2016-2017学年浙江省宁波市高三第一次高考科目教学质量检测理数试题Word版含答案

2016-2017学年浙江省宁波市高三第一次高考科目教学质量检测

理数试题

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.

1.设集合2{|20}A x x x =-≥，{|12}B x x =-<≤，则()R C A B = （ ）

A ．{|10}x x -≤≤

B ．{|02}x x <<

C ．{|10}x x -<<

D ．{|10}x x -<≤

2.若sin 2cos x x -=tan x =（ ）

A ．12-

B ．12

C ．2

D ．-2 3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面PAB 的面积是（ ）

A ．2 C

4.命题：“200,10x R x ?∈+>或00sin x x >”的否定是（ ）

A ．2,10x R x ?∈+≤且sin x x ≤

B ．2,10x R x ?∈+≤或sin x x ≤

C ．200,10x R x ?∈+≤且00sin x x >

D ．2

00,10x R x ?∈+≤或00sin x x ≤

5.设12()2log x f x x =-，满足()()()0(0)f a f b f c a b c <<<<.若函数()f x 存在零点0x ，则（ ）

A ．0x a <

B ．0x a >

C ．0x c <

D ．0x c >

6.设点P 为有公共焦点12F F 、的椭圆

M 和双曲线Γ的一个交点，且123cos 5

F PF ∠=，椭圆M 的离心率为1e ，双曲线Γ的离心率为2e .若212e e =，则1=e （ ）

A B ． 7.在t R ABC ?中，C ∠是直角，4CA =，3CB =，ABC ?的内切圆交CA ，CB 于点D ，E ，点P 是

图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若CP xCD yCE =+ ，则x y +的值可以是（ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

8.记n S 是各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和，若11a ≥，则（ ）

A ．222222,ln ln ln m n m n m n m n S S S S S S ++≥≤

B ．222222,ln ln ln m n m n m n m n S S S S S S ++≤≤

C ．222222,ln ln ln m n m n m n m n S S S S S S ++≥≥

D ．22

2222,ln ln ln m n m n m n m n S S S S S S ++≤≥

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

9.设ln 2a =，ln 3b =，则a b e e +=____________.(其中e 为自然对数的底数) 10.设函数()ln(1)f x x =--+，2(0),()()(0).

x x g x f x x ?≥=?

y g x =+的零点是______________.

11.设实数x ，y 满足不等式组,1,0.y x x y y ≤??+≤??≥?

，若2z x y =+，则z 的最大值等于________________,z 的最

大值等于_____________.

12.设直线:(1)(3)80()l m x m y m R +---=∈，则直线1l 恒过定点_______________；若过原点作直线21//l l ，则当直线2l 与1l 的距离最大时，直线2l 的方程为_________________.

13.如图，ABC ?是等腰直角三角形，AB AC =，90BCD ∠= ，

且3BC =.将ABC ?沿BC 边翻折，设点A 在平面BCD 上的射影为点M ，若点M 在BCD ?的内部（含边界），则点M 的轨迹的最大长度等于__________________；在翻折过程中，当点M 位于线段BD 上时，直线AB 和CD 所成的角的余弦值等于

________________.

14.设0x >，0y >，且2116()y x y x -=，则当1x y +取最小值时，221x y

+=_____________. 15.已知OA ，OB 是非零不共线的向量，设11+1r OC OA OB r r =++ ，定义点集{|}||||

KA KC KB KC M K KA KB == ，当12,K K M ∈时，若对于任意的2r ≥，不等式12||||K K c AB ≤ 恒成立，则实数c 的最小值为_____________.

三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16. （本题满分15分）

在ABC ?中，角A B C 、、所对的边分别记为a b 、、c .若=

6A π

，(12c b =.

（Ⅰ）求C ; (Ⅱ)

若1CB CA = ,,a b c .

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，平面1A BC ⊥平面11A ABB .

（Ⅰ）求证：AB BC ⊥；

（Ⅱ）设直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，二面角1A BC A --的大小为?，

试比较θ和?的大小关系，并证明你的结论.

18. （本题满分15分）

设数列{}n a 满足112a =

，2*11()n n n a a a n N +=++∈. （Ⅰ）证明：13n n

a a +≥. （Ⅱ）设数列1{

}n a 的前n 项和为n S ，证明：3n S <.

19. （本题满分15分）

设点A ，B 分别是x ，y 轴上的两个动点，1AB =.若(0)AC BA λλ=> .

（Ⅰ）求点C 的轨迹Γ；

（Ⅱ）过点D 作轨迹Γ的两条切线，切点分别为P ，Q ，过点D 作直线m 交轨迹Γ于不同的两点,E F ，交PQ 于点K ，问是否存在实数t ，使得

11||||||

t DE DF DK +=恒成立，并说明理由.

设二次函数2()2()f x ax bx c c b a =++>>，其图像过点(1,0)，且与直线y a =-有交点. （Ⅰ）求证：01b a

≤<； （Ⅱ）若直线y a =-与函数|()|y f x =的图像从左到右依次交于,,,A B C D 四点，若线段AB ，BC ，CD 能构成钝角三角形，求b a

的取值范围.

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理数试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. B

2. A

3. D

4. A

5. B

6. C

7. B

8. B

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

9. 5 10. ln 3-，1e - 11. 2 ，0

12.（2,2）， 0x y += 13. 2，643 三、简答题: （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.（本题满分15分）

证明（1）在ABC ?中，由正弦定理

sin sin b c B C

=，

得(12sin C B =，

c =，

由余弦定理2222cos c a b ab C =+-,

得222

c a b =+

2212(12c =+-+

232(12

c =-+， 解得2c =，

所以a =，1b =…………………………8分

17.（本题满分15分）

（Ⅰ）证明 过点A 在平面11A ABB 内作1AD A

B ⊥于D ， 因为面1A B

C ⊥面11A ABB ，面1A

BC 面111A ABB A B =， 所以AD ⊥面1A BC ，

又因为BC ?平面1A BC ，

所以AD BC ⊥.

因为1AA ⊥平面ABC ，

所以1AA BC ⊥.

又因为1AA AD A = ，

所以BC ⊥侧面11A ABB ，

又因为AB ?面11A ABB ，

故AB BC ⊥.…………………………8分

（Ⅱ）连CD ，由（Ⅰ）知ACD ∠是直线AC 与平面1A BC 所成的角， 又1ABA ∠是二面角1A BC A --的平面角.

设ACD θ∠=，1ABA ?∠=.

在t R ADC ?中，sin AD AC θ=

，在t R ADB ?中，sin AD AB ?=. 由AB AC <，

得sin sin θ?<，又0θ<，2π

?<，

所以θ?<.…………………………7分

18.(本题满分15分)

解：（Ⅰ）因为112a =

，且2110n n n a a a +-=+>， 所以0n a >， 由条件得：1113n n n n

a a a a +=++≥.…………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得

113n n a a +≤，即11113n n a a +≤ ， 所以21121111

1111111111333n n n S a a a a a a a -=+++≤++++ ， 111111(1)3(1)3333

n n a -=+++=-< .…………………………8分 19.(本题满分15分)

解：（Ⅰ）设(,0)A a ，(0,)B b ，(,)C x y ，则(,)BA a b =- ，(,)AC x a y =- ．

所以x a a y b

λλ-=??=-?，消去a ，b ，得

点C 的轨迹Γ为22

22

1(1)x y λλ+=+．…………………………6分 （Ⅱ）设点E ，F ，K 的横坐标分别为E x ，F x ，K x ，设点(,)D s t ， 则直线PQ 的方程为：22

1(1)s t y λλ+=+． 设直线m 的方程：y kx b =+，所以t ks b =+． 计算得2221(1)K t b x s t k λλλ-

=++．

将直线m 代入椭圆方程，得22

2222212()10(1)k kb b x x λλλλ

+++-=+， 所以2

222)(1)E F kb

x x k λλ-+=++，22222

)(1)E F b x x k λλλ-=++， 所以||||||||||||||||

D k D k D

E D

F x x x x DK DK DE DF x x x x --+=+--

22221|2()||||+|(1)D F E D D F E F E t b

x x x s s

t x x x x x x k λλλ

-

-+=--+++ （） =2 . …………………………9分

20.(本题满分14分)

解：（1）因为20a b c ++=，c b a >>，

所以0a <，0c >．

又因为2a b b a -->>，

所以113b a

-<<； 又因为函数()y f x =的图像与直线y a =-有交点． 所以方程2

20ax bx c a +++=有实根，即 2244()480b a c a b ab ?=-+=+≥， 所以24()80b b a a +≥ ，知

2b a ≤-或0b a ≥， 综上可得01b a

≤<；…………………………7分 （2）因为点A 与点D 、点B 与点C 关于对称轴对称， 设||||AB CD m ==，||BC n =，

因为线段,,AB BC CD 能构成钝角三角形，

所以222m m n m m n

+>??+

故221)n m n n <+<，

所以2||||1)||BC AD BC <<．

设12,x x 是方程220ax bx c a +++=的两根；

则||BC

设34,x x 是方程220ax bx c a ++-=的两根，

所以||AD

所以

解之得113b a -<-+．…………………………7分