数值计算方法期末考试题

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4

2. 已知求积公式

，则＝（）

A ．

B ．

C ．

D ．

3. 通过点

的拉格朗日插值基函数满足（）

A ．

＝0，

B ．

＝0，

C ．＝1，

D ．＝1，

4. 设求方程

的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。

A ．超线性

B ．平方

C ．线性

D ．三次

5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方

程（）.

A ．

B ．

C ．

D ．

π()()2

121

1()(2)636f x dx f Af f ≈

++?

A 1613122

3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =()00l x ()111

l x =()

00l x ()111

l x =()

00l x ()111

l x =()0

f x =1231231

220223332

x x x x x x x x ++=??

++=??--=?232x x -+=232 1.5 3.5x x -+=2323x x -+=230.5 1.5x x -=-

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设, 则， .

2. 一阶均差

3. 已知时，科茨系数，那么

4. 因为方程在区间

上满足，所以在区间

内有根。

5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式 .

三、计算题（每题15分，共60分）

1. 已知函数

的一组数据：

求分

段线性插值函数，并计算

的近似值.

2. 已知线性方程组

（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；

（2）对于初始值

，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公

式分别计算（保留小数点后五位数字）.

3. 用牛顿法求方程在

之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？

（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.

4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.

X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x =

3n =()()()

33301213,88C C C ===()

C =()420

x f x x =-+=[]1,2()0f x =0.1h =()211y

y y

x y ?'=+??

?=?

1y x =

+()

1.5f 123123123

1027.21028.35 4.2

x x x x x x x x x --=??

-+-=??--+=?()()

00,0,0X =()

X 3310x x --=[]1,21

1dx x +?

1. 设，取5位有效数字，则所得的近似值x= .

2.设一阶差商

，

则二阶差商

3. 设, 则，。

4．求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，

那么

5．解初始值问题近似解的梯形公式是

6、

，则A 的谱半径＝。

7、设

，则和

。

8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为。

10、为了使计算

的乘除法运算次数尽量的少,应将表达

式改写成。

2.3149541...x *

=()()()21122114

,321f x f x f x x x x --=

=---()()()322332

615

,422f x f x f x x x x --=

=--()123,,______

f x x x =(2,3,1)T

X =--2||||X ==∞||||X 2 1.250x x --= 1.25x x =+01x =1______x =。00'(,)

()y f x y y x y =??

=?1______k y +≈。1151A ??

= ?

-??2()35, , 0,1,2,... ,k f x x x kh k =+==[]12,,n n n f x x x ++=[]123,,,n n n n f x x x x +++=

23123

101(1)(1)y x x x =+

---

二、计算题（共75 分，每题15分）

1．设

（1）试求在上的三次Hermite 插值多项式使满足

以升幂形式给出。

（2）写出余项的表达式

2．已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的

简单迭代函数

，使

0，1…收敛？

3．试确定常数A ，B ，C 和 a ，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？

4．推导常微分方程的初值问题的数值解公式：

（提示：利用Simpson 求积公式。）

01219

(), , 1, 44f x x x x x ====

()f x 19,44?????

?()x H ''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x ===()

x H ()()()R x f x H x =

-00

'(,)()y f x y y x y =??

=?'''1111(4)

3n n n n n h y y y y y +-+-=+++

5．利用矩阵的LU 分解法解方程组

一、填空（共20分，每题2分）

(1).设是真值的近似值，则

有位

有效数字。

(2). 对, 差商( )。

(3). 设, 则。

(4).牛顿—柯特斯求积公式的系数和。

二、计算题

1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。

2).（15分）用二分法求方程

区间内的一个*

2.40315x = 2.40194x =*x 1)(3++=x x x f =]3,2,1,0[f (2,3,7)T

X =-||||X ∞=()

n k

k C

∑2()sin0.34L x 计算3

()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 123123123

2314252183520

x x x x x x x x x ++=??

++=??++=?

根，误差限。

3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组

，取

，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。

4).（15分）求系数

。

5). (10分)对方程组

试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由

一．填空题

1. 若a =

2.42315是2.42247的近似值，则a 有( )位有效数字.

2. 是以为插值节点的Lagrange 插值基函数，则

( ).

3. 设f (x )可微，则求方程的牛顿迭代格式是( ).

4. 迭代公式

收敛的充要条件是。 5. 解线性方程组A x =b (其中A 非奇异，b 不为0) 的迭代格式

中的B 称为( ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代

10ε-=???

??=++=++=++22

52182411

24321

321321x x x x x x x x x T )0,0,0()0(=x 123,,A A A 和使求积公式1

1231

()(1)()()233f x dx A f A f A f -≈-+-+≤?对于次数的一切多项式都精确成立???

??=-+=--=++8

410254101510233

21321321x x x x x x x x x )(,),(),(10x l x l x l n n ,,1,0 =

∑=n

i i x il 0

)()(x f x =f BX X k k +=+)

()1(f x x +=+)

()1(k k B ??

?-=-=-4

5892121x x x x

格式为( )。

二、判断题（共10分）

1. 若，则在内一定有根。 ( )

2. 区间[a,b ]上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。 ( )

3. 若方阵A 的谱半径，则解方程组A x =b 的Jacobi 迭代法收敛。 ( )

4. 若f (x )与g (x ) 都是n 次多项式，且在n +1个互异点

上，则。 ( )

5. 用

近似表示产生舍入误差。 ( )

三、计算题（70分）

1. （10分）已知f (0)＝1，f (3)＝

2.4，f (4)＝5.2，求过这三点的二次插值基函数l 1(x )=( )，=( ), 插值多项式P 2(x )=( ), 用三点式求得( ).

2. （15分）已知一元方程。

1）求方程的一个含正根的区间；

2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)； 3）给出在有根区间的Newton 迭代法公式。

3. （15分）确定求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.

0)()(

211x

x +

+x e ]4,3,0[f =')4(f 02.133

=--x x )

5.0()()5.0()(11

1Cf x Bf Af dx x f ++-≈?-

4. （15分）设初值问题 .

(1) 写出用Euler 方法、步长h =0.1解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进的Euler 法（梯形法）、步长h =0.2解上述初值问题数值解

的公式，并求解，保留两位小数。

5. （15分）取节点，求函数在区间上的二次插

值多项式，并估计误差。

一、填空题( 每题4分，共20分)

1、数值计算中主要研究的误差有和。

2、设

是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则

；

。

3、设

是区间上的一组n 次插值基函数。则插值型求积公

式的代数精度为；插值型求积公式中求积系数

；且

。

4、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为。

5、

则。二、计算题

1、已知函数的相关数据

)0(23<

?=+='x y y x y 21,y y 1,5.0,0210===x x x x

e y -=]1,0[)(2x P ()(0,1,2

)

j l x j n =()j i l x =

(,0,1,2

)i j n =0

()n

j j l x ==

∑()(0,1,2

)

j l x j n =[,]a b j A =

j A

∑2

()1,f x x =+[1,2,3]_________,[1,2,3,4]_________f f ==()y f x =

由牛顿插值公式求三次插值多项式

的近似值。 2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，

。

3、（15分）确定求积公式

。

中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。

4、（15分）已知一组试验数据如下：

求它的拟合曲线（直线）。

5、（15分）用二分法求方程在区间内的根时，若要求精

确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。

6、（15分）用列主元消去法解线性方程组

一、填空题（25分）

3()P x

13()

2P =0.1h =1,

(0,0.6)

(0) 1.

y y x x y '=-++?∈?

=?012()()(0)()

f x dx A f h A f A f h -≈-++?

i A (0,1,2)i =3

()1f x x x =--[1,1.5]123123123

2346,3525,433032.

x x x x x x x x x ++=??

++=??++=?

1).设x * = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x *有位有效数字。

2).

，。

3).求方程根的牛顿迭代格式是。

4).已知

,则 , 。 5). 方程求根的二分法的局限性是。

二、计算题

1).（15分）已知

(1)用拉格朗日插法求的三次插值多项式； (2)求，使。 2).（15

分）试求使求积公式的代

数精度尽量高，并求其代数精度。

3).（15分）取步长h =0.2, 用梯形法解常微分方程初值问题

()1,[0,1,2,3]f x x x f =+-=设则差商(均差)[0,1,2,3,4]f =()x f x =1234A ??

= ?

??A ∞=1A

=()f x x ()0f x =12, x x 1

1211

()[(1)2()3()]3f x f f x f x -≈-++?'25 (12)(1)1y x y

x y =-?≤≤?

4). （15分）用列主元消去法求解方程组并求出系数矩

阵A 的行列式detA 的值.

5). （15分）用牛顿(切线)法求的近似值。取x 0=1.7, 计算三次，保

留五位小数。

一、填空题( 每题4分，共20分) 1、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为。

2、

则。 3、设

是区间上的一组n 次插值基函数。则插值型求积公

式的代数精度为；插值型求积公式中求积系数

；且

。

4、设

是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则

；

。

5、按四舍五入原则数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为和。

二、计算题

1、（10分）已知数据如下：

1231231231233151833156

x x x x x x x x x -+=??

-++=-??++=?32

()1,f x x =+[1,2,3]_________,[1,2,3,4]_________f f ==()(0,1,2

)

j l x j n =[,]a b j A =

j A

∑()(0,1,2

)

j l x j n =()j i l x =

(,0,1,2

)i j n =0

()n

j j l x ==

∑

求形如

拟合函数。

2、（15分）用二次拉格朗日插值多项式计算。插值节点和相应的函数值如下表。

3、（15分）利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长

。

4、（15分）已知

(1)推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式

；

(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算。

5、（15分）讨论用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组A x =b 的收敛性，

如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中

bx a y +=

2()L x sin 0.340.2h =,(0,0.8)

(0) 1.

y y x x y '=+?∈?

=?012113,,,424x x x =

==[0,1]1

0120

113()()()()

424f x dx A f A f A f ≈++?

20x dx

????

???????--=212120203A

一、填空（共25分，每题5分）

1、

，则A 的谱半径＝

2、设

则和

3、若 x = 1.345678, ，则x *的近似数具有位有效数

字.

4、抛物线求积公式为 .

5、设可微，求方程

根的牛顿迭代公式是。

二、计算题

1).（15分）设

（1）试求在上的三次Hermite 插值多项式使满足

, 以升幂形式给出。

（2）写出余项的表达式

2).（15分）设有解方程的迭代法: ,

（1）证明,均有

（为方程的根）；

（2）取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代

值；

（3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。

3). (15分) 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求

1151A ??= ?

-??2()35,,0,1,2,...k f x x x kh k =+==12[,,]n n n f x x x ++=123[,,,]n n n n f x x x x +++=*

||0.00041

x x -=x )(x f 2

()x f x =32

01219

(),,1,44f x x x x x ====

()f x 19

[,]

44()H x ()(),0,1,2,... '()'()

j j H x f x j H x f x ===()H x ()()()R x f x H x =-13

4cos 2i i

x x +=+0x R ?∈

积公式所具有的代数精确度

4).（15分）用Gauss 消去法求解下列方程组

5).（15分）已知方程组，其中

（1）试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性。

（2）若有迭代公式

，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛。

Ax b =121,0.312A b ????= ? ?

????(1)()()

()k k k x x a Ax b +=++

数值计算方法试题及答案

【数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )， b =（）， c =（）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。

北师大网络教育数值分析期末试卷含答案

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为。二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分）五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分）六．试用Doolittle 分解法求解方程组：

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）

《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；（答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为

( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )； 12、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。 13、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为，1 ,进行两步后根的所在区间为，。 15、、 16、计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为，用辛卜生公式计算求得的近似值为，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有( 12+n )次代数精度。

数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1），（2），（3），（4），（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)

三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如（1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）

数值分析学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120 分钟学号姓名年级专业一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。（） 2. 为了减少误差,进行计算。（） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩

数值分析总复习提纲教材

数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面：（一）误差计算 1、截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进行计算。基本的问题是 (1)1 ()(01)(1)! n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。由麦克劳林公式，可知 211(01)2!!(1)! n x x n x x e e x x n n θθ+=+++++<<+ 当x=1时，1 111(01)2! !(1)! e e n n θθ=+++ ++ <<+ 故3 (1)(1)!(1)! n e R n n θ=<++。当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。此时， e≈2.718 285。 2、绝对误差、相对误差及误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。基本的计算公式是： ①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx ② *()()()ln r e x e x dx e x d x x x x ==== ③(())()()()e f x f x dx f x e x ''== ④(())(ln ())r e f x d f x = ⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+ ⑥121212((,)) ((,))(,) f x x f x x f x x εδ=

数值分析期末考试复习题及其答案.doc

数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）解：由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分）解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分

②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分要使其满足题意，须使1)(

数值计算方法复习资料

实用文档文案大全《数值计算方法》复习资料第一章数值计算方法与误差第二章非线性方程的数值第三章线性方程组的数值第四章插值与第五数值积分与第六常微分方程的数值解自测课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。二复习要求 1. 知道产生误差的主要来源。 2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。 3. 知道四则运算中的误差传播公式。

实用文档文案大全三例题例1设x*= ?=3.1415926… 近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位. 又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字. 而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00 解因为x1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限 x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，n=3，x2=－0.002 00有 3位有效数字. a1=2，相对误差限?r= =0.002 5 实用文档文案大全x3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m=4, n=4, x3=9 000有4位有效数字，a=9，相对误差限?r＝＝0.000 056 x4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为?r＝＝0.000 000 56 由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是?＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。故ln2?0.693。

数值分析习题与答案

第一章绪论习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）

解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三 1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因

，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8），令因得 3. 若，求和.

解：由均差与导数关系于是 4. 若互异，求的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表

数值计算方法试题

数值计算方法试题重庆邮电大学数理学院一、填空题(每空2分，共20分) 1、用列主元消去法解线性方程组 1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ,,,,,,,收敛 2、迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是 2、已知y=f(x)的数据如下 ,,, x 0 2 3 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有 f(x) 1 3 2 效数字是,,, 4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组求二次插值多项式及f(2.5) 3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。 4、欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式中求 ,,,,,,,,,,,,, ,

5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,,,,,,取步长k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. ,，则p(x)是不超过二次的多项式三、证明题 (20分每题 10分 ) 6、对于n+1个节点的插值求积公式 1、明定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度至少具有,,,次代数精度. 7、插值型求积公式的求积 2、若，证明用梯形公式计算积分所系数之和,,, 得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。参考答案: T8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L一、填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围, 4、

5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 9、若则矩阵A的谱半径(A)= ,,, 8、 9、 1 10、二阶方法 10、解常微分方程初值问题的梯形二、计算题格式 1、是,,,阶方法二、计算题(每小题15分，共60分) 修德博学求实创新李华荣 1 重庆邮电大学数理学院 2、右边: 3、 ?1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位) 故具有三次代数精度 4、y(0.2)?0.01903 A卷三、证明题

数值计算方法》试题集及答案

《计算方法》期中复习试题一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )； 12、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-

数值计算方法试题一

数值计算方法试题一

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式)2(2 1 -+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2 110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )，b =（），c =（）。 4、)(,),(),(1 x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当 2 ≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 4 7 +++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[1 n x x x f 和=?0 7 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、{}∞ =0 )(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0 =x ?，则 ?= 1 4 )(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2 21121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ?? ? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。 10、设?? ?? ? ?????=11001a a a a A ，当∈a （）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）8≥n ，（2）7≥n ，（3）10≥n ，（4）6≥n ， x 0 0.5 1 1.5 2 2.5

数值计算方法复习题2

习题二 1. 已知，求的二次值多项式。 2. 令求的一次插值多项式，并估计插值误差。解：；，介于x和0，1决定的区间；，当时。 3. 给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。0.54667，0.000470；0.54714，0.000029 4. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。 5. 已知，求及的值。1，0 6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。， 7. 已知函数的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。向后插值公式 8. 下表为概率积分的数据表，试问：1）时，积分2）为何值时，积分？。

9. 利用在各点的数据（取五位有效数字），求方程在0.3和0.4之间的根的近似值。0.3376489 10. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。 11. 依据数表11 项式。 12. 在上给出的等距节点函数表，用分段线性插值求的近似值，要使截断误差不超过，问函数表的步长h应怎样选取？ 13. 将区间分成n等分，求在上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。 14、给定的数值表

用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值

误差限，故 15、在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少? 解：用误差估计式，

数值分析作业答案

数值分析作业答案插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。（1）用单项式基底。（2）用Lagrange插值基底。（3）用Newton基底。证明三种方法得到的多项式是相同的。解：（1）用单项式基底设多项式为: ，所以：所以f(x)的二次插值多项式为：（2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为：所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为：所以f(x)的二次插值多项式为：由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有式中令得插值点个数

是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件知有二重零点xk和k+1。设确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可；当时，，构造关于变量t的函数显然有在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得而，将代入，得到推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有：确定误差限：记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有而最值进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。