创意平板折叠桌数学建模竞赛B题全国二等奖论文

创意平板折叠桌

摘要

本文讨论了平板折叠桌折叠的动态变化过程及相应的参数设计问题，以及在一定条件下折叠桌的最优设计加工参数求解问题。利用空间解析几何知识，建立了非线性规划模型，用MATLAB软件和LINGO软件进行求解，得到了各种条件下的各个参数的尺寸。

针对问题一，根据题目所提供图1，从最外侧桌腿木条到中间桌腿木条依次编号为， 。首先证明了在四条支撑腿底端构成正方形时稳固性较好；然后运用几何关系10

2,1，

得到了在完全折叠成桌子时的各桌腿与折叠桌下底面的夹角、各桌腿与钢筋交点到相应铰链的距离以及桌腿底端点坐标都是桌面最外侧一根木条铰链处到圆形桌面直径的距

离的函数。利用这些函数关系，使用MATLAB编程计算，得到了圆形桌面最外侧桌腿铰链处到过桌面中心垂直于桌腿的直线的距离6.35 cm，1到10号桌腿开槽长度依次为：0，4.67，8.11，10.94，13.29，15.22，16.77，17.94，18.78，19.28（cm）。还求出了各桌腿底端点的坐标并对这些点在其中两个坐标平面的投影作二维坐标曲线拟合，从而桌腿底端边缘线为以上两条拟合曲线为准线，母线垂直于对应坐标平面的两个柱面的交线。

针对问题二，折叠桌的稳定性由四条支撑腿确定，用材由每条桌腿的宽度确定，加工方便由开槽确定，根据任意给定的折叠桌的高度和圆形桌面直径，以加工方便为目标函数，桌腿与桌面之间的几何关系为约束条件，建立了非线性规划模型，用MATLAB 编程计算给定桌高为cm

70，圆形桌面直径为cm

158.00，宽度为

80时的平板长度为cm

3，木条宽度为cm

.4，单侧木条数为17条。

70

79cm，厚度为cm

.

90

针对问题三，确定桌腿几何形状为与平板平行的长方体，由几何知识可以得出桌面形状关于重心对称，得到桌面为偶数条边的正多边形和椭圆两类形状。在人机交互环境下，给定任意桌面高度，椭圆长轴和短轴参数下，以用料最省和加工简单为目标的条件下，建立非线性规划模型，解出开槽长度、桌腿条数和桌腿宽度的具体加工参数。对于短半轴为cm

70的桌面为椭圆的折叠桌，求出了各条桌

45和高度为cm

30、长半轴为cm

腿的开槽长度依次为0，10.29，18.57，25.41，31.00，35.52，39.08，41.78，43.67，44.78（cm），平板尺寸为cm

.

52

?，钢筋到相应桌腿的长度占整条桌腿

cm

161?

00

.3

58

cm

.

00

的长度比例为48

.0。

关键词：非线性规划；MATLAB编程；LINGO编程；稳固性

一、问题的重述

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

试建立数学模型讨论下列问题：

1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽

2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。

2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

二、问题的分析

2.1问题一分析

该问是一个给定平板尺寸，每根木条宽度，折叠后桌子的高度，要求建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并求出折叠桌的设计加工参数和桌角边缘的数学描述的问题。题中要求折叠后桌子的高度为53cm，而由于每根木条的厚度为3cm，假设桌腿铰链固定在桌面下边缘，所以折叠后桌子圆形桌面下底面到地面的高度50cm。在桌子折叠的过程中，随着桌子高度的变化，各桌腿与圆形桌面的夹角，各桌腿端点位置，各桌腿中钢筋到相应铰链的距离也相应发生变化，因此可以用这些参数随折叠桌高度的变化来描述此折叠桌的动态变化过程。在求各参数的过程中，每个参数都与圆形桌面最外侧一根木条铰链到圆形桌面直径的长度有关。若要求出各参数的具体值，就必须先确定合理的圆形桌面最外侧一根木条铰链到圆形桌面直径的长度。可以从桌子的稳固性出发，求出圆形桌面最外侧一根木条铰链到圆形桌面直径的长度，进一步可求出折叠后桌子的高度为53cm时的描述动态变化的各参数值。

对于桌腿木条开槽长度的求解问题，可以分别求出桌子平铺时各桌腿中钢筋到铰链

的距离和折叠后各桌腿中钢筋到铰链距离，在折叠过程中，各桌腿中钢筋到铰链的距离随最外侧桌腿与圆形桌面下底面向圆心延长线的夹角减小而单调递增，

在描述折叠桌的动态变化过程，可以建立相应空间直角坐标系，求出题中图4红色曲线上各桌腿端点坐标。将各桌腿端点坐标n p 分别投影到xoy 面、yoz 面做二位坐标曲线拟合，再以拟合出的曲线为准线，得到分别以垂直xoy 面、yoz 面的柱面方程，两柱面方程的交线，即为桌脚边缘线的数学描述。

2.2问题二分析

问题二要求讨论给定任意折叠桌高度和圆形桌面直径最优设计。折叠桌的设计应做到产品的稳固性好、加工方便、用材最少，对于稳固性，由第一问分析可知，在折叠桌高度和圆形桌面直径一定的时，稳固性主要受到平板尺寸，圆形桌面最外侧木条长度的影响。折叠桌的用材主要由每条腿的宽度决定，由于桌腿宽度必须被桌面宽度的整除，则可以确定桌面的宽度。以加工方便为目标函数，建立非线性规划模型，在一定条件下便可求出平板尺寸大小。再在此基础上，求出最优的钢筋位置和开槽长度使加工更方便。

2.3问题三分析

要用一长方形平板材料设计成可折叠的桌子，桌面形状应该满足一定要求，才能桌子具有一定的稳定性。例如当桌面形状为矩形时，桌子是对称的，要使材料最省，那么桌子两边的桌腿应与地面垂直，那么当对桌脚施加任意的水平力就能使整个桌子倒塌，也即在这种情况下，不能设计符合实际的桌子。

三、模型的假设

1.计算时不考虑模板厚度。

2.不考虑铰链厚度。

3.不考虑相邻桌腿之间空隙。

四、符号的说明

c b a ,,：分别为平板木块的长宽高

n d ：各桌腿中钢筋到相应铰链的距离，其中1021，，， =n

n θ：每条桌腿与圆形桌面下底面夹角，其中1021，，， =n

n p ：各桌腿端点坐标，其中1021，，， =n

n ：桌腿编号

k ：圆形桌面最外侧桌腿铰链到圆形桌面直径的距离

R ：圆形桌面半径

n b ：各桌腿铰链处到过桌面中心垂直于桌腿的直线的距离，其中1032，，， =n h ：折叠桌的高度

n x ：各桌腿端点x 轴坐标即为各桌腿底端距桌面直径的水平距离

n f ：桌腿长度 n b a -2

，其中1021，，， =n n z ：各桌腿端点z 轴坐标即为各桌腿端点到桌面的距离

n y ：各桌腿端点y 轴坐标

1n s ：桌子平铺时各桌腿中钢筋到铰链的距离，其中10211，，， =n

2n s ：折叠后各桌腿中钢筋到铰链距离，其中10212，，， =n

d ：桌腿宽度

m ：桌腿条数

i b ：从外侧看过去对四分之一桌腿铰链到与桌腿铰链平行的桌面对称轴的距离，其中

]2

[21m i ，，， =， i f ：编号为i 的桌腿长，]2

[21m i ，，， = 1i s ：平铺时各桌腿为中钢筋到铰链的距离，其中]2

[211m i ，，， = 2i s ：折叠后各桌腿中钢筋到铰链距离2i s ，其中]2

[212m i ，，， = α：钢筋到相应桌腿的长度占整条桌腿的长度比例

n1：正多边形条数

θ：正多边形内角

r ：正多边形边长

i θ：正多边形至上而下的顶点与平板长边垂线的夹角，其中1,,2,1n i =

k l ：正多边形至上而下的边在与平板长边垂直的垂线上的投影长，其中]4

[21m k ，，， = ε：桌面上最外侧木条相应正多边形定点的距离

B A ,：分别为椭圆形桌面长半轴和短半轴长

五、模型的建立与求解

5.1模型准备

定理：当折叠桌的四条支撑腿所构成的结构区域形状为正方形时，折叠桌的稳固性最好]1[。

证明：下面先从折叠桌的稳固性出发来列出规划模型求相应参数之间满足的函数关系。设平板长为a ，宽为b ，厚为c ，桌面的形状为圆形，且半径为R ，桌面高度为h 。相同材质和形状的支撑桌腿，桌腿在承受相同力下，桌腿的张力越小，则桌子的稳固性越好。桌腿的张力越小，也即最外侧桌腿与圆形桌面下底面夹角越小，即该夹角余弦值

越大，因此可以以)22cos(k

a c h --最大为目标。 对于一立体结构而言，如果重心所在的垂线落在结构体体面范围内就是稳定的，对于本题桌子结构体，桌面上任意一点都落在桌子结构体内，才能保证桌子的稳定，以此可得约束条件：

R k c h k a ≥+---22)()2

(， 综上可建立下非线性规划模型：

)22cos(max k

a c h f --=， ?????????????≥+---???????-=-=R k c h k a d R d R d R d R m d m R k t s 2222)()2

2 ]2[ 2 ,12)2(..（不为整数时，为整数时 分析计算可得当)22cos(k

a c h f --=最大时，有 R k c h k a =+---22)()2

(， 成立，四条支撑腿到结构面中心的距离相等。由此得出了稳固性最好时，桌子的支撑腿所构成的结构区域形状为正方形。

5.2问题一模型建立与求解

由于整个桌子是对称的，以圆形桌面俯视图中右下四分之一圆形桌面来考虑，题目所给图1的中与该四分之一的桌子相对应的示意图如下：

图1 桌角与桌面夹角示意图

俯视圆形桌面，桌面上1/4的铰链从其中一侧与最外侧桌腿连接的铰链开始依次编号为1021，，， ，如下图2所示：

图2 桌腿编号图

设各桌腿中钢筋到相应铰链的距离为n d ，其中1021，，， =n ，

（n 下同）设每条桌腿与圆形桌面下底面夹角为n θ，各桌腿端点坐标为n p ，在桌子的折叠过程中n d ，n θ，n p ，随桌子的高度的变化而变化，因此用n d ，n θ，n p 的变化来描述折叠桌的动态变化过程。

为了求出n d ，n θ，n p ，假设与圆形桌面最外侧桌腿连接的铰链处的直线，到与该直线平行且过圆心的直径距离为k ，圆形桌面半径为R ，其余各木条铰链到圆形桌面直径的距离设为n b ，那么

2225k R +=，

22]11(5.2[）n R b n --=，（1021，，， =n ）

由上式可以看出n b R ，都是k 的函数。

由于钢筋与桌面直径平行，且最外侧钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，所以最外侧桌腿与桌面的夹角

)2arcsin(

11d h =θ， 1θ如上图1所示，其中h 为折叠桌的高度，1d 为最外侧桌腿钢筋到相应铰链长度，且

2

-601k d =， 因为题中要求折叠后桌子的高度为53cm ，而由于每根桌腿的厚度为3cm ，所以高度50cm =h 。由余弦定理可以求得第二根桌腿钢筋到相应铰链长度：

1122

1222cos )(2)(θd k b d k b d --+-=，

同样由余弦定理可以求得第三根桌腿钢筋到相应铰链长度：

11321233cos )(2)(θd k b d k b d --+-=， 以此类推可以求出：

112

12cos )(2)(θd k b d k b d n n n --+-=，（1021，，， =n ） 下面求各各桌腿与圆形桌面下底面夹角为n θ，最外侧桌腿与圆形桌面下底面夹角为：

)2arcsin(1

1d h =θ， 对于第二根桌腿与圆形桌面下底面夹角为： 2

22122222)(2)(arccos d k b d d k b --+-=θ， 对于第三根桌腿与圆形桌面下底面夹角为：

3

32

123233)(2)(arccos d k b d d k b --+-=θ， 以此类推对于第n 根桌腿与圆形桌面下底面夹角为： n

n n n n d k b d d k b )(2)(arccos 2

122--+-=θ，(1021，，， =n ) 为了求各桌腿端点坐标为n p ，以圆形桌面圆心为空间直角坐标系的原点，与最外侧形成的梯形上底平行的直径方向为x 轴，圆形桌面垂直梯形上底的直径方向为y 轴，圆形桌面过圆心的垂线为z 轴，如下图3：

图3 桌子空间三维图

现先求出各桌腿端点x 轴坐标和y 轴坐标，各桌腿端点x 轴坐标即为各桌腿底端距桌面直径的水平距离，设为n x ，其中1021，，， =n ；各桌腿端点z 轴坐标即为各桌腿端点到桌面的距离，设为n z ，其中1021，，， =n 。

当n θ大于90度时，各桌腿端点到桌面的距离：

n n n f z )2cos(π

θ-=，

其中，为桌腿长度n f ，且

n n b f -=60，1021，，， =n

此时各桌腿端点横坐标即为各桌腿底端距桌面直径的水平距离：

2

2n n n n z f b x -+=， 当n θ小于90度时，各桌腿端点到桌面的距离：

n n n f z )sin(θ=，

此时各桌腿端点横坐标即为各桌腿底端距桌面直径的水平距离：

2

2n n n n z f b x +-=， 各桌腿端点y 轴坐标设为n y ，其中1021，，， =n ，则：

)11(5.2n y n -=，

若给出k ，便可求出在不同高度下的n d ，n θ，n p 。由模型准备中的猜想证明可知，当支撑腿构成的结构面呈正方形时，桌子具有较好的稳固性。所以有

R k h d =+-221)2(，

综上，由下列方程组：

???????==+==+-50

2-6025)2(122221h k d k R R k h d 用LIONGO 编程（程序见附录1）求解，得出cm k 3533.6=。

因为

222]11(5.2[25）n k b n --+=，

且

cm k 3533.6=，

所以n b 是关于自变量n 的函数，由此可以看出，第n 条桌腿在钢筋位置处距相应桌腿铰链的距离

11212cos )(2)(θd k b d k b d n n n --+-=，

n d 是关于自变量n 和1θ的关系。对于给定的n ，n d 的函数关系只与最外侧桌腿与桌面的夹角1θ有关，且]2

,0[1π

θ∈。由导数 1

121211cos )(2)(sin )(θθd k b d k b d k b d n n n n --+-?-=' ， 其中，

0cos )(2)(11212>--+-θd k b d k b n n ，

1)(d k b n -为常数，1sin θ在]2,0[π上恒有0sin 1≥θ；所以n d 在]2,0[1π

θ∈内单调递增。桌子平铺时各桌腿中钢筋到铰链的距离1n s 和折叠后各桌腿中钢筋到铰链距离2n s ，始末状态的1n s 、2n s 两距离相减得到各桌腿开槽长度。

将桌子平铺时每条桌腿的开槽中钢筋到桌面直径即开槽起点距桌面直径的距离为：cm k d 18.331=+。每条桌腿铰链到桌面直径的距离n b ，（MATLAB 编程]2[计算程序见附录2）如下表：

表1 每条桌腿铰链到桌面直径的距离

n 的值现求出当折叠后桌子圆形桌面下底面到地面的距离是50cm 时的桌腿中钢筋到相应铰链的距离为n d ，每条桌腿与圆形桌面下底面夹角为n θ，桌腿端点坐标为n p ，根据上面的关系式，计算结果如下：

表2 高度h 为50时的参数

各桌腿端点坐标为n p 如下：

表3 各桌腿端点坐标

、、、MATLAB 编程（程序见附录2）画图，桌子的动态变化图如下：

图4 不同高度下桌子的动态变化图

设桌子平铺时各桌腿中钢筋到铰链的距离为1n s （10211，，， =n ）和折叠后各桌腿中钢筋到铰链距离2n s （10212，，， =n ）可以求出各桌腿空槽的具体位置和各空槽的长度，空槽长度

12n n n s s s -= ，(1021，，， =n )

1n s ，2n s 可由h=3cm 和53cm 时确定取值。

1112cos )(2)(θd k d d k b d n n n --+-=，

其中

)2arcsin(1d h c =，2

-601k d =，1n s =n d k d -+1， 结果如下表：

表4 桌子平铺时各桌腿中钢筋到铰链的距离

1n 表结果，桌腿编号从1到10，1n s 依次减小，也与实际相符。

开槽长度n s 结果如下表：