菲尔兹奖得主Timothy Gowers论如何解三次方程

——菲尔兹奖得主Timothy Gowers 论如何解三次方程——

How to Discover for Yourself the Solution of the Cubic

如何亲自发现三次方程的解法

by Timothy Gowers谢国芳译Email: roixie@https://www.360docs.net/doc/ff14621965.html,

让我们想象自己面对着一个三次方程x3 + ax2 + bx + c = 0. 解出该方程意味着要写出一个求它的根的公式，该公式应该以系数a, b, c和一些常数( 即不依赖于a, b, c的数) 表示，并且只用加减乘除和开方运算。

正如我在其他网页里所做的那样，我将表明这样的一个公式可以凭着标准的数学直觉推导出来，而不需要神秘的灵感闪现。我当然不是断言任何有理性的人都能在一两个小时内推导出这个公式——通常需要尝试几种不成功的直觉之后才能发现正确的标准化数学直觉。然而，在任何给定的情况下，合适的直觉的列表一般不会太长。如果你年轻，雄心勃勃，但还不知道如何解三次方程，那么我建议你亲自动手一试，或者在读一点本页的内容之后再作尝试，你在几个小时内获得成功的可能性很可能比你预想的高。

让我们从一个数学中最普遍有效（而且明显易懂）的解题原则开始吧：

如果你正试图解决一个问题，看看能不能把一个已知的解法类推应用于一个类似的问题。

运用这个原则可以避免对每一个新问题都从头开始。重要的并不是该问题本身的难度，而是克服该问题和其他已经解决的问题之间的差异的难度。

二次方程的解法

在现在这个情形中，显而易见，我们想到的类似的问题就是解二次方程x2 + 2ax + b = 0 （我加上因子2

仅仅是为了方便，当然这在数学上没有任何区别）。我们怎么办呢？唔，我们"注意到"

x2 + 2ax +b = (x+a)2 + b - a2

这很快就导出解

x = -a ±(a2 -b)1/2

这一招高明吗？在接下去考虑三次方程之前详细考察这个更初等的方程是有益的，所以让我们假想我们甚至不知道如何解二次方程，一个可能把我们引向它的解的思路是这样的：在干瞪着一般的方程x2 + 2ax +b = 0 毫无头绪之后，我们退回到下面这个问题：

有我知道如何求解的特殊情形吗？

然后，我们有点尴尬地注意到当a = 0 时我们能解这个方程，也就是说，我们能解方程x2 + b = 0（因为我们可以开平方根）。接下去，我们也许注意到如果b = a 2那么我们就得到了方程x2+ 2ax + a2 = 0, 它可以改写为(x+a)2 = 0. 一旦注意到这一点，我们就会认识到有帮助的并不是方程的右边是0，而是左边是一个完全平方，所以我们对于任意的b 都能解出(x+a)2 = b ，这给了我们一大类能解出的二次方程，所以我们不问下面这个问题就太蠢了：

有不能改写成(x+a) 2 = b 这种形式的二次方程吗？

为了回答这个问题，我们需要把它重新写回原来的形式，这只要乘出括号，把b 移到方程的左边就行了，这样我们就得到了方程

x2 + 2ax + a2 - b = 0.

到此就非常清楚了，我们可以令2a 等于任何一个我们需要的数，在这样做了之后，接着我们又可以令a2 - b 等于任何另一个我们需要的数，于是二次方程就解出来了。

如果你觉得看出方程x2 + 2ax + a2 = 0可解是一个过高的要求，那么还有另外一条路径：想知道1+21/2是否是一个代数数并不需要太多的好奇心，注意到如果x=1+21/2则(x-1)2 = 2 也不需要太多的才华，只要把这个例子加以推广，你很快就会认识到形如(x+a)2 = b 的方程是可解的。

三次方程的初步简化

什么是配方这一操作在三次方程中的自然推广呢？要回答此类问题，下面这一策略常常是有用的：

对你想要推广的东西给出一个一般性的描述。

我将尝试直接通过实例来阐明我的意思。为了配方，我们注意到

(x+a/2)2 = x 2 + ax +a 2/4

因此我们可以把任何以x 2 + ax 开始的二次方程写成 (x+a/2)2 加一个常数的形式。

换一种说法是，如果我们令 y = x + a/2，那么 y 就满足一个形式特别简单的二次方程 y 2 + C = 0。当然，一旦我们解出了这个关于 y 的方程，就很容易解得到x ，因为 x 是 y 的一个很简单的一次函数。在这个关于 y 的这个方程中，什么变得更简单了呢？对于这个问题有两个合理的回答，把两者都考察一下是值得的。

第一个回答是注意到这个关于 y 的方程只包含 y 2 和一个常数项——所以用 y 代换 x 就使得我们可以设一次项的系数为0。

第二个回答更加简明易懂——它更简单是因为我们断言形如 y 2 + C = 0 的方程可以轻松求解。这一思路引发出两个问题：

1.有类似的方法可以简化一个三次方程使得它的某些项的系数变成 0 吗？

2.有类似的方法可以简化一个三次方程使得它变成 y 3 + C = 0 的形式吗？

第一个问题的答案是不难找到的。设y x t =+，那么33223y

x 3tx 3t x t =+++. 因此，如果选取t a /3= ，三次式32x ax bx c +++就可以改写为 3y py q ++，其中

2p b 3t =-，3q c bt 2t =-+，

用a 表示就有 2p b a /3=-， 3q c ab /32a /27=-+.

至于第二个问题，我们的第一感是问我们自己下面这个问题，它是我们前面对二次方程所题问题的直接推广： 有不能改写成 ()3x a b += 这种形式的三次方程吗？如果有，那么哪些三次方程能改写成这种形式呢？ 将()3x a b +=展开移项后，我们发现我们能很容易地解出下面这一形式的三次方程：

3223x 3ax 3a x a b 0+++-=

什么时候方程

32x ax bx c 0+++=

属于这一类型呢？ 比较两者我们发现它将具有我们所要求的形式，倘若数对

()a,b 可以写成 ()23s,3s ，其中s 是某个数，显然当且仅当2a 3b =时才会如此，于是就自然产生了下面这个问题：

我们是否能用某个y x t =+ 替换x ，使得y 满足这样一个 三次方程，其二次项系数a ' 和一次项系b' 满足 2a '3b' =.

这一思路看上去很有希望，因为参数t 给了我们一个自由度，而我们所需要的只是一个条件：即2a '

3b' -应该

等于0. 回答这个问题的方法是直接而显然的，所以就让我们动手试一下吧。

作代换x y t =-，我们就得到了方程

()

()()32

y t a y t b y t c 0-+-+-+= 重新整理后它可以改写成

()()32223y a 3t y b 2at 3t y c bt at t +-+-++-++

它告诉我们a 'a 3t =- 和 2b'b 2at 3t =-+. 因此 22222a'3b'a 6at 9t 3b 6at 9t a 3b -=-+-+-=-

这表明我们不可能通过形如y x t =+ 的代换改变2a

3b -这个量 ，换句话说，对上面问题2的回答是否定的，

至少我们把”类似的方法“理解为用这样一个代换的话。 量2a

3b -不变的一个稍微花俏的说法是把它称为一个不变量。 2a 3b -是一个不变量是一个不幸的偶然事件吗？更深层的思考将为我们揭示产生这一现象的原因，表明倘若我们期望能这样简单地解出三次方程那就太傻了。

你也许已经注意到2a 3b 3p -=-, 其中p 是当我们把三次式 32x ax bx c +++变成更简单的三次式 3y py q ++后一次项的系数，我们选择y 等于 x a /3+，显然没有任何其他的选择能使得2y 的系数变成0。因此，我们发现的不变量 2a

3b -有一个解释（正如你应该料到的），它是当二次项通过一个形如 y x t =+的代换被消去后一次项的系数。

现在很显然这个量是不变量，归根结底，如果我作代换y

x s =+（s 为任意一个数），然后问什么样的进一步的代换 z y r =+ 能消去二次项，回答是z x r s =++，r s +必须等于 a /3。所以对于y 所得到的p 和对于x 所得到的p 是一样的。

一个僵局和如何打破这个僵局

实际上，从一开始就很明显，上面第二种解三次方程的办法注定是行不通的。因为假如“配立方”是可能的，那么

所有三次方程都将是 ()3

x a b ++的形式，但倘若如此，我们为什么还要费力劳神地把一个三次方程转换成这种形式呢？所以，“配立方”不仅是不可能的，而且它是基于非常简单和令人不得不信服的原因而不可能的。另一方面，“配立方”难道不是“配平方”的自然推广吗？现在既然在尝试之后失败了，似乎我们解三次方程的最大机会（那就是考察我们如何解二次方程然后进行类推）也告吹了 。

然而，这种失败主义的态度常常是错误的，也许我们可以用另一个普遍原则来表述这种观点:

进行类推或推广一个证明的方法可能有很多种。

但是你会问，我们应该如何搜索不同的推广呢？让我稍微修改一下前面我给出的一个建议。

给出你想要推广的论断的一个描述。解释它为什么成立。把解释变得更含糊、更一般化，然后试着寻找基于同样的（更含糊的）理由也成立的不同的论断。

为了能把它付诸实行，让我再一次描述如何解二次方程。

令a y x 2

=+，那么 y 就满足一个形式特别简单的二次方程 2y C 0+=. 一旦我们解出了这个关于y 的方程，很容易就得到原方程x 的解，因为x 是y 的一个很简单的一次函数。

用一般性的语言表述，这个办法为什么能奏效呢？

我们需要y 的两个性质：第一，y 应该满足一个我们知道如何求解的方程；第二，x 应该以一种简单的方式由y 决定，这使得我们一旦知道了y 就能求出x 。

如果我们希望把这个办法移植到三次方程，那么我们应该得到下面这两个问题的明确答案：

(i) 我们能解什么样的方程?

(ii) 我们准备让y 以什么样的方式依赖于x ?

第一个问题的答案我们多多少少已经知道了：我们能解一次和二次方程，还有恰好形如3x C 0+= 的三次方程。至于第二个问题，迄今为止我们考虑了形如y x t =+ 的代换，还会有其他的什么样的代换呢？

我将用另一个在数学中到处管用的老办法回答这个问题。

做你可能想象的最一般的事情。然后，当你发现你需要某些性质的时候，通过引入这些性质使你之前所做的变得更明确具体。

假设我们作代换()y f x = （很难想象比这更一般的代换），我们假定它会导出一个我们能解的关于y 的方程。

什么情况下知道 y 是有用的呢？答案显而易见——当我们能从方程()y f

x = 解出用y 表示的x 的时候。 但我们知道我们能解什么样的方程：一次方程，二次方程和最简单的三次方程。一次代换即线性代换我们已经尝试过了，看到了它的局限，因此我们就只剩下了两种关于()f x 的合理的可能性，一种是2x ax b ++ ( 不难看出赋予2x 一个不同的系数不会产生实质性的差别)，另一种是3x c +.

在很一般的解决问题的技巧的指引下，我们发现了一个全新的想法。稍稍往后退一点看，我们认识到在解二次方程时代换y x t =+ 的关键性 并不在于它魔术般地奏效了，也不在于它是线性的，而在于它是“可逆的”——意思是我们能给出一个用 y 表示x 的公式。现在僵局打破了，我们有了对付三次方程的新招。它可能不管用，但是有一个可能管用也可能不管用的办法总比无计可施好得多。

一个解出三次方程的代换

如果一个线性代换对二次方程奏效，那么对于三次方程而言，你觉得哪一个更有可能奏效——是一个二次代换呢？还是某个特别的三次代换呢？凭直觉二次代换似乎更有希望一些，因为它符合比我们要解的方程少一个自由度的一般性描述，尽管这并不是一个特别令人信服的论据，但可能发生的最坏情况不过是我们尝试之后失败了。所以让我们看看利用代换 2y x ux v =++ 我们能得到什么结果吧。

现在我们碰到了一个问题，我们希望y 会满足一个形式特别简单的三次方程，但它满足任何一个三次方程难道是显然的吗？如果你不觉得这是显然的，那么这就是之前读过我的有关代数数的网页有所帮助的时候了，因为在那里我反复使用了一个技巧，它在这里也同样奏效。

我们知道x 满足方程

32x ax bx c 0+++=

这意味着每次我们写下一个x 的多项式，我们可以用 2ax bx c --- 代替3x , 32ax bx cx --- 代替 4x

等等，这就是说，任何一个x 的多项式都等于一个x 的二次式。但2y 和 3y 是x 的多项式函数，因此就等于x 的二次

式，这对1和y 也平凡地成立，因此数 21, y, y 和 3y 都具有形式 2rx

sx t ++. 欲使y 满足一个三次方程，我们需要一个 21, y, y 和 3y 的一个非平凡的线性组合等于0，为此我们需要解三个带四个未知数的齐次线性方程，这

总是能办到的。

现在我们能更准确地描述一个可能的招法了：令 2y x ux v =++, 用x 表示 2y 和 3y ，利用

32x ax bx c =--- 将它们约化为x 的二次式，再找到一个 21, y, y 和3y 之间的一个非平凡的线性关系，写出相应的关于y 的三次方程32y dy ey f +++ ，最后（最重要的一步）巧妙地选择u 和v 使得2d 3e =.

这一招一定会成功吗？我们并没有任何保证。因为正如前面的线性代换的情形一样，有可能不管你怎么选择 u, v 都无法使得2d 3e =，也有可能存在这样一个选择，但 u, v 对 a, b, c 的依赖关系是如此复杂，以至于我们不知道怎样解最后得到的那些方程。不必过度担心第一种潜在的可能性是明智的，因为现在我们又额外多了一个自由度，而看起来没有任何论据告诉我们这一点用处也没有。可是，如果你现在动手试图落实上面勾勒的方法的细节，你会发现复杂度绝对是一个令人担心的问题。实际上，稍加计算你可能会发现，为了解出u 和v , 将不得不解一个五次方程。

不动脑子就闷着头开始计算显然是不高明的。无论如何，另一个很好的解决问题的策略是先尝试更简单（但更少一般性）的方法，不定它们能成功呢。

那么，怎么样才能使上述计算可行呢？

一个显而易见的想法是用上我们之前得到的简化：我们不妨设 a

0=, 这使得我们可以用 px q -- 代替 3x . 实际上，令 3x px q =+ 更清爽一些，为此我们只要重新定义一下p, q 就行了。接下来，代换 2y x ux v =++ 又

该怎么办呢？回想起我们之前发现的不变量，我们应该认识到，

y 满足一个我们能轻松求解的三次方程当且仅当 y v - 亦然。所以为了节省代数运算我们不妨设 v 0=,换句话说，令2y x

ux =+ 不但可以简化计算，甚至也不会丧失任

何一般性。 下面给出从方程 3x

px q =+ 开始，令2y x ux =+，然后试着寻找一个y 满足的三次方程的一些计算过程。直接计算（即算出 2y , 3y , 然后解联立方程组）仍然会不胜其繁，但通过一边算一边化简可以使计算变得简易可行，

如下面所示。为了节省时间，我用 C 表示一个常数（依赖于p, q, u ），它的值可能依行而异。

()()()()3224322

2223x px q

y x ux

y x 2ux u x u p x 2up q x 2uq

u p y up q u x 2uq =+=+=++=++++=+++-+

()()()()()()()()()()()()322322332223

2223

2y u p y up q u xy 2uqy

u p y up q u x ux 2uqy

u p y up q u ux px 2uqy C u p y up q u uy p u x 2uqy C =+++-+=+++-++=+++-+++=+++-+-++

从上一个等式我们有 ()()322up q u x y u p y C +-=-++

所以

()()()()()()3223222222y u p y up q u uy p u y u p y 2uqy C

2py u p 3uq p y C =+++-+--+++=++-+

于是y 就满足三次方程

()3222y 2py u p 3uq p y C 0--+--=

剩下来需要解决的全部问题就是，是否可以选择u 使得

()()2

222p 3u p 3uq p -=-+- 即

223pu 9qu p 0++=

这是一个关于u 的二次方程，u 可以解出. 利用解得的u 值便可得一个关于y 的能“配成立方”三次方程,这样就解出了y . 然后只要再解一个二次方程就可以从y 求出 x .

当然，最后得到的公式——如果你把它算出来——将会是非常笨重难看的，现在我要指出，人们已经发现了更好的方法（用不同的代换），可以导致更容易的计算和更简洁的答案，它们很容易在互联网上找到，但全都带有一种神奇的“魔术般的”性质。我还要指出我并没有讨论一个恼人的问题，那就是并不是所有用上述方法得到的“解”都一定是真正的解，因为知道了y 并不唯一地决定 x .

为了看一下怎么会有其他合理的代换，让我们回到哪些代换能让我们求出x 的问题。我们注意到，如果y 是x 的二次函数我们就能做到这一点，但这并不是绝对必须的——即使我们只能解二次方程。例如，如果y 由

2x uxy v 0++= 隐式地定义，那么知道 y 仍然允许我们决定x .

实际上，最简单的方法之所以奏效是基于一个完全不同的原因。它涉及另一个方向的代换：令 x w p /3w =+ (此时的三次方程是 3x px q =+)，你会发现所得到的关于w 的方程是一个以3w 为元的二次方程。它到底是怎样被发现的，我并没有一个哪怕勉强说得通的解释。

英文原版网址：https://https://www.360docs.net/doc/ff14621965.html,/~wtg10/cubic.html

译者简介：谢国芳，浙江绍兴人，独立语言学者和数学研究者，复旦大学物理系本科毕业，曾获李政道奖学金赴美就读于哥伦比亚大学物理系研究生院攻读理论物理，后来兴趣转向语言学和外语学习，回国从事独立的语言学和外语学习方法研究，创立了“外语解密学习法”，近年来也进行独立的数学和数学史研究，致力于外语文化和大众数学普及工作，通晓英、法、德、西、俄、日、韩等多国外语。著有《解密英语——学外语从零点到绝顶的最速路经》、《日语汉字读音规律揭秘》、《破解韩国语单词的奥秘》等，建有以传播外语和数学知识与文化为宗旨的网站“语数之光”。已发表的数学和物理论文有：

《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》