2011年-2015年全国1、2卷高考数学真题分类汇编(理科)

t

1501401301201101000.0300.0250.0200.0150.010

频率/组距

集合与常用逻辑用语

1. (2012全国理1)已知集合{}1,2,3,4,5A =，(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中

所含元素的个数为（ ）.

A. 3

B. 6

C. 8

D.10

2．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．

A ．A ∩

B ＝ B ．A ∪B ＝R

C ．B ?A

D ．A ?B 3.（2013全国Ⅱ理1）已知集合(){

}

{}2

1<410123M x x x N =-∈=-R ，，，，，，，则M N = （ ） A. {}012，， B. {}1012-，，， C. {}1023-，，， D. {}0123，，，

4.（2014全国Ⅰ理1）.已知集合A={x |2

230x x --≥}，B={}

22x x -≤<，则A B ?=

A .[-2,-1]

B .[-1,2）

C .[-1,1]

D .[1,2）

5.（2014全国Ⅱ理1）设集合{}0,1,2M =，{}

2

=320N x x x -+≤，则M N =

(A) {}1 (B) {}2 (C) {}0,1 (D) {}1,2

6. （2015全国Ⅱ理1）.已知集合{}2,1,0,2A =--，()(){}

120B x x x =-+<，则A B = （ ）． A.{}1,0- B.{}0,1 C.{}1,0,1- D.{}0,1,2 7. （2015全国I 理3）设命题:p n ?∈N ，22n n >，则p ?为（ ）. A ．n ?∈N ，22n n > B ．n ?∈N ，22n n … C ．n ?∈N ，22n n … D ．n ?∈N ，22n n =

函数与导数

1.（2013全国II 理 19）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产

品.以X （单位：t ，

100150x ≤≤）表示市场需求量，T 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

（1）将T 表示为X 的函数；

2.（2011全国理2）.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）. A.3

y x = B.||1y x =+ C.2

1y x =-+ D.||

2

x y -=

3．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________．

4.(2014全国Ⅰ理3)设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是

A .()f x ()g x 是偶函数

B .|()f x |()g x 是奇函数

C .()f x |()g x |是奇函数

D .|()f x ()g x |是奇函数

5.（2015全国Ⅰ理13）

.若函数()(

)2

ln f x x x a x =++为偶函数，则a = .

6.（2011全国卷理2）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）. A.3

y x = B.||1y x =+ C.2

1y x =-+ D.||

2

x y -=

7．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2

n n

b a +，则( )．

A ．{S n }为递减数列

B ．{S n }为递增数列

C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列

D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列

8.（2014全国Ⅱ理科15）已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f =．若

(1)0f x ->，则x 的取值范围是 ．

9.（2015全国Ⅱ理5） 设函数()()21

11log 2,1

2,x x x f x x -?+-

??…

，则()()2

2l o g 12f f -+=

（ ） A.3 B. 6 C. 9 D. 12 10.（2012全国理12） 设点P 在曲线1e 2

x y =

上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则PQ 的最小值为（ ）.

A. 1ln 2-

B.

()21ln 2- C. 1ln 2+ D.()21ln 2+

11.（2013全国Ⅱ理8）设357log 6log 10log 14a b c ===，，则（ ）.

A. >>c b a

B. >>b c a

C. >>a c b

D. >>a b c 12.（2011全国理12）函数1

1y x

=

-的图像与函数2sin πy x =)42(≤≤-x 的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）.

A.2

B.4

C.6

D.8 13（2012全国理10）已知函数()1

()ln 1f x x x

=+-，则()y f x =的图像大致为（ ）.

A. B. C. D.

14(2015全国Ⅱ理10) 如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边,BC CD 与DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）．

2

π3π4

π2π4y O x

2

x

O y π4π23π4

π2

x

O y π4π23π4

π2

π3π4

π2π4y O x

A. B. C. D. 15（2011全国理21）已知函数ln ()1a x b

f x x x

=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．

（1）求a ，b 的值；.1ln )(10)2(的取值范围，求时，且如果当k x

k

x x x f x x +->

≠> 16（2014全国Ⅱ理8）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，

则a = (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 20(2013全国Ⅱ理10) 已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）.

A. ()000x f x ?∈=R ，

B. 函数()y f x =的图象是中心对称图形

C. 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0x -∞，单调递减

D. 若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '= 21. (2012全国理21)已知函数()f x 满足1

21()'(1)e (0)2

x f x f f x x -=-+

. （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若b ax x x f ++≥2

2

1)(，求(1)a b +的最大值. 24. （本小题共12分）

已知函数()()e ln x

f x x m =-+.

（1）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （2）当2m ≤时，证明()>0f x .

25．（2015课标全国Ⅱ，理12）设函数()'f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()'0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）． A. ()(),10,1-∞- B. ()()1,01,-+∞ C. ()(),11,0-∞-- D. ()()

0,11,+∞

27．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.

(1)求a ，b ，c ，d 的值；

(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．

31． (2014全国Ⅰ理11)已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（ ）

A .（2，+∞）

B .（-∞，-2）

C .（1，+∞）

D .（-∞，-1）

x

P

O

D

C

B

A

32（2015全国Ⅰ理21）已知函数()31

4f x x ax =++

，()ln g x x =-.

（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()

y f x =的切线；

（2）用

{}min ,m n 表示m ，n 中的最小值，设函数

()()(){}min ,h x f x g x =()

0x >，

讨论()

h x 零点的个数.

33.(2014全国Ⅰ理21)设函数1

(0ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点))1(1(f ，处的

切线为(1)2y e x =-+.

（Ⅰ）求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.

34（2015全国Ⅰ理12）设函数()()e

21x

f x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数

0x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）.

A ．3,12e ??-

???? B ．33,2e 4??

-????

C ．33,2e 4??????

D ．3,12e ??????

35（2015全国Ⅱ理21）设函数()2e

mx

f x x mx =+-.

（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；

（2）若对于任意[]12,1,1x x ∈-，都有1)()(21-≤-e x f x f ，求m 的取值范围． 36（2011全国理9）由曲线y x =

，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）.

A.103

B.4

C.163

D.6

三角函数

1.(2011年全国理11)设函数()()()sin cos f x x x ω?ω?=+++π0,2ω??

?

>< ??

?

的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）.

A.()f x 在π0,

2?? ???单调递减 B.()f x 在π3π,44??

???单调递减

C.()f x 在π0,2?? ???单调递增

D.()f x 在π3π,44??

???

单调递增

2.（2015全国Ⅰ理８）函数()()cos f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）.

A ．13,44k k ??π-

π+ ???，k ∈Z B ．132,244k k ?

?π-π+ ??

?，k ∈Z C ．13,44k k ?

?-+ ??

?，k ∈Z D ．132,244k k ??-+ ???，k ∈Z

3．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取

得最大值，则cos θ＝__________.

1

54

14

O

y

x

4.（2012年全国理9）已知，0>ω函数()sin 4f x x ωπ?

?=+ ??

?在π,π2??

???

单调递减，则ω的取值范围是（ ）.

A. 15,24??????

B. 13,24??????

C. 10,2??

???

D.(]0,2

5.（2011年全国理5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ）.

A.45-

B.35-

C.35

D.45

6.（2015全国Ⅰ理2）sin 20cos10cos160sin10-=

（ ）.

A ．32-

B ．3

2 C ．12-

D ．12

7.（2014全国Ⅰ理6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为

8.（2014全国Ⅱ理14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为 ．

9.（2011年全国理16）.在ABC △中，60B =

，3AC =，则2A

B B

C +的最大值为 ． 10.（2012年全国理17）

已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=. （1）求A ；（2）若2a =，△ABC 的面积为3，求b ，c . 11．(2013课标全国Ⅰ，理17)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°

. (1)若PB ＝1

2

，求P A ；

(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA . 1. （2013全国Ⅱ理17-2）

12.ABC △在内角A

B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos sin a b C c B =+. （1）求B ； （2）若2b =，求ABC △面积的最大值

13.（2014全国Ⅰ理16）已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且

(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 .

14.（2014全国Ⅱ理16）设点0(,1)M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得

45OMN ∠= ，则0x 的取值范围是 ．

15.（2015全国Ⅰ理16）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，2BC =，则AB 的取值范围是 .

18.（2014全国Ⅱ理4）钝角三角形ABC 的面积是1

2

，1AB =，2BC =，则AC =

(A) 5

(B)

5

(C) 2 (D) 1 19.（2015全国Ⅱ理17-2）在ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △是ADC △面积的2倍．

（1）求 sin sin B

C ； （2）若1,A

D DC ==22

，求BD 和AC 的长.

20.（2014全国Ⅰ理8）设(0,)2πα∈，(0,)2π

β∈，且1sin tan cos βαβ

+=，则（ ）

A .32παβ-=

B .22παβ-=

C .32παβ+=

D .22

π

αβ+=

平面向量

1.（2015全国Ⅰ理7）.设D 为ABC △所在平面内一点，3BC CD =

，则（ ）.

A ．1433

AD AB AC =-+

B ．1433AD AB A

C =-

C ．4133

AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-

2.（2015全国Ⅱ理13） 设向量a ,b 不平行，向量+λa b 与+2a b 平行，则实数λ= ．

3.（2014全国Ⅰ理15）.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2

AO AB AC =+ ，则AB 与AC

的夹角为 .

4.（2012全国理13）. 已知向量,a b 夹角为45

，且1=a ，210-=a b ，则b = .

5.(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.

6.（2013全国Ⅱ理13）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则

AE BD ?=

.

7.（2014全国Ⅱ理3）设向量a ，b 满足10+=a b ，6-=a b ，则=?a b （ ）

(A) 1 (B) 2 (C) 3

(D) 5

数列

1.（2013全国Ⅱ理3） 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =（ ）. A.

13 B. 13- C. 19 D. 1

9

- 2.（2015全国Ⅱ理4） 等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ）

． A.21 B. 42 C. 63 D. 84

3.（2012全国理5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110

a a +=（ ）

A. 7

B. 5

C.5-

D.7-

4．(2013课标全国Ⅰ理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

5.(2014全国Ⅰ理17)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.

(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.

6.（2012全国理5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110

a a +=（ ）

A. 7

B. 5

C.5-

D.7- 7．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{a n }的前n 项和21

33

n n S a =+，则{a n }的通项公式是 a n ＝__________.

8.（2011全国理17）等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设3132log log n b a a =++…3log n a +，求数列1n b ??

?

???

的前n 项和． 9.（2012全国理16） 数列{}n a 满足1(1)21

n

n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 .

10.（2014全国Ⅱ理17）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+．

（Ⅰ）证明1

{}2

n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）证明

1211132

n a a a ++???+<． 11.（2015全国Ⅰ理17）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2

243n n n a a S +=+.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设1

1

n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．

12.（2015全国Ⅱ理16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1111,n n n a a S S ++=-=,则

n S =____________________．

不等式 1.（2014全国Ⅰ理9）不等式组1

24

x y x y +≥??-≤?的解集记为D .有下面四个

命题：

1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥,

3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-.

其中真命题是（ ） A .2p ，3P B .1p ，4p

C .1p ，2p

D .1p ，3P

2.（2011全国理13） 若变量x ，y 满足约束条件???≤-≤≤+≤9

69

23y x y x ，则2z x y =+的最小值

为 ．

3.（2012全国理14） 设x ,y 满足约束条件????

???≥≥≤+-≥-0

031y x y x y x 则2z x y =-的取值范围为 .

4.（2013全国Ⅱ理9） 已知>0a ，x y ，满足约束条件()133

x x y y a x ??

+??-?

≥≤≥，若2z x y =+的最

小值为1，则a =（ ）.

A. 14

B. 1

2

C. 1

D. 2

5.（2014全国Ⅱ理9）设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤??

-+≤??--≥?，则2z x y =-的最大值

为

(A) 10

(B) 8 (C) 3

(D) 2

6.（2015全国Ⅰ理15）若x ，y 满足约束条件??

?

??≤-+≤-≥-0400

1y x y x x ，则y x 的最大值

为 .

7.（2015全国Ⅱ理14）若x ，y 满足约束条件??

?

??≤-+≤-≥+-0220201y x y x y x ，则z x y =+的最大值为

____________ ．

8．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.

x x x x x ?-+≤?+>?，，

，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围

是( )．

A ．(－∞，0]

B ．(－∞，1]

C ．[－2,1]

D ．[－2,0]

9.（2014全国Ⅱ理21）已知函数()2x x f x e e x -=--．

（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；

（Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln 2的近似值（精确到0.001）．

立 体 几 何

1．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．

A ．

500π3cm 3 B ．866π3cm 3 C ．1372π3cm 3 D ．2048π3

cm 3

2.（2015全国Ⅰ理6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(

如图

所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）.

A ．14斛

B ．22斛

C ．36斛

D ．66斛

3.（2015全国Ⅱ理9） 已知,A B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=?，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）． A.36π B. 64π C.144π D. 256π

4.（2011全国理15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，

23BC =，则棱锥O ABCD -的体积为 ．

5.（2012全国理11） 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）.

A.

26 B. 36 C. 23 D.2

2

6.（2011全国理6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，

则相应的侧视图可以为（ ）.

A. B. C. D.

7.（2012全国理7） 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）.

A. 6

B. 9

C. 12

D.18

8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A ．16＋8π

B ．8＋8π

C ．16＋16π

D ．8＋16π 9.（2013全国Ⅱ理7） 一个四面体的顶点在空间直角坐标系-O xyz 中的坐标分别是()()()()101110011000，，，，，，，，，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）

.

A ． B. C. D.

10.（2014全国Ⅰ理12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A .62

B .42

C .6

D .4

11. （2015全国Ⅰ理11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620+π，则r =（ ）. A ．1 B ．2 C ．4 D ．8

12.（2015全国Ⅱ理6） 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）．

A.

81 B. 71 C. 61 D. 51

13. （2013全国Ⅱ理4）已知m n ，为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.

俯视图

正视图

r

2r

r

2r

侧视图

C 1

B

1

A 1

E

D

C

B

A

直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l β?，则（ ）.

A. αβ∥且l α∥

B. αβ⊥且l β⊥

C.

α与β相交,且交线垂直于l D. α与β相交,且交线平行于l

14. （2013全国Ⅱ理18-1）如图，直三棱柱111-ABC A B C 中，D E ，分别

是1AB BB ，的中点，12

2

AA AC CB AB ===.

（1）证明：1BC ∥平面1

ACD ； 15. （2011全国理18-1）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠= ，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （1）证明：PA BD ⊥；

16.（2012全国理19-1）19. (本小题满分12分)如图，直三棱柱

111ABC A B C -中，11

2

AC BC AA ==

，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥.

（1）证明：1DC BC ⊥

（2）求二面角11A BD C --的大小.

17.（2013全国Ⅰ理18-1）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.

(1)证明：AB ⊥A 1C ；

18.（2014全国Ⅰ19-1）如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明：1AC AB =； 19. （2015全国Ⅰ18-1）如图所示，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠= ，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥． （1）求证：平面AEC ⊥平面AFC ；

（2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．

直线与圆的方程

1.（2015全国Ⅱ理7）过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交y 轴于,M N 两点，

则MN =（ ）． A.26 B.8 C. 46 D.10

2.（2013全国Ⅱ理11）设抛物线()2

:20C y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点()02，，则C 的方程为（ ）. A. 2

4y x =或28y x = B. 2

2y x =或28y x =

C. 2

4y x =或216y x = D. 2

2y x =或216y x =

3.（2015全国Ⅰ理14）一个圆经过椭圆221164

x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，

则该圆的标准方程为

圆锥曲线

1.（2011全国理14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，离心率为

2

2

．过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF △的周长为16，那么C 的方程为

F E

D

C

B

A

2. (2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：22

22=1x y a b

+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F

的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．

A ．

22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718

x y + D ．22

=1189x y + 3. (2013课标全国Ⅰ，理20)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆

M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .

(1)求C 的方程；

(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.

4.（2013全国Ⅱ理20）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()22

22:1>>0x y M a b a b

+=右焦点的

直线30x y +-=交M 于A B ，两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1

2

.

（1）求M 的方程；

（2）C D ，为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ABCD 面积

的最大值.

5. （2014全国Ⅰ理20）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3

2

，

F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为23

3

，O 为坐标原点.

(Ⅰ)求E 的方程；

（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程.

6.（2012全国理4）设1F ，2F 是椭圆()10x y E a b a b

=>>22

22:+的左，右焦点，

P 为直线32a x =上一点，△2F PF 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（）.

A. 12

B. 23

C. 34

D.45

7.（2013全国Ⅰ理4）已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为5

2

，则C 的渐

近线方程为( )．

A ．y ＝14x ±

B ．y ＝13x ±

C ．y ＝1

2

x ± D ．y ＝±x

8.（2014全国Ⅰ理4）已知F 是双曲线C ：22

3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C

的一条渐近线的距离为

A .3

B .3

C .3m

D .3m

9.（2011全国理7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（）.

A.2

B.3

C.2

D.3

10. （2015全国Ⅱ理11）已知,A B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120?，则E 的离心率为（ ）．

A.5

B.2

C.3

D.2

11.（2014全国Ⅱ理10）设F 为抛物线C ：2

3y x =的焦点，过F 且倾斜角为30 的直

线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB ?的面积为

(A) 334 (B) 938

(C)6332 (D)94 12.（2012全国理20）设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，

已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点.

（1）若90BFD ∠=

，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；

（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求

坐标原点到m ，n 距离的比值.

13（2011全国理20）20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A ，B

点在直线3y =-上，M 点满足MB OA ∥，MA AB MB BA ?=?

，M 点的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；

（2）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．

14.（2012全国理8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，43AB =，则C 的实轴长为（）.

A.

2 B. 22 C.4 D.8

15.（2014全国理Ⅰ10）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q

是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =

，则||QF =

A .72

B .5

2

C .3

D .2 16.（2015全国Ⅰ理20）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4

x

C y =与直线():0l y kx a a =+>交

于M ，N 两点.

（1）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.

排列、组合、二项式定理

1.（2011全国理2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲，乙两地参加社会

实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）. A. 12种B.10种 C.9种 D.8种

2. （2011全国理8）5

12a x x x x ?

???+- ????

???的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数

项为（ ）.

A.40-

B.20-

C.20

D.40

3. (2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x

＋y )2m ＋

1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8 4.（2013全国Ⅱ理5）已知()()5

11ax x ++的展开式中2

x 的系数为5，则a =（ ）.

A. 4-

B. 3-

C. 2-

D. 1-

5.（2014全国Ⅰ理13）8()()x y x y -+的展开式中22

x y 的系数为 .(用数字填写答案) 6. （2014全国Ⅱ理13）10

()x a +的展开式中，7

x 的系数为15，则a = ．（用

数字填写答案） 7.（2015全国Ⅰ理10）

()

5

2x x y ++的展开式中，52

x y 的系数为（）.

A ．10

B ．20

C ．30

D ．60

8.（2015全国Ⅱ理15）4()(1)a x x ++ 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．

概率与统计

1.（2011全国理4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）.

A.13

B.

12 C.23 D.34

2.（2014全国Ⅱ理5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概

率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 (A) 0.8 (B) 0.75 (C) 0.6 (D) 0.45

3.（2011全国理19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别成为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这样的产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到了下面试验结果．

A 配方的频数分布表 指标值分组 [)90,94

[)94,98

[)98,102

[)102,106

[)106,110

频数

8

20

42

22

8

B 配方的频数分布表

指标值分组

[)90,94 [)94,98 [)98,102 [)102,106

[)106,110

频数 4 12

42 32

10

（1）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （2）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）

与其质量指标值t 的关系式为2,94,2,94102,4,102.t y t t -

=

……从用B 配方生产的产品中任取一件，其利

润记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的

频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

4. (2013课标全国Ⅰ，理19-1)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为

1

2

，且各件产品是否为优质品相互独立．

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．

5. (2013全国Ⅱ理19-2) 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以

t

1501401301201101000.0300.0250.020

0.015

0.010

频率/组距

X （单位：t ，

100150x ≤≤）表示市场需求量，T 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

（1）将T 表示为X 的函数；

（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；

（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[100,110)X ∈，则取105X =，且105

X =的概率等于需求量落入[100,110)的频率），求T 的数学期望. 6.（2015全国Ⅱ理18-2）某公司为了解用户对其产品的满意度，从,A B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

A 地 区

B 地 区

4 5 6 7 8 9

（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率. 7.（2012全国理18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈Ν）的函数解析式.

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量n 1 15 16 17 18 19

20 频数 10 20 16 16 15 13 10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差；（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

8.（2014全国Ⅰ理18-1）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2

s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2

(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2

δ近似为样本方

差2s .

(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；

（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX . 附：150≈12.2.

若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544. 9.（2012全国理15）某个部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工

作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均

服从正态分布()

2

1000,50N ，且各个部件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命

超过1000小时的概率为.

10. (2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．

A ．简单随机抽样

B ．按性别分层抽样

C ．按学段分层抽样

D ．系统抽样

11. （2015全国Ⅱ理3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是（ ）．

A. 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.

B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.

C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势. D .2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关. 12（2015全国Ⅰ理19-1）某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量

y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣

传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =???数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． x

y

w

()

8

2

1

i

i x

x

=-∑

()

8

2

1

i

i w w =-∑

()()81

i

i

i x x y y =--∑ ()()8

1

i

i

i w w y y =--∑

46.6

563

6.8

289.8 1.6 1469 108.8

表中i i w x =，8

1

18i i w w ==∑，

（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（3）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系式0.2z y x =-，根据（2）的结果回答下列问

题：

①年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

2010年2012年2009年2013年

2004年2006年2007年2008

年2011年2005年2700

19002600

2500

2400

2300

2200

2100

2000

年销售量/t 年宣传费/千元

36620600580

560

540

520

500

480

56

54525048464442403834

附：对于一组数据()11,u v ()22,u v ，???，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截

距的最小二乘估计分别为()()

()

1

2

1

?n

i

i

i n

i i u u v v u u β

==--=-∑∑，??v u α

β=-. 13．（2015全国Ⅰ理4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同

学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）.

A ．0.648

B ．0.432

C ．0.36

D ．0.312

复数

1. （2013全国Ⅱ理2）设复数z 满足()1i 2i z -=，则z =（ ）.

A. 1i -+

B. 1i --

C. 1i +

D. 1i -

2. （2011全国理1）复数2i

12i

+-的共轭复数是（ ）.

A.3i 5-

B.3

i 5

C.i -

D.i

3.（2014全国全国Ⅱ理2）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12i z =+，

则12z z =（ ） A.5- B. 5 C.4i -+ D.4i --

4. (2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．

5. （2015全国Ⅰ理1）设复数z 满足

1i 1z

z

+=-，则z =（ ）. A ．1 B.2 C ．3 D ．2 6. （2012全国理3）下面是关于复数2

1i

z =

-+的四个命题： 1:p z 2=， 22:2i p z =， 3:p z 的共轭复数为1i +， 4:p z 的虚部为1-.

其中的真命题为（）. A. 2p ，3p

B. 1p ，2p

C. 2p ，4p

D.3p ，4p

7.（2014全国Ⅰ理2）

3

2

(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --

8. （2015全国Ⅱ理2）若a 为实数，且()()2i 2i 4i a a +-=-，则a =（ ）． A.1- B.0 C.1 D .2

选讲内容

1.（2012全国理22-2）如图所示，,D E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的外接圆于,F G 两点.若CF AB ∥，

证明：（1）CD BC =； （2）△BCD ∽△GBD .

2. （2011全国理22-1）如图所示，D ，E 分别为ABC ?的边

,AB AC 上的点，且不与ABC ?的顶点重合．已知AE 的长为m ,AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．

G

F

E

D C

B A

（1）证明：,,,C B D E 四点共圆；

（2）若90A ∠= ，且4m =，6n =，

求,,,C B D E 所在圆的半径．3. （2011全国理23-2）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,

22sin .x y αα=??

=+?（α为参数）

M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =

，P 点的轨迹为曲线2C ．

（1）求2C 的方程；

（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线π

3

θ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．

4. （2012全国理23）已知曲线1C 的参数方程是12cos ,

:3sin ,x C y ??=??

=?

(?为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的

顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为π2,

3?? ??

?

. （1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；

（2）设P 为1C 上任意一点，求2

2

2

2

PA PB PC PD +++的取值范围.

5.（2015全国Ⅰ理23） 在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2

2

2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标为()4

θρπ

=

∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.

6. (2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C 1的参数方程为45cos ,

55sin x t y t

=+??

=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

7.（2011全国理24）设函数()3f x x a x =-+，其中0a >． （1）当1a =时，求不等式23)(+≥x x f 的解集； （2）若不等式0)(≤x f 的解集为{}1|-≤x x ，求a 的值． 8.（2012全国理24） 已知函数()2f x x a x =++-. （1）当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集；

（2）若4)(-≤x x f 的解集包含[]1,2，求a 的取值范围.

9. (2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；

(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ??

-

???

?时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 3.（2013全国Ⅱ理24）选修4-5；不等式选讲

设a b c ，，均为正数，且1a b c ++=，证明： （1）13

ab bc ac ++≤

； （2）

222

1a b c b c a

++≥. 4.（2014全国Ⅰ理24）选修4—5：不等式选讲 若0,0a b >>，且

11

ab a b

+=. (Ⅰ) 求3

3

a b +的最小值；

（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 5.（2014全国Ⅱ理24）选修45-：不等式选讲

设函数1

()||||(0)f x x x a a a

=+

+->． （Ⅰ）证明：2)(≥x f ； （Ⅱ）若(3)5f <，求a 的取值范围．

6.（2015全国Ⅱ理24）选修4-5：不等式选讲

设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+. 证明： （1）若ab cd >，则a b c d +>+； （2）

a b c d +>+是||||a b c d -<- 的充要条件．

7.（2015全国Ⅰ理24）已知函数()12f x x x a =+--，0a >. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；

（Ⅱ）若)(x f 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.