典型共点力平衡问题例题

典型共点力作用下物体的平衡例题

[例1]质量为m的物体，用水平细绳AB拉住，静止在倾角为θ的固定斜面上，求物体对斜面压力的大小，如图1（甲）。

[分析]本题主要考察，物体受力分析与平衡条件，物体在斜面上受力如图1乙，以作用点为原点建立直角坐标系，据平衡条件∑F＝0，即

找准边角关系，列方程求解。

[解]解法一：以物体m为研究对象建立图1乙所示坐标系，由平衡条件得：

Tcosθ-mgsinθ＝0 （1）

N-Tsinθ-mgcooθ＝0 （2）

联立式（1）（2）解得 N＝mg／cosθ

据牛顿第三定律可知，物体对斜面压力的大小为 N′＝mg／cosθ

解法二：以物体为研究对象，建立如图2所示坐标系，据物

体受共点力的平衡条件知：Ncosθ-mg=0 ∴ N＝mg／cocθ

同理 N′=mg／cosθ

[说明]

（1）由上面解法可知：虽然两种情况下建立坐标系的方法不同，但结果相同，因此，如何建立坐标系与解答的结果无关，从两种解法繁简不同，可以得到启示：处理物体受力，巧建坐标系可简化运算，而巧建坐标系的原则是在坐标系上分解的力越少越佳。

（2）用正交分解法解共点力平衡时解题步骤：选好研究对象→正确受力分析→

合理巧建坐标系→根据平衡条件

（3）不管用哪种解法，找准力线之间的角度关系是正确解题的前提，角度一错全盘皆错，这是非常可惜的。

（4）由本题我们还可得到共点力作用平衡时的力图特点，题

目中物体受重力G，斜面支持N，水平细绳拉力T三个共点力作用

而平衡，这三个力必然构成如图3所示的封闭三角形力图。这一点

在解物理题时有时很方便。

［例2]如图1所示，挡板AB和竖直墙之间夹有小球，球的质量为m，问当挡板与竖直墙壁之间夹角θ缓慢增加时，AB板及墙对球压力如何变化。

[分析]本题考察当θ角连续变化时，小球平衡问题，此题可以用正交分解法。选定某特定状态，然后，通过θ角变化情况，分析压力变化，我们用上题中第四条结论解答此题。

[解]由图2知，G，N2（挡板对球作用力），N1墙壁对球作用力，构成一个封闭三角形，且θ↑封闭三角形在变化，当增加到θ’时，由三角形边角关系知N1↓，N2↓。

[说明]封闭三角形解法对平面共点三力平衡的定性讨论，简捷直观。本题是一种动态变化题目，这种题目在求解时，还可用一种极限法判断，如把AB板与竖直墙壁夹角θ增到90°时，可知N1=0，过程中N1一直减小，N2=mg，N2也一直在减小。

[例3]如图1所示，用一个三角支架悬挂重物，已知AB杆所受的最大压力为2000N，AC绳所受最大拉力为1000N，∠α=30°，为不使支架断裂，求悬挂物的重力应满足的条件？

[分析]悬绳A点受到竖直向

下的拉力F＝G，这个拉力将压紧

水平杆AB并拉引绳索AC，所以

应把拉力F沿AB、CA两方向分解，

设两分力为F1、F2，画出的平行

四边形如图2所示。

[解]由图2可知：

因为AB、AC能承受的最大作用力之比为

当悬挂物重力增加时，对AC绳的拉力将先达到最大值，所以为不使三角架断裂，计算中应以AC绳中拉力达最大值为依据，即取F2=F2m=1000N，于是得悬挂物的重力应满足的条件为

G m≤F2sin30°＝500N，

[说明]也可取A点为研究对象，由A点受力，用共点平衡条件求解。A点受三个力：悬挂物的拉力F=G，杆的推力F B，绳的拉力F C，如图4所示。根据共点力平衡条件，由

F C sinα=G，F C cosα=F B，

即得

共点力平衡条件可以适用于多个力同时作用的情况，具有更普遍的意义。

[例4]如图1所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求

（1）物体A所受到的重力；

（2）物体B与地面间的摩擦力；

（3）细绳CO受到的拉力。

[分析]此题是在共点力作用下的物体平衡问题，据平衡条件∑F x=0，∑F y=0，分别取物体B和定滑轮为研究对象，进行受力情况分析，建立方程。

[解]如图2所示，选取直角坐标系。据平衡条件得

f-T1sinα=0，

N＋T1cosα-m B g=0。

对于定滑轮的轴心O点有 T1sinα-T2sin30°=0，

T2cos30°-T1cosα-m A g=0。

因为T1=m A g，得α=60°，解方程组得

（1）T1=40N，物体A所受到的重力为40N；

（2）物体B与地面间的摩擦力 f＝T1sinα=40sin60°≈34.6N；

（3）细绳CO受到的拉力

[说明]

在本题中，我们选取定滑轮的轴心为研究对象，并认定T1与m A g作用在这点上，即构成共点力，使问题得以简化。

例5]如图1所示，在质量为1kg的重物上系着一条长30cm的细绳，细绳的另一端连着圆环，圆环套在水平的棒上可以滑动，环与棒间的静摩擦因数为0.75，另有一条细绳，在其一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环0.5m的地方。当细绳的端点挂上重物G，而圆环将要开始滑动时，试问

（1）长为30cm的细绳的张力是多少？

（2）圆环将要开始滑动时，重物G的质量是多少？

（3）角φ多大？

[分析]选取圆环作为研究对象，分析圆环的受力情况：圆环受到重力、细绳的张力T、杆对圆环的支持力N、摩擦力f的作用。

[解]因为圆环将要开始滑动，所以，可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡问题。由牛顿第二定律给出的平衡条件∑F x=0，∑F y=0，建立方程有

μN-Tcosθ=0，

N-Tsinθ＝0。

设想：过O作OA的垂线与杆交于B′点，由AO=30cm，tgθ=，得B′O的长为40cm。在直角三角形中，由三角形的边长条件得AB′=50cm，但据题述条件AB=50cm，故B′点与滑轮的固定处B点重合，即得φ=90°。

（1）如图2所示选取坐标轴，根据平衡条件有

Gcosθ+Tsinθ-mg=0，

Tcosθ-Gsinθ=0。

解得 T≈8N，

（2）圆环将要滑动时，得 m G g＝Tctgθ， m G=0.6kg。

（3）前已证明φ为直角。

例6]如图1所示，质量为m＝5kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数求当物体做匀速直线运动时，牵引力F的最小值和方向角θ。

[分析]本题考察物体受力分

析：由于求摩擦力f时，N受F制约，

而求F最小值，即转化为在物理问

题中应用数学方法解决的实际问

题。我们可以先通过物体受力分析。

据平衡条件，找出F与θ关系。进

一步应用数学知识求解极值。

[解]作出物体m受力分析如图2，由平衡条件。

∑F x=Fcosθ-μN=0 （1）

∑F y=Fsinθ+N-G=0 （2）

由 cos（θ-Ф）=1 即θ—Ф=0时

∴Ф=30°，θ=30°

[说明]本题中我们应用了数学上极值方法，来求解物理实际问题，这是在高考中考察的一项重要能力。在以后解题中我们还

会遇到用如：几何法、三角形法等数学方法解物理问题，所以，在我们学习物理时，逐步渗透数学思想，对解决物理问题是很方便的。但要注意，求解结果和物理事实的统一性。

[例7]如图1，A、B两物体质量相等，B用细绳拉着，绳与倾角θ的斜面平行。A 与B，A与斜面间的动摩擦因数相同，若A沿斜面匀速下滑，求动摩擦因数的值。

[分析]本题主要考察受力分析及物

体平衡条件。选择A为研究对象，分析物

体A受力，应用正交分解法。据平衡条件

求解。

[解]取A为研究对象，画出A受力如图2，建立如图所示坐标系。据物体平衡条件

∑F x=mgsinθ-f1-f2=0 （1）

∑F y＝N1-N B-mgcosθ=0 （2）

其中 f1=μN1（3）

f2=μNB （4）

由B受力知 N B＝mgcosθ（5）

联立上面式（1）（2）（3）（4）（5）得

[说明]

（1）本题在进行受力分析时，要注意A与斜面C的接触力N1和f1，A与物体B 的接触力N2和f2，一定注意，N1和N2的取值。

（2）本题可以变化为若A沿斜面加速下滑，或沿斜面减速下滑。μ应满足关系？

则加速时 mgsinθ＞μN1+μN B

（3）摩擦力公式f＝μN，有时因物体只受水平作用力，f=μN=μmg，但当物体受力变化以后， N就不一定等于mg了，如图3的两个情形。

所以切记：公式一定要写成μN。对N求解

不要想当然，应据题设进行实际分析而得。

【例8】如图1所示，支杆BC一端用

铰链固定于B，另一端连接滑轮C，重物P

上系一轻绳经C固定于墙上A点。若杆BC、

滑轮C及绳子的质量、摩擦均不计，将绳端

A点沿墙稍向下移，再使之平衡时，绳的拉

力和BC杆受到的压力如何变化？

[误解一]滑轮C点受杆BC的支持力F、绳AC的拉力T和绳CP的拉力Q（其中Q 大小等于G），如图2所示。由平衡条件可得

F＝G·sinα， T＝G·cosα

当绳的A点下移后，α增大，所以F增大，而T减小。

[误解二]滑轮C点受到杆BC支持力F，绳AC的拉力T和绳CP

的拉力Q（其中Q的大小等于G），如图3，T与F的合力与Q等值

反向。

当 A点下移后，T与竖直方向的夹角要增大，滑轮C也要下降，

使BC与墙间的夹角θ增大，但因这两力的合力始终与Q等值反向，所以这两个分力均要增大。

[正确解答]滑轮C点受到F、T、Q三力作用而平衡，三力组成封闭三角形，如图4，注意到同一条绳上各处张力都相同，则有T=Q=G，

以杆受到压力增大，

而绳子拉力仍不变，大小为G。

[错因分析与解题指导]当不计绳子的质量时，绳子各处张力都相等，两个[误解]都未认识这个事实。另外，[误解一]自设T与 F垂直作为讨论依据并将它扩展到一般情况，是毫无道理的。[误解二]则臆断A点下移时，滑轮C也要下降，BC与墙间的夹角θ增大，与事实不符。

值得一提的是：本题BC杆对滑轮C点的作用力是沿着杆子的，而这是有条件的，仅当BC杆重力不计且只受两个力作用而平衡时，上述结论才成立。

1．明确研究对象，对它进行受力分析，画出受力图；

2．根据平衡条件列方程；

3．统一单位，代入数字、解方程、求答案。

由题讲话

由题讲话，促使学生积极思维，获得更加全面的知识，

加深对物理现象和规律的理解。现举一、二例加以说明。如

图1，OA是一根横梁，一端安在轴O上，另一端用钢索AB

拉着，在B处安装一小滑轮，可以改变钢索的长度，OB＝OA，

在A端挂一重物G。（横梁重不计）试求钢索BA的拉力？

学生不感到困难。根据∑M=0，解得：

这时教师向学生发问：若将钢索BA加长（即缓慢下放），钢索的拉力F如何变化？学生根据上面的结果自然会想到，θ角将逐渐变小，力F必将逐渐增大。当θ角趋近于零时，F将变得无限大！？F逐渐变大，与感性认识不太相符；无限大，显然不符合实际情况，感到疑惑不解。毛病出在哪里呢？让学生去思索结症在哪里。

教师可以启发学生，在缓慢下放的过程中，θ角变小，但F的力臂也随着变小，（注意表达式Lsinθ不变），尤其G的力臂也在变小，不再是OA的长，显然图1不能反映一般的情况，应该重新作图分析，如图2。

为说明解题的方法是多种的，可以用共点力平衡法去解。

根据正弦定理：

可见，下放时，θ角逐渐变小，力F1逐渐变大。这个结果与上面的“一致”。应该指出表达式（2）在形式上与表达式（1）显然不同，但（2）却包括了（1）式的结果。

再看，若θ角趋近零时，力F1又如何？学生自然会得出，F1趋近2G？！又会感到不解。在学生的思维里，应为F1=G或F1=G/2才有理。

这时教师可以让学生求一下F2=？计算结果F2=G。又看到在下放的过程中F2却始终不变，也是出乎意料。这两个意外的结果有助于揭开谜底。

这时应指出在这个三角架装置中，OA必须是杆，不能用绳来代替，它起着支撑的作用。通过计算已知，在下放的过程中，OA杆的支撑力始终不变，为G。所以当θ角趋近于零时，力F1将趋近G＋G=2G。

必须指出θ趋近于零，并不是等于零。若等于零后，那么钢索的拉力F1就是不定的了，已经越过本题所讨论的范围。

还可以让学生研究一下逐渐上拉时的变化情况

化？

此题属共点力平衡问题，一般可采用正交分解法，三角形法则，或是作图法求解，过程并非简单．若换用转动平衡条件∑M=0，只要支点选得适当，会使问题一目了然．

先考查BC绳的张力F1，以A为支点，将绳AB与小球视为一刚体，平衡时应有：

M F1-M G=0 即 M F1=M G．

由于θ角保持不变，则重力的力矩M G将保持恒定，因而F1的大小变化主要依赖它对A点的力臂的变化，当BC垂直于AB时，F1的力臂等于绳长AB，其它位置的力臂均小于AB，故由此可知在C点上移的过程中，BC绳的张力F1先变小后变大．

再考虑AB绳的张力F2：以移动的C点为支点（设BC绳能满

足长度的需要），由于C点始终在竖直墙壁上，重力G的力矩仍

保持不变，而AB绳的张力F2的力臂逐渐变长，如图2所示．故

F2将逐渐变小．

运用∑M=0求解决共点力的平衡问题，往往是将研究对象扩

大化，将质点向外延伸为非质点．加上合适的支点选取，使力矩

的个数减少，方程简捷，物理过程简单明了．同时又能培养学生的思维能力，变定势思维为发散思维．

怎样分析物体的平衡问题

物体的平衡问题是力的基本概念及平行四边形定则的直接应用，也是进一步学习力和运动关系的基础．怎样学好这部分知识呢？

一、明确分析思路和解题步骤

解决物理问题必须有明确的分析思路．而分析思路应从物理问题所遵循的物理规律本身去探求．物体的平衡遵循的物理规律是共点力作用下物体的平衡条件：F合=0，要用该规律去分析平衡问题，首先应明确物体所受该力在何处“共点”，即明确研究对象．在分析出各个力的大小和方向后，还要正确选定研究方法，即合成法或分解法，利用平行四边形定则建立各力之间的联系，借助平衡条件和数学方法，确定结果．由上述分析思路知，解决平衡问题的基本解题步骤为：

1．明确研究对象．

在平衡问题中，研究对象常有三种情况：

①单个物体，若物体能看成质点，则物体受到的各个力的作用点全都画到物体的几何中心上；若物体不能看成质点，则各个力的作用点不能随便移动，应画在实际作用位置上．

②物体的组合，遇到这种问题时，应采用隔离法，将物体逐个隔离出去单独分析，其关键是找物体之间的联系，相互作用力是它们相互联系的纽带．

③几个物体的的结点，几根绳、绳和棒之间的结点常常是平衡问题的研究对象．

2．分析研究对象的受力情况

分析研究对象的受力情况需要做好两件事：

①确定物体受到哪些力的作用，不能添力，也不能漏力．常用的办法是首先确定重力，其次找接触面，一个接触面通常对应一对弹力和摩擦力，找到接触面后，判定这两个力是否在；第三是加上其它作用力，如拉力、推力等；

②准确画出受力示意图．力的示意图关键是力的方向的确定，要培养养成准确画图的习惯．在分析平衡问题时，很多同学常出错误，其重要原因就是画图不重视、不规范，将力的方向搞错，导致全题做错．

3．选取研究方法——合成法或分解法

合成法或分解法实际上都是平行四边形定则，采用这两种方法的实质是等效替代，即通过两个力的等效合成或某个力的两个等效分力建立已知力与被求力之间的联系，为利用平衡条件解问题做好铺垫．

在解题中采用合成法还是分解法应视问题而定，当受力较少时，两种方法求解都很方便．由于高中阶段在对力进行合成或分解时只要求会用直角三角形讨论计算，因此，对物体受力进行正交分解，利用正交分解法求解的平衡问题较为常见．在建立正交坐标系时，其基本原则是使尽可能多的力在坐标轴上，这样分解的力个数少，求解时方便．

4．利用平衡条件建立方程

利用合成法分析问题时，其平衡方程为：F合=0

利用分解法特别是正交分解法分析平衡问题时，其平衡方程为：F x=0 F y=0

5．数学方法求解

建立平衡方程后，利用数学方法即可得到结果．在平衡问题中，常用的数学方法有：代数法、三角函数法、相似三角形法、极值问题等，通过对学生选择数学方法解题过程的考查，可以鉴别其运用数学工具处理物理问题的能力．

例1、图中重物的质量为m，轻细线AO和BO的A、B端是固定的，平衡时AD是水平的，BO与水平面的夹角为θ．AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是：

A、F1=mgcosθ；

B、F1=mgctgθ；

C、F2=mgsinθ；

D、F2=mg／sinθ．

析：如图1，三根细绳在O，点共点，取O点（结点）为研究对象，分析O点受力如图2．O点受到AO绳的拉力F1、BO绳的拉力F2以及重物对它的拉力T三个力的作用．

图2（a）选取合成法进行研究，将F1、F2合成，得到合力F，由平衡条件知：

F=T=mg

则： F1=Fctgθ=mgctgθ

F2=F／sinθ=mg／sinθ

图2（b）选取分解法进行研究，将F2分解成互相垂直的两个分力F x、F y，由平衡条件知：

F y=T=mg，F x=F1

则： F2=F y/sinθ=mg/sinθ

F1=F x=F y ctgθ=mgctgθ

二、掌握题型抓关键

明确分析思路和解题步骤后，各种各样的平衡问题均可按此步骤分析求解．但在实际解题过程中仍感到困难重重．原因何在？原因在于命题者为增加试题难度，在上述解题步骤的某个环节上设置障碍，造成学生分析思维受阻．若能找到这些障碍点，即关键之处，并加以突破，问题便迎刃而解了．

1．三力平衡问题

物体在三个力的作用下处于平衡状态，要求我们分析三力之间的相互关系的问题叫三力平衡问题，这是物体受力平衡中最重要、最典型也最基础的平衡问题．这种类型的问题有以下几种常见题型．

（1）三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。

例1即属此类情况．这是一种最常见的三力平衡问题．通常利用上述解题步骤即可方便求解此类问题．若出现解题障碍的话，障碍就出在怎样确定研究对象上．

例2、如图3，质量为m的物块放在倾角为θ的斜面上，求：

①斜面对物块的支持力；

②假想把物块分成质量相等的a、b两部分（实际上仍为一整体），哪一部分对斜面的压力大？

析：求斜面对物块的支持力时，取物块为研究对象，并将其视为质点，作出其受力分析图如图4（a），将重力G沿斜面和垂直斜面方向分解，并利用平衡条件不难求出：

N=mgcosθ

分析a、b两部分谁对斜面压力大时，要明确此时物体不能再看成质点，因此物体受到的各力的作用点不能随意移动，而应画在实际作用点上．由于弹力和摩擦力的作用点都在接触面上，利用三力平衡必共点的特点（即物体在互相不平行的三个力作用下处于平衡状态时，这三个力必为共点力），得到物块的受力如图4（b）所示，弹力的作用点在a部分，说明a部分对斜面的压力大．

（2）三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知《考试说明》中规定力的合成与分解的计算只限于两力之间能构成直角的情形．三个力互相不垂直时，无论是用合成法还是分解法，三力组成的三角形都不是直角三角形，造成求解困难．因而这种类型问题的解题障碍就在于怎样确定研究方法上．解决的办法是采用正交分解法，将三个不同方向的力分解到两个互相垂直的方向上，再利用平衡条件求解．

（3）三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知

三力方向未知时，无论是用合成法还是分解法，都找不到合力与分力之间的定量联系，因而单从受力分析图去求解这类问题是很难找到答案的．要求解这类问题，必须变换数学分析的角度，从我们熟悉的三角函数法变换到空间几何关系上去考虑，因而这种问题的障碍点是如何正确选取数学分析的方法．

解决这种类型的问题的对策是：首先利用合成法或分解法作出三力之间的平行四边形关系和三角形关系，再根据力的三角形寻找与之相似的空间三角形，利用三角形的相似比求解．

例4、如图7，半径为R的光滑半球的正上方，离球面顶端距离为h的O点，用一根长为l的细线悬挂质量为m的小球，小球靠在半球面上．试求小球对球面压力的大小．

析：取小球为研究对象，小球受到重力mg，绳的拉力T和半球面的支持力N三个力的作用，如图8所示．将T和N合成，得到合力F，由平衡条件知：F=mg．

由图8可以看出，力的三角形ACD与空间三角形OAB相似，则：

（4）三力的动态平衡问题

即三个力中，有一个力为恒力，另一个力方向不变，大小可变，第三个力大小方向均可变，分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化问题．

这种类型的问题不需要通过具体的运算来得出结论，因而障碍常出现在受力分析和画受力分析图上．在分析这类问题时，要注意物体“变中有不变”的平衡特点，在变中寻找不变量．即将两个发生变化的力进行合成，利用它们的合力为恒力的特点进

行分析．在解决这类问题时，正确画出物体在不同状态时的受力图和平行四边形关系尤为重要．

例5、如图9所示，用竖直档板将小球夹在档板和光滑斜面

之间，若缓慢转动挡板，使其由竖直转至水平的过程中，分析

球对挡板的压力和对斜面的压力如何变化．

析：取小球为研究对象，小球受到重力G，档板给小球的支持力N1和斜面给小球的支持力N2三个力作用，如图10所示，将N1和N2合成，得到合力F，由平衡条件知，F=G为一定值．由于N2总垂直接触面（斜面），方向不变，则N1方向改变时，其大小（箭头）只能沿PQ线变动，如图示．显然在档板移动过程中，N1先变小后变大，N2

一直减小．由牛顿第三定律，小球对档板的压力先变小后变大，小球对斜面的压力逐渐减小．

2．多力平衡问题

巧解变动中的三力平衡问题

在中学阶段，力的平衡问题，多为三力平衡，按平衡条件，合力必为零，将三力首尾相联即围成一封闭三角形。一般来说，只要所给条件能满足解这个三角形的条件（如已知两边夹一角或两角夹一边）就能按解三角形的方法解出这力三角形中要求的物理量。

常遇到一类变动中的三力平衡问题。一般是其中一个力大小和方向确定；另一个力的方向确定，大小可变；第三个力大小和方向均变化。要依据所给条件，确定后两力的变化规律。为了帮助学生们很好地理解，采用力三角形来解答，现举几例如下：

[例题1]一个光滑的圆球搁在光滑的斜面和竖直的档板之间（图1），斜面和档板对圆球的弹力随斜面倾角α变化而变化的范围是：

A．斜面弹力N1变化范围是（mg，＋∞）

B．斜面弹力N1变化范围是（0，＋∞）

C．档板的弹力N2变化范围是（0， +∞）

D．档板的弹力N2变化范围是（mg，＋∞）

答：[A、C]

解：圆球受三个力，其中重力的大小和方向均为确定的，档板对圆球的弹力N2

的方向始终是水平的，亦为确定的。而斜面对圆球的作用力的大小和方向均在变化中，但不论α如何变动，只要α取一个确定的值，圆球就在三力作用下处于平衡状态，则此三力就组成一个封闭的三角形，如图2所示：