2015届高考数学第一轮基础巩固训练题61.doc

第12讲导数的综合应用

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()．

A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

解析∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，

由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，

∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，

即a2－3a－18＞0.

∴a＞6或a＜－3.

答案 B

2．已知函数f(x)＝x2＋mx＋ln x是单调递增函数，则m的取值范围是()．A．(－22，＋∞)B．[－22，＋∞)

C．(－∞，22)D．(－∞，22]

解析依题意知x＞0时，f′(x)＝2x2＋mx＋1

x，

令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)，

当－m

4≤0时，g(0)＝1＞0恒成立，∴m≥0成立，

当－m

4＞0时，则Δ＝m

2－8≤0，∴－22≤m＜0，

综上，m的取值范围是[－22，＋∞)．

答案 B

3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R(x)＝

???

??

400x －12x 2(0≤x ≤400)，80 000(x ＞400)，

则总利润最大时，每年生产的产品是( )．

A ．100

B ．150

C ．200

D ．300

解析 由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ， 总利润P (x )＝???

??

300x －x 22－20 000(0≤x ≤400)，

60 000－100x (x ＞400)，

又P ′(x )＝???

300－x (0≤x ≤400)，

－100(x ＞400)，

令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P (x )最大． 答案 D

4．若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( )．

A ．(－∞，7]

B ．(－∞，－20]

C ．(－∞，0]

D ．[－12,7]

解析 令f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或3(舍去)．∵f (－1)＝7，f (－2)＝0，f (2)＝－20.∴f (x )的最小值为f (2)＝－20，故m ≤－20，可知应选B.

答案 B

5．(2013·潍坊模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3f (30.3)，b ＝(log π3)f (log π3)，c ＝? ????log 319f ? ????log 319，

则a ，b ，c 间的大小关系是( )．

A ．a >b >c

B ．c >b >a

C ．c >a >b

D ．a >c >b

解析 设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0(x <0)，∴当x <0时，g (x )＝xf (x )为减函数．

又g (x )为偶函数，∴当x >0时，g (x )为增函数．

∵1<30.3<2,0

9＝－2，

∴g(－2)>g(30.3)>g(logπ3)，即c>a>b.

答案 C

二、填空题

6．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．

解析设底面宽为x cm，则长为2x cm，高为72

2x2cm，

S＝4x2＋72

x＋

144

x＝4x

2＋

216

x.

S′＝8x－216

x2＝0，解得x＝3 (cm)．

∴长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm.

答案 6 cm 3 cm 4 cm

7．(2013·江西九校联考)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：

f(x)

(1)f(x)的极小值为________；

(2)若函数y＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围是________．

解析(1)由y＝f′(x)的图像可知：

(2)y＝f(x)的大致图像如图所示：

若函数y＝f(x)－a有4个零点，则a的取值范围是[1,2)．

答案(1)0(2)[1,2)

8．(2014·延安模拟)已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________ .

解析当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x－1

x3，设g(x)＝

3x－1

x3，

x∈(0,1]，

g′(x)＝3x3－(3x－1)·3x2

x6＝－

6?

?

?

?

?

x－

1

2

x4.

g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表：

因此g(x

答案[4，＋∞)

三、解答题

9．设函数f(x)＝1

2x

2＋e x－x e x.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围．

解(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，

∵f′(x)＝x＋e x－(e x＋x e x)＝x(1－e x)，

若x＜0，则1－e x＞0，所以f′(x)＜0；若x＞0，则1－e x＜0，所以f′(x)＜0；

当x＝0时，f′(x)＝0，∴当x∈(－∞，＋∞)时，f′(x)≤0.

∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，

即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (2)＝2－e 2，

∴m ＜2－e 2时，不等式f (x )＞m 恒成立． 故实数m 的取值范围是(－∞，2－e 2)．

10．(2014·青岛一模)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b

x ，函数f (x )的图像与x 轴的交点也在函数g (x )的图像上，且在此点有公切线．

(1)求a ，b 的值；

(2)试比较f (x )与g (x )的大小．

解 (1)f (x )＝ln x 的图像与x 轴的交点坐标是(1,0)， 依题意，得g (1)＝a ＋b ＝0，① 又f ′(x )＝1x ，g ′(x )＝a －b x 2， 又f (x )与g (x )在点(1,0)处有公切线， ∴g ′(1)＝f ′(1)＝1，即a －b ＝1，② 由①②得a ＝12，b ＝－1

2.

(2)令F (x )＝f (x )－g (x )，则

F (x )＝ln x －? ????1

2x －12x ＝ln x －12x ＋12x (x ＞0)，

∴F ′(x )＝1x －12－12x 2＝－12? ????

1x －12≤0.

∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数，且F (1)＝0， 当0＜x ＜1时，F (x )＞F (1)＝0，即f (x )＞g (x )； 当x ＝1时，F (x )＝F (1)＝0，即f (x )＝g (x )； 当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即f (x )＜g (x )． 综上可知，当0＜x ≤1时，即f (x )≥g (x )； 当x ＞1时，即f (x )＜g (x )．

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、选择题

1．(2014·洛阳统考)若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()．

A．4B．6

C．7D．8

解析由题意得f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)＞0得x＜1或x＞2，由f′(x)＜0得1＜x＜2，所以函数f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a ＝4，而选项中只给出了4，所以选A.

答案 A

2．(2014·高安中学模拟)已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时()．

A．f′(x)＞0，g′(x)＞0B．f′(x)＞0，g′(x)＜0

C．f′(x)＜0，g′(x)＞0D．f′(x)＜0，g′(x)＜0

解析由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．当x＞0时，f(x)，g(x)都单调递增，则当x＜0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f′(x)＞0，g′(x)＜0.

答案 B

二、填空题

3．(2014·南昌模拟)设0＜a≤1，函数f(x)＝x＋a2

x，g(x)＝x－ln x，若对任意

的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是________．

解析f′(x)＝1－a2

x2＝

x2－a2

x2，当0＜a≤1，且x∈[1，e]时，f′(x)＞0，∴f(x)

在[1，e]上是增函数，f(x1)min＝f(1)＝1＋a2，又g′(x)＝1－1

x(x＞0)，易求g′(x)

＞0，∴g(x)在[1，e]上是增函数，g(x2)max＝g(e)＝e－1.由条件知只需f(x1)min≥g(x2)max.即1＋a2≥e－1.∴a2≥e－2.即e－2≤a≤1.

答案[e－2，1]

三、解答题

4．已知函数f(x)＝ax3－3

2(a＋2)x

2＋6x－3.

(1)当a ＞2时，求函数f (x )的极小值；

(2)试讨论函数y ＝f (x )的图像与x 轴公共点的个数． 解 (1)因为f ′(x )＝3ax 2－3(a ＋2)x ＋6 ＝3a ? ??

??

x －2a (x －1)，

所以易求出函数f (x )的极小值为f (1)＝－a 2. (2)①若a ＝0，则f (x )＝－3(x －1)2， 所以f (x )的图像与x 轴只有1个交点；

②若a ＜0，函数f (x )在? ????－∞，2a 和(1，＋∞)上单调递增；在? ????

2a ，1上单调递

减，

所以f (x )的极大值为f (1)＝－a

2＞0，

极小值为f ? ??

??2a ＝－3(a －1)2

－1

a 2＜0，

所以f (x )的图像与x 轴有3个交点；

③若0＜a ＜2，函数f (x )在(－∞，1)和? ????2a ，＋∞上单调递增；在? ?

???1，2a 上单

调递减，

所以f (x )的极大值为f (1)＝－a

2＜0，

极小值为f ? ??

??2a ＝－3(a －1)2

－1

a 2＜0，

所以f (x )的图像与x 轴只有1个交点； ④若a ＝2，则f ′(x )＝6(x －1)2≥0， 所以f (x )的图像与x 轴只有1个交点；

⑤若a ＞2，函数f (x )在? ????－∞，2a 和(1，＋∞)上单调递增；在? ????2a ，1上单调递减，所以f (x )的极大值为

f ? ??

??2a ＝－3(a －1)2

－1

a 2＜0，极小值为f (1)＝－

a 2＜0， 所以f (x )的图像与x 轴只有1个交点．

综上，知若a ≥0，f (x )的图像与x 轴只有1个交点；

若a＜0，f(x)的图像与x轴有3个交点．