几何光学中常见的角

3 几何光学中常见的角

“角”在几何光学中占有十分重要的地位：我们除了研究光的传播方向与某些特殊方向（例如水平方向或竖直方向，与界面界面的法线方向）间构成的角外，还要研究由两条光线所夹的角，以及光的传播方向发生改变时所形成的角。

3。.1方位角

把太阳光成平行光时，直立于地面的长杆形成的影会随着阳光入射方位的变化而变化；如果要比较一年之中每天正午时刻杆影长度的大小，在北半球冬至日由于太阳光投射到场面的倾角最小因此杆影最长；夏至日由于太阳光投射到地面的倾角最大，因此杆影最短。若杆

长1m ，在北京所在的纬度（北纬400），冬至日影长()

00

1tan 4023.5 2.00L h m =?+≈，约为夏至日影长()

002tan 4023.50.32L h m =?-≈的近7倍，此处的023.5实际上就是北回归

线所在的地理纬度。

早在两千多年前，古希腊的学者埃拉色托尼正是利用这一点巧妙地估算出地球的半径。埃拉色托尼住在尼罗河口的亚历山大城，在夏日那天正午时刻他观察到太阳光与当地的竖直线成7.20角入射；他还知道此时位于亚历山大城正南的赛伊尼（该地离亚历山大城804.5km ，这个距离他请人测量过）的一口深井太阳光直射井底（图1）。由于夏至日正午阳光 直射北回归线，因此赛伊尼城位于北回归线上；又由于7.20角是圆周角3600的

150

，所以地球周长就等于804.5km 的50倍。根据圆的财长与半径的关系，埃拉色托尼算出地球的半径约为6400km ，这是人类首次对地球半径作出的准确的测量，太阳光的方位角在这里起了决定性的作用。

3.2张角

张角又称视角，它是指从我们看到物体的两端引出到眼睛的连线的夹角。由于地球绕日运行的轨道（椭圆）的偏心率较小，因此可以认为日面对人眼的张角基本不变，其大小约为

3158'''。我们在地面上看太阳，这样的张角差不多相当于一枚5分的硬币（直径2.4cm ）放

在离眼睛2.6m 远处见到的情况。另外我们还知道，在地平线附近由由于大气的折射作用，天体的视观察位置要比它的实际位置高37'左右，这个值比太阳的张角略大，说明当我们到

太

阳光

②

①

① 亚历山大城 ② 赛伊尼

图1

太阳已经从地平线全部升起时，实际上太阳的位置还完全处于地平线之下，只是由于大气的折射作用，才使我们看到位于地平线以下的完整日面。

可以把月面张角和日面张角作一比较，由于月球轨道的偏心率较大，根据月面到地面的距离在5

53.5610 4.0710km

km ??之间变化的情况以及月球半径1738km 不难算出。月成

张角最大为3324'''，最小为2914'''。实际上正是由于日面角的大小介于两者之间，因此当月球、地球及太阳三者运行到一条直线发生日食的时候，才会有日全食和日环食之分。

3。.3入射角、反射角、折射角

例1：在∠EOF 内有一点C ，试在角的两边上分别取一点A 和B ，使构成的△ABC 具有最小周长。

分析：从反射定律的角度求解这一几何问题极为简便：分别作出C 点关于射线OE 的对称点C 1和它关于射线OF 的对称点C 2，连C 1、C 2分别交OE 和OF 于A 、B ，此时我们所作出的三角形就是满足上述周长最小的条件的三角形，因为其周长等于线段C 1C 2的长度；而此时如果在射线OE 及OF 上另外取点A '和

B '，则A B

C ''?的周长即折线

12

C A A B B C '''''++的长度必定大于线段C 1C 2的长度。在这里我们正是利用了反射定律中反射角等于入射的结论，才给出C 1与C 、C 2与C 之间完全对称的位置关系。

“视深“是一个与折射有关的物理概念。“角”在“视深”问题的分析中举足轻重，例如：我们在水边观察水中物体时，其目测深度比它的实际深度要浅些。当视线十分接近竖直方向

时，图3－甲中的S 是位于水中的物体，S '是它的虚像。若水的折射率为n ，则“视深”

h

h n

'=，这是由于介质的折射率sin tan /sin tan /i i x h n r r x h

'

=

≈=的缘故，下面我们继续讨论一个当界面为球面时，“视深”与实际深度之间的关系的问题。

例2：在图3－乙中，半球形玻璃砖的折射率为n ,在球心正上方的某一位置S 处有一小气泡，

S '是从上往下看时气泡的像点，作出图中折射光线与界面交点处的法线（即半径

OA 的延长线）后可以看出：sin sin i

n r

=

；另外，图中各角之间的几何关系又给出了2图2

,,i r αθβθ=-=-∴

()()

////h R h i x h x R n r x h x R h R h αθαβ'-'--≈

=≈=

'---，即

hR

h nR nh h

'=

'-+，这就是球形界面条件下表示“视深”h '与实际深度h 之间关系的等式，通过上式可以看出，“视深” h '的大小完全取决于物点的位置（即h 与R 的关系）和介质

的折射率n 的大小。

① 当n=1时，显然有h '＝h.。

② 只有当R →∞时（即球面变为平面）时才有h

h n

'=

，此时上述结果与甲图的情况是完全一致的。

③ 当h R =（气泡恰好位于球心）时，h h '=，因为在这种情况下，从玻璃射向空气

的光线恰好沿法线方向入射，所以才有“视深”等于实际深度的结论。

④ 如果用h h h '?=-

来表示实际深度与“视深”之差，则()()

1h R h n h h h nR nh h

--'?=-=

-+。由于在两种情况下（物点位于球心及物点位于界

面）都有0h ?=，因此对于任何一种折射率为定值的玻璃来说，都存在一个当h

取什么值时h ?最大的问题。例如：当n=1.5时，()

3h R h h R h -?=-，此

式在

(30.55h R R =≈时，h ?

有极大值，(max 50.101h R R ?=-≈。

3。.4临界角

光从光密介质射向光疏介质界面发生全反射时最小入射角就是临界角，它相当于图4中折射角恰好等于900时的入射角θ。这里“900的折射角” 仅具有理论上的意义，因为这条沿界面方向传播的“折射光线“③实际上并不存在。

对此我们可以从以下两个方面加以说明：首先，当入射角逐渐偏离法线达到临界角之前，

空气

水

甲

乙

图3

随着入射角的增大，光从界面返回光密介质的能量比例越来越大，而进入光疏介持的能量比例越来越小，在接近临界角时，后者所占的份额几乎降到了零；其次从光路的可逆性的角度考虑，如果存在沿界面向右传播的光线③，则向左沿界面反向传播的光线③/在原入射点处将向左下方拐向原入射光线①的反向,这是根本不可能的.

例3：一个半导体砷化镓发光二极管发出波长

为1.0μm 的红外光，发光区域为直径3AB d mm =的圆盘，在发光面上对称地覆盖着一层折射率 2.4n =的半球形介质（图5）。试问：要使发光面AB 上发出的任何一条光线在球面上都不能发生全反射，介质球面的半径至少应为多大？

分析：此时需要证明，从发光面端点B （或A ）垂直发光面射 出的光线BC 与半径OC 所夹的角∠BCO 就是所有从发光面射向界面的角中入射角最大的一个。证明可以分以下两步进行：①与发光面AB 垂直出射后射向界面的所有入射角中，∠BOC 是它们当中最大的一个，这是由于入射光线BC 受发光面大小的限制已不可能再进一步向右移动的缘故；②从B 点以其他角度入射于介质与空气界面的角（无论入射线是在BC 的左侧还是在其右侧）均小于∠BCO ，这是由于在△B C 'O 中，根据正弦定理

()

sin sin R OB

π?θ

=

-，即()s i n s i n 2AB R θπ?=-，于是对

应2

π

?=

时，sin θ最大。由此可见，只要入射光线BC

在射出后不发生全反射，则所有其他从发光面射向界面的

光线就都不会发生全反射。记∠BCO ＝m θ，根据全反射时的临界条件1

sin m n

θ=

及/2sin m d R θ=

得min 1

3.62

R nd mm ==。 3.5偏向角

我们称出射光线偏离入射光线方向的角为偏向角，例如图6中顶角为α的等腰三棱镜，偏向角就是由入射光线与出射光线反向延长线构成的角δ。由图中几何关系知

()()()()1122121212i r i r i i r r i i δα=-+-=+-+=+-。

可以证明，若第一折射光线在镜内的传播方向平行于底边

图

4

c '

图

5

图6

（此时光路具有左右对称的形式，1i 和2i 两角之和最小）。对应的最小偏向角min δ与介质的折射率间存在着关系min

sin

/sin

2

2

n αδα

+=，这是由于sin sin i

n r

=

，而m

i n

,2

2

i r αδα

+=

=

。可见借助偏向角同样可以提供一种测量介质折射率的方法。

3.6视场角与视野

例4：为了观察门外的情况，有人在门上开了一个截面为正方形的孔，并将一块折射射率为n 的正方形玻璃砖恰好完整地嵌入孔中（图7）。设正方形玻璃砖截面边长为2r ，厚度为d ，试写出从门内观察时视场角与最大视野角的表达式。

分析：视场角θ是从玻璃砖的内端面中心紧贴玻璃面向外观看时，门外入射光线与轴线

间的最大夹角，根据折射定律sin sin n θα=?=

可知θ=实际上由于人眼在门内观察时，其位置是可以自由移动的，于是我们就把眼睛位于孔的最左端时所能见到门外最右侧的一条光线，与当眼睛们于孔的最右端时所能见到门外最左侧的一条光线之间的夹角2?的一半称为视野角，因此

s i n ,s i n n ?β=

由sin β=可得视野

角

?=显然，视场角与视野角并非同一

概念，例如，当 1.2,

2 1.0, 1.5d cm r cm n ===时，

对应的视场角0

35.2θ=，而对应的视野角073.8?=，可

以看出，后者一般比前者大很多。

图7