高等代数与解析几何1~4章习题答案

高等代数与解析几何1~4章习题答案
高等代数与解析几何1~4章习题答案

高代与解几第二章自测题(一)——行列式

一、 判断题

1. 一个排列施行一次对换后,其逆序数改变1.( × )

2. 一个排列施行一次对换后,其奇偶性改变.( √ )

3. 2≥n 时,n 级的奇排列共

2

!

n 个. ( √ ) 二、填空题

1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ,它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n -1) .

2. 设行列式ij

n n

D a ?=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ,n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .

3. 行列式D =x x x x x x 22133212

323

21--的展开式中4x 的系数是 -4 ,常数项是 -18 .

4. 排列821j j j 的逆序数是9,则排列 178j j j 的逆序数是 19 .

5. 设8

271849142

3123

267

----=

D ,则14131211M M M M -+-= 240 .

二、证明题

3. n

n D n 2

00

12

000302202002210002----=

(提示:逐行向下叠加得上三角形行列式)

4. n

D n 22223222

2222221=(提示:爪型行列式)

高代与解几第二章自测题(二)——矩阵,线性方程组

一、 判断题

1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.( ×)

2. 如果矩阵A 没有非零子式,那么0)(=A rank .(√ )

3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.( √)

4. 初等变换不改变矩阵的秩.(√ )

5. 若n 元线性方程组有2个解,则其增广矩阵的秩小于n .(√ ) 三、填空题

1. 54?矩阵A 的秩为2, 则A 的标准形为___????

??

?

?

?00

0000000000010

00001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解,则其系数矩阵的秩为 n .

三、计算与证明题

1. 求齐次线性方程组??????

?=+++=++++=-++=++++0

4523,05734,

03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解:对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换,得

A =???????

?

?-452

30573411110312111

→??????? ??----45230452304523012111→??

??

???

?

??-→???????

??000

00000343532103131310100

00

00

00004523

0121

1

1 取543,,x x x 为自由未知量,得其一般解为:……

2. 解线性方程组123412341234

21,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=??

+-+=??+--=?

解 方程组的增广矩阵为:

B =

?????112224112--- 111- 1

21????

?

,….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换:

B =?????211000010000- 100

????

?

,…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……

3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数,证明:有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =

证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =

()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得

???

????=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 1

1221021

2122221021

111221101...)(...

...)(...)(1 …… (2分)

即证方程组

???????=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 11

2210

211

22221201

11122110......

......1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式

121

3

233

12

222

1

12111111----=n n

n n

n n n a a a a a a a a a a a a D

……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-=

=n

j i i j

T a a

D D 1)( ……(7分)

又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)

4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数,b 是任意数,证明线性方程组

??

??

??

?

=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n n n n b

x a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解,并求出这个解.

证明:

观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等,其系数行列式

D =

1121

1211

11---n n

n n n

a a a a a a

是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分) 因此,D =

∏≤<≤-n

i j j i

a a

1)(,由于n a a a ,...,,21是互不相同的数,所以0≠D ,根据克莱姆法则知此线性

方程组只有唯一解, n k D

D x k

k ,...,2,1,==

,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-, …… (7分)

显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式,且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ,因此

n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,)

)...()()...(()

)...()()...((111111=--------=

-+-+ (10分)

5. 假设有齐次线性方程组??

?

??=++=++=++,

0,02,0321321321 x x x p x x x x x x

当p 为何值时,方程组仅有零解?又在何时有非零解?在有非零解时,求出其一般解。

解 |A |=

1

11211

11p = 1- p , (4)

当 |A |≠0,即 p ≠1,方程组有唯一解。……………..………….…. 6分

p = 1时,?????111121111?????→?????000010101??

??

?,……………………………. 9分

方程组的解为:………

6. 问常数k 取何值时, 方程组

?????-=+-=++-=++424

3

21

2321321x x x k x kx x kx x x

无解,有唯一解, 或有无穷多解, 并在有无穷多解时写出其一般解。

解 A = -(k +1)(k - 4)。……………………….…….….………. ...3分

当 A ≠0,即 k ≠-1,且 k ≠ 4 时,方程组有唯一解。.………. ...5分

k = -1时,?????-111 4

21111411----????

?→?????00183

25

0041

1

---????

?

,方程组无解.…...8分 k = 4时,?????-111 4211614441--????

?→?????001 00

0411441???

?

?,……………..…..10分 方程组的解为:…………

高代与解几第二章自测题(三)——向量、线性空间

一、判断题

1. 若向量组)2(,,,21≥n n ααα 部分组线性相关,则该向量组线性相关.(√)

2. 集合},,|),0,...,0,{(111K x x x x x x W n n n ∈==不是n

K 的子空间.(×) 3. 设1W 和2W 是数域K 上线性空间V

的两个有限维线性子空间,则

121212dim dim dim()dim().W W W W W W +=+- (×)

4. 数域K 上非零线性空间可表示成它的两个真子空间的并集. (×)

5. 集合},...2,1,,0...|),...,,{(2121n i K x x x x x x x W i n n =∈=+++=是n

K 的子空间.(√) 6. 同一数域上维数相同的两个有限维线性空间一定同构. (√)

7. 若向量组)2(,,,21≥n n ααα 两两线性无关,则n ααα,,,21 线性无关。(×) 8. 线性空间的维数与它定义的数域无关。(×)

9. n 阶方阵的行向量组线性无关当且仅当它的行列式不等于零。(√) 10. 两个等价的向量组必含有相同个数的向量。(×)

11. 集合},...2,1,,...2|),...,,{(2121n i K x nx x x x x x W i n n =∈===是n K 的子空间.(√) 12 若向量组n ααα,,,21 线性无关,则β可由n ααα,,,21 线性表示。(×) 13 若β可由n ααα,,,21 线性表示,则n ααα,,,21 线性无关。(×)

二、填空题

1. 若非零向量),,(c b a 与向量)2,3,1(线性相关,则=c b a ::_1:3:2__________.

2. 设)3,1,0(),3,2,1(),2,5,1(C B A --,则CB BA -的坐标是 (-3,4,-1) .

3. },,|)2,3,,{(R c b a c b a c a W ∈+=是4

R 的子空间,=W dim 3 .

4. ???

?

? ??---=320032221111A 的不等于零的子式的最大阶数是 3 .

三、计算与证明题

1.证明:行初等变换不改变矩阵A 的列向量组的线性相关性.

证明: 设矩阵A =??

??

?

?

?

??mn m m n n a a a a a a a a a 2

1

22221

11211,则其列向量组为

i α=n i a a a m i i i ,...,2,1),,...,,(21=

经过行初等变换后变为矩阵B =??

??

?

?

?

??mn m m n n b b b b b b b b b 2

1

222

21

11211

,其列向量组为

i β=n i b b b m i i i ,...,2,1),,...,,(21= …… (3分)

那么,由m

R 中向量的标量乘法与加法以及向量相等的定义知方程 0...2211=+++n n x x x ααα ……(1) 与以A 为系数矩阵的齐次线性方程组是同解的.方程

0...2211=+++n n x x x βββ ……(2) 与以B 为系数矩阵的齐次线性方程组是同解的.…… (6分)

又由矩阵的行初等变换的定义与线性方程组的初等变换的定义知, 以A 为系数矩阵的齐次线性方程组与以B 为系数矩阵的齐次线性方程组是同解的. 从而,方程(1)与方程(2)是同解的. …… (8分)

因此,向量组n ααα,...,,21与向量组n βββ,...,,21具有相同的线性相关性. …… (10分)

2 证明:向量组)2,0(,,,21≥≠n a n n 其中ααα 线性相关的充分必要条件是存在)1(n i i <≤α可被

n i i ααα,,,21 ++线性表示.

证明 先证充分性. 若存在)1(n i i <≤α可被

n i i ααα,,,21 ++线性表示,即存在一组数

n i i k k k ,,,21 ++使得n n i i i i i k k k αααα+++=++++ 2211, … (1分)

从而有0...)1(00011121=+++-++++++-n n i i i i k k αααααα , 由线性相关的定义知,

n ααα,,,21 线性相关. …… (3分)

再证必要性.若向量组)2,0(,,,21≥≠n a n n 其中ααα 线性相关,则由定义知,存在一组不全为零的数

n k k k ,,,21 使得02211=+++n n k k k ααα , … (5分)

令}0|min{≠=j k j i ,则n i ≤≤1,且0121====-i k k k .如果n i =,即有

0,0...1321======-n n n k k k k k α从而,又0≠n a ,于是0=n k ,这与n k k k ,,,21 是一组不全为零的数

相矛盾.故有n i <≤1. …… (8分) 因为

0121====-i k k k 且,0≠i k ,所以011=+++++n n i i i i k k k ααα ,于是

)(1

2211n n i i i i i

k k k k αααα+++-

=++++ ,即)1(n i i <≤α可被121,,,-i ααα 线性表示.…… (10分) 3.

4

R V =,

),1,3,0,1(),0,4,0,1(),1,1,0,2(321-===ααα)

,,(3211αααL W =,

)3,0,1,1(),2,1,1,3(21-=-=ββ,2W =),(21ββL .求子空间21W W +的基与维数以及交空间21W W 的

基与维数.

解:把21321,,,,ββααα写成列向量,组成矩阵A ,对A 施行行初等变换,化成行阶梯形矩阵:

A =???

??

??

?

?---32101013411100013112→???????

??---1311201121110

0032101

→?????

??

?

?----771103

32201100032101

→??????

? ??---000001100000

11032101 = …(5分)

由此得出121,,βαα是21W W +的一个基,

而3)dim(21=+W W , ……(7分) 又易见,2dim 1=W ,2dim 2=W 由交空间与和空间的维数定理

知,)dim(dim dim )dim(212121W W W W W W +-+=?=1, ……(8分) 由

154γγγ=- 知 21121W W ?∈=-αββ,所以1α是21W W ?的一个基,

…(10分)

4. 设f 是数域K 上的线性空间V 到W 的一个同构映射,'W 是W 的一个线性子空间,证明:

},')(|{'V v W v f v V ∈∈=是V 的一个线性子空间.

证明 首先因为'W 是线性子空间,所以'0W ∈,而f 是V 到W 的一个同构映射,所以由'0)0(W f ∈=知,φ≠∈'0V ,显然'V 是V 的子集,因此'V 是V 的一个非空子集.……(3分)

又设K b a V ∈?∈?,,',βα,则')(),(W f f ∈βα, ……(5分) 由'W 是线性子空间,')()(W bf af ∈+βα,

f 是V 到W 的一个同构映射知,

')()()(W bf af b a f ∈+=+βαβα ……(8分) 从而有'V b a ∈+βα,'V 是V 的一个线性子空间 ……(10分)

5.设12,,,n ααα 线性无关,

(1)若12,,,n βαβαβα+++ 线性相关,证明β一定可以由12,,,n ααα 线性表示. (2)若1n α+不能由12,,,n ααα 线性表示,证明121,,,,n n αααα+ 线性无关.

证明: (1) 若12,,,n βαβαβα+++ 线性相关,由定义存在一组不全为零的数n k k k ,...,,21,使得 0)(...)()(2211=++++++n n k k k αβαβαβ, …… (2分) 即有

0...)...(221121=+++++++n n n k k k k k k αααβ,

若0)...(21=+++n k k k ,则上式变为0...2211=+++n n k k k ααα,而n k k k ,...,,21是一组不全为零的数,从而有n ααα...,21线性相关,与已知矛盾,所以

0)...(21≠+++n k k k …… (4分) 进而知,

)...()

...(1

221121n n n k k k k k k αααβ++++++-

=,即β可由n ααα...,21线性表

示. …… (5分)

(2) 设有一组数121,...,,+n k k k ,使得

0...112211=++++++n n n n k k k k αααα, …… (1分)

若01≠+n k ,则易见1n α+能由12,,,n ααα 线性表示,与已知矛盾,所以 01=+n k ,…… (3分)

进而有0...2211=+++n n k k k ααα,而n ααα...,21线性无关,因此0...21====n k k k ,由线性无关的定义知, 121,,,,n n αααα+ 线性无关. …… (5分)

6 若0=+++δγβα,证明 ),,(),,(δγβγβαL L =.

证明 由0=+++δγβα知δγβα---=, 所以,),,(δγβαL ∈,因此

),,(),,(δγβγβαL L ?.…… (8分)

类似可证),,(),,(γβαδγβL L ?,所以

),,(),,(δγβγβαL L = …… (10分) 可见, ),,(),,(δγβγβαL L = …… (10分)

高代与解几第二章自测题(四)——方程组解的情况

一、判断题

1. 若123,,ααα是某齐次线性方程组的一个基础解系,则133221,,αααααα+++也是该齐次线性方程组的一个基础解系.(√)

2. A a A n m aj ,)(?=,的列向量组的秩小于n ,则以A 为系数矩阵的线性方程组有 无数多解。(×)

3. ,1,)(,2-==>?n A a A n n n aj | | ,则以A 为系数矩阵的线性方程组有唯一解。(√)

二、填空题

1. 若n 元齐次线性方程组的基础解系含有3个解向量,且该方程组系数矩阵的秩为10,则n =____13_____.

2. 若βα,是10元非齐次线性方程组的2个不同的解向量,且该方程组系数矩阵的秩为9,则其一般解为

k k ),(βαα-+为任意常数.

三、计算与证明题

3. 求齐次线性方程组????

???=+++=++++=-++=++++0

4523,05734,03,

02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系及全部解.

解:对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换,得

A =???????

??-452

30573411110312111

→????

??

?

??----452304

52304523012111 ……(2分) →??

?

?

?

?

?

?

?00000000004523012111 …(4分)

可知系数矩阵的秩是2,从而方程组的基础解系含325=-=-r n 个解向量.……(6分)

解下面的齐次线性方程组:

??

?=+++=++++.04523,

025432

54321x x x x x x x x x 取543,,x x x 为自由未知量,令,0,0,1543===x x x 得

T )0,0,1,3/2,3/1(1--=η;再令

,

0,1,0543===x x x 得

T

)0,1,0,3/5,3/1(2--=η;再

,

1,0,0543===x x x 得

T )1,0,0,3/4,3/1(3-=η.则321,,ηηη即为方程组的一个基础解系,从而所求齐次线性方程组的全部解为

332211ηηηk k k ++,其中321,,k k k 为任意常. ……(10分 )

6. 设t ηηη,,,21 是某非齐次线性方程组的任意t 个解,证明: 当121=+++t k k k 时,

t t k k k ηηηη+++= 2211也是该方程组的一个解.

证明 设0α是该非齐次线性方程组的一个特解,r ααα,...,,21是它的导出组的一个基础解系,则由非齐次线性方程组的解的结构理论知,

r j t i K l l l l ij r ir i i i ,...,2,1,,...,2,1,,...22110==∈++++=ααααη …… (4分)

从而

t t k k k ηηη+++ 2211

=)...()...(22110121211101r tr t t t r r l l l k l l l k αααααααα++++++++++ … (5分) =r t

i ir i i t i i r l k l k k k k ααα∑∑==++++++1111021...)...(

=r t

i ir i i t

i i l k l k ααα∑∑==+++

11110...

…… (8分)

由非齐次线性方程组的解的结构理论知t t k k k ηηηη+++= 2211仍是该线性方程组的一个解.

…… (10分)

7. 设0η是某非齐次线性方程组的一个解,r ηηη,...,,21是它的导出组的一个基础解系,证明:η是这个非齐次线性方程组的解的充分必要条件是存在r+1个数1),

,...,2,1,0(0

==∑

=r

i i i k r i k ,使得

)(...)()(020210100r r k k k k ηηηηηηηη+++++++= 线性相关.

证明: 首证充分性

设)(...)()(020210100r r k k k k ηηηηηηηη+++++++=,其中

10

=∑

=r i i k ,则

=+++++++=r r r k k k k k k ηηηηη...)...(2211010r r k k k ηηηη++++...22110,由0η是该非齐次线性方

程组的一个解,r ηηη,...,,21是它的导出组的一个基础解系以及非齐次线性方程组的解的结构理论知,η是这个非齐次线性方程组的解. …… (5分)

下证必要性

设η是这个非齐次线性方程组的解,由非齐次线性方程组解的结构理论知, r r l l l ηηηηη++++=...22110,因此,

)(...)()()...1(020*******r r r l l l l l l ηηηηηηηη+++++++----=,令 ),...,2,1(r i l k i i ==,r l l l k ----=...1210,则

)(...)()(020210100r r k k k k ηηηηηηηη+++++++=,且10=∑=r

i i k .

…… (5分)

4. 解线性方程组

123412341234

21,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=??

+-+=??+--=?

解 方程组的增广矩阵为:

B =

?????112224112--- 111- 1

21????

?

,….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换:

B r ?????211000010000- 1

00

????

?

,………………………….....…… 8分 从而得方程组的解为

?????

?

4

321x x x x ??????= ??????0010?

?

??

??

+ 1c ???

???-0021?

?

??

??

+ 2c ???

???0110????

?

?

,,1c 2c 为可取任意值的参数。.……………………….....…… 10分

5. 问常数k 取何值时, 方程组

?????-=+-=++-=++4243

21

2321321x x x k x kx x kx x x

无解,有唯一解, 或有无穷多解, 并在有无穷多解时写出其一般解。

解 A = -(k+1)(k - 4)。…………….…….….…………………. ...3分 当 A ≠0,即 k ≠-1,且 k ≠ 4 时,方程组有唯一解。…………. ...5分

k = -1时,?????-111

4

21111411----????

?→?????00183

25

0041

1

---????

?

,方程组无解。...7分 k = 4时,?????-111 4211614441--????

?→?????001 00

0411441???

?

?,……………..…..9分 方程组的一般解解为:

[x 1,x 2,x 3] T = [0,4,0] T + t [-3,-1,1] T ,

t 为可取任意值的参数。……………………………..……….……..…....10分

6. 证明 构造矩阵

???

???

?? ??=---n n n n n n a a a a a a a a a A ,12

,11

,122221

11211111

,则矩阵A 的第一行元素的代数余子式依次为

n n n M A M A M A 11212111)1(,...,,--=-==

(1)根据行列式展开式的性质,从第二行起,每一行元素与第一行对应元素的代数余子式相乘相加的等于零,有1,...,2,1,0...1122111-==+++n i A a A a A a n in i i ,亦即 1,...,2,1,0))1((...)(12211-==-++-+-n i M a M a M a n n in i i 这说明 ))1(,...,,(121n n M M M ---是方程组的一个解…… (5分)

(2) 如果这个线性方程组的系数矩阵的秩是1-n ,而它含未知量的个数是n ,故,此齐次线性方程组的基础解系所含向量个数是1,进而知任何一个非零解向量都构成一个基础解系.

而此线性方程组的系数矩阵的秩是1-n ,由秩的定义知,存在一个1-n 阶子式不等于零,又),...,,(21n M M M 系数矩阵的全部1-n 阶子式,因此存在}),...,2,1{,0n j M j ∈≠.结合(1)的结论知

))1(,...,,(121n n M M M ---是方程组的一个非零解,从而就是它的一个基础解系,所以方程组的解全是

))1(,...,,(121n n M M M ---的线性组合,即它的倍数…… (5分)

部编版三年级语文上册《带刺的朋友》同步练习附答案 (2)

部编版三年级语文上册第七单元 《带刺的朋友》同步练习 一、轻松找朋友。 huǎn chán zǎo huǎng 恍馋枣缓 二、仿写词语。 黑洞洞: 斑斑驳驳: 噼里啪啦: 蹑手蹑脚: 三、重点段落品析。 很快,它又慢慢地活动起来了,看样子,劲头比上树的时候足多了。它 cōnɡ cōnɡ( )地爬来爬去,把散落的红枣逐个归拢到一起,然后就地打了一个滚儿。你猜怎么着,归拢的nà duī( )红枣,全都扎在它的背上了。立刻,它的身子“长”大了一圈。也许是怕被人发现吧,它驮着满背的红枣,向着墙角的水沟眼儿,急火火地跑去了…… 我暗暗钦佩:cōnɡ mínɡ()的小东西,tōu zǎo()的本事可真高明啊! 1.看拼音,把文中的词语补充完整。

2.请用文中的句子概括上文的主要内容。 3.正确朗读。 “聪明的小东西,偷枣的本事可真高明啊!”要读出的语气。 参考答案: 一、zǎo chán huǎn huǎng 枣馋缓恍 二、绿油油白茫茫黑乎乎明明白白高高兴兴大大方方叮叮 咚咚叮叮当当滴滴答答碍手碍脚毕恭毕敬独来独往 三、1.聪明的小东西 2.偷枣的本事可真高明啊! 3.钦佩

部编版三年级语文上册第七单元复习卡 一、听两遍朗读录音,完成下列练习。 1.我发明的未来的衣服,不仅颜色(),而且()也不少。 2.无论多么寒冷,多么火热,都能保持温度()。 3.冬天按()按钮,就会给你穿上()服。 4.去郊外玩耍,就按()按钮,它将自动播放出(好听的音乐)。 二、下列加点字的读音完全正确的一项是() A.汇.聚(hùn)弹琴.(qín)姿.态(zī) B.舒畅.(chànɡ)露.珠(lòu)凉爽.(shuǎnɡ) C.盘旋.(xuán)佩.服(pèi)呢.喃(lí) D.黎.明(lí)瞬.间(shùn)竹笋.(sǔn) 三、下列四组词语中,书写完全正确的一组是() A.温柔感受打猎读书 B.麻雀翅榜鼻子梨子 C.手册斗动告诉乐器 D.级取蚂蚁沉重尺寸

解析几何经典例题

解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从 的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。 图1 解析:易知故 在中, 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。 图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|=4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y=-1的最短距离。

图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y=-1的最短距离为。 评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地, 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为() 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为() A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|=|QP|, 而|QM|=|OM|-|OQ|=2-|OQ| 即|OQ|+|QP|=2>|OP|= 故Q的轨迹是以O(0,0)、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5,已知三点A(-7,0),B(7,0),C(2,-12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。

一、高等代数与解析几何之间的关系

利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理 一、高等代数与解析几何的关系 代数为几何的发展提供了研究方法,几何为代数提供直观背景。 解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如,解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的,最终转化为用行列式工具来表述,再如,解析几何中的向量的外积(向量积)、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。 “如果代数与几何各自分开发展,那它的进步十分缓慢,而且应用范围也很有限,但若两者互相结合而共同发展,则就会相互加强,并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学 中国科大: 陈发来,陈效群,李思敏,线性代数与解析几何,高等教育出版社,北京:2011. 南开大学: 孟道骥,高等代数与解析几何(上下册)(第二版),科学出版社,北京:2007. 华东师大: 陈志杰,高等代数与解析几何 (上下册) (第2版),高等教育出版社,北京:2008. 华中师大: 樊恽,郑延履,线性代数与几何引论,科学出版社,北京:2004. 同济大学: 高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社 (2005-05出版) 兰州大学,广西大学,西南科技大学,成都理工大学 三、高等代数的特点 1、逻辑推理的严密性; 2、研究方法的公理性; 3、代数系统的结构性。 四、高等代数一些概念的引入 对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导 和应用。通过一些实例,特别是几何实例,引入高等代数的相关概念,一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉,另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。

2019年秋部编版(统编版)小学三年级语文上册23带刺的朋友 教学设计(含课堂作业及答案)

23 带刺的朋友 【教学目标】 1.认识本课“枣、馋”等11个生字,会写“刺、枣”等13个生字,认识多音字“扎”,借助近义词理解词语的意思。 2.正确、流利地朗读课文,在学习刺猬偷枣过程的基础上,用简洁的语言归纳课文中记叙的刺猬偷枣的事。尝试有条理地复述刺猬偷枣的过程。 3.指导学生有感情地朗读课文,体会作者对刺猬的喜爱之情,感受人与动物之间的美好情感。培养学生对于小动物的关注与喜爱。 【教学重点】 1.通过语言的感悟和训练,真切地感受刺猬偷枣的本领大,体会作者的喜爱之情。 2.朗读课文,用简洁的语言归纳课文中记叙的刺猬偷枣的事。尝试有条理地复述刺猬偷枣的过程。 【教学难点】 体会句子不同的表达方式,懂得使用比喻句,发挥想象,使句子更生动形象。 【教学课时】2课时 第一课时 【课时目标】 1.认识本课“枣、馋”等11个生字,会写“刺、枣”等13个生字,认识多音字“扎”,借助近义词理解词语的意思。 2.初读课文,理清文章的层次。 【教具准备】 多媒体课件。

【课堂作业新设计】 一、给加点字选择正确的读音。 眼馋.(chán cán)缓.慢(hǎn huǎn)刺.猬(cìchì) 恍.然(huǎng guāng)聪.明(cōng chōng)偷.枣(tōu toū) 二、比一比,组词语。 枣()棵()匆()缓() 束()颗()沟()暖() 三、照样子写词语。 1.晃来晃去: 2.一举一动: 3.一颗颗: 参考答案: 一、chán√huǎn√cì√huǎng√cōng√tōu√ 二、甜枣一棵匆忙缓慢 结束颗粒山沟暖和 三、1.爬来爬去想来想去走来走去 2.一言一行一心一意一草一木 3. 一个个一片片一只只 第二课时 【课时目标】 1.正确、流利地朗读课文,在学习刺猬偷枣过程的基础上,用简洁的语言归纳课文中记叙的刺猬偷枣的事。尝试有条理地复述刺猬偷枣的过程。

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围 0 180 (2)经过两点的直线的斜率公式是 (3)每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ,其斜率分别为k1, k2 ,则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地, 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时,l1与l2 的关系为平行。 (2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在,设为k1, k2 ,则l1 l2 k1 k2 1 注:两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直线的斜率 之积为 -1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0 时, l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点,k 为斜率 斜截式k 为斜率, b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距, b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或

线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ,B,C 为系数无限制,可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是,两条 直线的交点坐标就是方程组的解,若方程组有唯一解,则这两条 直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平 行;反之,亦成立。 2.几种距离 (1 )两点间的距离平面上的两点间的距离公式 (2)点到直线的距离 点到直线的距离; (3)两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注:(1)求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式; (2)求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用 公式计算 (二)直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法: 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ,则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。

高等代数与解析几何之间的联系

高等代数与解析几何之间的关联性 数学0803班康若颖20081692 内容摘要:在我们的学习过程中,可以发现高等代数和解析几何中有很多相似之处。确切的说是高等代数中 的一些理论是从解析几何中发展和改进而来的。比如说通过解析几何中多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式,使行列式有了几何意义,同时是行列式直观化。也是通过行列式,多元方程组的解答更便捷、快速。又比如说欧式空间的提出。我们都知道几何空间中的向量以及他的一些性质。在高等代数中先后提出来线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广,使向量抽象化。欧式空间在线性空间的基础上提出内积,使几何空间中的向量的一些度量性质推广化,等等,这样的例子很多很多。总体来说高等代数与解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是解析几何是高等代数的基石,而高等代数是解析几何的推广和并使之抽象化。 关键词:行列式、正交变换、向量、线性方程组、二次型和二次曲线、二次曲面、欧式空间 导言:从代数与几何的发展来看,高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归 纳为“代数为几何提供研究方法,几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中,我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更直观,同时,高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽。比如说欧式空间。运用高等代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便,快捷。比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。 内容: 解析几何中以代数为工具,解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、 描述和表达的。例如,解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的,最终转化为用行列式工具来表述,再如,解析几何中的向量的外积(向量积)、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看,两门课之间存在着特殊与一般的关系,解析几何的一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例,而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广(抽象)。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论,二次曲线,二次曲面的化简与代数中的二次型理论,几何与代数中欧式空间的理论等等。 (一)线性代数中一些概念的几何直观解释: 1.关于行列式的几何背景 设α=(321,,a a a ),β=(321,,b b b ),γ=(321,,c c c );两个向量的向量积可以用行列式写为 321 32 1b b b a a a k j i =?βα 它在几何上表示的是与α,β向量都垂直且成右手系的向量。 三个向量的混合积可以用行列式表示为图1 平行六面体 (γβα,,)=(βα?)γ?=321 32 132 1c c c b b b a a a 此行列式的几何解释是它的绝对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体积(如图1)。特别地,当(α,β,γ)=0时,由于平行六面体的体积为零,所以共面。γβα,,0321321 321 ?=c c c b b b a a a 图1 平行六面体

三年级上册《带刺的朋友》基础练习(含答案)

三年级上册《带刺的朋友》基础练习(含答案) 基础知识练习 一、给下列生字注音并组词: 刺_____()()() 枣_____()()() 颗_____()()() 忽_____()()() 乎_____()()() 暗_____()()() 伸_____()()() 匆_____()()() 沟_____()()() 聪_____()()() 偷_____()()() 追_____()()() 腰_____()()() 二、给下列生字注音: 馋()猫缓()慢惊讶() 预测()监()视恍()惚 醒悟()逐()个扎

()针 三、多音字 扎_____()_____()_____()散_____()_____() 兴_____()_____() 四、近义词 摆动一一()朦胧一一() 惊讶一一()猜测一一() 监视一一()诡秘一一() 归拢一一()钦佩一一() 踪影一一()恍然大悟一() 五、反义词 朦胧一一()缓慢一一() 归拢一一()钦佩一一() 聪明一一()蹑手蹑脚一一() 六、根据意思写词语: 1、看见自己喜爱的事物极想得到。() 2、月光不明;看不清。() 3、一种颜色中杂有别种颜色,花花搭搭的。() 4、不迅速;慢。() 5、感到很奇怪;惊异。() 6、推测;凭想象估计。()

7、从旁严密注视、观察。() 8、(行动、态度等)隐秘不易捉摸。() 9、猛然清醒的样子;形容一下子明白过来。() 10、把分散着的东西聚集到一起。() 11、敬重佩服。() 12、智力发达,记忆和理解能力强。() 13、形容放轻脚步走的样子。也形容偷偷摸摸、鬼鬼祟祟的样子。() 14、踪迹形影(指寻找的对象,多用于否定式)。() 参考答案 一、给下列生字注音并组词: 刺cì(刺猬、鱼刺、讽刺) 枣zǎo(枣树、枣子、囫囵吞枣) 颗kē(颗粒、一颗、两颗钉子) 忽hū(忽然、忽略、忽高忽低) 乎hū(圆乎乎、胖乎乎、出乎意料) 暗àn(黑暗、暗号、柳暗花明) 伸shēn(伸出、伸冤、能屈能伸) 匆cōng(匆匆、匆忙、来去匆匆) 沟gōu(水沟、沟渠、山沟) 聪cōng(聪明、失聪、耳聪目明) 偷tōu(偷枣、小偷、偷偷摸摸)

三年级上册《带刺的朋友》同步练习(含答案)

带刺的朋友 一、读拼音,写词语。 Zǎo shù hū rán cōng míng shuǐ gōu 二、比一比,组词语。 颗( ) 乎( ) 课( ) 平( ) 伸( ) 偷( ) 神( ) 愉( ) 三、写出下列词语的近义词。 缓慢—— ______ 注视—— ______ 高明——______ 猜测——______ 四、按要求改写句子。 1.挂满红枣的树杈慢慢弯下来。(缩句) ________________________________ 2.这不是刺猬吗?(改为肯定句) ________________________________ 五、课内阅读。 我还没弄清楚是怎么回事,树上那个家伙就噗的一声掉了下来。听得出,摔得还挺重呢! 我恍然大悟:这不是刺猬吗? 很快,它又慢慢地活动起来了,看样子,劲头比上树的时候足多了。它匆匆地爬来爬去,把散落的红枣逐个归拢到一起,然后就地打了一个滚儿。你猜怎么着,归拢的那堆红枣,全都扎在它的背上了。立刻,它的身子“长”大了一圈。也许是怕被人发现吧,它驮着满背的红枣,向着墙角的水沟眼儿,急火火地跑去了…… 我暗暗钦佩:聪明的小东西,偷枣的本事可真高明啊! 1.选文第三段写了刺猬偷枣的过程,请从中找出描写刺猬偷枣动作的词语,写在下面。 _____________________________________________________________________ ___ 2.选文中,作者一开始称刺猬是“那个家伙”,后来变成“小东西”,从中作者对刺猬的情感变化是怎样的? _____________________________________________________________________ ___ 3.试着用简洁的语言概括选文的内容。

解析几何经典例题

解析几何经典例题 圆锥曲线的定义就是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1、如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。 图1 解析:易知故 在中, 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2、如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从 的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。 图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3、如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|=4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y=-1的最短距离。

图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y=-1的最短距离为。 评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,求 抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4、①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|=|QP|, 而|QM|=|OM|-|OQ|=2-|OQ| 即|OQ|+|QP|=2>|OP|= 故Q的轨迹就是以O(0,0)、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5、如图5,已知三点A(-7,0),B(7,0),C(2,-12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。

高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵 习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换? (1)设是线性空间中的一个固定向量, (Ⅰ),, 解:当时,显然是的线性变换; 当时,有,,则 ,即此时不是的线性变换。 (Ⅱ),; 解:当时,显然是的线性变换; 当时,有,,则 ,即此时不是的线性变换。 (2)在中, (Ⅰ), 解:不是的线性变换。因对于,有,,所以。 (Ⅱ); 解:是的线性变换。设,其中,,则有 ,

。 (3)在(Ⅰ)解:是中, , 的线性变换:设,则 , ,。 (Ⅱ)解:是 ,其中 的线性变换:设 是中的固定数; ,则 , ,。 (4)把复数域看作复数域上的线性空间, 共轭复数; 解:不是线性变换。因为取,时,有 ,即。,其中是的 , (5)在中,设与是其中的两个固定的矩阵,,。 解:是的线性变换。对,,有 , 。 习题7.1.2 在中,取直角坐标系,以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换,以表示空间绕轴由轴向方向

旋转 900的变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明(表示恒等变换), , ; 并说明是否成立。 证明:在中任取一个向量,则根据,及的定义可 知:, ,, ; ; , , , ,即,故。 因为因为 , ,所以 , ,所以 。 。 因为, ,所以。 习题 7.1.3 在中,,,证明。证明:在中任取一多项式,有 。所以。 习题 7.1.4 设,是上的线性变换。若,证明 。 证明:用数学归纳法证明。当时,有

命题成立。假设等式对成立,即。下面证明等式对 也成立。因有 ,即等式对也成立,从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明(1)若是上的可逆线性变换,则的逆变换唯一; (2)若,是上的可逆线性变换,则也是可逆线性变换,且 。 证明:(进而(2)因1)设 ,都是 都是的逆变换,则有, 。即的逆变换唯一。 上的可逆线性变换,则有 。 ,同理有 由定义知是可逆线性变换,为逆变换,有唯一性得 。 习题7.1.6 设是上的线性变换,向量,且,,,都不是零向量,但。证明,,, 线性无关。 证明:设,依次用可得 ,得,而, 故即得 ;同理有: ;依次类推可得,即得 ,得, ,进而得。

高等代数与解析几何教学大纲

附件1 高等代数与解析几何教学大纲 课程编号: 课程英文名:Advanced Algebra and Analytic Geometry 课程性质:学科基础课 课程类别:必修课 先修课程:高中数学 学分:4+4 总学时数:72+72 周学时数:4+4 适用专业:统计学 适用学生类别:内招生 开课单位:信息科学技术学院数学系 一、教学目标及教学要求 1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础,同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法,对今后的提高和发展有着深远的影响。 2.通过本课程的学习,要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系;学会代数与几何方法,培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。 3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节,使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确,并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。 二、本课程的重点和难点 (略。由课任教师自行掌握) 三、主要实践性教学环节及要求

精讲、细读、自学相结合方法,加强课内外训练为手段。 四、教材与主要参考文献 教材:《高等代数与解析几何》(上、下)(第二版),孟道骥编著,科学出版社,2004年。 参考书: 1.《高等代数与解析几何》,陈志杰编著,高等教育出版社, 2000年; 2.《数论基础》,张君达主编,北京科学技术出版社,2002年。 五、考核形式与成绩计算 考核形式:闭卷考试。 成绩计算:平时成绩(包括平时作业、小测验、考勤等)占30%, 期末考试占70%。 六、基本教学内容 第二学期 第一周—第二周:(8课时) 第一章:向量代数与解析几何基础 1.代数与几何发展概述。 2. 向量的线性运算及几何意义:定义与性质、向量的共线、共面与线 性关系 3. 坐标系:标架、向量和点的坐标、n维向量空间。 4. 向量的线性关系与线性方程组。 5. 三维空间中向量的乘积运算:内积、外积、混合积、三重外积。 6. 方程及几何意义: (1)二元方程及几何意义:平面曲线的表示(非参数式、极坐标、 参数式、向量式); (2)三元方程及几何意义:直线与平面方程、曲线与曲面方程(非 参数式、参数式、向量式)。 第三周—第五周:(12课时)

部编版三年级语文上册23.带刺的朋友课时测评卷(含答案)

23带刺的朋友 课时测评方案 字词模块 一、按要求将下列字分类。(填序号) ①枣②馋③测④逐⑤聪 平舌音的字:__________翘舌音的字:__________ 二、看拼音,写词语。 shēnshǒuzhuīɡǎnshuǐɡōu yúcìànzìtōuzǎo 三、根据读音写汉字,组成词语。 cōnɡ ()忙()明()慧 kē 一()枣一()树()学 四、选出能够替换句中加点词的词语。 1.我非常惊讶 ..,赶忙贴到墙根,注视着它的一举一动。() A.惊吓 B.吃惊 C.惊动 2.那个东西一定没有发现我在监视它,仍旧诡秘..地爬向老树杈。() A.诡计 B.保密 C.隐秘 句子模块 五、按要求完成句子练习。 1.我恍然大悟:这不是刺猬吗?(变成肯定句) _________________________________________________________________

2.挂满红枣的树杈慢慢弯下来。(缩句) _________________________________________________________________ 3.已经没了踪影。(修改病句) _________________________________________________________________ 读写模块 六、课内阅读。 很快,它又慢慢地活动起来了,看样子,劲头比上树的时候足多了。它匆匆 地爬来爬去,把散落的红枣逐个归拢到一起,然后就地打了一个滚儿。你猜怎么着,归拢的那堆红枣,全都扎在它的背上了。立刻,它的身子“长”大了一圈。 也许是怕被人发现吧,它驮着满背的红枣,向着墙角的水沟眼儿,急火火地跑去了…… 我暗暗钦佩:聪明的小东西,偷枣的本事可真高明啊! 画出描写“刺猬是怎样把红枣偷走的”的语句。 1.用“____” 2.“劲头比上树的时候足多了”是因为() A.刺猬爬树时比在地上活动时要费力。 B.刺猬很勤劳,做事很努力。 C.刺猬摇下了很多枣,很高兴,干劲儿很足。 3.“聪明的小东西”指的是____________,这样称呼表现了作者对它的 ____________之情。 七、课外阅读。 生物学家通过多年的观察研究,对蚂蚁的生活习性有了一些认识。 蚂蚁经常到离巢穴很远的地方去找食物。它找到食物,要是吃不了,又拖不 回去,就急忙奔回巢去“搬兵”,把别的蚂蚁领来,它们同心协力地把食物拖回 巢去。 蚂蚁是靠什么来把消息通知给同伴的呢?它招呼同伴就靠头上那对触角。它 们用触角互相撞碰来传递信号。只要食物又大又合口味,触角就摆动得特别猛烈。 蚂蚁认路的本领很强。它认路主要靠眼睛,能凭借陆地上和天空中的景物辨 别。有人做过一个实验,用一个圆筒围住一群在归途中的蚂蚁,只让它们看见天

高等代数与解析几何

高等代数与解析几何(上) 一、选择题(每题3分,共5题,共15分。) 1、) ()b -a ()b a (=?+ 。 0、A )(2b a B ?、 22b a C -、 )(2a b D ?、 2、),(,,2,14)32,1(B A -点P 为线段BA 成定比32:-,则点P 的坐标为( )。 )0,7,10(P A 、 )0,6,12(P B 、 )0,7,10(-P C 、 )0,7,10(--P D 、 3、已知b 3a +与b 5a 7 -垂直,b 4-a 与b 2a 7 -垂直,则a 与b 的夹角为( )。 6π、A 4π、B 3π、C 2 π 、D 4、当a 为何值时,四点)(,,),,(,,6,1,0)7,100(a 2,13)54,a (D C B A ---共面。( ) 2=a A 、 1113= a B 、 21113==a a C 或、 211 12 ==a a D 或、 5、设A 为3阶矩阵,8=A ,则)(2=-A 。 16-A 64-B 48C 32D 二、填空题(每题3分,共7题,共21分。) 1、已知1b a == , 2、几何空间中4个或 3、若向量(0,3,2),c (1,-1,-2),b ), 3,2,4 (a === 则由这三个向量张成的平行六面体的体 积为——————。 4、已知(1,-2,-1), b ), (-4,5,-2a == 则→a 在→b 的单位向量→0b 上的射影为—————。 5、已知排列n x x x 21的逆序数为a ,则排列121-n x x x x n 的逆序数为—————。 6、使1725836j i 成偶排列,则 =i —————,=j ————。 7、n 阶方阵n n ij a A ?=)(,D A =,则 当j k ≠时,=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。 当j k =时,=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。

高等代数与解析几何同济答案

高等代数与解析几何同济答案 【篇一:大学所有课程课后答案】 资料打开方法:按住 ctrl键,在你需要的资料上用鼠标左键单击 资料搜索方法:ctrl+f 输入关键词查找你要的资料 【数学】 o o o o o o o o o o o o o o o o o

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部编版小学三年级语文上册第23课《带刺的朋友》练习题(含答案,A4直接打印)

23 带刺的朋友 一、用“√"画出加点字的正确读音。 红枣.(zǎo zhǎo) 眼馋.(cán chán) 惊讶.(yà yā) 测.量(zé cè) 监.视(jān jiān) 扎.针(zhā zā) 二、看拼音,写词语。 hūrán sìhūhēiàn cōng máng wān yāo shuǐgōu 三、写近义词 朦胧—( ) 忽然—( ) 惊讶—( ) 诡秘—( ) 摇晃—( ) 归拢—( ) 钦佩—( ) 聪明—( ) 四、按要求完成词语练习。 1.照样子,写词语。 一颗颗(一××) 急火火(ABB式) 见来见去(×来×去) 2.补全下列词语。 斑斑( )( ) ( )( )大悟 蹑( )蹑( ) ( )( )啪啦 五、选词填空。

监视监测 1.那个东西一定没有发现我在( )它,仍旧诡秘地爬向老树杈。 2.当病人睡眠时,24小时的( )仪器可以时时测量血压。 诡秘神秘 3.极地探险是那么( ),那么诱人。 4.这个人的行踪( ),十分可疑。 六、按要求写句子。 1.红枣晃来晃去。(扩句) 2.它把散落的红枣逐个归拢到一起。(改为“被”字句) 3.这不是刺猬吗?(换种说法,保持句意不变) 七、课文内容精彩回放。 1.一天晚上,新月 , 的月光透过树枝, 地洒 在地上。我刚走到后院的枣树旁边,忽然看见一个的东西,正地往树上爬…… 2.后来,那个东西停住了脚,兴许是在,树枝,红 枣地落了一地。 八、课内阅读。 很快,它又慢慢地活动起来了,看样子,劲头比上树的时候足多了。它匆匆地爬来爬去,把散落的红枣逐个归拢到一起,然后就地打了一

个滚儿。你猜怎么着,归拢的那堆红枣,全都扎在它的背上了。立刻,它的身子“长”大了一圈。也许是怕被人发现吧,它驮着满背的红枣,向着墙角的水沟眼儿,急火火地跑去了…… 我暗暗钦佩:聪明的小东西,偷枣的本事可真高明啊! 可是,它住在什么地方呢?离这儿远不远?窝里还有没有伙伴?好奇心驱使我蹑手蹑脚地追到水沟眼儿,弯腰望去,水沟眼儿黑洞洞的,小刺猬已经没了踪影。 1.找出描写刺猬动作的词,写在横线上。 2.第一段话主要写了什么?请概括出来 3.用“___”画出文中的一个感叹句。 4.你喜欢小刺猬吗?为什么? 九、课外阅读。 捉蟋蟀 去年暑假,我在乡下大舅家度过了一段欢乐的时光,最有趣的要算与表弟在草丛中捉蟋蟀了。 乡村的夜晚,四周静悄悄、黑乎乎的,只能看见天上闪闪的星光和远处村子的灯光。 我和表弟准备好手电、纸筒,踏上了田间小路。没走多远,表弟忽然停住脚步,像是发现了目标。他悄悄地对我说:“附近肯定有一只蟋

高中数学解析几何大题专项练习

解析几何解答题 1、椭圆G :)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2,短轴两端点B 1、B 2,已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆,且点N (0,3)到椭圆上的点最远距离为.25 (1)求此时椭圆G 的方程; (2)设斜率为k (k ≠0)的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ,Q 为EF 的中点,问E 、F 两点能否关于 过点P (0, 3 3)、Q 的直线对称若能,求出k 的取值范围;若不能,请说明理由. ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、,动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . (Ⅰ)求k 的取值范围,并求21x x -的最小值; (Ⅱ)记直线11P A 的斜率为1k ,直线22P A 的斜率为2k ,那么,12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [

3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ,点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点,直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D . (1)求抛物线 C 的方程。 ~ (2)证明:点F 在直线BD 上; (3)设8 9 FA FB ?=,求BDK ?的面积。. { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上,离心率为1 2 ,点P (2,3)、A B 、在该椭圆上,线段AB 的中点T 在直线OP 上,且A O B 、、三点不共线. (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率; (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值. - 、

《高等代数与解析几何》

《高等代数与解析几何》教学大纲 学时数:192 学分:12 适用专业:数学与应用数学、信息与计算科学 一、课程说明 高等代数与解析几何是高校数学系课程中联系十分密切的两门的基础课.作为高等代数的主要内容,线性代数是由二维、三维几何空间中的向量代数进一步抽象推广得来的,高等代数的多数概念和方法都有着很强的几何背景.而解析几何的研究对象则是用代数的方法研究空间的几何问题.因此,高等代数与解析几何有着紧密的联系,它们的关系可归纳为“代数为几何提供研究方法,几何为代数提供直观背景.”本课程的主要任务是使学生获得代数的基本思想方法和行列式、矩阵、向量代数、线性方程组、多项式理论、二次型、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型、常见曲面等方面的系统知识.它一方面为后继课程(如近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析)提供一些所需的基础理论和知识;另一方面还对提高学生的思维能力,开发学生智能、加强“三基”(基础知识、基本理论、基本理论)及培养学生创造型能力等重要作用. 二、与其它课程的关系 本课程作为一门基础课,是学习近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础. 三、大纲部分 以下按各章具体写出 第一章预备知识(6学时) 本章的内容为介绍性质的,主要是为本课程的学习所做的预备工作,因而其中的内容基本相对独立. 教学目的与要求理解数环与数域的定义;突出三个常用的数域,即有理数域、实数域 和复数域,理解整数的整除性;理解第二归纳法原理;理解映射的定义、满射、单射和双射.数学重点数域的定义,映射的定义和性质. 教学难点对映射定义的理解;对满射的理解和应用. 新知识点数域性质的应用;整数整除性质的推广. 教学方法与手段以“细读——精讲——习作”这一现代教学方法完成本章的主要内容. 教学内容 1.数环和数域 1

带刺的朋友原文及答案

带刺的朋友原文及答案 原产地为热带美洲;现广布于热带地区。中国分布在台湾、福建、广东、海南、香港、广西、湖南、贵州、四川(西南部)和云南栽培和归化。下面是为你整理的《银合欢》记叙文阅读原文和答案,一起来看看吧。 《银合欢》记叙文阅读原文 台湾南部的山区里,有一种终年都盛开着花的植物,它的花长得真像一个个绒线球,花色的大部分是鹅黄色,也有少数变种的可以开出白色或粉红色的花来,它有个非常好听的名字,叫做银合欢。 在种满银合欢的山坡地上,远远望去,仿佛遍地长满小小的绒球。最美的时候是晴天的黄昏,稍微有一些晚风,阳光轻浅地穿透银合欢质地温柔的花蕊,微风缓缓地摇曳,竟让人感觉山上的银合欢是至美的花,不像是长在山地野田间的灌木丛。 萎谢的银合欢花,会从花茎中生出长长的夹果,先是柔软的绿色,很快地成熟为褐黑色,最后爆开,细小的种子就随风飘落各处,第二年又长出一丛丛的银合欢树。如果坡地上有一丛银合欢,没有多久它们就盘踞了整个山坡。 在我们乡下,银合欢一直是烧火最好的材料,而且是取用不绝。尤其在贫瘠的土地上,农人通常撒下银合欢的种子,到冬天的时候把遍生的银合欢放火烧掉,它的灰烬很快成为

土地最好的肥料,隔年春天,就可以在那里种花生、番薯等容易生长的作物。 童年的时候,我对银合欢有种说不出的好感。这种好感不只是来自它花的美丽,而是它的羽状叶子能编成非常好看的冠冕,它的枝杆又常常成为我们手中的剑,也是我们在荒野烤番薯最好的木材。 因此我曾仔细观察银合欢的生长,每天跑到家附近的银合欢丛中,用铅笔在根的最底部画下记号,第二天再跑去看,这样我能真切地感觉到银合欢迅速地自土中拔起,它甚至长得比春天最好的稻禾还要快。平常时候,银合欢一个月大概可以长一尺高,如果在夏天的雨季,或者长在河岸边的银合欢,它们一个月可以长两尺高。常常放一个暑假,本来刚发芽的银合欢就长得和我一样高了。 我从来不能理解,为何长在石头地里,完全没有人照看的银合欢,竟能和时间竞赛似的,奇异地长高。 那时我们家有一个林场,父亲在较低的山坡上种了桃花心木,较高的地方则种南洋杉,它们对时间好像没有感觉,有时一个月也看不到它们长一寸,桃花心木要十年才能收成,南洋杉则要等到十五年。 有一次我问父亲,为什们不把山上都种银合欢呢?它们长得最快。 在林地工作的父亲笑了起来,他说:银合欢长得那么快,

解析几何大题带规范标准答案

三、解答题 26.(江苏18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点, 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C ,连接AC ,并延长交椭圆于点B ,设直线PA 的斜率为k (1)当直线PA 平分线段MN ,求k 的值; (2)当k=2时,求点P 到直线AB 的距离d ; (3)对任意k>0,求证:PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解:(1)由题设知,),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -,由于直线PA 平分线段MN ,故直线PA 过线段MN 的中点,又直线PA 过 坐标 原点,所以 .22122 =-- = k (2)直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线

. 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 (3)解法一: 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二: 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ,AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上,所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y

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