研究生招生指标分配

数学建模竞赛

题目研究生的招生指标分配

摘要

本文针对研究生的招生指标分配问题，结合概率统计方法、灰色预测方法、层次分析法等相关知识，对补缺数据、分析规律、设计方案等相关问题进行分析求解，建立相应的数学模型。

对于缺失数据问题，分析并确定主要指标，运用概率统计学的相关原理抽取样本，建立多元线性回归模型，完成对缺失数据的补全；对分析数据的统计规律问题，首先采用标准差

M软法对数据进行预处理，使各个因素更好的体现于教师岗位等级的内在联系，再使用atlab

件对数据进行进一步的处理，通过图表更直观的展现招生人数等评价对象的统计规律；针对名额分配问题,构建灰色预测GM（1,1）模型对2012年的招生名额进行预测，对往年的招生数据进行预处理，并对预测值进行残差检验保证了预测值(764)的精确性。分析各分配指标的重要性，通过构建层次分析模型求解相对权重向量，并进行一致性比率指标检验，对分配方案做出调整。灰色预测GM（1,1）模型与层次分析模型的相间使用，提高招生名额分配的合理性和科学性，对其他模型的建立有一定的参考意义。

最后，对分配方案进行调整，提出优化建议，更好的解决实际问题。

关键字：灰色预测GM（1,1）层次分析概率统计标准差法

一、问题重述

高等学校研究生招生指标分配问题，对研究生的培养质量、学科建设和科研成果的取得有直接影响。特别是2011年研究生招生改革方案中，将硕士研究生招生指标划分为学术型和专业型两类。这一改革方案的实施，给研究生教育的发展带来发展机遇的同时，也给研究生招生指标分配的优化配置提出了新的思考。

题目所给数据是某高校2007-2011年硕士研究生招生实际情况。研究生招生指标分配主要根据指导教师的数量以及教师岗位进行分配。其中教师岗位分为七个岗位等级（一级岗位为教师的最高级，七级岗为具备硕士招生资格的最低级）。另外数据表还列出了各位教师的学科方向，2007-2011年的招生数，科研经费，发表中、英文论文数，专利数，获奖数，获得校、省优秀论文奖数量等信息。

请你参考有关文献、利用题目所给的数据建立数学模型，并解决下列问题。

1. 由于统计数据的缺失，第18、103、110、123、150、168、274、324、335、352位教师的数据不完整，请你用数学模型的方法将这些缺失的数据补充完整。

2. 以前的硕士研究生名额分配方案主要参考导师岗位级别进行分配。请你以岗位级别为指标，分析每个岗位的招生人数、科研经费、发表中英文论文数、申请专利数、获奖数、获得优秀论文数量的统计规律，并给出合理的解释。

3. 根据第二问的结论，提出更加合理的研究生名额分配方案，使得新方案既兼顾到岗位又能兼顾到其他因素，例如研究生的招生类型等，并要求用此方案对2012年的名额进行预分配。

4. 如果在研究生招生指标分配当中，考虑到学科的特点和学科发展的需要，进行差异分配，请你设计调整方案，并用你的方案给出2012年的调整方案。

5. 如果想把分配方案做得更加合理，你认为还需要哪些指标数据，用什么方法可以完成你的方案？请阐述你的思想。

二、问题分析

由题意知，本题通过给出某高校2007-2011年硕士研究生招生实际情况的数据及研究生招生分配的主要依据，进而要求根据已有条件对一系列问题进行解答。涉及概率统计方法及层次分析方法的相关知识，针对高等学校研究生招生指标分配问题，由补缺数据，分析数据的统计规律，招生名额分配及方案的评价改进等问题，其求解过程要求建立相应的数学模型。

对问题一，在仔细阅读问题和充分理解题意的基础上，问题一对于缺失数据的估测属于典型的数据分析问题，数据拟定属于随机变量的范畴，通过研究总体的分布规律：根据某种原则或经验假设总体服从于某种概率分布。对于总体的分布规律，必须对总体进行抽样观察来推断总体的性质。分析数据的性质建立相应的总体分布函数，使用参数估计法中最大似然估计法的相关知识求解参数的似然值，通过评价估计量的一致性、无偏性、有效性选择估计量，将数值返回依据线性规划的有关原理建立的总体分布函数。最后，依据总体分布函数对所缺失的数据进行求解。

对问题二，要求以岗位级别为指标，分析每个岗位的招生人数、科研经费、发表中英文论文数、申请专利数、获奖数、获得优秀论文数量的统计规律。通过分析所给数据，综合考虑多方面因素对统计结果的影响并就其原因进行合理说明，依据各指标的重要性分析各岗位的数据统计规律。对处理后的实验数据运用atlab

M软件进行图表实体化拟处理，直观展现统计规律。

对问题三，依据上题结论，要求据岗位等级等其他诸多因素构建更加合理的研究生名额分配方案，即对研究生的招生名额分配在以前规划的基础上依据多个指标拟运算，使新的分配方案不仅考虑之前的因素，而且可以涉及到其他因素，使方案更加科学合理。可依据数据结构做相应的预处理，将数据拟合为数列形式，构建合适的数学模型，进而对2012年的招生名额预测。

对问题四，继续深入研讨研究生招生问题，本题主要从指标的角度对招生方案的标准进行优化，需考虑到学科的特点和学科发展的需要，设计调整方案。利用调整好的新方案结合层次分析法针对2012年招生指标分配进行处理。对所有影响招生方案的指标由于因素众多可进行筛选，对剩下的指标进行预处理，通过

相对权重向量的比值大小来确定新的分配指标。

对问题五，题目要求通过补充指标数据使分配方案更加完善，并通过合理可行的方法能使方案运行。可以对尽可能多的影响因素进行拟定，有多个层次进行分析，完善指标数据。

最后，对模型的建立及数据的求解进行优化，满足于实际应用。

三、模型假设

●运用概率统计选择样本符合随机性，不涉及任何主观因素。

●题中所提供的数据真实可靠，可用于数据预测。

●2012年招生政策没有太大改动，不影响招生结果。

●各个岗位教师数量无重大调整

●不存在其他因素影响招生人数及其名额分配

四、符号注释

a数据的总体

θ参数值

η数据的分布函数

λ数据列的级比值

a*数据列

b*均值数据列

a~（k+1）求解的预测值

σ残差值

A构建的比较矩阵

W相对权重向量值

五、模型的建立与求解

5、1模型建立的背景

高等学校研究生招生指标分配问题，对研究生的培养质量、学科建设和科研成果的取得有直接影响。特别是2011年研究生招生改革方案中，将硕士研究生招生指标划分为学术型和专业型两类。这一改革方案的实施，给研究生教育的发展带来发展机遇的同时，也给研究生招生指标分配的优化配置提出了新的思考。

5、2模型一的建立

5、2、1模型的分析

对于问题一的求解，属于典型的数据分析问题，根据题中所给的数据（设为总体a），通过分析易知研究对象是随机变量，其中部分统计数据缺失，要求利用已有条件构建数学模型补齐。对于随机变量的统计分析，即研究总体a的分布规律：根据某种原则或经验假设总体服从于某种概率分布。

对于总体的分布规律，必须对总体进行抽样观察，根据概率统计模型来推断数据的性质，分析数据之间的联系,建立合适的模型进行求解。

对于数据的处理，参照参数估计法的相关知识，求解参数的近似值，进而补缺缺失的数据，对求解的值判断精确程度及可信度。

5、2、2模型一的创建

从总体a随即抽取n个样本，记做（X1、X2···X n），对于样本数量的选取由总体的数量确定。本题中取总体的五分之一，即30组样本数据。

提取样本的一组观测值，记为（x1、x2···x n）。依据数据的特征适当的选取参数 i（i=1,2···k），使得样本取这组观测值的可能性最大（即概率最大），构造似然函数：

12k , L θθθ（）=P {X 1=x 1，X 2=x 2·

··X n =x n } =1{}n

i P ==∏i i X x

=

1

2

k

1

{, n

i p θθθ

=∏i

x ，························○

1 根据求解使12k , L θθθ（）达到最大的参数值，便可得到参数的最大似然估计

值。

对于估计值的评价：

一致性检测：对未知参数的估计量，当n 趋近于无穷时，估计量依据概

率收敛于该未知参数，表明该估计量是一致的。

有效性检测：对于未知参数的两个无偏估计量，若估计量○

1与估计量○2的方差比值小于一，表明估计量○

1的值更为有效。

由上述解得的数据应用构建多元线性回归模型求解总体a 的分布函数：

η=F (12k (,, x θθθ）

·························○2 5、2、3问题一补缺数据的求解

考虑各个学科相同岗级的教师招生人数间的差异,由确实的部分数据所在学科作为独立区间.由本学科内的数据单独构建分布函数来进行对数据的求解.

分别对缺失数据的部分进行分析与求解:

18号教师属于三级岗；103号教师属于七级岗；110号教师属于六级岗； 123号教师属于六级岗；150号教师属于四级岗；168号教师属于四级岗； 274号教师属于四级岗；324号教师属于五级岗；335号教师属于四级岗； 352号教师属于六级岗。 5、3问题二统计规律的分析

题目要求依据岗位级别这一指标，分析每个岗位的招生人数、科研经费、发表中英文论文数、申请专利数、获奖数、获得优秀论文数量等六项的统计规律，

并给出合理的解释。对统计规律的展现，首先对原始数据使用标准差法进行预处理，通过atlab M 软件 对数据进行处理并将结果以图标的形式直观展现。（其中部分图表详见附录【1】）

→ 各岗位招生人数的统计规律：

77.588.599.51010.511

1

2

3

4

5

6

07-11年各级别岗平均招生人数

图一 各岗位级别年均招生人数折线图

通过对折线图的分析可以看出，从七级岗到一级岗招生人数逐渐增加，招生人数与岗位等级存在一定的线性关系。到2010年招生人数在各岗位大致呈现增长趋势，2011年的招生情况除七级岗外人数均呈减少趋势，可能与在该年实施的研究生招生改革方案有关，但并未影响招生人数与岗位级数的线性关系。

→ 科研经费的统计规律：

1

2

3

4

5

6

7

102030405060708090

100各岗位级别平均纵向经费数

图二 岗位级别平均纵向经费数示意图

1

2

3

4

567

510

15202530354045

50各岗位级别平均横向经费数

图三 各岗位年均横向经费示意图

由图表结合题目信息各岗位级别的纵向经费分别为：、、、、、、、

308,4197,6757,2741,3725,8905,3286

横向经费分别为：4662,2662,1754,472,267,725

、、、、、、,3、93

通过分析数据结合图表，年均纵向经费与岗位等级间无明显的关系，可能纵向经费的支出并不是依据岗位等级的级别，即纵向经费与岗位等级的高低无关，具体根据各岗位的实际情况进行支出。对于横向经费的支出可以看出，横向经费大致是根据岗位等级的高低进行补给，两者呈一定的函数关系，六级岗与七级岗的反常

（以下统计规律的各项图表详见附录【1】）

→发表中英文论文数的统计规律

据图分析可知，除四级岗的明显递增外岗位等级与发表的中英文论文数存在一定的函数关系，即岗位等级越高，发表的中英文论文数越多。原因教师的岗位等级高，具备的能力就会越强，知识越丰富，相应的发表论文数就较多。起初三级岗与四级岗教师发表论文数较少，突增原因可能由于调整了新的教师加入，使该岗位等级的创新等各项水平上升。

→申请专利数的统计规律

图表显示岗位等级的高低并未影响到其申请专利数，其中以四级岗申请的专利数最多，结合对发表中英文论文数的统计规律，可能由于新教师的加入，提高了四级岗教师的创新能力，进而才申请较多的专利数。

→获奖数的统计规律

据图显示岗位等级与获得奖励的数量不存在必要的联系，二级岗教师未获得奖励，原因可能由于教学成果很难有所突破，而平时又无重大立功表现。相对来说七级岗教师获奖励高于五级岗和六级岗可能就缘于此。一级岗获奖励数居多，教师岗位级别高，教学成果、科研成果较为突出。

→获得优秀论文数量的统计规律

由图易知，除三级岗数量居高、六级岗微增外岗位等级的高低与优秀论文数量成正比关系。联系以上统计规律，可能与调整的教师岗位有关，也有可能是这两个级别的教师的论文发表远高于其他岗位，致使优秀论文数高于其他岗位。

5、4模型二的建立 5、4、1模型建立的背景

本题中要求建立更加合理的研究生名额分配方案，兼顾岗位级别及其他因素，以此对2012年的招生名额进行预分配并在此基础上设计新的分配调整方案。需要通过建立与之相适的模型来提供分配方案的安排，以岗位级别等为主要的分配指标，据往年的实验数据来推测2012年的分配方案，为此，引进GM （1,1）模型对分配方案进行预测和层级分析法对方案进行调整。 5、4、2数据的预处理

为保证所建模型的可行性，首先对已知数据进行一定的预处理。假设题目所提供的参考数据为：

a={a(1),a(2), a(n)}························○

3 由数据结构计算数据列的级比：

λ（k ）=

(1)

()

a k a k - （k=2,3···n ）····················○

4 所有的级比如均落在可溶覆盖内，则数据列a 可作为模型GM （1,1）并进行灰色预测。针对本题，可溶覆盖范围为（0、7165，1、3956），数据列的各项级比满足条件。

5、4、3灰色模型GM （1,1）的建立

由参考数据列a 作累加处理得到新的数据列a *:

a *={ a *(1)， a *（2）··· a *（n ）}················○

5 对于新数据列求解均值数列：

b *(k)=

12 a *(k)+ 1

2

a *(k-1) ={

b *(1) ,b *(2) ···b *(n)}·················○

6 参照均值数列构建灰微分方程：

a （k ）+α a *(k)= β···························○

7

化为白化微分方程：

*

*a a ()d t dt

αβ+=·

······························○8 对方程进行求解：

a ~（k+1）={a(1)- βα}e - k α+βα

···················○

10

运用建立好的函数模型：

a ~（k+1）={a(1)-

βα}e - k α+βα

据往年招生数据可以预测出2012年的研究生招生名额。

预测值的检验（残差法）： 设残差为σ:

σ= ~

()a k)

()

a k a k -（··································○

11

针对本题求解的残差为: 0，0、033485,0、0265386,0、08913，0、04211

数值均小于0.1,则对预测数据可以应用于实际.

5、4、4层次分析模型的建立

有多项影响因素对分配结果造成影响，如何由现有指标对2012年的招生名额进行预分配。首先明确准则层、目标层的相对关系，将与分配有关的各种因素 层次化:

方案层C

方案层C

由分配指标对分配名额的影响程度，即计算其在名额分配中的权重。

方案一：专家预测法

通过比较各项指标数据的相对关系，分析现有数据中各项指标对分配结果的影响程度，将数据进行一定层次的处理，对每个指标的重要性进行处理。依据经验和有关知识对各项指标的权重进行分配，但需确保各项权重的和为1.

专家预测法适用指标的数据不完整或指标的确定过程中没有数据的给出。单纯的依据指标的影响程度及经验判断，存在一定的误差。

方案二：特征根法

对已有数据进行预处理，得到标准化数据。设总体(分配的名额)共有m个评

价指标（岗位等级、获奖个数等），指标的数据分别为w1，w2···w m。

指标数据作两两对比处理得到其相对数值：

μ=

i

j

w w ·····································○

12 依据上述得到的相对数据进行进一步的处理，得到其比较矩阵：

A ??????????=????????????11

112n 22212n n n n 1

2

n w w w w w w w w w w w w w w w w w w

····························○

13 对一致性正互反矩阵A ，依据此矩阵计算相对权重向量：

···=12n W w w w ，，（）t

·································○

14 权重向量的唯一约束条件：

n

i

1

w

1i ==∑·

··································○15 一致性比率指标检验：

对求出的相对权重向量的精确度及数据的可行性进行判别，得出的权重向量对应的特征值假设为λ：

1

i ()w n

i AW i

n λ==

∑·································○16 当一致性比率指标值小于01、时可认定矩阵的一致性是可行合理的。

5、5模型的求解

整合往年数据，通过分析处理，依据建立的模型使用atlab M 软件做出招生名额的预测图：

2007

2008

2009201020112012

2012年名额预测图

图八 对2012年招生名额的预测图

通过建立的灰色预测GM 模型求解2012年的研究生招生名额为764. 使用残差法对预测值进行检验，结果为：

0，0、033485,0、0265386,0、08913，0、04211

易知各项残差均小于0、1，即预测值精度较高，数据可行性高。 通过对指标的筛选确定分配指标，运用层次分析模型求解： 由一级岗到七级岗的相对权重系数为：

0.1653399660.1453217670.1262710820.1341835450.120282840.1202474120.188353388

，，，，，

设计2012年分配方案为

考虑到学科的特点和学科发展的需要，进行差异分配， 给出的2012年的调整方案（对各个学科的分配指标）：

学科人数分配的指标权重

A 0.171989

B 0.077875

C 0.055403

D 0.015705

E 0.080343

F 0.066304

G 0.074119

H 0.047663

I 0.136316

J 0.188507

K 0.085775

5、6分配方案的优化

对于研究生的名额分配方案，上述模型只是对众多影响因素提取部分主要的因素，并以此为指标设计名额调整方案。在建立前几个模型的基础上，由招生数，科研经费，发表中英文论文数，专利数，获奖数，获得校、省优秀论文奖数量等指标的基础上，建立新增对教师停招或扩招、各学科课时、研究生水平、强项学科扩招等指标。

主要是通过构建层次分析模型进行求解，对于名额分配与选择教师，新加入动态规划方法辅助求解，增加了分配调整方案的精确度，使实验数据预测精确度高，从而更好的解决调整后的研究生分配方案。

六、模型的评价与推广

6、1模型的评价

本题主要利用了概率统计方法、灰色预测法及层次分析法的相关知识建立数学模型。其中应用概率统计学对大量数据进行分析处理提高了结果的准确性与可

M软件使本文更加科学合理。模型二中灰色预信度，求解过程由联合使用了atlab

测模型与层次分析模型的相间使用更是提高了结果的准确性与可信度，对于其他模型的建立具有一定的参考意义。

但文中对2012年招生名额的分配调整方案中相对权重求解精确度不高，造成分配结果存在一定的误差，在实际应用中应加以考虑。

6、2模型的推广

本题所建模型虽解决的是对研究生招生名额分配中数据补缺、数据预测、名额分配等方面的问题，实际上可推广来解决有关此类数据处理的问题，依据本文原理构建数学模型。

本题模型可以推广至预测类、分配类的问题求解，例如根据已有数据对人口增长进行预测、期末评比中某科成绩缺失等相关问题，也可延伸至其他各种情形。

参考文献

【1】韩中庚 数学建模方法及其应用，高等教育出版社，2009.6 92-96、113-118、

371-374

附录

【1】图表信息

1

2

3

4

5

6

7

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

各岗位07-11年均获得奖励数

图四 各岗位年均获奖励数示意图

1234567

0.511.5

2

2.5

3

3.5

4各岗位级别平均申请专利数

图五 各岗位级别平均申请专利数示意图

77.588.599.51010.511

0.2

0.40.60.81

1.2

1.4

1.607-11年各级别岗平均发表中英文论文数

图六 各岗位级别期刊中英论文篇数示意图

1

2

3

4

5

6

7

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1各岗位级别平均优秀论文数

图七 各岗位级别优秀论文数量柱状图

【2】程序编程：

灰色预测

function X=GM(X0,k)% 建立灰色预测函数; format long ; n=length(X0); alpha=[]; X1=[]; X1(1) =X0(1); for i=2:n

X1(i)=X1(i-1)+X0(i); end

for i=1:n-1

B(i,1)=-0.5*(X1(i)+X1(i+1)); B(i,2)=1; Y(i)=X0(i+1); end

alpha= inv(B'*B)*B'*Y'; a=alpha(1,1); b=alpha(2,1); d=b/a; c=X0(1)-d; X2(1)=X0(1);

X(1)=X0(1);

for i=1:n-1

X2(i+1)=c*exp(-a*i)+d;%预测值;

X(i+1)=X2(i+1)-X2(i);

end

for i=(n+1):(n+k)

X2(i)=c*exp(-a*(i-1))+d;

X(i)=X2(i)-X2(i-1);

end

for i=1:n %检测值预测;

error(i)=X0(i)-X(i);

error1(i)=abs(error(i));

error2(i)=error1(i)/X0(i);%残差检测;

end

X0=[321.00 ,405.00,474.00,621.00,631.00 ];

k=1;

X=GM(X0,k);

X

error2

plot(2007:2012,X,'-ro');%名额预测曲线;

hold on

plot(2007:2011,X0,'-b+');%2007-2011年真实名额曲线; gtext('预测曲线');

gtext('真实曲线');

title('2012年名额预测图')

07-11年各级别岗平均招生人数

x=[07,08,09,10,11]; %年份;

y1=[94,107,99,87,68];

y2=[40,49,44,60,46];

y3=[37,52,47,67,46];

y4=[78,104,135,177,160];

y5=[13,15,26,37,34];

y6=[39,46,52,63,57];

y7=[22,34,72,129,218]; %各年份各级别岗招生人数;

z1=y1/18;

z2=y2/13;