12提高 第10讲 解直角三角形+答案
第十讲 解直角三角形
知识点、重点、难点
直角三角形中角与角之间关系为两锐角互余；边与边之问的关系为勾股定理；边与角之间的关系则可由两锐角的正余弦、正余切公式给出。
三角形A BC 中，
2sin sin sin a b c
R A B C
===，其中a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 所对的边，R 为△ABC 外接圆半径，称为三角形的正弦定理。图中BD ＝c cos B ，DC = a －c cos B ．所以
2222b AC AD DC ==+22(sin )(cos )c B a c B =+-
222cos a c ac B =+- ①
同理可得 222
2cos .a b c bc A =+- ②
2222cos .c a b ab C =+- ③
上述三式称为三角形的余弦定理。
将①②③式变形可得
222222
cos ,cos ,22a c b b c a B A ac bc +-+-==
222
cos .
2a b c C ab +-=
此三式用于已知三角形三边求三角形内角，而且容易验
证：当三角形内角为钝角时，其余弦值小于零，这为判断钝角增加了一种新方法。
三角形的面积的另一个公式为：三角形面积等于两边及其夹角正弦的乘积的一半，即
111
sin sin sin .222
ABC S ab C bc A ac B ?=
== 直角三角形的边角关系、三角形的正余弦定理，为
解直角三角形和有关三角形边角的问题提供了多种方法。
例题精讲
例1：如图，△ABC 中，∠C =90°，AB ＝10，AC =6，AD 是∠BAC 的平分线，求点B 到直线AD 的距离BH . 已知Rt △ABH 中AB =10，要求BH ，可求出∠BAH 的正弦值，而∠BAH =∠CAD ，因而可先求出DC 的长。 解：作DE ⊥AB 于E ，有AE =AC =6，ED =CD .设DC =3k ，由
三角形内角平分线性质有
10
6
BD DC =，则5.BD k =Rt △BDE 中，222,DE BE BD +=即 222(3)(106)(5)k k +-=，得 1.
k
=33,CD k AD ===，
sin ,10BH DAC ∠=
=
故BH = 例2：已知△ABC 的面积222
4a b c S ?+-=，
试求内角C 的大小。 则2221
sin ,42
a b c ab C +-= 由余弦定理知222
cos 2a b c C ab
+-=，
故sin cos ,C C =两边除以cos C ， 有
sin tan 1,cos C
C C
==故45.C =
例3：如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠。如果渠深为h ，截面积为S ，试求当倾角θ为多少时造价最小？
分析 要使造价最小，只需考虑AD ＋DC ＋CB 最小，故首先设法用h 、S 、θ表示AD ＋DC ＋CB ． 解：
11
()(22cot )(cot )22
S AB CD h CD h h CD h h
θθ=+=+=+，有cot S
CD h h
θ=-，
则22(sin h S
AD DC CB AD CD h
θ++=+=
+- (2cos )
cot ).sin S h h h θθθ
-=+
因S 、h 为常数，则要求AD ＋DC ＋CB 的最小值，只需求
2cos sin θ
θ-的最小值。
设
2cos ,sin m θ
θ
-=两边平方整理得222(1)cos 4cos (m m θθ+--4)0-=
，
cos θ== 由上式知22(3)0m m -≥
，解得m ≥，
故当m 时，2cos sin θ
θ
-有最小值。
当m =时，2
21
cos 12
m θ==+，从而60θ=， 此时排污渠造价最小。
例4：如图，在△ABC 中，已知最大内角A 是最小内角C 的2倍，且三边的长a 、b 、c 是三个连续自然数，求三角形各边的长。
解：设三角形三边分别是a =n ＋1，b =n 、c =n －1(n 为自然数，且n ≥2).
如图作∠A 的平分线AD 交BC 于D ，再作DE ⊥AC 于E . AB BD
222sin .2a b c C ab +-
=
所以
AB AC BC
AC DC +=，
所以(1)
.21
n n DC n +=
- 又因为∠2=∠C ，所以AD CD =， 所以1.22
n EC AC ==
在Rt △EDC 中，21cos .
2(1)EC n C DC n -==+
又在ABC ?中，由余弦定理有222222(1)(1)4cos .
22(1)2(1)BC CA AB n n n n C BC CA n n n +-++--+===++ 所以2142(1)2(1)
n n n n -+=++，
所以5n =， 所以此三角形的三边长为4、5、6. A 卷 一、填空题 1.一个三角形的一边长为2，这条边上的中线是1，另
1，则这个三角形的另两边之长分别
是 和 。 2.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC=6，∠A 的平分线
AD=AB = 。
3.计算201920181(tan 60)
(3tan 30)3
??= 。
4.梯形的两底长分别等于13厘米和5厘米，两底角分别是30°和60°，则梯形的周长是 厘米。
5.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC=2，cosB=
3
5
，则ABC S ?= 。
6.已知直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形的两个锐角度数分别是 度和 度。
7.已知tan α＝2，α为锐角，4cos 5sin 2cos 3sin αα
αα
-=+ 。
8.如果等腰三角形ABC 中，底角是30°，
，那么ABC ?的周长是 。
二、解答题
9.已知等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，点D 在直线
BC 上，且BD =AB ，求∠ADB 的余切值。
10.如图，已知△ABC 中，∠C = 90°，E 、F 在AB 边上，AF=EF=EB ，且CF = sin α，CE ＝cos α，求斜边AB 的长。
11.如图，ABCD 是正方形，E 为BC 上一点。将正方形折叠，使A 点、E 点重合，折痕为MN .若tan ∠AEN =
DC ＋CE =10，求（1）△ANE 的面积；（2）sin ∠ENB 的
值。
1
3
一、填空题
1.在△ABC中，有一个角为60
°，S
?
=
长是20，则它的三边之长分别为、和。
2.如图，在Rt△ABC中，E、D分
别是边AC、BC的中点，BE
=
AB=10，∠C=90°，则AD= 。
3.计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝。
4.已知在直角三角形ABC中，∠C = 90°，
tan2A＋cot2A = 5，则tan A＋cot A＝。
5.在直角三角形中，斜边长为C，面积为S，那么这个三角形的两直角边长分别是和。
6.在△ABC中，∠B=30°，∠BAC=135°，BC=10，
则AB= 。
7.计算tan 15°= 。
8.如图，在等腰直角三角形ABC
中，斜边AB上有两点M、N，且∠MCN = 45°．记AM= m，MN=x，BN= n，则以x、m、n为三边长的三角形是三角形。
9.如图，在△ABC中AB = AC，∠ABN
=∠MBC，BM= NM，BN= 2a，则点N
到边BC的距离是（用含a的
代数式表示）。
10.在△ABC中，∠BAC＝120°，∠ABC＝15°，∠A、∠
B、∠C的对边分别为a、b、c，那么a：b：c= 11.如图，城市规划期间欲拆除一电线杆AB.已知距电线杆AB水平距离14米的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=2：1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道，试问在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由（地面上以点B为圆心、以AB
长为半径的圆形区域为危险区域）。
12.如图，在△ABC中，∠A=45°，CB=5，BD=3，CD＝7，D在边AB的延长线上，求∠CBD和AC的大小。
13.在Rt△ABC
中，已知两直角边的差为
边在斜边上的射影的差为ABC的三边的长。
一、填空题
1. ABC 中，∠C =90°，∠A 的平分线AD 交BC 于D ，则
CD
AB AC
=- 。
2.等腰△ABC 中，AB =AC ，BC =8，且△ABC 的内切圆半径是2，则AB = 。
3. 已知，则 。
4.如图，△ABC 中，∠C=90°，
CD 是∠C 的平分线，CA ＝3，CB=4，则CD ＝ 。
5.已知在直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 是∠A 、∠B 的对边，且2
2
0a ab b --=，则tan A ＝ 。
6.如图，∠C=90°，∠BAC = 30°，BC ＝1，D 为BC 边上一点，tan ∠ADC 是方程
22113()5()2x x x x
+
-+=的较大的根，那么CD 的长是 。
7.△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，关于x 的方程
8.设m 、n 、p 是正数，且222m n p +=，求
m n
p
+的最大值。
9.如图，CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，
2BDC ABC ADC S S S ???=，求sin B 的值。
10.已知P 是矩形ABCD 内任意一点，连结PA 、PB 、PC 、PD ，求证：在∠PAB 、∠PBC 、∠PCD 、∠PDA 四个角中，必有一个不小于45°，也必有一个不大于45°． 1
sin cos ,01805
x αα-=
< =