江苏专用2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用教师用书理
第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用教师用书 理 苏教版
1.基本不等式ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2
＋b 2
≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤? ??
??a ＋b 22 (a ，b ∈R ).
(4)
a 2＋
b 22
≥?
??
??a ＋b 22
(a ，b ∈R ). 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3.算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为
a ＋b
2
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个
正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 2
4.(简记：和定积最大)
【知识拓展】
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立?
f (x )min >A (x ∈D )；
若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )A 成立?f (x )max >A (x ∈D )；
若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )
f (x )min
(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立?f (x )>A 的解集为D ； 不等式f (x )
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1
x
的最小值是2.( × )
(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π
2)的最小值等于4.( × )
(3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x
≥2”的充要条件.( × ) (4)若a >0，则a 3
＋1a
2的最小值为2a .( × )
(5)不等式a 2＋b 2
≥2ab 与
a ＋b
2
≥ab 有相同的成立条件.( × )
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ )
1.(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________. 答案 81
解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y
2
≥xy ，
即xy ≤(
x ＋y
2
)2
＝81，
当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.
2.(教材改编)若0 4 ] 解析 由0 1 2 ·2x 3－2x ≤ 1 2 ·2x ＋ 3－2x 2＝324， 当且仅当x ＝3 4时，上式等号成立. ∴0 32 4 . 3.(教材改编)当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，函数z ＝3x ＋27y ＋3的最小值是________. 答案 9 解析 z ＝3x ＋33y ＋3≥23x ·33y ＋3＝23 x ＋3y ＋3＝232＋3＝9，当且仅当3x ＝33y ，即x ＝1， y ＝13 时，z 取最小值. 4.(教材改编)已知x >0，y >0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 答案 116 解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤(14)2＝1 16 ， 当且仅当x ＝4y ＝1 2 ，即 ????? x ＝1 2 ， y ＝18 时，(xy )max ＝1 16 . 5.(教材改编)①若x ∈(0，π)，则sin x ＋ 1 sin x ≥2；②若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ；③若x ∈R ，则??? ? ?? x ＋4x ≥4.其中正确结论的序号是________. 答案 ①③ 解析 ①因为x ∈(0，π)，所以sin x ∈(0,1]， 所以①成立； ②只有在lg a >0，lg b >0， 即a >1，b >1时才成立； ③? ??? ??x ＋4x ＝|x |＋???? ??4x ≥2|x |·??? ? ??4x ＝4，当且仅当x ＝±2时“＝”成立. 题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 通过配凑法利用基本不等式 例1 (1)已知0 4x －5 的最大值为________. (3)函数y ＝x 2＋2 x －1 (x >1)的最小值为________. 答案 (1)2 3 (2)1 (3)23＋2 解析 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·[3x ＋ 4－3x 2]2＝4 3， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝2 3时，取等号. (2)因为x <5 4 ，所以5－4x >0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋1 5－4x )＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝1 5－4x ，即x ＝1时，等号成立. 故f (x )＝4x －2＋1 4x －5 的最大值为1. (3)y ＝x 2＋2x －1＝ x 2－2x ＋1 ＋ 2x －2 ＋3x －1 ＝ x －1 2 ＋2 x －1 ＋3 x －1 ＝(x －1)＋ 3 x －1 ＋2≥23＋2. 当且仅当(x －1)＝3 x －1 ，即x ＝3＋1时，等号成立. 命题点2 通过常数代换法利用基本不等式 例2 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1 b 的最小值为________. 答案 4 解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝1 2 时等号成立. 引申探究 1.条件不变，求(1＋1a )(1＋1 b )的最小值. 解 (1＋1a )(1＋1b )＝(1＋a ＋b a )(1＋a ＋b b )＝(2＋b a )·(2＋a b ) ＝5＋2(b a ＋a b )≥5＋4＝9. 当且仅当a ＝b ＝1 2 时，取等号. 2.已知a >0，b >0，1a ＋1 b ＝4，求a ＋b 的最小值. 解 由1a ＋1b ＝4，得14a ＋1 4b ＝1. ∴a ＋b ＝(14a ＋14b )(a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2 b 4a ·a 4b ＝1. 当且仅当a ＝b ＝1 2 时取等号. 3.将条件改为a ＋2b ＝3，求1a ＋1 b 的最小值. 解 ∵a ＋2b ＝3， ∴13a ＋2 3 b ＝1， ∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(13a ＋23b )＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a ≥1＋2 a 3 b ·2b 3a ＝1＋22 3 . 当且仅当a ＝2b 时，取等号. 思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值. (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________. (2)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a | b 取最小值时，a 的值为________. 答案 (1)5 (2)－2 解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋3 5x ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋3 5x ) ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋12 5 ＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝1 2时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5. 方法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y 5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >1 5 ， ∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13 y －15 ＋95＋4 5－4y 5y －1＋4y ＝135＋9 5·15 y －15＋4(y －1 5) ≥135 ＋236 25＝5， 当且仅当y ＝1 2时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5. (2)∵a ＋b ＝2， ∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a | b ＝ a 4|a |＋ b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a 4|a | ＋1， 当且仅当b 4|a |＝|a | b 时等号成立. 又a ＋b ＝2，b >0， ∴当b ＝－2a ，a ＝－2时， 12|a |＋|a | b 取得最小值. 题型二 基本不等式的实际应用 例3 (1)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg z 4lg x ＋lg z lg y 的最小 值为________. (2)(2016·江苏苏州暑假测试)设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与点A ，B 重合)，且点P 到平面ACD ，平面BCD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1 y 的最小值是________. 答案 (1)9 8 (2)2＋ 3 解析 (1)由题意得z 2 ＝xy ，lg x >0，lg y >0， ∴lg z 4lg x ＋lg z lg y ＝12 lg x ＋lg y 4lg x ＋1 2 lg x ＋lg y lg y ＝18＋lg y 8lg x ＋12＋lg x 2lg y ＝58＋lg y 8lg x ＋lg x 2lg y ≥58 ＋2116＝98 ， 当且仅当lg y 8lg x ＝lg x 2lg y ，即lg y ＝2lg x ， 即y ＝x 2 时取等号. (2)过点A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，则O 为△BCD 的重心，所以OB ＝23×3 2×6＝2， 所以AO ＝ 6 2 － 2 2 ＝2. 又V P —BCD ＋V P —ACD ＝V A —BCD ， 所以13S △BCD ·y ＋13S △ACD ·x ＝13S △BCD ·2，即x ＋y ＝2.所以3x ＋1y ＝12(3x ＋1y )(x ＋y )＝12(4＋x y ＋ 3y x )≥2＋3，当且仅当x ＝3－3，y ＝3－1时取等号. 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. (1)设x ，y >0，且x ＋y ＝4，若不等式1x ＋4 y ≥m 恒成立，则实数m 的最大值为 ________. (2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2 ＋18x －25(x ∈N * )，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 答案 (1)9 4 (2)8 解析 (1)1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y 4)＝14(5＋y x ＋4x y )≥14(5＋2×2)＝94，当且仅当y ＝2x ＝8 3时等号 成立. (2)年平均利润为y x ＝－x －25 x ＋18 ＝－(x ＋25 x )＋18， ∵x ＋25x ≥2 x ·25 x ＝10， ∴y x ＝18－(x ＋25 x )≤18－10＝8， 当且仅当x ＝25 x ，即x ＝5时，取等号. 题型三 基本不等式的综合应用 命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例4 若不等式x ＋2xy ≤a (x ＋y )对任意的实数x ，y ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的最小值为________. 答案 5＋1 2 解析 由题意得a ≥x ＋2xy x ＋y ＝1＋2 y x 1＋ y x 恒成立. 令t ＝ y x (t >0)，则a ≥1＋2t 1＋t 2，再令1＋2t ＝u (u >1)，则t ＝u －12 ，故a ≥u 1＋? ?? ??u －122 ＝ 4 u ＋5u －2 .因为u ＋5u ≥25(当且仅当u ＝5时等号成立)，故u ＋5 u －2≥25－2，从而0< 4u ＋5u －2 ≤ 4 25－2 ＝ 5＋12，故a ≥5＋12，即a min ＝5＋1 2 . 命题点2 求参数值或取值范围 例5 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b 恒成立，则m 的最大值为________. (2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1 (a ∈R )，若对于任意的x ∈N * ，f (x )≥3恒成立，则a 的取值 范围是________. 答案 (1)12 (2)[－8 3，＋∞) 解析 (1)由3a ＋1b ≥m a ＋3 b ， 得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋a b ＋6. 又9b a ＋a b ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝a b 时等号成立)， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12. (2)对任意x ∈N * ，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8 x )＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N * ，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173，∴－(x ＋8x )＋3≤－8 3， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－8 3 ，＋∞). 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解. (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解. (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围. (2016·江苏三校联考)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举 办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？ (2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元，公司拟投入16(x 2 －600)万元作为技改费用，投 入50万元作为固定宣传费用，投入x 5 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 a 至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此 时商品的每件定价. 解 (1)设每件定价为t 元， 依题意得(8－ t －25 1 ×0.2)t ≥25×8， 整理得t 2 －65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为40元. (2)依题意知，x >25， 且ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋1 5x ， 等价于a ≥150x ＋16x ＋1 5(x >25). 由于150x ＋1 6 x ≥2 150 x ×1 6 x ＝10， 当且仅当150x ＝x 6 ，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2. 当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元. 8.利用基本不等式求最值 典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2 y ＝1，则x ＋y 的最小值是________. (2)函数y ＝1－2x －3 x (x <0)的值域为________. 错解展示 解析 (1)∵x >0，y >0，∴1＝1x ＋2 y ≥2 2 xy ， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ＝42， ∴x ＋y 的最小值为4 2. (2)∵2x ＋3x ≥26，∴y ＝1－2x －3 x ≤1－2 6. ∴函数y ＝1－2x －3 x (x <0)的值域为(－∞，1－26]. 答案 (1)4 2 (2)(－∞，1－26] 现场纠错 解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2 y ) ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3 x )≥1＋2 －2x ·3 －x ＝1＋26，当且仅 当x ＝－ 62时取等号，故函数y ＝1－2x －3 x (x <0)的值域为[1＋26，＋∞). 答案 (1)3＋2 2 (2)[1＋26，＋∞) 纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件. 1.(教材改编)已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的序号是________. ①a 2 ＋b 2 >2ab ； ②a ＋b ≥2ab ； ③1a ＋1b >2 ab ； ④b a ＋a b ≥2. 答案 ④ 解析 因为a 2 ＋b 2 ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以①错误；对于④，因为ab >0，所以b a ＋a b ≥2 b a ·a b ＝2.对于②，③，当a <0，b <0时，明显错误. 2.(教材改编)用长为16 cm 的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的最大面积是________ cm 2 . 答案 16 解析 设矩形长为x cm(0 2 )2 ＝16，当且仅当x ＝8－x ，即x ＝4 时，S max ＝16.所以矩形的最大面积是16 cm 2 . 3.当x >0时，函数f (x )＝2x x 2 ＋1 有最________值，为________. 答案 大 1 解析 f (x )＝ 2x x 2 ＋1＝2x ＋ 1x ≤2 2 ＝1，当且仅当x ＝1时取等号. 4.(2016·盐城模拟)函数y ＝x 2＋2 x 2＋1 的最小值为______. 答案 2 解析 y ＝x 2＋1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2 ＋1＝1x 2 ＋1 ，即x ＝0时，y 取到最小值2. 5.设正数a ，使a 2 ＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ____log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或 “<”). 答案 ≤ 解析 因为a 2 ＋a －2>0，所以a <－2或a >1， 又a >0，所以a >1， 因为t >0，所以t ＋1 2 ≥t ， 所以log a t ＋1 2≥log a t ＝1 2 log a t . 6.设f (x )＝x 2 ＋x ＋1，g (x )＝x 2 ＋1，则f x g x 的取值范围是________. 答案 [12，3 2 ] 解析 f x g x ＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1 ， 当x ＝0时，f x g x ＝1； 当x >0时， f x g x ＝1＋1x ＋1x ≤1＋12＝3 2 ； 当x <0时，x ＋1x ＝－[(－x )＋(－1 x )]≤－2， 则 f x g x ＝1＋1x ＋1x ≥1－12＝1 2 . ∴ f x g x ∈[12，3 2 ]. *7.(2016·吉林九校第二次联考)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9 b －1的最小值是 ________. 答案 6 解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1.同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝ 1 a －1＋ 9 a a －1－1＝1 a －1＋9(a －1)≥21a －1·9 a －1 ＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43 时等号成立，∴最小值为6. 8.(2016·南京一模)已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2 的取值范围为________. 答案 [4,12] 解析 ∵2xy ＝6－(x 2 ＋4y 2 )，而2xy ≤x 2＋4y 2 2 ， ∴6－(x 2 ＋4y 2 )≤ x 2＋4y 2 2 ， ∴x 2 ＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号). 又∵(x ＋2y )2 ＝6＋2xy ≥0， 即2xy ≥－6，∴z ＝x 2 ＋4y 2 ＝6－2xy ≤12 (当且仅当x ＝－2y 时取等号). 综上可知4≤x 2 ＋4y 2≤12. 9.已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则 a ＋b 2 cd 的最小值 为________. 答案 4 解析 由题意，知? ?? ?? a ＋ b ＝x ＋y ，cd ＝xy ， 所以 a ＋b 2 cd ＝ x ＋y 2 xy ＝x 2 ＋y 2 ＋2xy xy ＝x 2 ＋y 2 xy ＋2 ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立. 10.某民营企业的一种电子产品，2015年的年产量在2014年基础上增长率为a ；2016年计划在2015年的基础上增长率为b (a ，b ＞0)，若这两年的平均增长率为q ，则q 与a ＋b 2 的大小关 系是________. 答案 q ≤ a ＋b 2 解析 设2014年的年产量为1， 则2016年的年产量为(1＋a )(1＋b )， ∴(1＋q )2 ＝(1＋a )(1＋b )， ∴1＋q ＝ 1＋a 1＋b ≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2， ∴q ≤ a ＋b 2 ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”. 11.(2016·泰州模拟)已知a >b >1且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1 b 2 －1 的最小值为________. 答案 3 解析 因为2log a b ＋3log b a ＝7，所以2(log a b )2 －7log a b ＋3＝0，解得log a b ＝12或log a b ＝3， 因为a >b >1，所以log a b ∈(0,1)，故log a b ＝12，从而b ＝a ，因此a ＋1b 2－1＝a ＋1 a －1＝(a －1)＋ 1 a －1 ＋1≥3，当且仅当a ＝2时等号成立. 12.(2016·南通模拟)设实数x ，y 满足x 2 4－y 2＝1，则3x 2 －2xy 的最小值是________. 答案 6＋4 2 解析 方法一 因为x 2 4－y 2 ＝1，所以3x 2 －2xy ＝3x 2 －2xy x 24－y 2 ＝3－ 2y x 14－ y x 2，令k ＝y x ∈(－12，1 2)， 则3x 2 －2xy ＝ 3－2k 14 －k 2＝4 3－2k 1－4k 2 ，再令t ＝3－2k ∈(2,4)，则k ＝3－t 2，故3x 2 －2xy ＝4t －t 2 ＋6t －8 ＝ 4 － t ＋8t ＋6 ≥46－28 ＝6＋42，当且仅当t ＝22时等号成立. 方法二 令t ＝3x 2 －2xy ，则y ＝3x 2－t 2x ，代入方程x 2 4 －y 2＝1并化简得8x 4＋(4－6t )x 2＋t 2 ＝0， 令u ＝x 2≥4，则8u 2＋(4－6t )u ＋t 2 ＝0在[4，＋∞)上有解，从而由???? ? Δ＝ 4－6t 2 －32t 2 ≥0，6t －4 16 >0，得t 2 －12t ＋4≥0，解得t ≥6＋42，当取得最小值时，u ＝2＋3 2 2满足题意. 方法三 因为x 2 4－y 2 ＝1＝(x 2＋y )(x 2 －y )， 所以令x 2＋y ＝t ，则x 2－y ＝1 t ， 从而????? x ＝t ＋1t ，y ＝12 t －1 t ， 则3x 2－2xy ＝6＋2t 2＋4t 2≥6＋42，当且仅当t 2 ＝2时等号成立. 13.(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最 小值是________. 答案 8 解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )， 由已知，sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C . ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， A ， B ， C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得： tan B ＋tan C ＝2tan B tan C . 又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝ tan B ＋tan C tan B tan C －1 . ∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C . 则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ， ∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋ 2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， ∴tan A tan B tan C ≥22， ∴tan A tan B tan C ≥8. 14.已知函数f (x )＝x 2＋3 x －a (x ≠a ，a 为非零常数). (1)解不等式f (x ) (2)设x >a 时，f (x )有最小值为6，求a 的值. 解 (1)f (x ) x －a 整理为(ax ＋3)(x －a )<0. 当a >0时，(x ＋3 a )(x －a )<0， ∴解集为{x |－3 a 当a <0时，(x ＋3 a )(x －a )>0， 解集为{x |x >－3 a 或x (2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0). ∴f (x )＝t 2＋2at ＋a 2＋3 t ＝t ＋a 2＋3t ＋2a ≥2 t ·a 2＋3t ＋2a ＝2a 2 ＋3＋2a . 当且仅当t ＝a 2＋3 t ， 即t ＝a 2 ＋3时，等号成立， 即f (x )有最小值2a 2 ＋3＋2a . 依题意有：2a 2 ＋3＋2a ＝6， 解得a ＝1. 2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足i 12i z ?=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2 ()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则?的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为3，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上， cos ,02,2()1 ||,20,2x x f x x x π?成立的n 的最小值为 ▲ ． 15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值； 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页） 绝密★启用前 江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共160分.考试时长120分钟. 参考公式： 锥形的体积公式13 V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么A B = . 2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 . 5. 函数()f x =的定义域为 . 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 7.已知函数ππsin(2)()22y x ??=+-<<的图象关于直线π 3 x =对称,则?的值是 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条 ,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上, ()cos (2)2102x x f x x x π??? =? ?+?? 0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标 为 . 13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 . 14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将A B 的所有元素从小 到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 . 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上--------------------答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效---------------- 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ ． 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??= 2018年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5.00分）若复数z满足i?z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为． 4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为． 5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为． 6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为． 7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为． 8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上， f（x）=，则f（f（15））的值为． 10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为． 11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为． 12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为． 13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求证：（1）AB∥平面A1B1C； （2）平面ABB1A1⊥平面A1BC． 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< (2019?上海7)若x ，y R +∈，且 123y x +=，则y x 的最大值为 ． 【解答】 解：132y x = +… ∴298 y x =?； 故答案为：98 (2019?上海5)已知x ，y 满足002x y x y ????+? ……?，则23z x y =-的最小值为 ． 【解答】解：作出不等式组002x y x y ????+? ……?表示的平面区域，由23z x y =-即23x z y -=，表示直线在y 轴上的截距的相反数的13 倍，平移直线230x y -=，当经过点(0,2)时，23z x y =-取得最小值6-，故答案为：6-． (2019?浙江3)若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+??--??+? …?…则32z x y =+的最大值是( ) A ．1- B ．1 C ．10 D ．12 【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+??--??+? …?…作出可行域如图，联立340340x y x y -+=??--=?，解得(2,2)A ，化目标函数32z x y =+为3122y x z =-+，由图可知，当直线3122 y x z =-+过(2,2)A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值：10． 故选：C ． (2019?天津文10)设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ． 【解答】解：2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有： (1)(32)0x x +-<；2(1)()03 x x +-<； 由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边” 可得：213 x -<<； 即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3 -； 故答案为：2(1,)3 -； (2019?天津文理13)设0x >，0y >，25x y += 的最小值为 ． 【解答】解：0x >，0 y >，25x y +=， 则===； 由基本不等式有： = 当且仅当=时，即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =??=?或232x y =???=??时；等号成立， 故答案为： 2017年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =I ，则实数a 的值为_______． 【答案】1 【解析】∵集合}2{1A =，，23{},B a a =+．{}1A B =I ，∴1a =或231a +=，解得1a =． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年，2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10 【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴() 2 21310z = -+=． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18 【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为606 1000100 = ，则应从丙 种型号的产品中抽取6 30018100 ?=件． 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例， 即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取． （4）【2017年，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为1 16 ，则输出y 的值是_______． 【答案】2- 【解析】初始值116 x =，不满足1x ≥，所以41 216 222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于 基础题． （5）【2017年，5，5分】若1tan 46πα? ?-= ?? ?．则tan α=_______． 【答案】7 5 【解析】tan tan tan 114tan 4tan 161tan tan 4 π απααπαα--??-= == ?+? ?+Q ，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年，6，5分】如如图，在圆柱12O O 有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相 切。记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12 V V 的值是________． 【答案】3 2 【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：3 43 R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ?=．则313223423 V R R V ππ==． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． （7）【2017年，7，5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D 第45炼 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >= （1）调和平均数：12 111n n n H a a a = ++ + （2 ）几何平均数：n G = （3）代数平均数：12n n a a a A n ++ + = （4）平方平均数： n Q = 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a === 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b + ≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 3y x x =+≥，右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两 个 2x ，则22422y x x x x x =+=++≥= ② 乘积的式子→和为定值，例如3 02 x << ，求()()32f x x x =-的最大值。则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2 112329 322322228 x x f x x x x x +-??=-=?-≤= ???（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求 m n x y +的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 例如：已知0,0,231x y x y >>+=，求 32 x y +的最小值 解： ()3232942366y x x y x y x y x y ??+=++=+++ ??? 94121224y x x y =+ +≥+= （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值 解：()2 2 21 1222 228 x y x y xy x y ++??=??≤ = ? ?? 所以()() 2 224248 x y x y xy x y +++=?++ ≥ 即()()2 282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥，即()min 24x y += 基本不等式 基础梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2， 当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12 . 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 (x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －22018江苏高考数学试卷与解析
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
2018年高考理科数学江苏卷(含答案与解析)
【高中数学】公式总结(均值不等式)
2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题
2020高考理科数学不等式问题的题型与方法
2018年高考数学立体几何试题汇编
高考数学百大经典例题——不等式解法
高中数学讲义 均值不等式
2018年江苏省高考数学试卷-最新版下载
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
2019高考数学不等式真题汇总
2018高考江苏数学试题与答案解析[解析版]
2020高考数学---均值不等式
高考数学之基本不等式