2017-2018学年第二学期四校联考第一次月考高二数学(文)试卷(附答案)
2017-2018学年第二学期四校联考第一次月考
高二数学（文）试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1.若复数z=1+i,为z 的共轭复数,则下列结论正确的是( )
.=-1-i B.=-1+i C.||=2 D.||=
2.已知复数z 满足=i 5,则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.直线1,
1x t y =+???=-+??的斜率为（ ）
A ．1
B ．1-
C
D ．4.余弦函数是偶函数，2()cos(1)f x x =+是余弦函数，因此2()cos(1)f x x =+是偶函数，以上推理（ ）
A ．结论不正确
B ．大前提不正确
C ．小前提不正确
D ．全不正确 5.若()2cos x f x x =+，则函数()f x 的导函数()f 'x =( )
6.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额
上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=
====有“穿墙术”，则n =( )
．7 B ．8 C ．9 D ．10
7.法国数学家费马观察到
，
，
，
都是质数，于是他提出猜想：任何形如
的数都是质数，这就是著名的费马
猜想.半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第个费马数
不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明( )
A 归纳推理，结果一定不正确
B 归纳推理，结果不一定正确
C 类比推理，结果一定不正确
D 类比推理，结果不一定正确 8．在极坐标系中，点(2,
)3
π
到圆2cos ρθ=的圆心的距离为（ ）
A B ．2
C D
9.已知函数f (x )＝x ＋a
e
x 在区间(－∞，3)上为单调递增函数，则实数a 的取值范围（ ）
.(0，2]． B ．[-2，+∞) C.(－2，2)． D.(－∞，－2]．
10.某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第9年树的分枝数为( )
．21 B ．34 C ．52
D ．55
11．函数y=x 2
﹣ln|x|在的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C. D ．
12.设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）
A ．（﹣2，0）∪（2，+∞）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0） D ．（0，2）∪（2，+∞）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.设复数a ＋b i(a ，b ∈R)
，则(a ＋b i)(a －b i)＝_______ 14．已知函数2()ln f x x a x =+的极值点为1,则实数a 的值是
15．知函数f (x )=m-|x-2|,m ∈R ,且f (x+2)≥0的解集为[-1,1].则m 的值 16.函数的极小值是
2()ln 1f x x x =+
三、解答题。(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤) 17.（本小题满分10分）
已知复数12z a i =-，234z i =+（a R ∈，i 为虚数单位）. （1）若12z z ?是纯虚数，求实数a 的值；
（2）若复数12z z ?在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.
18.（（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos 2sin x y α
α
=+??=?(α为参数)，以原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为cos 4
πρθ?
?+= ??
?
(Ⅰ)求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，求PA PB ?.
19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C 的极坐标方程;
(2)直线l 的极坐标方程是,射线OM :与圆C 的交点为O ,P ,与直线
l 的交点为Q ,求线段PQ 的长.
20.已知函数f （x ）=x 3﹣3x 2﹣9x+1（x ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调区间．
（2）若f （x ）﹣2a ≥0对?x ∈[﹣2，4]恒成立，求实数a 的取值范围．
cos ()1sin x y ?
??=??
=+?
为参数2sin()6
π
ρθ+
=6
π
θ=
21.体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般。某地区抽取30位居民，其中60％的人经常进行体育锻炼。经体检调查，这30位居民的健康指数(百分制)的数据如下： 经常锻炼的：
65，76，80，75，92，84，76，86，87，95，68，82，72，94，71，89，83，77 缺少锻炼的：
63，58，85，93，65，72，59，91，63，67，56，64
(I)根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与体育锻炼有关系”?
(Ⅱ)从该学科教师健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中经常进行体育锻炼的人数的概率.
附：
()()()()()()2
2
a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=
++++．
22.已知函数， （为常数）.
（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值. （2）若，且，证明： .
()ln f x x x =()()
2
1g x x λ=-λ()y f x =()y g x =x e =λ1
2
λ=1x ≥()()f x g x ≤
2017-2018学年第二学期第一次月考高二数学（文）参考答案 一、选择题
1-5DBCCA 6-10 CBABD 11-12AB
13.2018 14. -2． 15.1 16. 三、解答题
17解：（1）依据..............2分
根据题意是纯虚数，..............4分 ；..............5分
（2）根据题意在复平面上对应的点在第四象限，可得
所以，实数的取值范围为..............10分 18.解：(Ⅰ)由曲线C 的参数方程(α为参数)，得(α为参数)，
两式平方相加，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2
＝4；.........3分
由直线l 的极坐标方程可得ρcos θcos π4－ρsin θsin π
4
＝
即直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.............6分
(
Ⅱ)由题意可知P (2，0)
，则直线l 的参数方程为(t 为参数)．
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|PA |
·|PB |＝|t
1|·|t 2|，
将(t 为参数)代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2＋2t －3＝0， 则Δ>0，由韦达定理可得t 1·t 2＝－3，
112e
-
12(2)(34)(38)(46)z z a i i a a i ?=-?+=++-12z z ?380
460a a +=??
-≠?
8
3
a =-12z z ?38083
46032a a a +>??-<
-
a 83
{|}32
a a -
<<12cos 2sin x y αα=+??=?12cos 2sin x y α
α-=??=?
cos sin 2ρθρθ-=2x y ?=????=??222
x y ?=+????=??
所以|PA |·|PB |＝|－3|＝3.............12分
19.(1)圆C 的极坐标方程为ρ=2sin θ.............5分
(2)设P (ρ1,θ1),则由得ρ1=1,.......7分 设Q (ρ2,θ2),则由
ρ2=3.............10分
为P ,Q 两点在同一射线
OM 上,且ρ1=1>0,ρ2=3>0,
以|PQ|=ρ2-ρ1=2............12分
20解：（1）f ′（x ）=3x 2
﹣6x ﹣9，........2分 令f ′（x ）＞0，解得：x ＜﹣1或x ＞3，.....3分 令f ′（x ）＜0，解得：﹣1＜x ＜3，........4分
故函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3）；...5分 （2）由（1）知f （x ）在[﹣2，﹣1]上单调递增，在[﹣1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，
又f （﹣2）=﹣1，f （3）=﹣26，f （3）＜f （﹣2）， ∴f （x ）min =﹣26，......9分
∵f （x ）﹣2a ≥0对?x ∈[﹣2，4]恒成立， ∴f （x ）min ≥2a ，即2a ≤﹣26， ∴a ≤﹣13.......12分
21.
2sin 6ρθπ
θ=??
?=??
2sin()6
π
ρθ+
=
22. 解：（1）， ，.......2分 因为在处有相同的切线，所以，则......5分 （2）若，则
，设， 则， ，.......7分 ，因为，所以，即单调递减，......9分 又因为，所以，即单调递减，.......11分 而，所以，即.......12分
()1
1ln ln 1f x x x x x
=?
+?=+'()2g x x λ'=x e ='()'()f e g e =1
ln 12,=2=e e e e
λλλ+=∴即212λ=
()()
2
112
g x x =-()()()H x f x g x =-()211
ln 22
H x x x x =-
+()ln 1H x x x '=+-()1
1H x x
=
'-'1x ≥()0H x ''≤()H x '()10H '=()0H x '≤()H x ()10H =()0H x ≤()()f x g x
≤