Taylor公式及Taylor级数应用的进一步讨论

第27卷第2期 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 Vol.27,No.2 2011年3月 Journal of Qiqihar University March,2011

Taylor 公式及Taylor 级数应用的进一步讨论

李腾

（陕西师范大学 国际商学院，西安 710062）

摘要：讨论了泰勒公式与泰勒级数的应用，即在求解函数方程、归零问题、求行列式的值、以及求重积分等问题，应用泰勒公式与泰勒级数对L’Hospital 法则进行了推广，其中用Taylor 展式结合概率论求解重积分是一种新方法。 关键词：泰勒公式；函数方程；归零问题；行列式；概率论

中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1007-984X(2011)02-0080-05

数学分析以及高等数学教材中对Taylor 公式和Taylor 级数在理论上已进行了详细介绍

[1，2]，但对于Taylor 公式及Taylor 级数的应用涉及的较少。本文主要研究Taylor 公式和Taylor 级数在7个方面的应用，并且通

过实例进行介绍。 1 用Taylor 公式对罗比达（L’Hospital）法则进行推广

求函数极限时，等价无穷小代替只运用了一阶性质，罗比达法则一次只能降低一阶，应用Taylor 公式能一步到位。

定理1 设)(x f 与)x （?在0x 的领域内可以展开成Taylor 公式，

0x 是)(x f 的至少n 阶零点，0x 是)x （?的n 阶零点，则)()()()(lim 0)(0)(0

x x f

x x f n n x x ??=→。 证明 设0x 为)(x f 的m 阶零点()n m ≥，那么)()()(10x f x x x f m ?=，)()()(10x x x x n ???=，其中0)()(0101≠x x f ?。

当m =n 时，)()()()()()(lim )()(lim 00)(0101110

0x x f x x f x x f x x f n x x x x ????===→→； 当m >n 时，显然0)()()()(lim 0)(0)(0

==→x x f x x f n n x x ??。 2 通过给出的Taylor 级数的和函数来确定收敛半径

一般情况下，是通过先求Taylor 级数的收敛半径，然后再求出Taylor 级数的和函数。现在，通过给出的Taylor 级数，求出和函数然后再求出收敛半径，其主要理论是复变函数中的奇点理论。

例1 设，1121,1?++===n n n a a a a a 作幂级数11?+∞

=∑n n n x a ，求出其收敛半径。

解 显然}{n a 是正数数列，且当n >2后，}{n a 是严格递增，则有n n n n a a a a 211<+=?+，那么当2

1

?+∞=∑n n n x a 在21

)(，两式相减，整理得211)(x x x S ??=，据复分析的奇点理论2

11)(z z z S ??=有2个奇点251,25121??=+?=z z ，而0021?

收稿日期：2010-11-16

作者简介：李腾（1990-），男，山东兖州人，陕西师范大学国际商学院电商系2008级一班，专业：电子商务、数学与应用数学，sdqfliteng@https://www.360docs.net/doc/fd9569648.html,。

第2期 Taylor 公式及Taylor 级数应用的进一步讨论 ·81· 半径为

251+?，因此11)(?+∞=∑=n n n x a x S 的收敛半径也是251+?。 3 Taylor 公式在求解函数方程中的应用

利用Taylor 公式求解某些函数方程。

例2 设)(x f 在),(+∞?∞内有连续三阶导数，且满足方程)()()(h x f h x f h x f θ+′+=+，10<<θ（θ与h 无关），试求解方程。

解 对方程)()()(h x f h x f h x f θ+′+=+，两边对h 求导，注意θ与h 无，有

)()()(h x f h h x f h x f θθθ+′′++′=+′ （1） 从而

)()()()()(h x f h

h x f x f x f h x f θθθ+′′=+′?′+′?+′ 令0→h 取极限，得

)()()(x f x f x f ′′=′′?′′θθ，)(2)(x f x f ′′=′′θ 若2

1≠

θ，由此得0)(≡′′x f ，)(x f 为一次函数b ax x f +=)(； 若21=θ，在式（1）中，)2

1(21)21()(h x f h h x f h x f +′′++′=+′。 两边再对h 求导，然后令0→h 时取极限，即得0)(≡′′′x f 。 )(x f 为二次三项式e dx cx x f ++=2)(，故求解为b ax x f +=)(或e dx cx x f ++=2)((e d c b a ,,,,(为实常数)。

4 归零问题

在一定条件下，证明某函数0)(≡x f 的问题，称之为归零问题（归零问题的意义见文献[3]），这类问题很多可以用Taylor 公式来证明。

例3 已知函数)(x f 在区间（-1，1）内有二阶导数，且0)0()0(=′=f f ,

)

()()(x f x f x f ′+≤′′ （2）

试证存在0>δ，使得在），（δδ?内，0)(≡x f 。 证明 为了证明)(x f 在0=x 的邻域内恒为零，将式（2）右端的)(),(x f x f ′在0=x 处按Taylor 公式展开，并注意0)0()0(=′=f f ，有

22)(2

12)()0()0()(x f x f x f f x f ξξ′′=′′+′+= ξ在0与x 之间，x f x f f x f )()()0()(ηη′′=′′+′=′，η在0与x 之间，从而

x f x f x f x f )()(2

1)()(2ηξ′′+′′=′+ 令x 在41[?，41上取值，则)()(x f x f ′+在41[?，4

1上连续有界。那么存在]41,41[0?∈x ，使得 M x f x f x f x f x ≡′+=′+≤≤?})()({max )()(4

14100，只要证明M =0即可。 事实上++′≤′′+′′≤′′+′′=

′+=)()((4

1))()((41)()(21)()(00000020000ξξηηξf f f x f x f x f x f x f M M M f f 21241))()(00=≤+′ηη，即M M 210≤≤，所以M =0。故在41[?，4

1上0)(≡x f 。 注：这里求得41=δ并不一定是最大的。

·82· 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 2011年 5 利用Taylor 展开式求行列式的值

例4 计算行列式x

c c c c b b x c

c b

b b x

c b

b b b x D "#####

#"""=的值。 解 设)(x f D n =，将D 用Taylor 展式在c 处展开

n n n n n n n c x n c f c x c f c x c f c f x f )(!

)()(!2)()(!1)()()()(2?++?″+?′+=" 那么对于任何自然数)(n k k ≤有1)()(??=k k b c c c f ，根据行列式求导法则，有

")()1()()()(211x f n x f x nf x f n n n n ????=′=′，1)(),(2)(112=′=′x f x f x f

所以)(x f n 在c x =处的各阶导数值有

)1,,2,1()()1()1()(1)(?=?+??=??n k b c c k n n n c f k n k n

""

而 !)()

(n c f n n =

因此 =)(x f n ++???+??+????"2321)()(!

2)1()()()(c x b c c n n c x b c nc b c c n n n n n c x n n n c x c n n n )(!

123)1()()!1(23)1(1?××?+??×??"" 当c =b 时，])1([)()(1b n x b x x f n n ?+?=?；

当b c ≠时，b

c c x b b x c x f n

n n ????=)()()(。 6 利用Taylor 展开式确定不等式中含有的常数的最大值或最小值

有些不等式含有一个常数，但这个常数取一些值时，不等式不成立；而取另一些值时不等式成立，那么通过Taylor 公式能确定使不等式成立的常数的最大值或最小值。

例5 证明集合A ={α任给e 11(,0>+>+αx x

x }有最小值，并求最小值。 证明 不等式(1+x 1)x +α> e 等价于（x +α）ln （x 11+>1，也即x x

?+>)11ln(1α（对任意0>x ），所以，A ∈α，等价于α为x x

x f ?+=)11ln(1)(（x >0）的上界。按定义，即min A =)(sup 0x f x >，由于01)1()11(ln 1)(2>?++=′x x x

x f ，所以f (x )严格上升，)(lim )(sup 0x f x f x x ∞→>=，由Taylor 展开式，有 =???

??????????????????+?=?????????????+=?+=1)1(2111111ln(111ln 1)(x o x x x x x x x x x x f ）（

第2期 Taylor 公式及Taylor 级数应用的进一步讨论 ·83·

21)1(211)1(2111)1(2111→+=???????++=???????????+?οοοx x x x x

x （当→x +∞时） 所以A 有最小值，且min A =2

1。 7 其它方面的应用

将Taylor 公式与数学分析中的其它问题以及概率论的某些知识结合起来来处理实际问题。

例6 设)(x f 在[]1,0上有二阶连续导数)(x f ′′，证明积分=?∑∫∫=∞→n n i i n x x x f x n f n d d d )]2

1()1([lim 2111010"" )2

1(241f ′′。 证明 因为)(x f 在[]1,0上有二阶连续导数)(x f ′′，所以)(x f 在2

1=x 处有Taylor 展式 )21(()21(21)2

1)(21()21()(22?+?′′+?′+=x o x f x f f x f 设n ξξξ,,,21"独立同分布，且1ξ服从[]1,0上的均匀分布，令∑==n k k n n 1

1ξη，则211=→ξηE P n =n E η，从而n 重积分

n n i i n x x x f x n f n d d d )21()1(lim 2110101

""∫∫∑???????=∞→= ???????+?′′+?′=?????

??→∞→∞))21(()21)(21(21)21)(21(lim )21()(lim 22n n n n n n o f f nE f f nE ηηηη= )21(241))1(1(121)21(21lim f n

n f n n ′′=+′′→∞ο 8 结束语

本文从7个方面讨论了Taylor 公式的应用，特别是用Taylor 公式来求解函数方程以及把Taylor 公式与概率论的某些知识结合起来。通过运用Taylor 公式与级数为教学拓展了解题思路。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系编. 数学分析：上,下册[M]. 3版. 北京：高等教育出版社，2001.

[2] 同济大学数学系编. 高等数学：上,下册[M]. 6版. 北京：高等教育出版社，2007.

[3] 李腾. 关于函数零点存在性的几种判别方法[J]. 洛阳师范学院学报，2010（2）：190-192.

[4] 安世全. 泰勒公式及其应用[J]. 高等数学研究，2001，4（3）：26-28.

[5] 张劢. 泰勒公式的应用[J]. 天津轻工业学院学报，1999（2）：50-53.

[6] 齐成辉. 泰勒公式的应用[J]. 陕西师范大学学报：自然科学版，2003（4）：23-25.

[7] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 2版. 北京：高等教育出版社，2006：86-91.

The further discussion of application of Taylor formula and Taylor series

LI Teng

（Department of Electronic Business ，International Business School，Shaanxi Normal University，Xian 710062，China）

Abstract：The essay talks of some ways in Taylor formula and Taylor series. The L ′Hospital rule is extended by using

·84· 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 2011年the Taylor formula and Taylor series. It contains the solution of functional equations, the zero problem, calculating the value of determinant and calculating value of multiple integral, where the calculating value of multiple integral is a new method by using Taylor expansion and probabiliey.

Key words：Taylor formula；functional equation；the zero problem；determinant；probability

一种偏心检具

在机械加工中，回转运动变为往复直线运动或往复直线运动变为回转运动，经常是通过偏心曲套之类的工件完成的。它们在机械设备上的应用非常广泛，例如车床床头箱用偏心工件带动的润滑泵、汽车发动机中的曲轴、多连杆压力机传动系统中的偏心齿轮等。所谓偏心工件，就是指零件的外圆和外圆或外圆与内孔的轴线平行而不相重合，偏一个距离的工件。这两条平行轴线之间的距离称为偏心距。外圆与外圆偏心的零件叫做偏心轴或偏心盘。在加工此类零件的过程中需经常测量孔与孔的偏移量（以下统称为偏心距），以保证加工出合格的零件。

1 传统偏心距的测量方法

一般情况下在机床上很难直接测量出偏心距（先进设备除外，比如数显三坐标测量仪、数控雷尼绍测头等国内外专用高精密机床），其手段仅局限于一些常规测量方法，例如：常用的传统方法是把工件放入v型铁中，用百分表在偏心圆处测量，缓慢转动工件，自左至右检查水平线是否水平；把工件转动90°，用同样的方法检查另一条水平线，观察其跳动量。这种方法装夹比较麻烦，不容易找正，而且也不十分准确，等到工件交检时，不合格的零件也就报废了，造成了一些不必要的浪费。另外在一些装配过程中，需要把2个不同直径的套安装成偏心套的形式，偏移量有要求，而且偏移的高低点也有位置要求。以往这种情况在装配时用偏心轴来装配，但安装的偏移高低位置误差大。为了解决上述状况，设计了一种偏心检具，它简单实用、测量精确，在加工过程中就可以应用，检查员也可以做为检验工具来检查工件的偏移量是否合格，是一种工检通用的量检具。另外在装配过程中，通过用偏心检具，也很好的解决了偏移量、偏移高低位置的问题。

2 偏心检具结构

图1为偏心检具结构。图1中检具体1由一个台阶轴和两块长方形钢板焊接组成，将两块长方形钢板按图示（前后）位置焊接在台阶轴上，2块长方形钢板上分别加工有透孔，用于安装手柄3，便于在操作过程中转动台阶轴，操作完毕后拔出台阶轴，台阶轴大直径端面上加工一个透孔，将卡头2安装在台阶轴大直径端面上的透孔中，卡头2下部便可与台阶轴连接，卡头2上部加工一个透孔和一个豁口，用于安装百分表4，如图中“K向放大”所示。

图1 偏心检具的结构

1——检具体 2——卡头 3——手柄 4——百分表

3 原理及具体实施方式

图1中的“e”即为被测工件的偏心距。e=切削工件完成后实测两条平行轴线之间偏心量+偏心量偏差。由于在加工偏心类零件时，大多都在车床上完成，故其基本原理都是相同的，即：把需要加工的偏心部分的轴线找正到与车床主轴旋转轴线相重合，由车刀根据工序卡片控制切削用量进行加工。

测量方法是：以一个已经加工完成的零件孔为基准，检具体1中的D圆与之相配合，将百分表4卡在卡头2的小孔中，转动手柄360°，表针在被测偏心孔的内壁划过一周，接触不同位置的测母线时，表针将发生变化，通过表针在不同位置的读数变化即可直接准确地测量出偏移距e，用同样的方法再次或多次测量，便可以判断出偏移距e的偏差值，从而检验实测的偏移距e是否符合图纸要求。通过这种测量方法，可以更多地发挥该项偏心检具的作用，例如：在装配时，也是将D圆与基准孔相配合，测另一零件的最大偏移距，确定其方向位置，完成装配要求。

4 偏心检具结构特（优）点

相比传统偏心距的测量方法，这种偏心检具克服了测量基准难以保证、定位基准难于选择等不确定因素。它结构简单、使用方便、测量精确，可以有效的避免零件在加工过程中出现的一些误差，减少了零件在加工、装配工艺流程中的检查工序，提高了工效，可以行之有效地降低一些不必要的浪费，解决了装配过程中偏心套的安装精度问题，提高了产品整体质量。

（尹相辉，李大明；齐齐哈尔二机床（集团）有限责任公司，黑龙江 齐齐哈尔 161005）