高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析1
青春之露高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例1、 设
{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B = ，求实数a 组成的集
合的子集有多少个？
【易错点分析】此题由条件
A B B = 易知B A ?，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易
忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。 解析：集合A 化简得{}3,5A =
，由A B B = 知B A ?故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无
解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B φ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a
=或15
。综上满足条件的a 组成的集合为110,
,35??
????
，故其子集共有328=个。 【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ?A ∩B ＝Ａ?ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，
将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．
（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：
(){}22,|4A x y x y =+=，
()()()
{}
2
2
2
,|34B x y x y r =
-+-=，其中0r >,若A B φ= 求r 的取值范围。将集合所表达
的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A 表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B 表示以（3，4）为圆心，以r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r 的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 【练1】已知集合
{}2|40A x x x =+=、(){}22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ?，
则实数a 的取值范围是 。答案：1a
=或1a ≤-。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知
()
2
2
214
y x ++=,求22x y +的取值范围 【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x 的函数最值求解，但极易忽略x 、
y 满足
()
22
214
y x ++=这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
解析：由于
()
22
214y x ++=得(x+2)2=1-4
2y ≤1，∴-3≤x ≤-1从而x 2+y 2=-3x 2
-16x-12=
+
3
28
因此当x=-1时x 2
+y 2
有最小值1, 当x=-
38时，x 2+y 2
有最大值3
28。故x 2+y 2
的取值范围是[1,
3
28
]
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件
()
22
214
y x ++=对x 、y 的限制，
显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x ≤-1，22y -≤≤。此外本题还可通过三角换元
转化为三角最值求解。
【练2】（05高考重庆卷）若动点（x,y ）在曲线
22
214x y b
+=()0b >上变化，则22x y +的最大值为（）
（A ）()()2404424b b b b ?+<
402422b b b b ?+<
（C ）244b +（D ）2b 答案：A
【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
例3、
()2112
x x
a f x ?-=+是R 上的奇函数，（1）求a 的值（2）求的反函数()1
f x - 【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。 解析：（1）利用
()()0f x f x +-=（或()00f =）求得a=1.
（2）由1a =即
()2121x x f x -=+，设()y f x =,则()211x
y y -=+由于1y ≠故121x y y
+=-，
112
log y
y
x +-=，而
()2121
x x
f x -=+()211,121x =-∈-+所以()()11
12log 11x
x f x x +--=-<< 【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R 可省略）。 （2）应用
1()()f b a f a b -=?=可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和
函数值要互换。
【练3】（2004全国理）函数()()111f x x x =-+≥的反函数是（）
A 、()2221y x x x =-+<
B 、()2221y x x x =-+≥
C 、
()221y x x x =-< D 、()221y x x x =-≥
答案：B
【易错点4】求反函数与反函数值错位 例4、已知函数()121x f x x
-=
+，函数()y g x =的图像与()1
1y f x -=-的图象关于直线y x =对
称，则()y g x =的解析式为（）
A 、()32x g
x x -=
B 、()21x g x x -=+
C 、()12x g x x -=+
D 、()3
2g x x
=+ 【易错点分析】解答本题时易由
()y g x =与()11y f x -=-互为反函数，而认为()11y f x -=-的
反函数是
()1y f x =-则()y g x ==()1f x -=()()
1213211x x
x x
---=
=
+-而错选A 。 解析：由
()121x f x x -=+得()112x f x x --=+从而()()()1
1121211x x y f x x
----=-==
+-+再求()11y f x -=-的反函数得()21x
g x x
-=
+。正确答案：B 【知识点分类点拔】函数
()11y f x -=-与函数()1y f x =-并不互为反函数，他只是表示()
1f x -中x 用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设
()1y f x =-则()11f y x -=-，
()11x f y -=+再将x 、y 互换即得()1y f x =-的反函数为()1
1y f x -=+，故()1y f x =-的
反函数不是
()11y f x -=-，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。
【练4】（2004高考福建卷）已知函数y=log 2x 的反函数是y=f -1
(x)，则函数y= f -1
(1-x)的图象是（）
答案：B
【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。
例5、 判断函数
()2lg 1()22
x f x x -=
--的奇偶性。
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：
()()2lg 1()22
x f x f x x --=
≠+-从
而得出函数
()f x 为非奇非偶函数的错误结论。
解析：由函数的解析式知x 满足2
10
22
x x ?->??-≠±??即函数的定义域为()()1,00,1- 定义域关于原点对称，
在定义域下
()()2lg 1x f x x
-=
-易证
()()f x f x -=-即函数为奇函数。
【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。 （2）函数
()f x 具有奇偶性，则()()f x f x =-或()()f x f x =--是对定义域内x 的恒等式。常
常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【练5】判断下列函数的奇偶性：
①
()2244f x x x =-+-②()()
111x
f x x x
+=--③
()1sin cos 1sin cos x x f x x x
++=
+-
答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。
例6、 函数
()2221
2
11log 22x x f x x x -+??=<-> ??
?或的反函数为()1f x -，
证明()1
f x -是奇函数且在其定义域上是增函数。
【思维分析】可求()1f x -的表达式，再证明。若注意到()1f x -与()f x 具有相同的单调性和奇偶性，
只需研究原函数
()f x 的单调性和奇偶性即可。
解析：
()21
212121
21
21
2
2
2
log log log x x x x x x f x --+--+-+-===-()f x =-，故()f x 为奇函数从而()1f x -为
奇函数。又令21212121x t
x x -=
=-++在1,2??-∞- ???和1,2??+∞ ???
上均为增函数且2log t
y =为增函数，
故
()f x 在1,2??-∞- ???和1,2??
+∞ ???
上分别为增函数。故()1f x -分别在()0,+∞和(),0-∞上分别为
增函数。
【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即
1()()f b a f a b -=?=。
【练6】（1）（99全国高考题）已知()2
x x
e e
f x --=
，则如下结论正确的是（）
A 、 ()f x 是奇函数且为增函数
B 、()f x 是奇函数且为减函数
C 、
()f x 是偶函数且为增函数 D 、 ()f x 是偶函数且为减函数
答案：A
（2）（2005天津卷）设
()1f x -是函数()()()112
x x f x a a a -=->的反函数，
则使()1
1f x ->成立的x 的取值范围为（）A 、21(,)2a a -+∞ B 、21(,)2a a --∞ C 、21
(,)2a a a
- D 、(,)a +∞ 答案：A （1a >时，()f x 单调增函数，所以()()()()()2
1111112a f x f f x f x f a
--->?>?>=.）
【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。 例7、试判断函数
()()0,0b
f x ax a b x
=+
>>的单调性并给出证明。 【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义
12,x D x D ∈∈()()()()()1212f x f x f x f x ><中的12,x x 的任意性。以及函数的单调区间必是
函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。 解析：由于
()()f x f x -=-即函数()f x 为奇函数，因此只需判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性即可。设
120
x x >> ，
()()()
12121212
ax x b f x f x x x x x --=- 由于
120
x x -> 故当
12,,b x x a ??∈+∞ ? ??? 时()()120f x f x ->，此时函数()f x 在,b a ??+∞ ? ???
上增函数，同理可证
函数
()f x 在0,b a ?? ? ???上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在,0b a ??- ? ???
为减函数，在
,b a ??-∞- ? ???为增函数。综上所述：函数()f x 在,b a ??-∞- ? ???和,b
a ??+∞ ? ???上分别为增函数，在0,
b a ?? ? ???和,0b a ??- ? ???
上分别为减函数. 【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。
（2）单调性的定义等价于如下形式：
()f x 在[],a b 上是增函数()()
1212
0f x f x x x -?
>-，()f x 在[],a b 上是减函数()()
1212
0f x f x x x -?
<-，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两
点
()()()()1
1
2
2
,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（小于）零。
（3）
()()0,0b
f x ax a b x
=+
>>是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不能说
()f x 在,b a ??-∞- ? ???
,b a ??+∞ ? ???上为增函数，在0,b a ?? ? ??? ,0b a ??
- ? ???上为减函数,在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”， 【练7】（1） （潍坊市统考题）
()()10x
f x ax a ax
-=+
>（1）用单调性的定义判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性。
（2）设()f x 在01x <≤的最小值为()g a ，求()y g a =的解析式。 答案：（1）函数在1,a ??+∞ ???为增函数在10,a ??
???为减函数。（2）()()()1
2101a a
y g a a a ?-≥?==??<
（2） （2001天津）设0a
>且
()x x
e a
f x a e
=+为R 上的偶函数。（1）求a 的值（2）试判断函数在
()
0,+∞上的单调性并给出证明。 答案：（1）1a
=（2）函数在()0,+∞上为增函数（证明略）
【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。
例8、（2004全国高考卷）已知函数()3231f x ax x x =+-+上是减函数，求a 的取值范围。
【易错点分析】
()()()0,f x x a b '<∈是()f x 在(),a b 内单调递减的充分不必要条件，在解题过程
中易误作是充要条件，如()3f x x =-在R 上递减，但()230f x x '=-≤。
解析：求函数的导数
()2361f x a x x '=+-（1）当()0f x '<时，()f x 是减函数，则
()()23610f x a x x x R '=+-<∈故00
a
?
3
a <-。（2）当
3
a =-时，
()3
3
2
18331339f x x x x x ?
?=-+-+=--+ ??
?易知此时函数也在R 上是减函数。
（3）当3a >-时，在R 上存在一个区间在其上有()0f x '>，所以当3a >-时，函数()f x 不是减函数，综上，所求
a
的取值范围是
(],3-∞-。
【知识归类点拔】若函数
()f x 可导，
其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①0)(>'x f
与
)(x f 为增函数的关系:0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在
),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。②0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系:若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。③0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系:)(x f 为增函数，
一定可以推出
0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有
0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的
必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 因此本题在第一步后再对3a =-和3a >-进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条
件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思
维的严密性。
【练8】（1）（2003新课程）函数2y x bx c =++()()0,x ∈+∞是是单调函数的充要条件是（）
A 、0b
≥ B 、0b ≤ C 、0b > D 、0b <
答案：A
（2）是否存在这样的K 值，使函数()243221
232
f x k x x kx x =-
-++在()1,2上递减，在()2,+∞上递增？ 答案：1
2
k =
。（提示据题意结合函数的连续性知()20f '=，但()20f '=是函数在()1,2上递减，在
()2,+∞上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由()20f '=求出K 值后要检验。
） 【易错点9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。 例9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+
a
1
)2
+(b+
b
1)2
的最小值。
错解 :(a+a
1)2
+(b+
b
1)2=a 2+b 2
+
2
1a +21b
+4≥2ab+
ab
2+4≥4
ab
ab 1
?
+4=8∴(a+
a 1)2
+(b+
b
1
)2
的最小
值是8
【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2
≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=
2
1,第
二次等号成立的条件ab=
ab
1，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
解析：原式= a 2
+b 2
+
21a +21b +4=( a 2
+b 2
)+(21a +2
1b )+4=[(a+b)2
-2ab]+ [(a 1+b 1)2
-ab 2]+4
=(1-2ab)(1+221b a )+4由ab ≤(2b a +)2
=41 得：1-2ab ≥1-21=21,且221b a ≥16，1+221
b
a ≥17
∴原式≥21317+4=225 (当且仅当a=b=21时，等号成立)∴(a+a 1)2
+(b+b 1)2
的最小值是2
25
。
【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三
相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。 【练9】（97全国卷文22理22）甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （km/h ）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元。
（1） 把全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 答案为:（1）()()2
0s y
bv a v c v =
+<≤（2）使全程运输成本最小，当b
a ≤c 时，行驶速度v=
b
a
；
当
b
a
＞c 时，行驶速度v=c 。 【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。 例10、是否存在实数a 使函数()2
log ax
x
a f x -=在
[]2,4上是增函数？若存在求出a 的值，若不存在，说
明理由。
【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a 的范围扩大。 解析：函数
()f x 是由()2x ax x φ=-和()log x a y φ=复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方
法（1）当a>1时，若使
()2
log ax
x
a f x -=在
[]2,4上是增函数，则()2x ax x φ=-在[]2,4上是增函
数且大于零。故有()1222420a a φ?≤???=->?
解得a>1。（2）当a<1时若使()2
log ax
x
a
f x -=在
[]2,4上是增
函数，则()2
x ax x φ=-在[]2,4上是减函数且大于零。()14241640a a φ?≥???=->?
不等式组无解。综上
所述存在实数a>1使得函数
()2
log ax
x
a f x -=在
[]2,4上是增函数
【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。
【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设0a >，且1a ≠试求函数2log 43a y x x =+-的的单调区
间。 答案：当0
1a <<，函数在31,2??- ???上单调递减在3,42??????上单调递增当1a >函数在31,2?
?- ??
?上单调
递增在
3,42??
????
上单调递减。 （2）（2005 高考天津）若函数()()()3log 0,1a f x x ax a a =->≠在区间1
(,0)2
-内单调递增，则a 的
取值范围是（）A 、1[,1)4 B 、3[,1)4 C 、9(,)4+∞ D 、9
(1,)4
答案：B .（记()3g
x x ax =-，
则()2
'3g x x a =-当1a >时，要使得()f x 是增函数，则需有()'0g x >恒成立，所以2
13324a ??
<-= ?
??
.矛盾.排除C 、D 当01a <<时，要使()f x 是函数，则需有()'0g x <恒成立，所以2
13324a ??
>-= ???
.排除A ）
【易错点11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．
例11、已知1sin
sin 3
x y +=
求2
sin cos y x -的最大值 【易错点分析】此题学生都能通过条件1
sin sin 3
x y +=将问题转化为关于sin x 的函数，进而利用换
元的思想令sin t x =将问题变为关于t 的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成
错解，
解析：由已知条件有1sin
sin 3y x =
-且[]1
sin sin 1,13
y x =-∈-（结合[]sin 1,1x ∈-）得2
sin 13
x -
≤≤，而
2
s i n c o s y x -=1sin 3x -2cos x -=22sin sin 3
x x =--
令2sin 13t x t ??=-≤≤ ???则原式=222133t t t ??
---≤≤ ???
根据二次函数配方得：当23t =-
即
2
sin 3
x =-
时，原式取得最大值
49。
【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
【练11】（1）（高考变式题）设a>0，000求f(x)＝2a(sinx ＋cosx)－sinx 2cosx －2a 2
的最大值和
最小值。
答案：f(x)的最小值为－2a 2
－2
2a －12，最大值为12022
22212222
()()<<-+-≥??
???
??a a a a （2）不等式x >ax ＋32
的解集是(4,b)，则a ＝________，b ＝_______。
答案：1
,368
a
b ==（提示令换元x t =原不等式变为关于t 的一元二次不等式的解集为()2,b ）
【易错点12】已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况． 例12、（2005高考北京卷）数列
{}n a 前n 项和n s 且111
1,3n n a a s +==。
（1）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式。
【易错点分析】此题在应用n s 与n a 的关系时误认为1n n n a s s -=-对于任意n 值都成立，忽略了对n=1
的情况的验证。易得出数列
{}n a 为等比数列的错误结论。
解析：易求得
2341416,,3927a a a ===。由1111,3n n a a s +==得()11
23
n n a s n -=≥故
()111112333n n n n n a a s s a n +--=-=≥得()14
23
n n a a n +=≥又11a =，213a =故该数列从第
二项开始为等比数列故()
()21114233n n n a n -=??
=???
≥? ???
?。
【知识点归类点拔】对于数列n a 与n s 之间有如下关系：()()
1112n n n s n a s s n -=??=?-≥??利用两者之间的关系可以已知n s 求n a 。但注意只有在当1a 适合()12n n n a s s n -=-≥时两者才可以合并否则要写分段函数
的形式。
【练12】（2004全国理）已知数列{}n a 满足()()
112311,2312n n a a a a a n a n -==++++-≥ 则数列
{}n a 的通项为 。
答案：（将条件右端视为数列{}n na 的前n-1项和利用公式法解答即可）()
()11!22
n n a n n =??
=?≥??
【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始）
例13、等差数列
{}n a 的首项10a >，前n 项和n s ，当l m ≠时，m l s s =。问n 为何值时n s 最大?
【易错点分析】等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，可将问题转化为求解关于n 的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。 解析：由题意知n s =
()()21112
22n n d d f n na d n a n -??
=+
=
+- ??
?此函数是以n 为变量的二次函
数，因为1
0a >，当l m ≠时，m l s s =故0d <即此二次函数开口向下，故由()()f l f m =得当
2
l m
x +=
时
()f x 取得最大值，但由于n N +∈，故若l m +为偶数，当2
l m n +=
时，n s 最大。
当l
m +为奇数时，当1
2
l m n +±=
时n s 最大。 【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数且没有常数项，反之满足形如2n
s an bn =+所对应的数列也必然是等差数列的前
n 项和。此时由
n s an b n =+知数列中的点,n s n n ??
???
是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如前n 项和n n
s ca c =-所对应的数列必为一等比数列的前n 项和。
【练13】（2001全国高考题）设{}n a 是等差数列，n s 是前n 项和，且56s s <，678s s s =>，则下列
结论错误的是（）A 、0d
D 、6s 和7s 均为n s 的最大值。
答案：C （提示利用二次函数的知识得等差数列前n 项和关于n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答） 【易错点14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。 例14、已知关于的方程2
30x
x a -+=和230x x b -+=的四个根组成首项为
3
4
的等差数列，求
a b +的值。
【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。 解析：不妨设
34
是方程2
30x
x a -+=的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程
230x x a -+=的另一根是此等差数列的第四项，而方程2
30x x b -+=的两根是等差数列的中间两
项，根据等差数列知识易知此等差数列为：
3579
,,44,44
故2735,1616a b ==从而a b +=318。 【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列
{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+；
对于等比数列
{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ?=?；若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n
项的和，*
N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列；若数列
{}n a 是等差数列，n S 是其前n
项的和，*N k
∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列等性质要熟练和灵活应用。
【练14】（2003全国理天津理）已知方程2
20x x m -+=和220x x n -+=的四个根组成一个首项
为
14
的等差数列，则
m n
-=（） A 、1 B 、
3
4
C 、
12
D 、
38
答案：C
【易错点15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况 例15、数列}{n a 中，11=a ，22=a ，数列}{1+?n n a a 是公比为q （0>q ）的等比数列。
（I ）求使32211
+++++>+n n n n n n a a a a a a 成立的q 的取值范围；
（II ）求数列}{n a 的前n 2项的和n S 2． 【易错点分析】对于等比数列的前n 项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列}{1+?n n
a a 是公比为q （0>q ）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数
列而找不到解题突破口。使思维受阻。 解：（I ）∵数列}{1+?n n a a 是公比为q 的等比数列，∴q a a a a n n n n 121+++=，2132q a a a a n n n n +++=，
由32211
+++++>+n n n n n n a a a a a a 得221111q q q a a q a a a a n n n n n n >+?>++++，即
012<--q q （0>q ）
，解得2
5
10+< （II ）由数列}{1+?n n a a 是公比为q 的等比数列，得 q a a q a a a a n n n n n n =?=++++2121，这表明数列}{n a 的 所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q ，又11 =a ，22=a ，∴当1≠q 时， n S 2n n a a a a a a 2124321++++++=- )()(2642321n n a a a a a a a a +++++++++= q q q q a q q a n n n --= --+--=1) 1(31)1(1)1(21，当1=q 时，n S 2n n a a a a a a 2124321++++++=- ) ()(2642321n n a a a a a a a a +++++++++= n 3)2222()1111(=+++++++++= ． 【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中 q a a n n =+2 是解题的关键，这种给出数列的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为1这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。 【练15】（2005高考全国卷一第一问）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n s >（1）求q 的取值范 围。 答案： ()()1,00,-+∞ 【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。 例16、．（2003北京理）已知数列{}n a 是等差数列，且11232,12a a a a =++= （1）求数列 {}n a 的通项公式（2）令()n n n b a x x R =∈求数列{}n b 前项和的公式。 【思维分析】本题根据条件确定数列 {}n a 的通项公式再由数列{}n b 的通项公式分析可知数列{}n b 是一 个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。 解析：（1）易求得2n a n = （2）由（1）得2n n b nx =令n s =232462n x x x nx ++++ （Ⅰ）则 ()23124212n n n xs x x n x nx +=+++-+ （Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ） （注意错过一位再相减）得()231 122222n n n x s x x x x nx +-=++++- 当1x ≠()11211n n n x x s nx x x +??-??= ---???? 当1x =时()24621n s n n n =++++=+ 综上可得： 当1x ≠()1 1211n n n x x s nx x x +??-??=---???? 当1x =时()24621n s n n n =++++=+ 【知识点归类点拔】一般情况下对于数列 {}n c 有n n n c a b =其中数列{}n a 和{}n b 分别为等差数列和等 比数列，则其前n 项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。 【练16】（2005全国卷一理）已知 1221n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++++ (),0,0n N a b +∈>>当a b =时， 求数列{}n a 的 前n 项和n s 答案：1a ≠时()()() 2122 1221n n n n a n a a a s a +++-+-+=-当1a =时()32 n n n s += . 【易错点17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。 例17、求=n S ++++++ 321121111…n +++++ 3211 ． 【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。 解：由等差数列的前n 项和公式得2 ) 1(321+= ++++n n n ，∴ )1 1 1(2)1(23211+-=+=++++n n n n n ，n 取1，2，3， …，就分别得到3211,211,11+++，…，∴=n S )1 11(2)4 13 1(2)3 12 1(2)2 11(2+-++-+-+-n n 1 2)111(2+=+- =n n n ． 【知识归类点拔】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求 n n 216314212112222++++++++ ，方法还是抓通项，即 )2 1 1(21)2(1212 +-=+=+n n n n n n ，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：1 1++= n n a n ，求其前n 项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式 法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 【练17】（2005济南统考）求和121222-+=n S ＋141422-+＋161622-+＋…＋1 )2(1 )2(2 2-+n n ． 答案：+-++-++-+=715115*********n S …+1211211+--+n n ＝1 22++n n n ． 【易错点18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。 例18、（2004年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n . (Ⅰ)若首项=1a 3 2 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2 k k S S =成立. 【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ) 时极易根据条件“对于一切正整数k 都有2)(2 k k S S =成立”这句话将k 取两个特殊值确定出等差数 列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立 的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。 解：（I ）当1,231== d a 时n n n n n d n n na S n +=-+=-+=2 12 12)1(232)1( 由22242)2 1(21,)(2 k k k k S S k k +=+=得 ，即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以. （II ）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2 n n S S =中分别取k=1,2,得 ?? ????+=?+=?????==2112112 242 11)2122(2344, ,)()(d a d a a a S S S S 即 由（1）得 .1011==a a 或当,60)2(,01===d d a 或得代入时 若2 1)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立 , 若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331 ===-===n n S S S n a d a ,)(2 39S s ≠故所得 数列不符合题意.当20,)2(64)2(,121 ==+=+=d d d d a 或解得得代入时 若;)(,,1,0,121 2成立从而则k k n n S S n S a d a ===== 若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== . 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n =0，即0，0，0，…；②{a n } : a n =1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…， 【知识点归类点拔】事实上，“条件中使得对于一切正整数k 都有2)(2 k k S S =成立.”就等价于关于k 的方 程的解是一切正整数又转化为关于k 的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般的关系。 【练18】（1）（2000全国）已知数列 {}n c ,其中23n n n c =+,且数列{}1n n c pc +-为等比数列.求常数p 答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于p 的方程，再说明p 值对任意自然数n 都成立） 【易错点19】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略. 例19、已知双曲线2 24x y -=，直线()1y k x =-，讨论直线与双曲线公共点的个数 【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x 或y 的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。 解析：联立方程组()2214 y k x x y ?=-??-=??消去y 得到()22221240k x k x k -+--=（1）当210k -=时， 即1k =±，方程为关于x 的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点。（2）当 ()2 2 104430 k k ?-≠???=-=??时即233k =±，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当()2 2 104430 k k ?-≠???=->??时，方程组有两个交点此时232333k -<<且1k ≠±。（4）当()2 2 104430 k k ?-≠???=-或233k <-时方程组无解此时直线与双曲线无交点。 （1） （2） 综上知当1k =±或233k =± 时直线与双曲线只有一个交点，当2323 33 k -<<且1k ≠±。时直线与双曲线有两个交点，当233k > 或23 3 k <-时方程组无解此时直线与双曲线无交点。 【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。 【练19】（1）（2005重庆卷）已知椭圆1c 的方程为2 214 x y +=，双曲线2c 的左右焦点分别为1c 的左右顶点，而2c 的左右顶点分别是1c 的左右焦点。（1）求双曲线的方程（2）若直线: 2l y kx =+与椭 圆1c 及双曲线2c 恒有两个不同的交点，且与2c 的两个交点A 和B 满足6lOA OB ?< ，其中O 为原 点，求k 的取值范围。答案：（1）22 13x y -=（2）133113131,,,,115322315????????---- ? ? ? ? ? ? ? ?? ??????? （2）已知双曲线C ： ，过点P （1，1）作直线l, 使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 ____条。答案：4条（可知k l 存在时，令l: y-1=k(x-1)代入14 2 2 =-y x 中整理有(4-k 2 )x 2 +2k(k-1)x- (1-k 2 )-4=0,∴ 当4-k 2 =0即k=±2时，有一个公共点；当k ≠±2时，由Δ=0有2 5 =k ，有一个切点另：当k l 不存在时，x=1也和曲线C 有一个切点∴综上，共有4条满足条件的直线） 【易错点20】易遗忘关于sin θ和cos θ齐次式的处理方法。 例20、已知2tan =θ ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 【思维分析】将式子转化为正切如利用22 1sin cos αα=+可将（2）式分子分母除去sin θ即可。 解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=- + = ++θθθ θθθθθθθ； (2) θ +θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ22222 2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 3 2 4122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-= ++-=+θ θ+θθ -θθ=. 【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。2 222(1sin cos sec tan αααα=+=-tan cot αα= 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用． 【练20】．（2004年湖北卷理科） 已知)3 2sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622π αππααααα +∈=-+求的值. 答案：6531326 - +（原式可化为02tan tan 62=-+αα，()223 tan 1tan 2 sin 231tan ααπαα + -??+= ?+??） 【易错点21】解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第n 项与数列的前n 项和混淆导致错误解答。 例21、如果能将一张厚度为0.05mm 的报纸对拆,再对拆....对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为8 410?米) 【易错点分析】对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n 项,易误理解为是比等比数列的前n 项和。 解析：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列n a ，则数列n a 是以3 1a =0.0510?米为首项，公比为2的等比数列。从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得a 51=0.05310-3 3250 =5.6331010 ,而地球和月球间的距离为4310 8 <5.6331010故可建一 座桥。 【知识点归类点拔】 以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一，其中有很多问题都是涉及到等差或者等比数列的前n 项和或第n 项的问题，在审题过程中一定要将两者区分开来。 【练21】（2001全国高考）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅 游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 5 1 ，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4 1 . (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入 （1）a n =800+8003(1－51)+…+8003(1－51)n －1=∑ =n k 1 8003(1－51)k －1=40003［1－(54)n ］ b n =400+4003(1+41)+…+4003(1+41)k －1=∑ =n k 1 4003(45)k －1=16003［(45 )n －1］ （2）至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入 【易错点22】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。 例21、下列命题正确的是（） A 、α、β都是第二象限角，若sin sin αβ>，则tan tan αβ> B 、α、β都是第三象限角，若 cos cos αβ>，则sin sin αβ>C 、α、β都是第四象限角，若sin sin αβ >，则tan tan αβ >D 、α、β都是第一象限角，若cos cos αβ>，则sin sin αβ >。 【易错点分析】学生在解答此题时易出现如下错误：（1）将象限角简单理解为锐角或钝角或270到360度之间的角。（2）思维转向利用三角函数的单调性，没有应用三角函数线比较两角三角函数值大小的意识而使思维受阻。 解析：A 、由三角函数易知此时角α的正切线的数量比角β的正切线的数量要小即tan tan αβ 理可知sin sin α β 的正切线的数量要大即 tan tan αβ>。正确。D 、同理可知应为sin sin α β<。 【知识点归类点拔】单位圆的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来，体现了数形结合的数学思想，要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。三角函数线在解三角不等式、比较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明都有着广泛的应用并且在这些方面有着一定的优越性。例如利用三角函数线易知0,,sin tan 2παααα?? ∈<< ??? ，sin cos 1αα+≥等。 【练22】（2000全国高考）已知sin sin αβ >，那么下列命题正确的是（） A 、 若αβ、都是第一象限角，则cos cos αβ> B 、若αβ、都是第二象限角，则tan tan αβ> B 、 若αβ 、都是第三象限角，则cos cos α β>D 、若αβ 、都是第四象限角，则tan tan α β > 答案：D 【易错点23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将ω和φ求错。 例23．要得到函数 sin 23y x π? ?=- ?? ?的图象，只需将函数1sin 2y x =的图象（） A 、 先将每个x 值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向右平移 3 π 个单位。 B 、 先将每个x 值缩小到原来的14倍，y 值不变，再向左平移3 π 个单位。 C 、 先把每个x 值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向左平移个6 π 单位。 D 、 先把每个x 值缩小到原来的14倍，y 值不变，再向右平移6 π 个单位。 【易错点分析】1 sin 2 y x =变换成sin 2y x =是把每个x 值缩小到原来的 14倍，有的同学误认为是扩 大到原来的倍，这样就误选A 或C ，再把 sin 2y x =平移到sin 23y x π? ?=- ?? ?有的同学平移方向错了， 有的同学平移的单位误认为是 3 π 。 解析：由 1sin 2y x =变形为sin 23y x π? ?=- ?? ?常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将1 sin 2 y x =的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 14倍得到函数 2sin 2y x =的图象， 再将函数 2sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移 6 π单位。即得函数 sin 23y x π? ?=- ?? ?。 或者先进行相位变换，即将 1 sin 2 y x =的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向右平移 23π个单位，得到 函数 121 sin sin 2323y x x π π????=- =- ? ????? 的图象，再将其横坐标变为原来的4倍即得即得函数 sin 23y x π? ?=- ?? ?的图象。 【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法，一般地由 sin y x =得到 ()sin y A wx φ=+的图象有如下两种思路：一先进行振幅变换即由sin y x =横坐标不变，纵坐标变 为原来的A 倍得到 sin y A x =，再进行周期变换即由 sin y A x =纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ω 倍，得到 sin y A wx =，再进行相位变换即由sin y A wx =横坐标向左（右）平移 φ ω 个单位，即 得 ()sin sin y A x A x φωωφω? ?=+=+ ?? ?，另种就是先进行了振幅变换后，再进行相位变换即由 sin y A x =向左（右）平移φ 个单位，即得到函数 ()sin y A x φ=+的图象，再将其横坐标变为 原来的 1 ω 倍即得 ()sin y A wx φ=+。 不论哪一种变换都要注意一点就是不论哪一种变换都是对纯粹的变量x 来说的。 【练23】（2005全国卷天津卷）要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的 A 、 横坐标缩短为原来的 12 倍（纵坐标不变），再向左平移π个单位长度。B 、横坐标缩短为原来的 12 倍 （纵坐标不变），再向左平移π个单位长度。C 、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π个单位长度。D 、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π个单位长度。 答案：C 【易错点24】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。 例24、已知()0,απ∈ ，7 sin cos 13αα+=求tan α的值。 【易错点分析】本题可依据条件7 sin cos 13 α α+= ，利用sin cos 12sin cos αααα-=±-可解得sin cos αα-的值，再通过解方程组的方法即可解得sin α、cos α的值。但在解题过程中易忽视sin cos 0αα<这个隐含条件来确定角α范围，主观认为sin cos αα-的值可正可负从而造成增解。 解析：据已知7sin cos 13αα+=（1）有120 2sin cos 0169 αα=- <，又由于()0,απ∈，故有sin 0,cos 0αα><，从而sin cos 0αα->即17 sin cos 12sin cos 13 αααα-=-=（2） 联立（1）（2）可得125sin ,cos 1313αα==，可得12tan 5 α=。 【知识点归类点拔】在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在 ()0,π区 间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数线可知若0,2πα ??∈ ???则必有sin cos 1αα+>,故必有,2παπ?? ∈ ??? 。 【练24】（1994全国高考）已知()1 sin cos ,0,5 θθθπ+=∈，则cot θ 的值是 。 答案：34 - 【易错点25】根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称不适当造成错解。 例25、若510sin ,sin 510 α β= =，且α、β均为锐角，求αβ +的值。 【易错点分析】本题在解答过程中，若求α β +的正弦，这时由于正弦函数在 ()0,π区间内不单调故满 足条件的角有两个，两个是否都满足还需进一步检验这就给解答带来了困难，但若求αβ +的余弦就不易 出错，这是因为余弦函数在 ()0,π内单调，满足条件的角唯一。 天津市近五年高考数学试题分类汇总 [2011 ?天津卷]i是虚数单位，复数1 3i 1 i = C. 1 2i A. 2 i B. 2 i 【答案】A. 1 3i 【解析】'3i(1 3i)(1 i) 42i2 i. 1 i(1 i)(1 i)2 【2010】(1) i是虚数单位，复数 1 3i( 1 2i (A)1 + i(B)5+ 5i (C)-5-5i(D)-1 —i 5i 【2009,1】i是虚数单位，5=( ) 2 i (A) 1+2i(B) -1-2i(C) 1-2i 选择题1:—复数 【考点定位】本小题考查复数的运算，基础 题。) D. 1 2i (D) -1+2i 解析：旦5^ 2 i 5 1 2i，故选择D o 【2008 】 1. ?3 i是虚数单位i i 1() i是虚数单位，i1 (A) 1 (B) 1(C) i(D) i A 【2007】 2i3 1.i是虚数单位，——() 1 i A.1i B.1 i C.1 【答 案】 C 【分 析】2i32i3(1 i)2i(1 i)i 1，故选C 1i (1 i)(1 i)2 D. 1 i 2 (1)i 3 1,i 4 i,i1 复数运算技巧： 4n i 1,i 4n 1 4n 2 i,i 4n 3 hi n n 1n 2n 3 ■ i■ i■ i■ i0 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。 (2)(1 i)2 2i i i A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 .1 i i,r _ i ⑷设 -1+凋 3 2 1, — 2 3 , 0 2 , 选择题 2: 充要条件与命题 [2011 ? 天津卷］设x,y R,则 2 2 “x 2 且 y 2 ”是“ x y 4 的 充分而不必要条件 A . B .必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D .即不充分也不必要条件 【答案 】A 【解 析 】当x 2且y 2时， 「疋有x y 4 ；反过来当 【2010】(3)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A) 若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数 (B) 若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 (C) 若f(-x)是奇函数，贝U f(x)是奇函数 (D) 若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 B 【2009】(3)命题“存在x 0 R , 2x0 0”的否定是 (A )不存在 x 0 R, 2x0 >0 (B )存在 X 。R, 2x0 0 (C )对任意的x R, 2x 0 (D )对任意的x R, 2x >0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。 解析：由题否定即“不存在 x 0 R ，使2x0 0”，故选择D o 【2007 】3." —"是"ta n 2cos — "的 3 2 x 2 y 2 4，不一定有x 2且y 2，例如x 4, y 0也可以，故选A 【2008】(4)设 a,b 是两条直线, 是两个平面，则a b 的一个充分条件是 C (A) a , b 〃 ， (C) a ,b , // (B) a ,b , // (D) a ,b 〃 , 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 20．（本小题满分16分） 已知函数f(x)＝ax 2－bx ＋lnx ，a ，b ∈R ． （1）当a ＝b ＝1时，求曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线方程； （2）当b ＝2a ＋1时，讨论函数f(x)的单调性； （3）当a ＝1，b ＞3时，记函数f(x)的导函数f ′(x)的两个零点是x 1和x 2 (x 1＜x 2)． 求证：f(x 1)－f(x 2)＞34 －ln2． 2、苏州市2017届高三暑假自主学习测试 20．已知函数2()ln ,()f x x x g x x ax =-=-． （1）求函数()f x 在区间[],1(0)t t t +>上的最小值()m t ； （2）令1122()()(),(,()),(,())h x g x f x A x h x B x h x =-12()x x ≠是函数()h x 图象上任意两点，且满足1212 ()()1,h x h x x x ->-求实数a 的取值范围； （3）若(0,1]x ?∈，使()()a g x f x x -≥ 成立，求实数a 的最大值． 20．（本小题满分16分） 设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求证：1 ()0f a ≤； （3）若函数()f x 有且只有1个零点，求a 的值． 4、南京市、盐城市2017届高三第一次模拟 19.设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x -=+-（a R ∈）. （1）当2a =时，解关于x 的方程()0x g e =（其中e 为自然对数的底数）； （2）求函数()()()x f x g x ?=+的单调增区间； （3）当1a =时，记()()()h x f x g x =?，是否存在整数λ，使得关于x 的不 等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据：ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈） 易错易混题 1．下列各数中绝对值最小的是( ) A ．3 B ．－π C ．2 3 D ．－2 2．下列各式中由左边到右边的变形中，是分解因式的为( ) A ．a(x ＋y)＝ax ＋ay B ．x 2－4x ＋4＝x(x －4)＋4 C ．10x 2－5x ＝5x(2x －1) D ．x 2－16＋3x ＝(x ＋4)(x －4)＋3x 3．要使式子a ＋2 a 有意义，a 的取值范围是( ) A ．a ≠0 B ．a>－2且a ≠0 C ．a>－2或a ≠0 D ．a ≥－2且a ≠0 4．下列运算正确的是( ) A.3＋6＝9 B.32＝4 2 C.5·4＝4 5 D.2÷6＝ 3 5．若分式x 2－1 x ＋1的值为零，那么x 的值为( ) A ．1或－1 B ．1 C ．－1 D ．0 6．下列命题是真命题的是( ) A ．对角线互相垂直的四边形是菱形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D ．对角线相等的四边形是矩形 7．直线y ＝4x 向下平移1个单位长度再向左平移2个单位长度，得到的直线是 ( ) A ．y ＝4(x ＋2)＋1 B ．y ＝4(x －2)＋1 C ．y ＝4(x ＋2)－1 D ．y ＝4(x －2)－1 8．已知关于x 的一元二次方程(1－a)x 2＋2x －2＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜32 B ．a ＞12 C ．a ＜32且a ≠1 D ．a ＞12 且a ≠1 9．已知点A(x 1，3)，B(x 2，6)都在反比例函数y ＝－3x 的图象上，则下列关系式一定正确的是( ) A ．x 1＜x 2＜0 B ．x 1＜0＜x 2 C ．x 2＜x 1＜0 D ．x 2＜0＜x 1 10．已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋4(a ＞0)，若点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是函数上的两个点，且满足x 1＜x 2，x 1＋x 2＝0，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1＜y 2 C ．y 1＞y 2 D ．y 1与y 2的大小不能确定 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 六年级数学易错易混题 一、培优题易错题 1．列方程解应用题： （1）一个箱子，如果装橙子可以装18个，如果装梨可以装16个，现共有橙子、梨400个，而且装梨的箱子是装橙子箱子的2倍．请算一下，装橙子和装梨的箱子各多少个？（2）一群小孩分一堆苹果，每人3个多7个，每人4个少3个，求有几个小孩？几个苹果？ （3）一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时．顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的速度和两城之间的航程． 【答案】（1）解：设装橙子的箱子x个，则装梨的箱子2x个，依题意有 18x+16×2x=400， 解得x=8， 2x=2×8=16． 答：装橙子的箱子8个，则装梨的箱子16个 （2）解：设有x个小孩， 依题意得：3x+7=4x﹣3， 解得x=10， 则3x+7=37． 答：有10个小孩，37个苹果 （3）解：设无风时飞机的航速为x千米/小时． 根据题意，列出方程得： （x+24）× =（x﹣24）×3， 解这个方程，得x=840． 航程为（x﹣24）×3=2448（千米）． 答：无风时飞机的航速为840千米/小时，两城之间的航程2448千米 【解析】【分析】（1）根据梨和橙子与各自箱数分别相乘，相加为两者的总数，求出装梨和橙子的箱子数。 （2）利用两种分法的苹果数是相同的，列出方程求解出小孩数和苹果数。 （3）利用逆风和顺风的路程是相同的，列出方程求出速度，再利用速度和时间求出航程。 2．下列图表是2017 年某校从参加中考体育测试的九年级学生中随机调查的10 名男生跑1000 米和 10 名女生跑 800米的成绩. （1）按规定，女生跑 800 米的时间不超过 3'24"就可以得满分.该校九年级学生有 490 人，男生比女生少 70 人.请你根据上面成绩，估计该校女生中有多少人该项测试成绩得满分? （2）假如男生 1 号和男生 10 号被分在同组测试，请分析他俩在 400 米的环形跑道测试的过程中能否相遇。若能，求出发多长时间才能相遇；若不能，说明理由. 【答案】（1）解：设男生有x人,女生有(x+70)人， 由题意得：x+x+70=490， 解得：x=210， 则女生x+70=210+70=280(人). 故女生得满分人数： (人) （2）解：不能； 假设经过x分钟后，1号与10号在1000米跑中能首次相遇，根据题意得： 解得 又∵ ∴考生1号与10号不能相遇。 【解析】【分析】（1）通过男生、女生的人数关系列出方程，得出女生的人数；（2）根据题意表达出1号跟10号的速度，两位若相遇，相减的路程为400米，得出的时间为4.8, 但是4.8分钟大于3分钟，所以两位在测试过程中不会相遇。 3．某手机经销商购进甲，乙两种品牌手机共 100 部. （1）已知甲种手机每部进价1500 元，售价2000 元；乙种手机每部进价3500 元，售价4500 元；采购这两种手机恰好用了 27 万元 .把这两种手机全部售完后，经销商共获利多少元？ （2）已经购进甲，乙两种手机各一部共用了5000 元，经销商把甲种手机加价50%作为标 题08 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N . 易错易混题 (一) Bike-sharing is a new choice for short journeys in cities. It is good to the 1 development of the big cities. A 2 by a company found that shared bikes started the nation's 3 for bikes again. Now more and more Chinese people are 4 bikes instead of cars to make short journeys in cities. An engineer of that company says that since the 5 of shared bikes, people have made fewer trips by car. The love for shared bikes is not only among 6 people, who were born in the 1980s and 1990s, but also among people over sixty. At weekends, the number of the riders in Shenzhen reaches the 7 of all cities. On weekdays, the number of people who use shared bikes to travel to work is 8 in Shanghai. It is said that bike-sharing will help 9 the cities' environment. It not only helps solve the traffic problems, but also will help to make more use of 10 in cities. Take Beijing as an example, if more people choose shared bikes, an area of five Bird's Nest stadiums(体育场) will be saved. 1．A.slow B．healthy C．harmful D．sudden 2．A.rule B．plan C．report D．suggestion 3．A.search B．worry C．preparation D．love 4．A.choosing B．pushing C．repairing D．locking 5．A.end B．start C．control D．fall 6．A.strong B．weak C．old D．young 函数的综合及其应用 一、选择题 1．（2017天津）已知函数23,1, ()2 , 1.x x x f x x x x ?-+? =?+>? ? ≤设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16 - B ．4739 [,]1616- C ．[- D ．39 []16 - A 【解析】解法一 根据题意，作出()f x 的大致图象，如图所示 当1x ≤时，若要()| |2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需2 3()2 x x x a -+-+≥，即2302x x a -++≥，故对于方程2302x x a -++=，21 ()4(3)02a ?=--+≤，解得 4716a -≥；当1x >时，若要()||2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需22 x x a x ++≥， 即22x a x +≥，又222x x +≥，当且仅当2 2x x =，即2x =时等号成立，所以2a ≤，综上，a 的取值范围是47 [,2]16 - ．选A ． 解法二 由题意()f x 的最小值为114，此时12 x =．不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立 等价于11 | |24 x a +≤在R 上恒成立． 当a =-1 2 x = ，11|| |28x -=>，不符合，排除C 、D ； 当3916a = 时，令12x =，394311 ||||216168 x +=>，不符合，排除B ．选A ． 二、填空题 x 1．（2017山东）若函数e ()x f x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单 调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 ． ①()2 x f x -= ②2 ()f x x = ③()3 x f x -= ④()cos f x x = ①④【解析】①()2()2 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()3()3 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③3 ()x x e f x e x =?，令3 ()x g x e x =?，则3 2 2()3(2)x x x g x e x e x x e x '=?+?=+， ∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<， ∴3()x x e f x e x =?在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增， 故()3 f x x =不具有M 性质； ④2 ()(2)x x e f x e x =+，令()() 22x g x e x =+， 则22 ()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++?=++>， ∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质． 2．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x D f x x x D ?∈=? ??其中集合1 {|,}n D x x n n -==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ． 8【解析】由于，则需考虑的情况， 在此范围内，且时，设，且互质， 若，则由，可设，且,m n 互质， 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾， 因此， ()[0,1)f x ∈110x ≤ 集合 【知识清单】 1.性质：确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“?”. 3.集合和集合的关系：子集（包含于“?”）、真子集（真包含于“≠ ?”）. 4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n . 5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且| 并集：{}B x A x x B A ∈∈=或| 补集：{}A x U x x A C U ?∈=且| 6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点： ①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性； ②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集. 【No.1 定义&性质】 1.下列命题中正确的个数是（ ） ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{} R x x y y ∈-=,1|2 与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构 成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A 详解：在①中方程022=++-y x 等价于? ??=+=-020 2y x ，即???-==22y x 。因此解集应为 (){}2,2-，错误； 在②中，由于集合{} R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112-≥-=x y .同理， {}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误； 在③中，集合{}01|<-x x 即1 易错易混题 一、完形填空 (一) When I was a child, my father took us to learn skiing(滑雪). I soon fell in love with this 1 . But my dad found 2 falling on the ground more than standing up. I asked him why he was having 3 and couldn't get the skills. He said, “Son, when you're an adult, you cannot pick up sports or languages quite as 4 as a kid.” Now I am an adult, and I find that he was right. But maybe that's not 5 for everybody. Lou Batori of Michigan started to learn 6 when he was 80! Now he is over 100 years old. He became the 7 skier in the world. Of course his skiing competition journey was not easy—he had met a lot of 8 . Over the past 20 years, he has 9 his arms, knees and legs. His children and grandchildren were 10 him. They tried to ask him to stop ski at such an old age. And his doctor advised him to choose some other kinds of sports which are not so dangerous, but he loved it too much to stop it. He said he would continue skiing until the last day of his life. 1．A.place B．music C．art D．sport 2．A.myself B．himself C．themselves D．ourselves 3．A.trouble B．ideas C．fun D．dinner 专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则 但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 00 易错易混题－模拟考试、正式考试及解析与建议 一、正式考试中的易错易混题及其解析与建议： 本人在正式考试中错了这样一个题： 这个标志是何含义？ 这是一个选择题，我首先排除了A、D（选项内容记不清楚了），B是注意分离式道路，C是双向交通。 这是我正式考试时考虑时间最长的一个题，确实想不清楚，就随意选的B，就错了，弹出一个窗口，说正确答案是C是双向交通。 其实，这个题，在下文P7、P9有两处记录。单说这个标志是“双向交通”，我觉得是没问题的。单想多了，就有点问题（对我自己而言）： 其一，把“会车让行”、“会车先行”与“双向交通”混淆： （1）（2）（3） （1）是“会车让行”标志，即面对会车标志的车辆，必须让对方车辆先行，（2）是“会车先行”标志，即面对会车标志的车辆（我们自己）可先行（对方应该让），（3）是“双向交通”标志，用以提醒车辆驾驶人 注意会车（黄色，一般有‘注意’二字）。 其二，把“注意分离式道路”与与“双向交通”混淆： （4）（5） 注意分离式道路提醒：不分离双向行驶路段 （4）是“注意分离式道路”标志,（5）同（3）。 我对“注意分离式道路”的标志有不太理解的方面，首先，既然‘分离’了，为何还有一短竖线（此短竖线反而好像将俩道路连通了）？我个人建议：将短竖线改成‘短横线’（位于俩道路之间，起一个分隔的效果），来表示有物体或什么东西在道路之间，使道路‘分离’了。其次，标志（4）是分离，标志（5）是不分离，但为什么一个的箭头是横向的，而另一个的箭头是竖向的？我个人建议：将标志（4）的箭头改成竖向的。 这样，这四个标志就清楚了： 对方先行自己先行注意会车注意分离当然，此题错了，是我自己没掌握好。 二、以下是模拟考试中的易错易混题： 这个导向箭头是何含义 2011-15成考数学真题题型分类汇总（文） 一、 集合与简易逻辑 (2011) 已知集合A={1,2,3,4}, B={x|—1 《备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析》 第八章 平面解析几何 纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，难度在中等或以下，其中圆的问题是五年两考，直线与椭圆的位置关系，五年三考，圆锥曲线基本问题五年五考；大题则主要考查直线与抛物线的位置关系问题，五年五考，直线与椭圆位置关系问题只2016年理科考查一次；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 一．选择题 1．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】双曲线的焦距是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 双曲线的焦距为.故选D. 2．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】双曲线22 132 x y -=的焦距是（ ） A ．1 B ．2 C 5 D ．25【答案】D 【解析】 22 13,2,32 x y a b -=?=又225c a b =+5 D. 3．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】双曲线的一个顶点坐标是（）A．( 2，0) B．( －，0) C．(0，) D．(0 ，) 【答案】D 【解析】 双曲线化为标准方程为：，∴=，且实轴在y轴上， ∴顶点坐标是（），故选D. 4．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【解析】 因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长一半， 所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是1,选A. 5．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 根据题意，双曲线的标准方程为， 其焦点在轴上，且，， 则其渐近线方程为；天津市近五年高考数学真题分类汇总
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备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析：平面解析几何(解析版)