c ?=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dx y c x ? =l ，微分之，得到 ()()()()()P x dx P x dx dy dc x c x P x dx dx ?? =+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()() P x dx P x dx P x dx dc x c x P x dx c x P x Q x ??+?=+l l l 即 ()() ()P x dx dc x Q x dx -? =l 积分后得到()()()P x dx c x Q x dx c -?=+? %l 进而得到方程的通解 ()()(()) P x dx P x dx y Q x dx c -? ?=+?%l l 3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题 ()(1) 11(1) 01020()...()()()(),(),....()n n n n n n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈， 12,,...,n ηηη是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题

常微分方程试题模拟试题(一)

常微分方程试题模拟试题（一）一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1 ．方程d d y x =满足初值解的存在且惟一性的区域是． 2．方程0d )1(d )1(=+++y x x y 所有常数解是． 3．线性方程0y y ''+=的基本解组是． 4．(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的条件． 5．向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的条件．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．积分方程11()1()d x y x y s s s =+?的解是（）．（A ）1y = （B ）e x y = （C ）0y = （D ）y x = 7. 一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（）．（A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 8．方程 ?????≠==0 ,ln 00d d y y y y x y 当当，在xoy 平面上任一点的解（）．（A ）都不是惟一的（B ）都是惟一的（C ）都与x 轴相交（D ）都与x 轴相切 9．平面系统???????+=+=y x t y y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是（）．（A ）不稳定结点（B ）稳定焦点（C ）不稳定焦点（D ）鞍点 10．方程0y y ''+=的任一非零解在(,)x y 平面的x 轴上任意有限区间内（）零点．（A ）无（B ）只有一个（C ）至多只有有限个（D ）有无限个三、计算题（每小题8分，共40分）求下列方程的通解或通积分： 11. 2211d d x y x y --= 12. ()d ()d 0x y x x y y +--= 13. 2y xy y ''=+ 14．012)(2=+'-'y x y 15．032 22=-'-''y x y y y 四、计算题（本题15分）

常微分方程模拟试题

常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线． 2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是． 3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是区间． 5．方程 21d d y x y -=的常数解是．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面 7. 方程 1d d +=y x y （）奇解．（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程 )(d d y f x y =解存在且唯一的（）条件．（A ）必要（B ）充分（C ）充分必要（D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性空间 10．方程32 3d d y x y =过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分： 11. y y x y ln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y x y += 14．0)d (d 22 2=-+y y x x xy 15．3 )(2y y x y '+'= 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16．求方程2 55x y y -='-''的通解． 17．求下列方程组的通解． ?????? ?-=+=x t y t y t x d d sin 1d d

常微分方程习题及解答

方程中，得到 ()()()()()()()()() P x dx P x dx P x dx dc x c x P x dx c x P x Q x ??+?=+l l l 即 ()() ()P x dx dc x Q x dx -? =l 积分后得到()()()P x dx c x Q x dx c -? =+?%l 进而得到方程的通解 ()()(()) P x dx P x dx y Q x dx c -? ?=+?%l l 3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题 ()(1) 11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中1 2 ()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0 ,t a b ∈，1 2 ,,...,n ηηη是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题 12100100 00010000010()()()()()()n n n x x a t a t a t a t f t x t η--????????????????'????=+?????? ???? ? ?????----????? =?? L L M M M M M M L L 但是需要指出的是每一个n 阶线性微分方程可化为n 个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。 4．若常系数线性方程组 Ax x ='和Bx x ='有相同的基本解矩阵，则A

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