2015-2016学年江苏省扬州市高一上学期期末调研考试【解析版】

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2015-2016学年江苏省扬州市高一上学期期末调研考试

一、填空题

1．已知集合}1,0{=A ，}1,1{-=B ，则A B = ． 【答案】{1,0,1}- 【解析】

试题分析：由题： }1,0{=A ，}1,1{-=B ， }{

1,0,1A B =- 考点：集合的并集运算.

2．幂函数)(x f 的图象过点)2,4(，则(2)f = ． 【解析】

试题分析：由题为幂函数， 可设：()f x x α=，代入点)2,4(，得：21

24,22,2

αα==α=

即：12()f x x =，所以： 12

(2)2f ==考点：幂函数的概念及待定系数法求函数解析式. 3．函数()tan(2)4

f x x π

=+的最小正周期为 ．

【答案】

2

π； 【解析】

试题分析：由题()tan(2)4

f x x π

=+得： ,2,2

T T ππ=

ω==ω 考点：正切函数的周期. 4．已知扇形的圆心角为3

π

，半径为2，则该扇形的面积为_________． 【答案】23

π； 【解析】

试题分析：由题圆心角为

3

π

，半径为2；则：

1112,,422233

S lR l R S R R ====??= ππαα

考点：弧度制下的扇形面积算法.

5．已知点P 在线段AB 上，且||4||AB AP =

，设A

P P B λ= ，则实数λ= ． 【答案】1

3

；

【解析】

试题分析：由题： ||4||AB AP = ，即； 131,,443AP AB PB AB AP PB === ,则1

3

=λ

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考点：共线向量的几何意义. 6．函数1

)(-=

x x

x f 的定义域为 ． 【答案】{|0x x ≥且1}x ≠； 【解析】

试题分析：由题1)(-=

x x

x f ： 得： 010

x x ≥??-≠?，解得定义域为：{|0x x ≥且1}x ≠ 考点：常见函数定义域的算法.

7．求值：2(lg5)lg 2lg50+?= ． 【答案】1；

【解析】

试题分析： 22(lg5)lg2lg50(lg5)lg2(lg5lg10)lg5(lg5lg2)lg2lg5lg21+?=+?+=++=+= 考点：对数的运算性质.

8．角α的终边经过点),3(y P -，且5

4

sin =α，则y = ． 【答案】4； 【解析】 试

题

分

析

：

由

题

5

4sin =

α： 因为：

sin y r

α=

，

445r y ==

考点：三角函数的定义.

9．方程121

124

x x

-+=+的解为x = ． 【答案】2-；

【解析】

试题分析：由题121

124

x x

-+=+，4(12)12,20x x x t -+=+=>， 2

1214310,,1(4

t t t t +-==

=-舍），得：222,2x x -==- 考点：指数方程的解法即换元法.

10．若||1,||a b == ()a a b ⊥- ，则向量a 与b

的夹角为 ．

【答案】

4

π； 【解析】

试题分析：由题()a a b ⊥- ： 得： 2()0,0a a b a a b -=-=

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2cos 0,10,cos 4

a a

b -====

πθθθθ

考点：向量垂直的性质及向量乘法的定义. 11．若关于

x 的方程0sin cos 2=+-a x x 在],0[π内有解，则实数a 的取值范围

是 ． 【答案】[1,1]-； 【解析】

试题分析：由题得：221sin sin 0,sin ,01,10x x a x t t t t a --+==≤≤+--= 2()1,f t t t a =+--对称轴为：1

2

t =-，在[0,1]有解，由零点判定定理得：

(0)(1)0,(1)(1)0,11f f a a a ≤+-≤-≤≤ 考点：换元法及函数思想.

12．下列说法中，所有正确说法的序号是 ．

①终边落在y 轴上的角的集合是{|,}2

k k Z π

αα=∈； ②函数4cos(2π-=x y 图象的一个对称中心是)0,4

3(

π

； ③函数tan y x =在第一象限是增函数； ④为了得到函数-=x y 2sin(3π

)的图象，只需把函数sin 2y x =的图象向右平移6

π个单位长度.

【答案】②④； 【解析】

试题分析：由题①终边落在y 轴上的角的集合应是{|,}2

k k Z =+∈π

ααπ；

③反例为：121212,2,,tan tan 44

x x x x x x =

=+<=p p

p ，单调性为给定区间上的性质. ②④正确.

考点：三角函数的性质.

13．若函数2()log (1)(0a f x x ax a =-+->且1)a ≠有最大值，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(2,)+∞； 【解析】

试题分析：由题令：21t x ax =-+-，则抛物线开口向下，∴函数t 有最大值， log a y t

=在定义域上单调，且t ＞0∴要使函数2()log (1)a f x x ax =-+-有最大值， 则

log a y t =在定义域上单调递增，则a

＞1，

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又22

21(124a a t x ax x =-+-=--+

-，则由t ＞0得，2

104

a -> ， 解得：2,a >或2,a <-，又因为1a >，则 2.a >即实数a 的取值范围是（2，+∞）． 考点：对数型复合函数的单调性与最值.

14．已知2

2,0

(),0

x x f x x x ?≥?=?-恒成立，则

实数m 的取值范围是 ． 【答案】1(,)4

-+∞； 【解析】

试题分析：由对任意的1x ≥有(2)()0f x m mf x ++>恒成立，若20,x m +<得：因为1x ≥

22(2)()(1)440f x m mf x m x m m ++=--->恒成立，不可能.

则当20,x m +≥因为1x ≥，得1

,2

m ≥-

则代入()f x ，得：

22(2)()(1)440f x m mf x m x mx m ++=+++>，恒成立，

令 22()(1)440g x m x mx m =+++>。即2(1)(1)440g m m m =+++> 解得： 14m >-

，或1m <- ，综上得： 1

(,)4

m ∈-+∞ 考点：恒成立问题中的分类思想和函数思想的综合运用..

二、解答题

15．已知集合{|11}A x a x a =-<<+，{|03}B x x =<<． ⑴若0=a ，求A B ；

⑵若B A ?，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){|01}x x <<（2）12a ≤≤ 【解析】

试题分析：(1)由题已知集合{|11}A x a x a =-<<+，{|03}B x x =<<， 若0=a ，由交集的定义易得A B

（2）由已知B A ?，由子集的定义，结合数轴可求出a 的取值范围. 试题解析：⑴若0=a ，则}11|{<<-=x x A ，A ∩B }10|{<<=x x

⑵10

13

a a -≥??

+≤?，则12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是12a ≤≤

考点：1.交集的定义； 2.子集的含义.

16．如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上．

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…线…………○………线…………○……

（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+

，求λμ+的值； （2 2BC =，当1AE BF ?=

时，求DF 的长．

【答案】(1)

2【解析】试题分析：（1）EF EC CF =+

,∵E 是BC 边的中点,点F 是CD 上靠近C

的三等分点,∴又∵BC AD = ,CD AB =- ,∴

；（2）设(0)DF mDC m => ，则

()1C F m D C

=- ，以AB ， AD

为基底， ， ()()11BF CF BC m DC BC m AB AD

=+=-+=-+

，∴故DF 的长为 试题解析：（1）EF EC CF =+

,∵E 是BC 边的中点,点F 是CD 上靠近C 的三等分

.矩形A B C D 中

, BC AD = ,CD AB =- , (2)设(0)DF mDC m =>

，则()1C F m D C =- ，， ()()11BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+ ，

又

AB AD ?= ，∴

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故DF 的长为 17．已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2)a b θθθ=-=

，其中πθ<<0．

⑴若a //b

，求θθcos sin ?的值；

⑵若||||=，求θ的值． 【答案】(1) 417 （2）2πθ=或34

πθ=． 【解析】

试题分析：(1)由题 θθcos sin ?的值，由条件a //b

，可利用向量共线的性质建立等

式，求出1

tan 4

θ=

，在运用化弦为切，求出θθcos sin ?。 （2）由求θ的值，结合条件||||=，建立三角方程，求出求θ的值

试题解析：⑴因为//a b ，所以2sin cos 2sin θθθ=-，显然cos 0θ≠，所以1

tan 4

θ=．所以θθcos sin ?=θθθθ22cos sin cos sin +?1tan tan 2+=θθ17

4

=

⑵因为||||a b = =

所以0cos sin cos 2=+θθθ，0cos =θ或θθcos sin -=． 又πθ<<0，所以2

π

θ=

或34

π

θ=

． 考点：1.向量共线的性质及知切求弦的算法； 2.向量模长的算法及解三角方程. 18．已知函数)0,03

sin()(>>+

=ωπ

ωA x A x f 的部分图象如图所示．

⑴求A 和ω的值；

⑵求函数()y f x =在],0[π的单调增区间；

⑶若函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求a b -的最大值． 【答案】(1) 2,A =2=ω （2）]12

,

0[π

和],127[

ππ （3）173

π 【解析】

试题分析：(1)由题图象，已知A ，及ω的值。

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（2）由(1)求出()2sin 23f x x π?

?

=+

??

?

，再利用sin y x =的单调性，建立不等式求解，同时特别注意],0[π的范围，求出它们的交集。

（3）有题()()1g x f x =+在区间(,)a b 有零点，可化为方程2sin 213x ??

+

=- ??

?

π：求出x 的值，因为恰有10个零点，需借助周期性分析，的出区间(,)a b 的长度.

试题解析：⑴2,

A =ωπππ421234=-=T ，2=ω，所以()2sin 23f x x π??=+ ??

? ⑵令ππ

π

ππ

k x k 223222+≤

+

≤+-

，Z k ∈ 得ππ

ππk x k +≤≤+-

12

125，

又因为∈x ],0[π，所以函数()y f x =在],0[π的单调增区间为]12,0[π和],12

7[

ππ

⑶()2sin 213f x x π?

?

=+

=- ??

?

，得512x k ππ=+或3()4x k k Z π

π=+∈ 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， 所以a b -最大值为217533

T ππ+

=． 考点：1.()sin()f x A x =ω+?的图象与性质； 2. ()sin()f x A x =ω+?单调性的算法及整体思想. 3.三角方程及三角函数周期性的应用

19．扬州瘦西湖隧道长3600米，设汽车通过隧道的速度为x 米/秒(017)x <<．根据安全和车流的需要，当06x <≤时，相邻两车之间的安全距离d 为()x b +米；当

617x <<时，相邻两车之间的安全距离d 为2(2)63

a x

x ++米（其中,a b 是常数）．当

6x =时，10d =，当16x =时，50d =．

⑴求,a b 的值；

⑵一列由13辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为6米，其余汽车车身长为5米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第13辆汽车车尾离开隧道所用的时间为y 秒． ①将y 表示为x 的函数；

②要使车队通过隧道的时间y 不超过280秒，求汽车速度x 的范围． 【答案】(1) 1,4a b == （2）①见解析； ②1517x ≤<

【解析】

试题分析：(1)由题条件中分别给出了速度x 米/秒与安全距离d 的函数关系式，可利用

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当6x = 时，10d =，当16x =时，50d =，代入对应的函数关系式，求出,a b 的值。 （2）①因为车队的速度x 不明，需分两种情况讨论。要写出y 与x 的函数关系，关键要表示出车队所走的路程，即为：第1辆车的长度+剩下12辆车的长度+安全距离+道长3600米，由此可分别列出函数关系式.

②由y 不超过280秒，求汽车速度x 的范围，即分别解①中的两个不等式，可得. 试题解析：⑴当6x =时，610d x b b =+=+=，则4b =， 当16x =时，2216

2162506363

a x a d x =

++=?++=， 则1a =；所以1,4a b ==．

⑵①当06x <≤时，651212(4)3600371412x x y x x +?++++=

=，

当617x <<时，221651212(2)3600

24369063x

x x x y x x

+?++++++==

所以2371412,06243690,617x

x x

y x x x x +?<≤??=?++?<

②当06x <≤时，min 3714126

2806

y +?=

>，不符合题意，

当617x <<时，2243690

280x x y x

++=

≤，解得15123x ≤<， 所以1517x ≤<

⑵①2371412,06243690,617x

x x

y x x x x +?<≤??=?++?<

②汽车速度x 的范围为1517x ≤<．

考点：1.数学阅读能力； 2. ①函数建模能力及分类思想. ②不等式的解法. 20．已知2

()x

f e ax x =-，a R ∈． ⑴求()f x 的解析式；

⑵求(0,1]x ∈时，()f x 的值域；

⑶设0a >，若()[()1]l o g x h x f x a e =+-?对任意的3112,[,]x x e e --∈，总有

121

()()3

h x h x a -≤+恒成立，求实数a 的取值范围.

【答案】(1) 2

()(ln )ln (0)f x a x x x =-> （2）1(,]4a -∞- （3）13115

a ≤≤ 【解析】

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试题分析：(1)由题已知2()x f e ax x =-，求()f x ，可利用换元法，即：x e t =，

ln 0x t =>，将条件中的x ，换为t 得：2()(ln )ln f t a t t =-，求出()f x

（2）由（1）得2()(ln )ln (0)f x a x x x =->，可继续换元，ln (0)x m m =≤ 得：2()()f x g m am m ==-，需对a 进行分类讨论，而化为熟悉的二次函数的 值域问题解决.

（3）由121

()()3

h x h x a -≤+

恒成立，可转化为()h x 在31[,]e e --满足m a x m i n

1

()()3h x h x a -≤+，则需对()h x 的单调性进行分析，由(1)

()ln 1ln a h x a x x -=-+，采用换元法ln ([3,1])x s s =∈--，得：

1()()1a

h x r s as s

-==+-，由0a >，借助函数的单调性，对a 进行分类讨论，分别

得出a 的取值范围，取各种情况的并集，得出结果.

试题解析：⑴设x

e t =，则ln 0x t =>，所以2()(ln )ln

f t a t t =-，

所以2()(ln )ln (0)f x a x x x =->；

⑵设ln (0)x m m =≤，则2()()f x g m am m ==- 当0a =时，()()f x g m m ==-，()g m 的值域为[0,)+∞

当0a ≠时，2

211()()((0)24f x g m am m a m m a a

==-=-

-≤ 若0a >，

1

02a >，()g m 的值域为[0,)+∞ 若0a <，102a <，()g m 在1(,]2a -∞上单调递增，在1

[,0]2a

上单调递减， ()g m 的值域为1

(,4a

-∞-

综上，当0a ≥时()f x 的值域为[0,)+∞，当0a <时()f x 的值域为1(,]4a

-∞-； ⑶因为(1)()ln 1ln a h x a x x -=-+对任意3112,[,]x x e e --∈总有121

()()3

h x h x a -≤+

所以()h x 在31

[,]e e --满足max min 1()()3h x h x a -≤+

设ln ([3,1])x s s =∈--，则1()()1a

h x r s as s

-==+-，[3,1]s ∈-- 当10a -<即1a >时()r s 在区间[3,1]--单调递增 所以1(1)(3)3r r a ---≤+

，即8412(333a a ----≤+，所以3

5

a ≤(舍) 当1a =时，()1r s s =-，不符合题意

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当01a <<时，

1≤即1

12a ≤<时，()r s 在区间[3,1]--单调递增

所以1(1)(3)3r r a ---≤+

，则1325

a ≤≤

若13<

即11

102a <<时()r s 在[3,-递增，在[1]-递减

所以1

((3)31

((1)3r r a r r a ?--≤+?

?

??--≤+??

，得11102a << 3≥即1

010a <≤时()r s 在区间[3,1]--单调递减

所以1(3)(1)3r r a ---≤+，即8412333a a --+≤+，得111110

a ≤< 综上所述：

13

115

a ≤≤. 考点：1.换元法求函数解析式； 2.换元法与二次函数的值域问题及分类思想.

3.恒成立中的函数思想及分类思想.