高中数学第一章集体备课提纲

集体备课提纲

中心发言人：任利民2014-9-10

学科：高一数学

参加人员：毕攀登李中营牛玉龙朱素娥任利民张国荣尹树云

王文英毛莹莹崔恒超陈珍珍李贺伟樊文治

一、本周教学主要内容：

1、集合的含义与表示；

2、集合的基本关系；

3、集合的基本运算

二、本周教学重、难点

1、集合的表示方法；

2、集合间“包含”、“相等”的关系；

3、集合的交、并、

补集的概念

三、学情分析

作为高中数学起始章，必须重视初、高中知识和学习方法的过渡，培养良好的学习习惯，侧重于对学生阅读、表达、复习、小结等习惯和方法的指导。

四、本周教学基本方法

新授课，采用诱思探究的方法，充分发挥学生的能动性。

五、本周数学思想

数形结合、分类讨论、转化与化归等的数学思想。

六、本周教学安排

星期五：集合的表示方法

一．教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；（2）初步了解“属于”关系的意义；（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义；

教学重点：集合的含义与表示方法；

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。

教学过程：

一、问题引入：

我家有爸爸、妈妈和我；我来自燕山中学；

省溧中高一（1）班；我国的直辖市。

分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。

二、建构数学：

1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）。集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B……

集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）,简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a、b、c、p、q……

指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市；（2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。

2．关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ?A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写

4．有限集、无限集和空集的概念：

5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集N *或N + {} ,3,2,1*=N

（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，

210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,

{}整数与分数

=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R

注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0

（2）非负整数集内排除0的集N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除

0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *

6．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；各元素之间用逗号分开。

（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性质（满足的条件）表

示出来，写成{|()}x p x 的形式。

（3）韦恩（Venn ）图示意

7．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个

集合相等。

三、数学运用：

例1．用列举法和描述法表示方程2230x x --=的解集。

答案：列举法：{1,3}-描述法：2{|23,}x x x x x R =--∈

例2．下列各式中错误的是 （ ）

（1）{奇数}={|21,}x x k k Z =-∈ （2）{|*,||5}{1,2,3,4}x x N x ∈<=

（3）1{(,)|}2x y x y xy +=??

=-? {(2,1),(1,2)}=-- （4）33N --∈ 答案：（4）

例3.求不等式235x ->的解集

答案：{|4,}x x x R >∈

例4.求方程2210x x ++=的所有实数解的集合。

答案：?

例5．已知2{2,,},{2,2,}M a b N a b ==，且M N =，求,a b 的值

答案：0,1a b ==或11,42a b ==

例6．已知集合{}2210,R A x ax x x =--=∈，若集合A 中至多有一个元素，

求实数a 的取值范围．

【思路分析】本题主要考查元素与集合之间的关系，以及集合的表示

法．由描述法可知集合A 是关于x 的方程2210ax x --=的实数解集，首先考虑方程是不是一元二次方程．

解：当0a =时，方程只有一个根1

2

-，则0a =符合题意； 当0a ≠时，则关于x 的方程2210ax x --=是一元二次方程，由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程2210ax x --=有两个相等的实数根或没有实数根，所以△＝440a +≤，解得1a ≤-．

综上所得，实数a 的取值范围是{}01a a a =≤-或． 答案：{}01a a a =≤-或

四、课堂练习

1． 下

列说法正确的是

( ) A.{}1,2,{}2,1是两个集合 B.{}(0,2)中有两个元素

Ｃ.6|x Q N x

??∈∈????是有限集 Ｄ.{}2|20x Q x x ∈++=且是空集 ２.将集合{}|33x x x N -≤≤∈且用列举法表示正确的是 ( )

Ａ.{}3,2,1,0,1,2,3--- Ｂ.{}2,1,0,1,2--

Ｃ.{}0,1,2,3 Ｄ.{}1,2,3

３.{}

,0.3,0,00R Q N +?∈∈其中正确的个数是( )

Ａ.１个 Ｂ.２个 Ｃ.３个 Ｄ.４个

４.方程组25x y x y +=??-=?

的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ５.已知集合Ａ＝{}20,1,x x -则x 在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

６.(创新题)已知集合{},,S a b c =中的三个元素是ABC ?的三边长,那么ABC ?一定不

是

( )

Ａ.锐角三角形 Ｂ.直角三角形 Ｃ.钝角三角形 Ｄ.等腰三角形

五、回顾小结：

1．集合的有关概念；2．集合的表示方法；3．常用数集的记法

六、课外作业：A 、2、4

星期六 评析课后习题

星期一集合的基本关系

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）理解集合之间包含和相等的含义；（2）能识别给定集合的子集；

（3）能使用Venn图表达集合之间的包含关系。

2、过程与方法

（1）通过复习元素与集合之间的关系，对照实数的相等与不相等的关系联系元素与集合的从属关系，探究集合之间的包含与相等关系；

（2）初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。

3、情感、态度、价值观

（1）了解集合的包含、相等关系的含义，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义。

（2）探索利用直观图示（Venn图）理解抽象概念，体会数形结合的思想。

二、重点、难点：

重点：（1）帮助学生由具体到抽象地认识集合与集合之间的关系——子集；

（2）如何确定集合之间的关系。

难点：集合关系与其特征性质之间的关系。

三、教学过程：

1、新课引入

问题1：元素与集合有“属于”、“不属于”的关系；数与数之间有“相等”、“不相等”的关系；那么集合与集合之间有什么样的关系呢？

2、概念的形成

问题1的探究：

具体实例1：看下面各组中两个集合之间有什么关系

（1）A＝{1，2，3}， B＝{1，2，3，4，5}

（2）A={菱形}， B＝{平行四边形}

（3）A={x|x>2}， B={x|x>1}

（学生分组讨论）

学生甲：我发现在第一组的两个集合中1是集合A中的元素，也即1∈A，同时1也是集合B中的元素；同理2，3也是这样，这就是说集合A中的每一个元素都是B中的元素。

学生乙：除了甲说的外，我还看到集合B中的元素4、5就不在A中，也就是说集合B好像比A大。

学生丙：马上提出疑问：难道说集合之间也存在大小关系吗？

带着大家的疑问我们继续来观察（2）、（3）两组中两个集合之间又有什么样的关系呢？

学生丁：在第2组中我们都知道所有的菱形都是平行四边形，但所有的平行四边形并不都是菱形。我不敢说B比A大，但起码B中的元素比A中的多，且集合A中的每一个元素都是B中的元素。

师：大家分析的都很好，能抓住问题的核心，从元素看集合。那么在第3组中出现了两个不等式，我们可以借助于数轴进而看到它们的关系（黑板画数轴表示集合）。

具有这样关系的两个集合如何准确的用数学语言表述呢？

（1）子集的定义：

文字语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。

符号语言：B

A?或A

B?。

这种图称为Venn图.

矩形}，三角形 {等边三角形} {梯形} {平行四边形}，{x|-1

3、概念的深化

问题2、如果集合A是集合B的子集，那么对于任意的A

x∈，有B

x∈；那么对于集合B中的任何一个元素，它与集合A之间又可能是什么关系呢？

问题2探究：

具体实例2：(1)、A ＝{x|x<-4或x>2}，B={x|x<0或x>1}

(2)、A ＝{x|-1

生：对于（1）由数轴很容易得到A B ?，但B 中的所有元素并不都在A 中，也就是说至少有一个元素只属于B 而不属于A ，对于（2）通过对B 有求解，也不难发现，A B ?，但B 中的所有元素也都在A 中，也就是说A B ?，或者可以说A 和B 中的元素完全相同。

师：很好，通过对实例1的探讨，大家能客观细致地分析得到两个集合之间的关系了。

（2）相等关系：如果集合A B ?，且A B ?，则A=B 。

（3）真子集的定义：如果集合A B ?，但存在元素x ∈B ，且x ?A ，我们

称集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B A ).问题3、集合中会不会没有任何元素呢？

具体实例3、考察下列集合. 并指出集合中的元素是什么？（1）A = {(x ，y ) | x + y =2}。（2）B = {x | x 2 + 1 = 0，x ∈R}。

生：通过观察分析后回答，（1）中的元素是一条直线上的点，而（2）中元素x 是一个方程的解，但这个方程无解。

师：非常好！（4）空集的定义：

我们把不含任何元素的集合称为空集，记作?。

规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。

4、能力提升

（5）子集的性质：

①A A ?.②若A B ?，B C ?，则A C ?.③A = B ?A B ?，且B A ?.

5、举例应用：

例1、写出集合A ＝{1，2，3}的所有子集，并指出有几个真子集是哪些？ 例2、集合A 与集合B 之间是什么关系？

A ＝{x|x=4k+2,k ∈Z} B={x ｜x=2k ，k ∈Z }

6、课堂练习：

课本第7页练习1，2，3

? ≠

? ≠

（1）写出集合{a、b}的所有子集；并指出其子集、真子集的个数。

（2）写出集合{a、b、c}的所有子集；并指出其子集、真子集的个数。

（3）写出集合{a、b、c、d}的所有子集；并指出其子集、真子集的个数。

归纳猜想：对于一个含有n个元素的集合，其子集的个数与元素个数之间有什么关系？

7、课堂小结：

（1）知识点：①子集、真子集、相等关系的概念，空集的概念。

②子集的相关性质。

（2）方法：数形结合（如数轴、Venn图）解决有关集合问题。

8、课后作业：课本第12页习题1、1A组 5，B组 2.

星期二评析课后习题

星期三集合的基本运算

教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子

集的补集；（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对

理解抽象概念的作用。

教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；

教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；

【知识点】

1.并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A 与B的并集（Union）

记作：A∪B 读作：“A并B”

即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}

Venn图表示：

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。

说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。

问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。

2.交集

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B 的交集（intersection）。

记作：A∩B 读作：“A交B”

即： A∩B={x|∈A，且x∈B}

交集的Venn图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。

拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集

3. 补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。

补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集，

记作：C U A

即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A}

补集的Venn 图表示

说明：补集的概念必须要有全集的限制

4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交

集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5. 集合基本运算的一些结论：

A

A ∩

B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A

A ?A ∪

B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A

（C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=?

若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立

若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立

若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B

若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B

¤例题精讲：

【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求e.

解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示：

{|35}A B x x =<≤， (){|1,9}U C A B x x x =<-≥或，

【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：

（1）()A B C ； （2）()A A B C e.

解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------.

（1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3；

（2）又{}1,2,3,4,5,6B C =，

得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------. ∴ ()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------.

【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.

解：由A B A =，可得A B ?.

在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示： 由图形可知，4m ≥.

点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.

【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.

解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C A B =.

由{5,8}A B =，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C A B =

由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =，

则()(){6,7,9}U U C A C B =，

()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.

由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A B =，

()()()U U U C A C B C A B =.

点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B =与()()()U U U C A C B C A B =

，在理

解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.

【自主尝试】

1.设全集{}|110,U x x x N =≤≤∈且,集合{}{}3,5,6,8,4,5,7,8A B ==,求A B ?,A B ?,()U C A B ?.

2.设全集{}{}{}|25,|12,|13U x x A x x B x x =-<<=-<<=≤<集合,求A B ?,A B ?,()U C A B ?.

3.设全集{}{}{}22|26,|450,|1U x x x Z A x x x B x x =-<<∈=--===且,求A B ?,A B ?,()U C A B ?.

【典型例题】

1.已知全集{}|U x x =是不大于30的素数,A,B 是U 的两个子集,且满足{}{}()5,13,23,()11,19,29U U A C B B C A ?=?=,{}()()3,7U U C A C B ?=,求集合A,B. ２.设集合{}{}22|320,|220A x x x B x x ax =-+==-+=,若A B A ?=,求实数a 的取值集合.

３. 已知{}{}|24,|A x x B x x a =-≤≤=<

① 若A B φ?=,求实数a 的取值范围；

② 若A B A ?≠,求实数a 的取值范围；

③ 若A B A B A φ?≠?≠且,求实数a 的取值范围.

4.已知全集{}22,3,23,U a a =+-若{}{},2,5U A b C A ==,求实数a b 和的值. 星期四 评析课后习题